%CG96enon.tex 27 mars 96 11h37 version 31 mars 96 14h10
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\let\cadrejoli=\cadrefin

\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: cg96enon.tex \hskip 3mm}
{\bf \'ENONC\'E du CONCOURS G\'EN\'ERAL 1996
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp� M1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ }}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }   %Underfull hbox si  ce { m�me vide mais avec fonte} pas mis
                                    % en fait line demande une ligne compl�te : il faut hfill
{\bf LISTE DES T.I.P.E
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %�����
\vskip-4mm
\hfill mardi 27 mars 1996  8h30-13h30
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE I}\hfill{}

\lettrine{Dans le plan}, on consid�re un triangle ABC et les six points D, E, F,
G, H, I tels que ABED, BCGF et ACHI soient des carr�s ext�rieurs � ABC.

Montrer que les points D, E, F, G, H, I sont cocycliques si et seulement si on est dans
l'un des deux cas suivants :

\hskip 20mm $\bullet\ $ Le triangle ABC est �quilat�ral ;

\hskip 20mm $\bullet\ $ Le triangle ABC est rectangle et isoc�le.
\trait
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE II}\hfill{}

\lettrine{Soient} a  un entier naturel impair et b un entier strictement positif.
On consid�re la suite r�elle $(u_n)_{n\in\N}$ ainsi d�finie :

$u_0=b$ et pour tout entier naturel n : $\cases{ \hbox{si}\  u_n\  \hbox{est un entier pair, alors }
                        & $u_{n+1}={1\over 2} u_n$\cr
             \hbox{sinon} & $u_{n+1}=a+u_n$\cr}$

\lettrine{{1\hskip 1.5mm.)}} D�montrer qu'on peut trouver un entier naturel n tel que : $u_n\leq a$.
\vskip 5mm
\lettrine{{2.)}} D�montrer que la suite est p�riodique � partir d'un certain rang.
\vskip 3mm
\trait
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE III}\hfill{}

\lettrine{{1\hskip 1.5mm.) S}oit} un parall�l�pip�de rectangle. Montrer qu'on peut choisir
quatre de ses sommets de fa�on � obtenir un t�tra�dre dont les quatre faces sont
des triangles rectangles.

\lettrine{{2.) R}�ciproquement}, montrer que tout t�tra�dre dont les quatre faces sont des
triangles rectangles peut s'obtenir en choisissant quatre sommets d'un parall�l�pip�de
rectangle.

\lettrine{{3.) R}echercher}  parmi ces t�tra�dres ceux qui ont aussi au moins deux faces isoc�les.
Donner les longueurs de leurs ar�tes en fonction de la longueur a de la plus petite ar�te.

\trait

\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE IV}\hfill{}

\lettrine{{1\hskip 1.5mm.) S}oit} la fonction f d�finie pour tout r�el x strictement positif par $f(x)=x^x$.
D�terminer la valeur minimale prise par cette fonction losque x d�crit l'ensemble des r�els strictement
positifs.

\lettrine{{2.) S}oient} x et y deux r�els strictements positifs, montrer que : $x^y+y^x>1$.
\vskip 3mm

\trait
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE V}\hfill{}

\lettrine{Soit} n un entier naturel non nul. On dit qu'un entier naturel non nul k v�rifie la
condition $C_n$ s'il existe 2k entiers naturels non nuls $a_1, b_1,....,a_k, b_k$ tous
distincts, tels que les sommes $a_1+b_1,...,a_k+b_k$ soient deux � deux distinctes
et strictement inf�rieures � n.

\lettrine{{1\hskip 1.5mm.) M}ontrer} que si k v�rifie la condition $C_n$, alors $k\leq {2n-3\over 5}$.

\vskip 5mm

\lettrine{{2.) M}ontrer} que 5 v�rifie la condition $C_{14}$.

\vskip 5mm

\lettrine{{3.) O}n} suppose ${2n-3\over 5}$ entier. Montrer que ${2n-3\over 5}$
v�rifie la condition $C_n$.
\vskip 3mm
\traitgras
\vfill
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\vfill
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\bye



