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\begin{document}

%Les erreurs pr{\'e}sentes dans le texte d'origine y sont toujours ...

%En-t{\^e}te
\lhead{Archim{\`e}de 1997 MP}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.} }
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.} }

%Macros
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\scal}[2]{\left(#1 \vert #2\right)}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}



\begin{center}
\textbf{{\Large CONCOURS COMMUN ARCHIM{\`E}DE 1997}}

\textbf{Dur{\'e}e : 4 heures \hspace{2cm} Option: MP}
\end{center}

\textbf{Partie I}

On munit l'espace $\R^{3}$ de son produit scalaire canonique not{\'e} $\scal{\cdot}{\cdot}$ et on l'oriente de telle sorte que sa base canonique $(i, j, k)$ soit orthonormale directe.

Pour $u = (a, b, c) \in \R^{3}$ on d{\'e}finit la matrice

\centerline{$M_{u} = \matrice{a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a}$}

et $f_{u}$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ de matrice $M_{u}$ dans la base $(i, j, k)$.
On note $\mathcal{M}$ l'ensemble des matrices $M_{u}$, $u \in \R^{3}$, et $\mathcal{V}$ l'ensemble des endomorphismes $f_{u}$, $u \in \R^{3}$.

\textbf{A.}
\begin{enumerate}
\item \relax %Question 1.
Montrer que $\mathcal{M}$ et $\mathcal{V}$ sont des espaces vectoriels de dimension $3$.

\item %Question 2.
Soit $u = (a, b, c)$ et $v = (a', b', c')$.
Calculer $M_{u} M_{v}$ et montrer que $M_{u} M_{v} \in \mathcal{M}$.

En d{\'e}duire que $\mathcal{M}$ est une alg{\`e}bre. Est-elle commutative ?

\item %Question 3.
On note $\varphi$ et $q$ les applications de $\R^{3}$ dans $\R$ d{\'e}finies pour tout $u \in \R^{3}$ par

\centerline{$\systeme{\varphi(u) = \scal{u}{i + j + k} \\ q(u) = \norme{u}^{2} - \scal{u}{f_{j}(u)}}$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est une forme lin{\'e}aire et que $q$ est une forme quadratique positive.

Est-ce que $q$ est d{\'e}finie positive ?

\item Calculer le d{\'e}terminant de $M_{u}$ en fonction de $\varphi$ et $q$.
En d{\'e}duire que $f_{u}$ n'est pas bijective si et seulement si $u$ appartient {\`a} un plan (dont on donnera l'{\'e}quation) ou {\`a} son orthogonal.
\end{enumerate}

\item %Question 4.
\begin{enumerate}
\item Montrer que tous les endomorphismes $f_{u}$ ont un vecteur propre unitaire en commun que l'on notera $w_{1}$.

\item Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante simple sur $u$ pour que $f_{u}$ soit diagonalisable dans $\R$ et donner alors les valeurs et les vecteurs propres de $f_{u}$.

\item On note $w_{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (i - j)$ et $w_{3} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} (i + j - 2k)$ et $\mathcal{P}$ le sous-espace vectoriel engendr{\'e} par $w_{2}$ et $w_{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ est une base orthonormale de  $\R^{3}$.
\item Montrer que, pour tout $u \in�\R^{3}$, $\mathcal{P}$ est stable par $f_{u}$.
\end{enumerate}

\item Diagonaliser $f_{2i+j+k}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{B.} Soit $\Psi : u \mapsto f_{u}(u)$ de $\R^{3}$ dans $\R^{3}$ et $P_{m}$ le polyn{\^o}me $P_{m}(X) = X^{3} - X^{2} + m$ o{\`u} $m$ d{\'e}signe un param{\`e}tre r{\'e}el.
\begin{enumerate}
\item %Question 1.
\begin{enumerate}
\item Caract{\'e}riser les {\'e}l{\'e}ments de $U = \Psi^{-1}(i)$.
\item Montrer que $U$ est r{\'e}union de deux cercles $U_{1}$ et $U_{2}$ dont on donnera le centre et le rayon (on appellera $U_{1}$ celui dont le centre a des coordonn{\'e}es positives dans la base canonique).
\item Montrer que $f_{u}$ est une rotation si et seulement si $u \in�U_{1}$.
\end{enumerate}

\item %Question 2.
Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante sur $m$ pour que $P_{m}$ admette trois racines r{\'e}elles ({\'e}ventuellement confondues).

\item %Question 3.
Montrer que pour $u = (a, b, c) \in \R^{3}$, $M_{u}$ est la matrice d'une rotation si et seulement si $a$, $b$ et $c$ sont les racines de $P_{m}$ avec $m \in \segment{0}{\dfrac{4}{27}}$.

\item %Question 4.
{\'E}tudier $f_{u}$ pour $u = \left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)$ et donner ses {\'e}l{\'e}ments caract{\'e}ristiques.
\end{enumerate}

\textbf{C.} On dit que l'on d{\'e}finit une action {\`a} droite $\theta$ d'un groupe $(G,\star)$, d'{\'e}l{\'e}ment neutre $e$ sur un ensemble $X$ si $\theta$ est une application de $G \times X$ dans $X$ v{\'e}rifiant pour tout $x \in X$ et tout $g \in�G$ et $g' \in G$

\centerline{$\theta(e, x) = x$}

\centerline{$\theta\left(g, \theta(g', x)\right) = \theta(g' \star g, x)$}

Enfin, si $x \in X$ on appelle orbite de $x$, que l'on notera $\mathcal{O}_{x}$, l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments $\theta(g, x)$ pour $g \in�G$.

On note $\mathfrak{S}_{3}$ le groupe des bijections de $\set{1, 2, 3}$ dans lui-m{\^e}me.
\begin{enumerate}
\item %Question 1.
Montrer que $\mathfrak{S}_{3}$ a 6 {\'e}l{\'e}ments que l'on pr{\'e}cisera.

\item %Question 2.
Pour $\tau \in \mathfrak{S}_{3}$ et $u = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in \R^{3}$, on note $\theta(\tau, u) = \left(a_{\tau(1)}, a_{\tau(2)}, a_{\tau(3)}\right)$.
Montrer que si $u \in U_{1}$ alors $\theta(\tau, u) \in U_{1}$ puis montrer que $\theta$ d{\'e}finit une action de $\mathfrak{S}_{3}$ sur $U_{1}$.

\item %Question 3.
Montrer que les orbites des {\'e}l{\'e}ments de $U_{1}$ ont 6 {\'e}l{\'e}ments sauf deux d'entre elles, que l'on pr{\'e}cisera, qui n'en poss{\`e}dent que trois.

Pour les deux orbites ayant 3 {\'e}l{\'e}ments donner toutes les rotations associ{\'e}es en pr{\'e}cisant succintement leurs {\'e}l{\'e}ments caract{\'e}ristiques.

\item %Question 4.
Soit $u = (a, b, c) \in�\R^{3}$ tel que $f_{u}$ soit une rotation et que son orbite ait 6 {\'e}l{\'e}ments.
Soit $v$ et $w$ respectivement les {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{O}_{u}$, $v = (b, c, a)$ et $w = (c, a, b)$.
On note par $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les mesures des angles des rotations $f_{u}$, $f_{v}$ et $f_{w}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer
\begin{eqnarray*}
\sigma_{1} & = & \cos{\alpha} + \cos{\beta} + \cos{\gamma}\\
\sigma_{2} & = & \cos{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\beta} \cos{\gamma} + \cos{\gamma} \cos{\alpha} \\
\sigma_{3} & = & \cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}
\end{eqnarray*}

(Utiliser les propri{\'e}t{\'e}s de la trace d'un endomorphisme)

\item En d{\'e}duire que $\cos{\alpha}$, $\cos{\beta}$ et $\cos{\gamma}$ sont les trois racines du polyn{\^o}me $X^{3} - (3/4) X + (27abc - 2)/8$.

\item Trouver les six rotations pour $abc = 2/27$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie II}
\begin{enumerate}
\item %Question 1.
Pour $p$, entier non nul fix{\'e}, on consid{\`e}re l'ensemble $\mathcal{I}_{p}$ des suites $a = (a_{n})_{n\in\N}$ de r{\'e}els telles que, pour tout $n \in�\N$, $a_{n+p}=a_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{I}_{p}$ est un espace vectoriel de dimension $p$.

\item Soit $a = (a_{n})_{n\in\N}$ une suite non nulle de $\mathcal{I}_{p}$.
D{\'e}terminer le rayon de convergence de la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{n{\geq}0}{}{a_{n} x^{n}}$.

\item On note $\mathcal{P}_{1}$ l'ensemble des suites $a = (a_{n})_{n\in\N}$ de $\mathcal{I}_{p}$ telles que $\somme{n=0}{p-1}{a_{n}} = 0$.

Quelle est la dimension de ce sous-espace vectoriel de $\mathcal{I}_{p}$ ?

\item Montrer que les fonctions $f$ d{\'e}finies par $f(x) = \somme{n{\geq}0}{}{a_{n} x^{n}}$ pour $a = (a_{n})_{n\in\N}$, $a \in \mathcal{P}_{1}$, sont $\mathcal{C}^{{\infty}}$ sur $\ouvgauche{-1}{1}$.
\end{enumerate}

\item %Question 2.
On consid{\`e}re l'ensemble $S$ des fonctions d{\'e}veloppables en s{\'e}rie enti{\`e}re de rayon de convergence sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 1.
Pour $k = 0, 1, {\dots}, p-1$, on note $h_{k}$ l'application d{\'e}finie par $h_{k}(x) = \dfrac{x^{k}}{(1 - x^{p})}$ pour tout $x$, $x \in�\ouvert{-1}{1}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $h_{0}$, $h_{1}$, {\dots}, $h_{p-1}$ sont des {\'e}l{\'e}ments de $S$ et donner leur d{\'e}veloppement en s{\'e}rie enti{\`e}re.

\item On note $\mathcal{F}_{p}$ l'ensemble des fonctions $f$ de $S$ telles que la suite des coefficients de leur s{\'e}rie enti{\`e}re soit un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{I}_{p}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la famille $(h_{k})_{0{\leq}k{\leq}p-1}$ est une base de $\mathcal{F}_{p}$.
\item Montrer que $\mathcal{I}_{p}$ et $\mathcal{F}_{p}$ sont isomorphes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %Question 3.
On d{\'e}finit sur $\mathcal{F}_{3}$ l'op{\'e}ration :

\centerline{$\scal{f}{g} = f(0) g(0) + f'(0) g'(0) + \dfrac{f''(0) g''(0)}{4}$.}

\begin{enumerate}
\item Montrer que ceci d{\'e}finit un produit scalaire sur $\mathcal{F}_{3}$ et que $\mathcal{B} = (h_{0}, h_{1}, h_{2})$ est une base orthonormale de $\mathcal{F}_{3}$.

\item Pour $x \in \ouvert{-1}{1}$ on d{\'e}finit :

\centerline{$g_{0}(x) = \dfrac{1}{(1-x) \sqrt{3}}$, $g_{1}(x) = \dfrac{1}{(1+x+x^{2}) \sqrt{2}}$ et $g_{2}(x) = \dfrac{1+2x}{(1+x+x^{2}) \sqrt{6}}$.}

Montrer que $\mathcal{B}' = (g_{0}, g_{1}, g_{2})$ est une base orthonormale de $\mathcal{F}_{3}$ et donner les matrices de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ et de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
\end{enumerate}

\item %Question 4.
Pour $f \in \mathcal{F}_{3}$ on d{\'e}finit $g_{f}$ sur $\ouvert{-1}{1}$ par :

\centerline{$g_{f}(x) = \dfrac{f(x) - f(0)}{x}$ si $x {\neq}�0$ et $g_{f}(0) = \limite{x}{0}{g_{f}(x)}$.}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g_{f} \in \mathcal{F}_{3}$.
\item On appelle $\varphi$ l'application de $\mathcal{F}_{3}$ dans $\mathcal{F}_{3}$ qui {\`a} $f$ fait correspondre $g_{f}$.
Montrer que $\varphi$ est une rotation et pr{\'e}ciser son axe et son angle.

\item Soit $f \in \mathcal{F}_{3}$ telle que la limite quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inf{\'e}rieures est finie.

Montrer que $\varphi(f) \in \mathcal{F}_{3}$ admet aussi une limite quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inf{\'e}rieures. D{\'e}terminer ces limites pour $\varphi(g_{1})$ et $\varphi(g_{2})$.
\end{enumerate}

\item %Question 5 .
On consid{\`e}re l'ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^{{\infty}}$ sur $\ouvert{-1}{1}$ qui v{\'e}rifient l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle
$$(1-x^{3}) y''' - 9 x^{2} y'' - 18 xy' - 6y = 0. \eqno{(1)}$$

\begin{enumerate}
\item Chercher les solutions d{\'e}veloppables en s{\'e}rie enti{\`e}re et montrer que ce sont des {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{F}_{3}$. Les a-t-on tous ?

\item On cherche les solutions d{\'e}finies sur $\R$. Pour ceci, si $g$ est solution de $(1)$ sur un intervalle $I$ inclus dans $\R \setminus \set{1}$, d{\'e}terminer l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle d'ordre $3$ v{\'e}rifi{\'e}e par $f$, o{\`u} $f(x) = (1 - x^{3}) g(x)$.

D{\'e}terminer $f$ et d{\'e}duire les solutions de $(1)$ sur $\ouvert{-{\infty}}{1}$ et $\ouvert{1}{+{\infty}}$.

{\'E}tudier les prolongements des solutions en $1$ et donner toutes les solutions d{\'e}finies sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
