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\newcommand{\dfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}

% Toute erreur figurant dans ce corig{\'e} est due {\`a} 
% Pierre Cr{\'e}py Lyc{\'e}e Louis Thuillier {\`a} AMIENS
% @mail: phscrepy@micronet.fr

\begin{document}

\begin{center}
{\bf {\large ARCHIMEDE 1997 } \\
 Epreuve A de Math{\'e}matiques - Option PC }
\end{center}
\bigskip
% -------------------------------------------------- Partie I A -----------------------------------------
{\bf Partie I-A} \\
 
\begin{enumerate}


 \item  Pour $u=(a,b,c) \in {\bf R}^{3}$, on d{\'e}finit la matrice 
$$
M_{u}= \left( \begin{array} {ccc}
              a & b & c \\
              c & a & b \\
              b & c & a                
              \end{array} \right)
$$
et $f_{u}$ l'endomorphisme de ${\bf R}^{3}$ de matrice $M_{u}$ dans la base $(i,j,k)$.
On note ${\cal M}$ l'ensemble des matrices  $M_{u}, \, u \in {\bf R}^{3}$ et
 ${\cal V}$ l'ensemble des endomorphismes  $f_{u}, \, u \in {\bf R}^{3}$ 

 On v{\'e}rifie que les applications
$$
u \in {\bf R^{3}} \longmapsto  M_{u} \in {\cal M} \;  \mbox{ et } \;
u \in {\bf R^{3}} \longmapsto  f_{u} \in {\cal V} 
$$
sont lin{\'e}aires et bijectives donc $ {\cal M}$ et $ {\cal V} $ sont des espaces
vectoriels (r{\'e}els) de dimension $3$. 

 \item Soient $u=(a,b,c)$ et $v=(a',b',c')$. Le calcul donne  
$$ 
M_{u} M_{v}= M_{w} \quad \mbox{ o{\`u}  } w=(aa'+bc'+cb',ab'+ba'+cc',ac'+bb'+ca').
$$ 
Il en r{\'e}sulte, avec $I_{3}=M_{(1,0,0)} \in  {\cal M}$, que  ${\cal M}$ est une sous-alg{\`e}bre de
  ${\cal M}_{3}({\bf R})$, clairement non commutative d'apr{\`e}s l'expression de  $ M_{u} M_{v}$.
 
 \item On note $w_{1}={1 \over \sqrt 3}(i+j+k)$.

\begin{itemize}
   \item[i)] Le calcul donne $f_{u}(w_{1})=(a+b+c) w_{1}$ donc $w_{1}$ est un vecteur 
propre commun {\`a} tous les $f_{u}$. 

   \item[ii)] L'ensemble  ${\cal P}=(w_{1})^{ \perp} $ est un plan contenant la famille orthonormale
 des deux vecteurs  $w_{2}=\frac {1}{\sqrt 2}(i-j)$ et  $w_{3}=\frac {1}{\sqrt 6}(i+j-2k)$.
Il en r{\'e}sulte donc que $(w_{2}, w_{3})$  est une base orthonormale de ${\cal P}$ et 
${\cal B'} =(w_{1}, w_{2}, w_{3})$   une base orthonormale de ${\bf R}^{3}$.\\
\smallskip
La matrice de $f_{u}$ dans la base ${\cal B'}$ est donn{\'e}e par la relation matricielle :
$$
 M_{u}'=P^{-1} M_{u}P={}^{t}P M_{u}P  \;\mbox{  o{\`u}  } \;  
 P={\cal M}_{\cal B} ({\cal B'})= \left( \begin{array} {ccc}                                           
                                         \dfrac {1}{\sqrt 3} & \dfrac {1}{\sqrt 2}& \dfrac {1}{\sqrt 6}   \\
                                               \dfrac {1}{\sqrt 3}&\dfrac {-1}{\sqrt 2} & \dfrac {1}{\sqrt 6}  \\
                                               \dfrac {1}{\sqrt 3}&0                         & \dfrac {-2}{\sqrt 6}
                                                            \end{array} \right)
$$
Les calculs {\'e}tant fastidieux, on utilise la d{\'e}composition 
$$
 M_{u}=aI_{3}+bJ+cJ^{2} \; \mbox{  o{\`u}  }  \; J= \left( \begin{array} {ccc}
                                                0&1&0  \\
                                                0&0&1  \\
                                                1&0&0
                                             \end{array} \right) 
$$
En notant
$$
 K={}^{t}PJP = \left( \begin{array} {ccc}
                                         
                                                1&0&0  \\
                                                0& -\dfrac{1}{2}& \dfrac{\sqrt 3}{2}  \\
                                                0& -\dfrac{\sqrt 3}{2} & -\dfrac{1}{2}
                                             \end{array} \right)
$$
on obtient
$$
  M_{u}'=aI_{3}+bK+cK^{2}=  \left( \begin{array} {ccc}
                                            
                                               a+b+c&0&0  \\
                                                0& a-\dfrac{1}{2}(b+c)& \dfrac{\sqrt 3}{2}(b-c)  \\
                                                0& -\dfrac{\sqrt 3}{2}(b-c)& a-\dfrac{1}{2}(b+c)
                                             \end{array} \right)
$$
   \item[iii)] L'{\'e}criture en blocs de $ M_{u}'$ montre que le plan ${\cal P}$ est stable par
$f_{u}$.
\end{itemize}

 \item  Toujours d'apr{\`e}s l'{\'e}criture en blocs de $ M_{u}'$, l'endomorphisme $f_{u}$ est 
diagonalisable sur ${\bf R}$ si et seulement si la matrice 
 $$
 N=  \left( \begin{array} {cc}
                                   \alpha & -\beta   \\
                                   \beta & \alpha                                                
                                  \end{array} \right)
\; \mbox{ o{\`u} } \; \alpha =a-{1 \over 2}(b+c), \; \beta ={\sqrt3 \over 2}(c-b)  
$$
est diagonalisable dans  ${\cal M}_{2}({\bf R})$.\\
Le calcul du polyn\^ome caract{\'e}ristique donne
$$
\chi _{N}(X)=X^{2}-Tr(N)X+ \det(N)=(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}.
$$
Si $\beta \neq 0$, alors $ \chi _{N}(X)$ n'est pas scind{\'e} dans ${\bf R}[X]$ et si $\beta =0$
alors $N=I_{2}$. Il en r{\'e}sulte que 
$$
f_{u} \mbox{ diagonalisable sur } {\bf R}  \Longleftrightarrow   \beta =0 \; \mbox { ( c-{\`a}-d  $b=c$ )}.
$$ 
\end{enumerate}

% ------------------------------------------------- Partie I B -----------------------------------------
\bigskip
{\bf Partie I-B} \\

\begin{enumerate}
\item 
Soit $\Psi : u  \in {\bf R}^{3} \longmapsto f_{u}(u)  \in {\bf R}^{3}$ et
 $P_{m}$ le polyn\^ome 
$P_{m}=X^{3}-X^{2}+m$ o{\`u} $m \in {\bf R}$.\\  
Le calcul donne $f_{u}(u) = (a^{2}+b^{2}+c^{2}, ab+bc+ca, ab+bc+ca)$.

\begin{itemize}
   \item[i)] On en d{\'e}duit l'ensemble $U=\Psi^{-1}(i)$  
\begin{eqnarray*}
U&=&  \{ (a,b,c) \;/ \quad  a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, \,    ab+bc+ca=0 \}  \\      
  &=&  \{ (a,b,c) \; / \quad  a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, \,   {( a+b+c)}^{2}=1 \}  \\      
 &=&  \{ (a,b,c)  \;/ \quad  a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, \,    a+b+c= \pm 1 \} 
\end{eqnarray*}
L'ensemble $U$ est donc compos{\'e} de deux cercles, intersection de la sph{\`e}re d'{\'e}quation  
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $ et des plans d'{\'e}quations $a+b+c=1$ et $a+b+c=-1$.

   \item[ii)] La condition trouv{\'e}e pr{\'e}c{\'e}demment pour  $u \in U$ {\'e}quivaut {\`a} dire que les colonnes
 de la matrice $M_{u}$ forment une base orthonormale de ${\bf R}^{3}$ donc que $M_{u}$ 
est orthogonale.
\end{itemize}

\item Le calcul donne $P_{m}^{'}(X)=3X^{2}-2X=X(3X-2)$ d'o{\`u} le tableau de variation de 
la fonction polynomiale r{\'e}elle associ{\'e}e {\`a} $P_{m}(X)$    
\begin{center}
 \begin{tabular} {c|*{7}{c}}
     $x$        & $-\infty$ &    & 0 &    & 2/3 &  & $+\infty$ \\
   \hline
$P_{m}^{'}(x)$ &         & + &  0  & $-$ & 0   &+ &             \\
$P_{m}(x)$ & $-\infty$& $\nearrow$ & $m$  &$\searrow$ & $m- 4/27$  & $\nearrow$ & $+\infty$
 \end{tabular}
\end{center}
 
Il en r{\'e}sulte que $P_{m}$ a toutes ses racines r{\'e}elles si et seulement si $m \geq 0$ 
et $ m- 4/27 \leq 0$.

\item La matrice $M_{u}$ est de rotation si et seulement si $u \in U$ et $\det M_{u}=1$. \\
D'apr{\`e}s {\bf A.3.iii}, on a $\det M_{u}= \det M_{u}'=(a+b+c)(  a^{2}+b^{2}+c^{2}- ab-bc-ca)$.
Il en r{\'e}sulte que 
$$
M_{u} \in SO_{3}({\bf R})   \Longleftrightarrow   
      \left \{ \begin{array} {l}
                        a+b+c=1  \\
                        ab+bc+ca=0      
                   \end{array}  \right. 
$$
Avec les notations habituelles  
$$
(X-a)(X-b)(X-c)= X^{3}-  \sigma _{1} X^{2}+ \sigma _{2}X- \sigma _{3} \; \mbox{ o{\`u} }
\left \{ \begin{array} {ccl}
    \sigma _{1}  & = & a+b+c  \\
    \sigma _{2}  & = & ab+bc+ca  \\
    \sigma _{3}  & = & abc 
    \end{array}  \right.
$$
on en d{\'e}duit que  $M_{u}$ est une matrice de rotation si et seulement si $a,b$ et $c$ 
sont racines d'un polyn\^ome de la forme $P_{m}$ o{\`u} $m$ d{\'e}signe  $-\sigma _{3}$, donc 
$m \in [0,4/27]$ d'apr{\`e}s la question pr{\'e}c{\'e}dente.

\item Pour le vecteur $u=(2/3,2/3,-1/3)$, l'endomorphisme $f_{u}$ a pour matrice 
$$
  M_{u}'=  \left( \begin{array} {ccc}
                                       
                                               1&0&0  \\
                                                0& \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt 3}{2}  \\
                                                0& -\dfrac{\sqrt 3}{2} & \dfrac{1}{2}
                                             \end{array} \right)
$$
c'est donc une rotation d'angle $ \theta =- \dfrac{\pi}{3}$ autour du vecteur $w_{1}$.
 

\end{enumerate}

% -------------------------------------------------------- Partie II A -----------------------------------------
\bigskip
{\bf Partie II-A} \\
\medskip

  Soit ${\cal F}= \{ f:x \in ]-1,1[\longmapsto f(x)= \displaystyle \dfrac{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}{1-x^{3}} \in {\bf R} \;/ 
\quad  \forall\,i \in \{0,1,2\} \; a_{i} \in {\bf R} \}$.

\begin{enumerate}

\item ${\cal F}$ est un espace vectoriel, comme sous-ensemble non vide et stable par 
combinaison lin{\'e}aire de l'espace vectoriel des fonctions de $]-1,1[$ dans ${\bf R}$.

\item En notant $h_{k}$, pour $k=0,1,2$, la fonction d{\'e}finie sur $]-1,1[$ par 
$h_{k}(x)= \displaystyle \dfrac{x^{k}}{1-x^{3}}$, 
il apparait que ${\cal B}= (h_{0},h_{1},h_{2})$ est une famille g{\'e}n{\'e}ratrice  de ${\cal F}$.
V{\'e}rifions qu'elle est {\'e}galement libre, et elle sera une base de  ${\cal F}$.\\
En effet, soit $f=a_{0}h_{0}+a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}=0$; alors en consid{\'e}rant la fonction  
$g:x \longmapsto g(x)=(1-x^{3})f(x)$, nulle sur $]-1,1[$, ainsi que ses d{\'e}riv{\'e}es successives calcul{\'e}es en 
$0$, on obtient $a_{0}=0, a_{1}=0, a_{2}=0$.   
 
\item L'ensemble  ${\cal F}_{1}$ des {\'e}l{\'e}ments de  ${\cal F}$ ayant une limite finie quand $x \rightarrow 1_{-}$ 
est  un  sous-espace vectoriel de  ${\cal F}$, car non vide et stable par combinaison lin{\'e}aire.\\
Montrons que   ${\cal F}_{1}$ est l'ensemble $\{ f=a_{0}h_{0}+a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2} \; / \quad a_{0}+a_{1}+a_{2}=0 \}$. 
Il en r{\'e}sultera que  ${\cal F}_{1}$ est de dimension {\'e}gale {\`a} $\dim{\cal F}-1=2$\\
Soit $f=a_{0}h_{0}+a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}  \in {\cal F}$. \\
Si $f \in {\cal F}_{1}$ alors 
$$
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}{(1-x^{3})f(x)} = 0 =a_{0}+a_{1}+a_{2}
$$
Inversement si $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$ alors $f=a_{1}(h_{1}-h_{0})+a_{2}(h_{2}-h_{0})\in {\cal F}_{1}$
car les fonctions 
$$
h_{1}-h_{0}:x \in ]-1,1[ \longmapsto - \frac{1}{1+x+x^{2}} \; \mbox{ et } \;
h_{2}-h_{0}:x  \in ]-1,1[ \longmapsto - \frac{1+x}{1+x+x^{2}}
$$
 admettent chacune une  limite finie quand $x \rightarrow 1_{-}$.\\
Les fonctions rationnelles $h_{1}-h_{0}$ et $h_{2}-h_{0}$ {\'e}tant prolongeables en
 des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ sur $[-1,1]$, il en est de m\^eme, par lin{\'e}arit{\'e}, pour 
tout {\'e}l{\'e}ment de  ${\cal F}_{1}$.  
   
 \item Pour $x \in ]-1,1[$, on note $g_{0}(x)=\frac{1}{(1-x)\sqrt 3}, \;
g_{1}(x)=\frac{1}{(1+x+x^{2})\sqrt 2}, \; g_{2}(x)=\frac{1+2x}{(1+x+x^{2})\sqrt 6}$.
On a donc 
$$
g_{0}=\frac{h_{0}+h_{1}+h_{2}}{\sqrt 3}, \;
g_{1}=\frac{h_{0}-h_{1}}{\sqrt 2}, \;
g_{2}=\frac {h_{0}+h_{1}-2h_{2}}{\sqrt 6}
$$
La matrice de la famille ${\cal B}'=(g_{0},g_{1},g_{2})$ dans la base ${\cal B}$ est la 
matrice orthogonale (donc inversible)  obtenue {\`a} la question {\bf I A.3.ii}. Il en r{\'e}sulte 
que  ${\cal B}'$ est une base de  ${\cal F}$ et, comme $g_{1} \in {\cal F}_{1}$ et
$g_{2}\in {\cal F}_{1}$, alors $(g_{1},g_{2})$ est une base de ${\cal F}_{1}$.
  
\end{enumerate}

% --------------------------------------------------------- Partie II B -----------------------------------------
\bigskip
{\bf Partie II-B} \\

\begin{enumerate}
\item On note ${\cal S}$ l'ensemble des fonctions d{\'e}veloppables en s{\'e}rie
 enti{\`e}re de rayon de convergence sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$. 
 
\begin{itemize}
   \item[i)] Les fonctions $h_{0},h_{1},h_{2}$ admettent des d{\'e}veloppements en s{\'e}ries
 enti{\`e}res de rayon $1$ 
$$
\forall\,x \in ]-1,1[ \quad h_{0}(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} x^{3k}, 
 \quad h_{1}(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} x^{1+3k}, 
 \quad h_{2}(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} x^{2+3k}.
$$
Il en r{\'e}sulte que ${\cal F} \subset {\cal S}$. 

    \item[ii)] Les coefficients $a_{n}$ de chacune des trois s{\'e}ries enti{\`e}res v{\'e}rifient
$$
\forall\, n \in {\bf N}  \quad a_{n+3}=a_{n}
$$   
   
   \item[iii)]  Tout {\'e}l{\'e}ment $f \in  {\cal S}$ dont le d{\'e}veloppement en s{\'e}rie enti{\`e}re
 $\sum a_{n}x^{n}$ v{\'e}rifie pour tout  $n \in {\bf N}, \; a_{n+3}=a_{n}$   s'{\'e}crit

\begin{eqnarray*}
   \forall\,x \in ]-1,1[  \quad f(x) & =  & a_{0} \sum_{k=0}^{+\infty} x^{3k}+
a_{1} \sum_{k=0}^{+\infty} x^{1+3k}+a_{2} \sum_{k=0}^{+\infty} x^{2+3k} \\
  & = & a_{0}h_{0}(x)+a_{1}h_{1}(x)+a_{2}h_{2}(x)
\end{eqnarray*}
Il en r{\'e}sulte, avec {\bf ii}, que 
$$
{\cal F}=\{ f \in {\cal S} \; / \; \forall \,x \in ]-1,1[ \quad f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n} \;  
\mbox{ avec } \; \forall \, n \in {\bf N}  \; a_{n+3}=a_{n} \}
$$
\end{itemize}

\item L'op{\'e}ration d{\'e}finie sur ${\cal F}$ par
$$
\forall \,(f,g) \in {\cal F}\times{\cal F}  \quad (f|g)=f(0)g(0)+f'(0)g'(0)+
\frac {f''(0)g''(0)}{4} 
$$
est clairement bilin{\'e}aire, sym{\'e}trique et positive, il reste {\`a} {\'e}tablir qu'elle est d{\'e}finie
pour qu'elle soit un produit scalaire sur ${\cal F}$. \\ 
Soit $f \in  {\cal F}$ tel que $ (f|f)=0$, alors 
$f(0)=f'(0)=f''(0)=0$. Il r{\'e}sulte alors de la question {\bf B.1.iii} que tous les coefficients du 
 d{\'e}veloppement en s{\'e}rie enti{\`e}re de $f$ sont nuls et donc $f=0$.\\
\smallskip
En utilisant les  d{\'e}veloppement en s{\'e}ries enti{\`e}res, on obtient ais{\'e}ment
$$
\begin{array} {ccc}
    h_{0}(0)=1 &  h_{0}'(0)=0 &  h_{0}''(0)=0 \\
    h_{1}(0)=0 &  h_{1}'(0)=1 &  h_{1}''(0)=0 \\
    h_{2}(0)=0 &  h_{2}'(0)=0 &  h_{2}''(0)=2 
\end{array}
$$
de sorte que ${\cal B}=(h_{0},h_{1},h_{2})$ est une base orthonormale de ${\cal F}$.\\
Comme la matrice de passage de  ${\cal B}$ {\`a}  ${\cal B}'$ est orthogonale, alors   ${\cal B}'$
   est {\'e}galement une base orthonormale de ${\cal F}$.

\item Pour $f \in {\cal F}$, on d{\'e}finit $g_{f}$ sur $]-1,1[$ par $g_{f}=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ si 
$x \neq 0$. \\
La fonction $g_{f}$ se prolonge alors en une fonction continue sur $]-1,1[$ en posant 
$g_{f}(0)=f'(0)$.
\begin{itemize}
   \item[i)] Le calcul, {\`a} l'aide des d{\'e}veloppement en s{\'e}ries enti{\`e}res, donne
$$g_{h_{0}}=h_{2}, \quad g_{h_{1}}=h_{0}, \quad g_{h_{2}}=h_{1} $$
Il en r{\'e}sulte, par lin{\'e}arit{\'e}, que si $f \in {\cal F}$ alors $g_{f} \in {\cal F}$. 

   \item[ii)] La matrice, dans  ${\cal B}$ de l'application 
$\varphi : f \in {\cal F} \longmapsto g_{f} \in {\cal F}$ est donn{\'e}e par le calcul pr{\'e}c{\'e}dent. 
On obtient
$$
J= \left( \begin{array} {ccc}
                                                0&1&0  \\
                                                0&0&1  \\
                                                1&0&0
                                             \end{array} \right) 
$$
D'apr{\`e}s les calculs de {\bf I A.3.ii}, on obtient directement sa matrice dans  la base ${\cal B}'$
$$
 K= \left( \begin{array} {ccc}

                                                1&0&0  \\
                                                0&-\dfrac{1}{2}& \dfrac{\sqrt 3}{2}  \\
                                                0& -\dfrac{\sqrt 3}{2} & -\dfrac{1}{2}
                                             \end{array} \right)
$$

$\varphi $ est donc  une rotation d'angle $\theta =- \dfrac{2 \pi}{3}$ autour du vecteur $g_{0}$.
 
   \item[iii)]  L'{\'e}criture en blocs de $K$,  matrice  dans  ${\cal B}'$ de l'application 
$\varphi$,  montre que le plan ${\cal F}_{1}$ est stable par $\varphi$.  \\
\smallskip
 On a les limites   
$$
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}{g_{1}(x)} = \frac{1}{3 \sqrt 2}, \quad
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}{g_{2}(x)} = \frac{1}{ \sqrt 6}
$$
donc
$$
\lim_{x \rightarrow 1_{-}} \varphi (g_{1})(x) =
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}\frac {(g_{1}(x)-g_{1}(0)}{x} = 
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}{g_{1}(x)}-g_{1}(0)= 
 \frac{1}{3 \sqrt 2}- \frac{1}{ \sqrt 2}= \frac{-\sqrt 2}{3},
$$
et 
$$
\lim_{x \rightarrow 1_{-}} \varphi (g_{2})(x) =
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}\frac {g_{2}(x)-g_{2}(0)}{x} = 
\lim_{x \rightarrow 1_{-}}{g_{2}(x)}-g_{2}(0)= 
  \frac{1}{ \sqrt 6}- \frac{1}{ \sqrt 6}= 0.
$$

\end{itemize}

\end{enumerate}

% ----------------------------------------------------- Partie II C -----------------------------------------
\bigskip
{\bf Partie II-C} \\

Soit l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle 

\begin{equation}
(1-x^{3})y'''-9x^{2}y''-18xy'-6y=0
\end{equation}

\begin{enumerate}

\item Soit $y$  une solution de $(1)$ admettant un d{\'e}veloppement en s{\'e}rie enti{\`e}re
de rayon $R >0$.
$$
\forall \, x \in ]-R,R[ \quad  y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}, \quad 
 y'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} na_{n}x^{n-1}, \quad \mbox{ etc ...} 
$$
En reportant dans $(1)$, on obtient
$$
\forall\, x \in ]-R,R[ \quad \sum_{n=0}^{+\infty} n(n-1)(n-2)a_{n}x^{n-3}-
( n(n-1)(n-2)+9n(n-1)+18n+6) a_{n}x^{n} = 0
$$
qui se transforme en 
$$
\forall\, x \in ]-R,R[ \quad \sum_{n=0}^{+\infty} n(n-1)(n-2)a_{n}x^{n-3}-
 (n+3)(n+2)(n+1)a_{n}x^{n} = 0
$$
Il en r{\'e}sulte que $\forall \, n \in {\bf N}  \quad a_{n+3}=a_{n}$.     
On obtient donc, d'apr{\`e}s {\bf B.1.iii}, tous les {\'e}l{\'e}ments de ${\cal F}$.

\item Soit $g$ une  solution de $(1)$ sur un intervalle $I$ inclus dans ${\bf R}\backslash \{1\}$ 
et $f$ d{\'e}finie sur $I$ par $f(x)=(1-x^{3})g(x)$.\\
 La formule de Leibniz donne
$$
 \begin{array} {ccl}
 \forall\, x \in I \quad  f^{(3)}(x) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{3} C_{3}^{k} (1-x^{3})^{(k)}f^{(3-k)}(x)\\
                                         & = & (1-x^{3})f'''(x)-9x^{2}f''(x)-18xf'(x)-6f(x)
 \end{array}
$$
Il en r{\'e}sulte que $f$ est solution sur $I$ de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle  
$$ f'''=0$$
qui a pour solution $x \longrightarrow  f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ avec 
$  a_{i} \in {\bf R} \;\; \forall \,i \in \{0,1,2\}$.\\
Les fonctions $h_{k}$, pour $k=0,1,2$, introduites en {\bf A.2}, sont donc des solutions de $(1)$ 
sur chacun des intervalles $]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$. \\
\smallskip
D'apr{\`e}s la th{\'e}orie des {\'e}quations diff{\'e}rentielles lin{\'e}aires, on sait que les solutions de $(1)$
sur  chacun des intervalles $]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$ forment un espace vectoriel de dimension $3$.
Les fonctions $h_{k}, \; k=0,1,2$, en constituent une base.\\
Etudions les prolongements en $1$.\\
Soit $g=a_{0}h_{0}+a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}$ une solution  de $(1)$ sur l' intervalle
 $]-\infty,1[$ (resp.  $]1,+\infty[$ ) ayant une limite en $1_{-}$ (resp. en $1_{+}$).
 Un raisonnement analogue {\`a} celui fait en {\bf A.2} implique que $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$. 
Il en r{\'e}sulte que $g$ est une combinaison lin{\'e}aire des fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$ 
 introduites en {\bf A.4} et d{\'e}finies sur ${\bf R}$.\\
Soit donc $g$ une solution  de $(1)$ sur ${\bf R}$ telle que 
$$
g= \left \{ \begin{array} {ccl}
            b_{1}g_{1}+b_{2}g_{2} & \mbox{sur} & ]-\infty,1[ \\
            c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2} & \mbox{sur} & ]1,+\infty[
            \end{array} \right. 
\quad \mbox{ o{\`u} } \; b_{1},b_{2},c_{1},c_{2} \in {\bf R}.
$$
Les continuit{\'e}s de $g$ et de $g'$ au point $1$ conduisent au syst{\`e}me lin{\'e}aire
$$
\left \{ \begin{array} {c}
             (b_{1}- c_{1})g_{1}(1) +(b_{2}-c_{2})g_{2}(1) = 0 \\
             (b_{1}- c_{1})g_{1}'(1)+(b_{2}-c_{2})g_{2}'(1) = 0 
            \end{array} \right.
$$
de matrice inversible 
$$
\left( \begin{array} {cc}
            g_{1}(1) & g_{2}(1)  \\
             g_{1}'(1)&g_{2}'(1)  
            \end{array} \right)
=
 \left( \begin{array} {cc}
            \dfrac{1}{3 \sqrt2} &   \dfrac{1}{\sqrt6}  \\
               \dfrac{-1}{3 \sqrt2}&   \dfrac{-1}{3 \sqrt6}  
            \end{array} \right).
$$

Il en r{\'e}sulte donc que  $b_{1}= c_{1}$ et $b_{2}=c_{2}$.\\
Les  solutions  de $(1)$ sur ${\bf R}$ forment un espace vectoriel de dimension $2$, 
et de base $(g_{1},g_{2})$.
  
\end{enumerate}

\begin{center}
--- FIN ---
\end{center}

 \end{document}
