% Mines d'Albi, Al\`es, Douai, Nantes
% Epreuve sp\'ecifique 1997
% Saisie en TeX par Serge Bouju, MP Jacques Amyot, MELUN.
% Merci de me signaler les fautes de frappe : serge.bouju@wanadoo.fr
\frenchspacing
\font\twelverm=cmr10 at 12 pt
\font\twelvebf=cmbx10 at 12pt
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\font\tenbb=msbm10     \font\sevenbb=msbm7   \font\fivebb=msbm5
\newfam\bbfam
\def\bb{\fam\bbfam} \textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb \scriptscriptfont\bbfam=\fivebb
\def\R{{\bb R}}
\def\N{{\bb N}}
\def\RPE{\R^{+*}}
\everymath{\displaystyle}
\def\prob#1
{\bigskip\centerline{\underbar{\twelvebf#1}}\bigskip\noindent}
\def\part#1
{\bigskip\noindent\underbar{\bf PARTIE #1}}
\def\ques#1
{\bigskip\noindent\hbox to \parindent{\bf#1.\hfill}\hangindent\parindent}
\def\dques#1
{\bigskip\noindent\hbox to \parindent{\bf#1.\hfill}\hangindent\parindent{\bf a)\ }}
\def\sques#1
{\medskip\item{}{\bf#1)\ }}
\def\rc{\bigskip\noindent}
\def\rrc{\smallskip\item{}}
\noindent
{\twentybf CONCOURS COMMUN 1997}
\medskip\noindent
{\twelvebf DES \'ECOLES DES MINES D'ALBI, AL\`ES, DOUAI, NANTES}
\medskip
\hrule
\bigskip
\centerline{\vrule width1pt\vbox{\hsize=16 cm%
\hrule height1pt\bigskip
\centerline{\fifteenbf\'Epreuve sp\'ecifique de Math\'ematiques}
\smallskip
\centerline{\bf Classements SUP (MPSI, PCSI, PTSI) et SPE (MP, PC, PT, PSI)}
\medskip
\centerline{\underbar{\bf Jeudi 22 mai 1997 de 08h00 \`a 12h00}}
\bigskip\hrule height1pt}\vrule width1pt}
\bigskip
\noindent
{\bf Instructions :}
\bigskip
Les candidats doivent traiter les probl\`emes 1 et 2 qui sont ind\'ependants.
\bigskip
Les candidats sont invit\'es \`a porter une attention particuli\`ere \`a la r\'edaction : les copies illisibles ou mal pr\'esent\'ees
seront p\'enalis\'ees.
\prob{PREMIER PROBL\`EME}
\rc
Dans tout ce probl\`eme, $\R$ d\'esigne l'ensemble des nombres r\'eels.
\rc
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $4$, et soit
$B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ une base de $E$.
\rc
On consid\`ere les vecteurs :
$$\eqalign{
f_1&=e_1+e_2-e_3+e_4\cr
f_2&=e_1+e_3\cr
f_3&=-e_1+e_2+e_3+e_4\cr
f_4&=e_2-e_4.\cr}$$
Soit $s$ l'endomorphisme de $E$ ayant pour matrice dans la base $B$ :
$$S={1\over2}\pmatrix{
1&1&1&1\cr
1&-1&-1&1\cr
1&-1&1&-1\cr
1&1&-1&-1\cr}$$
\ques1
V\'erifier que $s$ est la sym\'etrie par rapport au plan $F$ de base $(f_1,f_2)$,
parall\`element au plan $G$ de base $(f_3,f_4)$.
\rrc
D\'eterminer sans calcul la matrice $S^{-1}$.
\ques2
Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $4$, on pose
$e'_i=s(e_i)$.
\rrc
Soit $B'=(e'_1,e'_2,e'_3,e'_4)$.
\rrc
Justifier le fait que $B'$ est une base de $E$.
\ques3
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels.
On note $u_{a,b}$ l'endomorphisme de $E$ ayant pour matrice dans la base
$B'$ :
$$D(a,b)=\pmatrix{
(a+b)^2&0&0&0\cr
0&(a-b)^2&0&0\cr
0&0&a^2-b^2&0\cr
0&0&0&a^2-b^2\cr
}\cdot$$
\sques a
Donner une condition n\'ecessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour
que $u_{a,b}$ soit inversible.
\sques b
Lorsque cette condition est remplie, d\'eterminer la matrice de
$\left[u_{a,b}\right]^{-1}$ dans la base $B'$.
\rrc
(On calculera ses coefficients et on l'exprimera \`a l'aide de $D(a,-b)$).
\ques4
Soit $M(a,b)$ la matrice de $u_{a,b}$ dans la base $B$.
\rrc
Montrer que
$M(a,b)=\pmatrix{
a^2&ab&ab&b^2\cr
ab&a^2&b^2&ab\cr
ab&b^2&a^2&ab\cr
b^2&ab&ab&a^2\cr}$.
(On justifiera et on d\'etaillera les calculs).
\rc
{\bf On d\'esigne d\'esormais par $L$ l'ensemble des matrices $M(a,b)$
quand $(a,b)$ d\'ecrit ${\R}^2$.}
\dques5
Calculer $\left[M(a,b)\right]^{-1}$
lorsque $M(a,b)$ est inversible et montrer que
$\left[M(a,b)\right]^{-1}$ appartient \`a $L$.
\sques b
Montrer que si $(a,b)$ et $(a',b')$ sont des couples de r\'eels, alors il
existe un couple $(a'',b'')$ de r\'eels tel que :
$M(a,b)\times M(a',b')=M(a'',b'')$.
\ques6
Les fonctions $\rm ch$ et $\rm sh$ sont les fonctions cosinus hyperbolique
et sinus hyperbolique.
\rrc
Si $t$ est un r\'eel, on pose $N(t)=M(\mathop{\rm ch}(t),\mathop{\rm sh}(t))$
et on note $L'$ l'ensemble des matrices $N(t)$ quand $t$ d\'ecrit $\R$.
\rrc
Montrer que $L'$ est un sous-groupe commutatif de $GL_4(\R)$
(groupe des matrices r\'eelles inversibles d'ordre $4$) et que l'application
$N$ de $\R$ dans $L'$ qui \`a $t$ associe $N(t)$ est un isomorphisme de
groupes.
\ques7
Quelle structure alg\'ebrique poss\`ede l'ensemble $GL_4(\R)\cap L$ ?
\ques8
D\'eterminer $O(4)\cap L$ o\`u $O(4)$ est l'ensemble des matrices r\'eelles
orthogonales d'ordre $4$.
\rrc
(On rappelle qu'une matrice $A$ est orthogonale si elle v\'erifie :
${}^tA\times A=I_4$ o\`u ${}^tA$ d\'esigne la matrice transpos\'ee de la matrice
$A$, et o\`u $I_4$ est la matrice unit\'e d'ordre $4$.)
\prob{DEUXI\`EME PROBL\`EME}
Dans tout ce probl\`eme, $\N$ d\'esigne l'ensemble des nombres entiers naturels,
et $\R$ l'ensemble des nombres r\'eels.
\part A
\rc
{\bf On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle : $y'+2xy=1$.}
\ques1
De quel type d'\'equation diff\'erentielle s'agit-il ?
\rrc
On d\'esigne d\'esormais par $f$ l'une de ses solutions sur $\R$,
{\bf que l'on ne cherchera pas \`a exprimer pour l'instant.}
\dques2
Prouver que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R$.
\sques b
Quelle est la valeur de $f'(0)$ ?
\ques3
Montrer que :
$\forall n\in\N,\ \forall x\in\R,\ f^{(n+2)}(x)=
-2xf^{(n+1)}(x)-2(n+1)f^{(n)}(x)$.
\dques4
Montrer que $f$ admet en $0$ un d\'eveloppement limit\'e \`a tout ordre $p$
($p$ entier naturel).
\'Ecrivons un tel d\'eveloppement limit\'e au moyen d'une suite de r\'eels
$(a_n)_{n\in\N}$:
$$f(x)=\sum_{k=0}^pa_kx^k+o(x^p).$$
\sques b
\`A l'aide du r\'esultat de la question 3, montrer que :
$\forall k\in\N,\ a_{2k+1}={(-4)^k\cdot k!\over(2k+1)!}\cdot$.
\sques c
Obtenir \'egalement l'expression des termes $a_{2k}$ \`a l'aide de $f(0)$
($k$ entier naturel).
\part B
\rc
{\bf On consid\`ere la fonction de la variable r\'eelle
$ D:x\mapsto D(x)=e^{-x^2}\int_0^xe^{t^2}dt$.}
\ques1
Justifier le fait que $D$ est une fonction de classe $C^1$ sur $\R$,
et v\'erifier que $D$ est une solution sur $\R$ de l'\'equation diff\'erentielle :
$y'+2xy=1$.
\ques2
Etudier la parit\'e de $D$.
\ques3
Prouver\footnote{$^1$}{L'\'enonc\'e d'origine demandait de prouver que
$\forall x\in\R,\ xe^{-x^2}\le D(x)\le x$, ce qui est faux.}
que :
$\forall x\in\R^+,\ xe^{-x^2}\le D(x)\le x$.
\dques4
Prouver que :
$\forall x\in\RPE,\ \int_1^xe^{t^2}dt=
{e^{x^2}\over2x}+{e^{x^2}\over4x^3}-{3e\over4}+{3\over4}\int_1^x
{e^{t^2}\over t^4}dt$.
\sques b
Soit la fonction
$ h:t\mapsto{e^{t^2}\over t^2}\cdot$
Montrer que $h$ est croissante sur
$\left[1,+\infty\right[$.
En d\'eduire que :
$$\forall x\in\left[1,+\infty\right[,\ \int_1^x{e^{t^2}\over t^4}dt\le
h(x)\int_1^x{1\over t^2}dt,$$
et qu'au voisinage de $+\infty$ :
$\int_1^xe^{t^2}dt\sim{e^{x^2}\over2x\cdot}$
\rrc
En d\'eduire enfin un \'equivalent de $D(x)$ au voisinage de $+\infty$.
\dques5
Prouver que $D$ admet un maximum, atteint en un point $b$ de $\RPE$.
\sques b
Montrer que ce maximum est \'egal \`a
${1\over2b}\cdot$
\sques c
En d\'eduire l'unicit\'e du point o\`u le maximum est atteint.
\part C
\ques1
D\'eterminer \`a l'aide de $D$ l'ensemble des fonctions solutions sur
$\R$ de l'\'equation diff\'erentielle :
$y'+2xy=1$.
\ques2
Montrer l'existence d'une unique solution impaire.
\bye


