\magnification=1200
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\parindent=0cm
\let\oldsum=\sum\def\sum{\mathop{\textstyle\oldsum}\limits}
\let\oldmax=\max\def\max{\mathop{\oldmax}\limits}

\centerline{\bf Centrale PC* math I 1997}

\vskip 0,25cm 
\centerline{\underbar{Titre}~: {\sl Etude de la solution p\'eriodique d'une ED
lin\'eaire du premier ordre}}
\vskip 1cm
\line{\hrulefill}
\vskip 0,5cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\bf Partie I - G\'en\'eralit\'es}

\vskip 0,5cm {\bf I.A.1)} $\psi$ est lipschitzienne de $]a,b[$ dans $\bf C$ :
$|U_p-U_q|\le k(b-a)\left|{1\over p+1}-{1\over q+1}\right|$

$(U_n)$ est de Cauchy donc convergente. De m\^eme pour $(V_n)$.

\vskip 0,25cm {\bf I.A.2)} Pour $x\in]a,b[$ quelconque : $\left|\psi(x)-
\psi(a+{b-a\over n+1})\right|\le k\left|x-(a+{b-a\over n+1})\right|$,

d'o\`u par passage \`a la limite : $|\psi(x)-U|\le k|x-a|$ soit
$|\psi_0(x)-\psi_0(a)|\le k|x-a|$. 

De m\^eme $|\psi_0(b)-\psi_0(x)|\le k|b-x|$ et finalement $\psi_0$ est
lipschitzienne sur $[a,b]$.

\vskip 0,25cm {\bf I.A.3)} $\psi_0$ est lipschitzienne sur $[a,b]$ donc
continue sur $[a,b]$ : c'est un prolongement continu de $\psi$ sur $[a,b]$.

\vskip 0,5cm {\bf I.B.1)} $\psi$ est d\'erivable sur ${\cal C}_f$ comme $\varphi$
et 

$\forall x\in{\cal C}_f\ {d\over dx}\Bigl[\psi(x)-\int_0^xe^{A(t)}f(t)dt\Bigr]
= e^{A(x)}[\varphi'(x)+p(x)\varphi(x)]-e^{A(x)}f(x)=0$

La fonction $x\rightarrow \psi(x)-\int_0^xe^{A(t)}f(t)dt$ est donc
constante par morceaux au dessus de ${\cal C}_f$.

\vskip 0,25cm {\bf I.B.2)} Posons $g(x)=\psi(x)-\int_0^xe^{A(t)}f(t)dt$.

On obtient $\varphi(x)= e^{-A(x)}g(x)+ e^{-A(x)}\int_0^xe^{A(t)}f(t)dt$ qui
apparait bien de classe $C^1$ par morceaux.

C'est d'ailleurs la forme g\'en\'erale des solutions de $E_f$ pourvu que $g$ soit
constante par morceaux au dessus de ${\cal C}_f$.

\vskip 0,5cm {\bf I.C} $\varphi$ est contnue sur $\bf R$ si et seulement si
$g$ est continue sur $\bf R$ et donc constante. 

La condition $\varphi(0)(=g(0))=\alpha$ impose alors l'unicit\'e de $\varphi$
d\'efinie par :
$$\forall x\in{\bf R}\ \varphi(x)= \alpha e^{-A(x)}+
e^{-A(x)}\int_0^xe^{A(t)}f(t)dt$$

\vskip 0,5cm {\bf I.D} On a \underbar{dans cette question} $A(x)=px$
et donc $\varphi(x)=
\alpha e^{-px}+ e^{-px}\int_0^xe^{pt}f(t)dt$

Si $f$ est DSE alors $\varphi$ apparait elle aussi DSE comme somme de produits
de fonctions DSE. 

Les rayons de convergence des deux s\'eries enti\`eres relatives
\`a $f$ et $\varphi$ sont de plus identiques, en effet les op\'erations alg\'ebriques
(produit ou somme par une s\'erie exponentielle de RCV $=+\infty$, resp.
int\'egration) intervenant sur la s\'erie enti\`ere d\'efinissant $f$ ne modifient pas le
RCV de cette s\'erie.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip 1cm
\centerline{\bf Partie II - P\'eriodicit\'e}

\vskip 0,5cm {\bf II.A.1)} Si $\varphi$ est $2\pi$-p\'eriodique, alors
$\varphi(2\pi)=\varphi(0)$.

R\'eciproquement, si $\varphi(2\pi)=\varphi(0)$ alors
$\psi(t)=\varphi(t+2\pi)-\varphi(t)$ est solution continue de $E_0$ car $f$ et
$p$ sont suppos\'es $2\pi$-p\'eriodiques et de plus $\psi(0)=0$. D'apr\`es l'unicit\'e
d\'emontr\'ee au {\bf I.C} on a donc $\psi=0$, ie. $\varphi$ $2\pi$-p\'eriodique.

\vskip 0,25cm {\bf II.A.2)} Avec $\varphi(0)=\alpha$, on obtient :
$$\varphi(2\pi)=\varphi(0)\Longleftrightarrow
\alpha={\int_0^{2\pi}e^{A(t)}f(t)dt\over e^{A(2\pi)}-1}$$
ce qui d\'efinit $\varphi$ de mani\`ere unique car $A(2\pi)=\int_0^{2\pi}p(t)dt\ne0$.

\vskip 0,5cm {\bf II.B} \underbar{Dans cette question} :
$\varphi(x)=\cases{\alpha e^{-x}+e^{-x}\int_0^xe^tdt=1+(\alpha-1)e^{-x} &pour
$0\le x\le \pi$\cr
\alpha e^{-x}+e^{-x}\int_0^{\pi}e^tdt=(\alpha+e^{\pi}-1)e^{-x} &pour
$\pi\le x\le 2\pi$\cr}$

De plus $\varphi(2\pi)=\varphi(0)\Longleftrightarrow \alpha={1\over e^{\pi}+1}$.

Finalement : $\tilde f(x)=\cases{1-{e^{\pi-x}\over e^{\pi}+1} &pour
$0\le x\le \pi$\cr
{e^{2\pi-x}\over e^{\pi}+1} &pour $\pi\le x\le 2\pi$\cr}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip 1cm
\centerline{\bf Partie III - D\'eveloppement en s\'erie de Fourier}

\vskip 0,5cm {\bf III.A.1)} Le r\'esultat est assur\'e d'apr\`es le th\'eor\`eme de
Dirichlet car $f$ est continue par morceaux et $C^1$ par morceaux.

\vskip 0,25cm {\bf III.A.2)} On a d'apr\`es la formule de Parseval :
$|c_0|^2+\sum\limits_{n\ge 1}(|c_n|^2+|c_{-n}|^2)={1\over
2\pi}\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt$ 

d'o\`u la convergence des deux s\'eries $\sum|c_n|^2$
et $\sum|c_{-n}|^2$.

\vskip 0,25cm {\bf III.A.3)} Il suffit de montrer que la s\'erie
$\sum\left|{c_n\over n}\right|$ est convergente, 

ce qui est assur\'e car :
$\left|{c_n\over n}\right|\le {1\over 2}\Bigl(|c_n|^2+{1\over n^2}\Bigr)$.

\vskip 0,5cm {\bf III.B} On sait d\'ej\`a d'apr\`es le {\bf I.B.2)} que $\tilde f$est
$C^1$ par morceaux (au dessus de ${\cal C}_f$). 

On a de plus $\forall x\in{\cal
C}_f\ \tilde f'(x)=-\tilde f(x)+f(x)$ qui apparait bien comme $C^1$ par
morceaux car $f$ l'est aussi.

Une int\'egration par parties donne imm\'ediatement le r\'esultat bien connu :

\centerline{$c_n(\tilde f')=inc_n(\tilde f)= in\alpha_n$}

\vskip 0,5cm {\bf III.C} \underbar{Dans cette question} : $\alpha_n={c_n\over
1+in}$.

\vskip 0,25cm {\bf III.C.1)} $ik\alpha_k=c_k-\alpha_k\Longrightarrow
\sum\limits_{k=-n}^nik\alpha_ke_k= \sum\limits_{k=-n}^nc_ke_k-
\sum\limits_{k=-n}^n\alpha_ke_k$

Or $|\alpha_n|={|c_n|\over\sqrt{1+n^2}}\mathop{\sim}\limits_{+\infty}
\left|{c_n\over n}\right|$ et donc, d'apr\`es le {\bf III.A.3)} les s\'eries
$\sum\alpha_n$ et $\sum\alpha_{-n}$ sont absolument convergentes. Les s\'eries
$\sum\alpha_ne_n$ et $\sum\alpha_{-n}e_{-n}$ sont donc normalement convergentes
sur $\bf R$ et finalement la suite de terme g\'en\'eral
$\sum\limits_{k=-n}^n\alpha_ke_k$ est uniform\'ement convergente sur $\bf
R$.

On a admis de plus que la s\'erie de Fourier de $f$ converge uniform\'ement sur
toute segment inclus dans ${\cal C}_f$, on en d\'eduit le r\'esultat pour
$\sum\limits_{k=-n}^nik\alpha_ke_k$.

\vskip 0,25cm {\bf III.C.2)} La fonction limite
$\varphi=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \sum\limits_{k=-n}^n\alpha_ke_k$ est
$2\pi$-p\'eriodique et continue sur $\bf R$ du fait de la convergence uniforme
sur $\bf R$.

De plus$\Bigl(\sum\limits_{k=-n}^n\alpha_ke_k\Bigr)'= \sum\limits_{k=-n}^nik\alpha_ke_k$ est
uniform\'ement convergente sur tout segment inclus dans ${\cal C}_f$, donc
$\varphi$ est $C^1$ sur ${\cal C}_f$ avec :

$\forall x\in{\cal C}_f\
\varphi'(x)+\varphi(x)=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}
\sum\limits_{k=-n}^n(\alpha_k+ik\alpha_k)e_k=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}
\sum\limits_{k=-n}^nc_ke_k=f(x)$

Donc $\varphi$ est solution $2\pi$-p\'eriodique et continue de $E_f$. On en
d\'eduit d'apr\`es l'unicit\'e d'une telle solution : $\varphi=\tilde f$.

$\tilde f$ apparait ainsi comme la somme d'une s\'erie trigonom\'etrique
normalement convergente sur $\bf R$ : c'est alors la s\'erie de Fourier de sa
somme.

On a finalement obtenu le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $\tilde f$ avec
$c_n(\tilde f)=\alpha_n={c_n(f)\over 1+in}$.

\vskip 0,5cm {\bf III.D} \underbar{Dans cette question} $(\alpha_n)$ est une
suite r\'eelle d\'ecroissante et convergente vers $0$ et $\varphi_n(x)=\sin
(2n+1)x$.

\vskip 0,25cm {\bf III.D.1)} $\sum\limits_{k=0}^n\varphi_k(x)= \Im\Bigl(
\sum\limits_{k=0}^ne^{(2k+1)ix}\Bigr)=\Im\Bigl(e^{ix}\bigl({e^{2(n+1)ix}-1\over
e^{2ix}-1}\bigr)\Bigr)=\Im\Bigl(e^{(n+1)ix}{\sin(n+1)x\over\sin
x}\Bigr)={\sin^2(n+1)x\over\sin x}$

donc $\Bigl|\sum\limits_{k=0}^n\varphi_k(x)\Bigr|\le {1\over
\sin\beta}$ pour $x\in[\beta,\pi-\beta]$.

\vskip 0,25cm {\bf III.D.2)}
$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\alpha_k-\alpha_{k+1})\Phi_k+\alpha_n\Phi_n=
\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\Phi_k- \sum\limits_{k=0}^{n-1}\alpha_{k+1}\Phi_k=
\sum\limits_{k=1}^n\alpha_k(\Phi_k-\Phi_{k-1})+\alpha_0\Phi_0=
\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\varphi_k$ (c'est la transformation d'Abel).

\vskip 0,25cm {\bf III.D.3)} $\bigl|(\alpha_k-\alpha_{k+1})\Phi_k(x)\bigr|\le
{\alpha_k-\alpha_{k+1}\over \sin\beta}$ pour tout $x\in I_{\beta}$ et la s\'erie
t\'elescopique $\sum{\alpha_k-\alpha_{k+1}\over \sin\beta}$ est convergente car
$(\alpha_n)$ converge vers $0$, donc la s\'erie $\sum
(\alpha_n-\alpha_{n+1})\Phi_n$ est normalement convergente et par suite
uniform\'ement convergente sur $I_{\beta}$.

D'autre part $\bigl|\alpha_n\Phi_n(x)\bigr|\le{|\alpha_n|\over \sin\beta}
\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\rightarrow +\infty}0$ donc la suite
$(\alpha_n\Phi_n)$ est uniform\'ement convergente vers $0$ sur $I_{\beta}$.

La s\'erie $\sum \alpha_n\varphi_n$ est finalement elle aussi uniform\'ement 
convergente sur $I_{\beta}$.

\vskip 0,5cm {\bf III.E} \underbar{Dans cette question} $f$ est la fonction du
{\bf II.B}

\vskip 0,25cm {\bf III.E.1)} $c_n(f)={1\over2\pi}\int_0^\pi e^{-inx}dx$ donc
$c_0(f)={1\over2}$ et $\forall n\in{\bf Z}^*\ c_n(f)={1-(-1)^n\over 2in\pi}$

d'o\`u $S_n(f)= {1\over2}+{1\over2i\pi}\sum\limits_{k=1}^n
\bigl(1-(-1)^k\bigr){e^{ikx}-e^{-ikx}\over k}= {1\over2}+{1\over\pi}\sum\limits_{k=1}^n
\bigl(1-(-1)^k\bigr){\sin kx\over k}$

La s\'erie de Fourier de $f$ converge simplement vers $f$ sur $\bf R$ tout entier
car $f$ est une fonction de Dirichlet \'egale en chaque point \`a la demi somme de
ses limites \`a gauche et \`a droite : 
$$\forall x\in{\bf R}\ f(x)= {1\over2}+{2\over\pi}\sum\limits_{k=1}^{+\infty}
{\sin (2k+1)x\over 2k+1}$$
et la convergence de cette derni\`ere s\'erie est uniforme sur tout segment inclus
dans $]0,\pi[$ d'apr\`es le {\bf III.D.3)} Le r\'esultat s'\'etend \`a tout segment
inclus dans ${\cal C}_f$ par imparit\'e et $2\pi$-p\'eriodicit\'e de la s\'erie.

Par contre la convergence ne peut pas \^etre uniforme sur $\bf R$ tout entier car
$f$ n'est pas continue.

\vskip 0,25cm {\bf III.E.2)} On a d\'ej\`a vu au {\bf II.C} que le d\'eveloppement en
s\'erie de Fourier de $\tilde f$ est donn\'e par : 

$\tilde f=\alpha_0+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(\alpha_ne_n+\alpha_{-n}e_{-n})$ avec
$\alpha_n={c_n\over 1+in}=\cases{{1\over 2}&pour $n=0$\cr
{1-(-1)^n\over 2in\pi(1+in)}&pour $n\ne 0$\cr}$

d'o\`u $\forall x\in{\bf R}\ \tilde
f(x)={1\over2}+{1\over2i\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}
\bigl(1-(-1)^n\bigr)\Bigl[{e^{inx}\over n(1+in)}-{e^{-inx}\over n(1-in)}\Bigr]
={1\over2}+{1\over\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1-(-1)^n\over
n(n^2+1)}[\sin nx-n\cos nx]$

Soit encore : 
$$\tilde f(x)={1\over2}+{2\over\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\sin
(2n+1)x-(2n+1)\cos (2n+1)x\over (2n+1)\bigl((2n+1)^2+1\bigr)}$$

\vskip 0,5cm {\bf III.F} Pour \'eviter des calculs un peu p\'enibles cherchons le
d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $\tilde f'$ qui v\'erifie : 
$\tilde f''(x)+\tilde f'(x)=\cases{{1\over \pi}&pour $x\in]0,\pi[$\cr
-{1\over \pi}&pour $x\in]\pi,2\pi[$\cr}$

${\pi\tilde f'+1\over 2}$ est alors solution du probl\`eme pr\'ec\'edent ({\bf
III.E}) et donc :

$\forall x\in{\bf R}\ {\pi\tilde f'(x)+1\over 2}={1\over2}+
{2\over\pi}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\sin (2n+1)x-(2n+1)\cos (2n+1)x\over
(2n+1)\bigl((2n+1)^2+1\bigr)}$

\hfill$\Longleftrightarrow
\tilde f'(x)= {4\over\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\sin (2n+1)x-(2n+1)\cos
(2n+1)x\over (2n+1)\bigl((2n+1)^2+1\bigr)}$

D'o\`u, par int\'egration par parties terme \`a terme de la s\'erie (uniform\'ement
convergente sur $\bf R$) :

\centerline{$\tilde f(x)= C-{4\over\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(2n+1)\sin
(2n+1)x+\cos (2n+1)x\over (2n+1)^2\bigl((2n+1)^2+1\bigr)}$}

et le r\'esultat obtenu est bien le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $\tilde
f$ toujours du fait de la convergence uniforme de cette s\'erie.

On a de plus $C=c_0(\tilde f)=\alpha_0=c_0(f)={1\over 2\pi}
\Bigl[\int_0^\pi{xdx\over\pi}+\int_\pi^{2\pi}{(2\pi-x)dx\over
\pi}\Bigr]={1\over 2}$

Finalement :
$$\tilde f(x)={1\over 2}-{4\over\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{(2n+1)\sin
(2n+1)x+\cos (2n+1)x\over (2n+1)^2\bigl((2n+1)^2+1\bigr)}$$

\vskip 1cm
\line{\hrulefill}
\vskip 0,5cm
\centerline{\bf -- FIN --}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill\eject
\centerline{\bf Centrale PC* math I 1997}

\vskip 0,25cm 
\centerline{\underbar{Titre}~: {\sl Etude de la solution p\'eriodique d'une ED
lin\'eaire du premier ordre}}
\vskip 1cm
\line{\hrulefill}
\vskip 0,5cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\bf Remarques}
\vskip 0,5cm

{\parindent=1cm
\item{$\bullet$}Le {\bf I.A} et le {\bf I.B} ne servent \`a rien (?)
\item{$\bullet$}La question {\bf I.B.1)} est tr\`es mal pos\'ee puisque
\underbar{les} valeurs de cette fonction constante par morceaux paraissent
difficiles \`a obtenir dans le cas g\'en\'eral, mais je n'ai peut-\^etre rien compris \`a
cette question$\ldots$
\item{$\bullet$}Dans le {\bf III.C} et le {\bf III.D} on red\'efinit $\alpha_n$
alors que ce coefficient avait auparavant explicitement \'et\'e d\'esign\'e comme le
coefficient de Fourier de $\tilde f$, ce qui a du en troubler plus d'un.
\item{$\bullet$}Ce probl\`eme est un peu en forme de jeu de piste et n\'ecessite
pas mal de recul pour saisir l'encha\^\i nement des questions.
\item{$\bullet$}Pour une une fois on ne trouve pas trop de calculs dans un
probl\`eme de Centrale.
\par}



\end
