% Corrig\'e de Cent.97 PC math 2.


\input psfig.sty
\magnification\magstep1
\parindent = 0mm
\catcode`\@=11
\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut\hfil$##$&$##$\hfil&&\enspace$##$\enspace&
\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}
\catcode`\@=12


\centerline {\bf Corrig\'e de Centrale 97 PC Math 2.}
\bigskip
{\bf I.A-} Application du th. de Pythagore.

\medskip
{\bf I.B-} Programme simple avec un test sur la partie d\'ecimale de 
$(2a^2+2a+1)^{1/2}$. Par exemple avec le langage Maple:
{\parindent=5mm
\item {[}
$>$ TRPI:= proc(n): a:=0: p:=0: while p$<$n+1 do c:=sqrt(2*a$\wedge$2 + 2*a +1)
: if frac(c)=0 then p:=p+1 fi: a:=a+1 od: [a-1,c]; end: \par}

\medskip
{\bf I.C-} Mise en oeuvre du programme pr\'ec\'edent 

\hskip 1cm TRPI(2); \hskip 5mm qui donne $a_2=20$, $c_2=29$, 

\hskip 1cm TRPI(3); \hskip 5mm qui donne $a_3=119$, $c_3=169$.

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{\bf II.A-} L'\'enonc\'e comporte une erreur : il faut lire "$n\ =\ 1,\ 2$" non 
pas "$n\ =\ 1,\ 2,\ 3$".  Les termes $c_0, c_1, c_2, c_3$ v\'erifient une 
relation du type $(R2)$ si et seulement si on peut trouver $\beta$ et 
$\lambda$ solutions du syst\`eme:
$$\system{
29 &+&5 &\beta &+&&\lambda&=&0\cr
169&+&29&\beta &+& 5&\lambda&=&0\cr
}$$
On obtient comme seule solution $\beta\ =\ -6, \lambda\ =\ 1$.
 Ce qui donne 

\centerline{$(R2)\ \ c_{n+1}-6c_n+c_{n-1}\ =\ 0$.}

On v\'erifie par r\'ecurrence que pour tout $n$, $v_n\in {\bf N}$, et que $(v_n)$
est strictement croissante.

 Le calcul des termes d'une suite d\'efinie par une r\'ecurrence lin\'eaire donne

\centerline{$\displaystyle v_n\ =\ {{2+\sqrt 2}\over 4} (3+2\sqrt 2)^n+
{{2-\sqrt 2}
\over 4} (3-2\sqrt 2 )^n$.}

\medskip
{\bf II.B-} La valeur $n=3$ est toujours \`a exclure. On calcule $b$ \`a partir 
de $n=1$  soit $b=2$ et on v\'erifie (R3) pour $n=2$.

On v\'erifie que $(w_n)$ satisfait la relation de r\'ecurrence (R2) d'o\`u 
en tenant compte des valeurs initiales les expressions de 
$w_n, u_n$:

\centerline{$\displaystyle u_n=w_n- {1\over 2} =
 {{1+\sqrt 2}\over 4} (3+2\sqrt 2)^n+{{1-\sqrt 2}\over 4} 
(3-2\sqrt 2)^n-{1\over 2}$.}

\medskip
{\bf II.C-} En posant $r\ =\ 1+\sqrt 2$, $r^2\ =\ 3+2\sqrt2$ et $r^{-1}\ =\ 
\sqrt 2-1$. On peut alors \'ecrire  

$\displaystyle u_n\ =\  {r^{2n+1}-r^{-2n-1}-2\over 4}$ et
$\displaystyle v_n \ =\ {\sqrt 2\over 4} (r^{2n+1}+r^{-2n-1})$.
On v\'erifie alors la relation (R1).

\bigskip
{\bf III.A-} On justifie que $(u_n)$ et $(v_n)$  v\'erifient (S) \`a partir des 
valeurs des termes de ces suites, ou \`a partir des relations (R2) et (R3) en 
raisonnant par r\'ecurrence:

On v\'erifie (S) pour $n=1$, si (S) est v\'erifi\'e pour l'entier $n$ on a alors

$u_{n+2} = 6 u_{n+1} - u_n + 2 = 6 (3u_n + 2v_n + 1) - u_n + 2
= 17 u_n + 12v_n + 8$

$3u_{n+1} + 2v_{n+1} +1 = 9u_n +6v_n + 3 + 8u_n + 6v_n +4 + 1 =
17 u_n + 12v_n + 8 = u_{n+2}$.

De m\^eme $v_{n+2} = 4 u_{n+1} + 3v_{n+1} + 2$.

\medskip 
Le syst\`eme (S) s'\'ecrit $X_{n+1} = \pmatrix{3&2\cr 4&3\cr} X_n +
\pmatrix{1\cr2\cr}$.

\medskip
{\bf III.B-} $A-I = \pmatrix{2&2\cr 4&2\cr}$ est inversible d'inverse
$\displaystyle -{1\over 4}\pmatrix{ 2&-2\cr -4&2\cr}$.

\medskip
On a imm\'ediatement $(A-I)S_n = A^n - I$ d'o\`u $S_n = (A-I)^{-1}(A^n -I)$.

\medskip
On v\'erifie par r\'ecurrence $X_n = A^nX_0 + S_nB$.

\medskip
{\bf III.C-} Le polyn\^ome caract\'eristique de $A$ est 
$(3 - \lambda)^2 - 8$. Ses racines sont $p = 3 + 2\sqrt 2$ et $q = 
3-2\sqrt 2$; $A$ ayant des valeurs propres distinctes est diagonalisable. 
Une base de vecteurs propres pour $A$ est $\pmatrix{1\cr\sqrt 2\cr},
\pmatrix{1\cr -\sqrt 2\cr}$. On a donc 
$A^n = P\pmatrix{p^n&0\cr0&q^n\cr}P^{-1}$ 
avec $P =\pmatrix{1&1\cr\sqrt 2&-\sqrt 2\cr}$; d'o\`u

\centerline {$A^n = \displaystyle -{1\over 2\sqrt 2} \pmatrix{
-\sqrt 2 (p^n + q^n)& q^n - p^n\cr
2(q^n - p^n)& -\sqrt 2 (p^n + q^n)\cr}$.}

\medskip
Avec $X_n = A^n \pmatrix{0\cr 1\cr} + (A-I)^{-1} (A^n - I) 
\pmatrix{1\cr 2\cr}$, il vient:

\smallskip\centerline{
$X_n = \displaystyle {1\over 4}\pmatrix{
(1+\sqrt 2)p^n + (1-\sqrt 2)q^n -2\cr
(2+\sqrt 2)p^n + (2-\sqrt 2)q^n\cr}$.}

\smallskip On retrouve bien les $u_n$ et $v_n$ calcul\'es en II.

\bigskip
{\bf IV.A-} Imm\'ediat. C'est la traduction g\'eom\'etrique de la question I.A-.

\medskip
{\bf IV.B-} $C$ est une hyperbole dont les axes sont les droites d'\'equation
$x=\displaystyle -{1\over 2}$ et $y=0$ et dont un sommet est le point 
$\displaystyle(-{1\over 2}, {{\sqrt3}\over 2})$.

\medskip
{\bf IV.C-} $\varphi$ est bijective car la matrice 
$\pmatrix{3&2\cr 4&3\cr}$
est inversible. L'application $\varphi^{-1}$ associe au point $M'(x',y')$, le
point $M(x,y)$ d\'efini par $x\ =\ 3x'-2y'+1$ et $y\ =\ -4x'+3y'-2$.

\medskip
{\bf IV.D-}
On v\'erifie $\varphi (C)\subset C$. $\varphi$ bijection affine transforme une 
conique en une conique d'o\`u $\varphi(C)=C$ (ou v\'erification directe de
$\varphi^{-1}(C) \subset C$).

Il s'agit de prouver que $\varphi$ conserve chacune des branches de 
l'hyperbole, en particulier que sur $C_1$ la quantit\'e $4x+3y+2$ reste 
positive, c'est-\`a-dire que $C_1$
est au dessus de la droite d'\'equation
$4x + 3y + 2 = 0$. Cela d\'ecoule de la repr\'esentation graphique de $C$ et 
de cette droite.

\medskip
{\bf IV.E-} Imm\'ediat.

\medskip
{\bf IV.F-} Les suites $(u_n), (v_n)$ sont strictement
croissantes et positives; les 
relations (S) prouvent $\varphi(M_n)\ =\ M_{n+1}$ et 
$\varphi(M_{n+1})\ =\ M_{n+2}$ et les in\'egalit\'es $u_n\leq x\leq u_{n+1}$  
et $v_n\leq y\leq v_{n+1}$ donnent $u_{n+1}\leq x'\leq u_{n+2}$ et  
$v_{n+1}\leq y'\leq v_{n+2}$. On conclut 
$\varphi([M_n,M_{n+1}])\ \subset\ [M_{n+1},M_{n+2}]$.

\medskip
{\bf IV.G-} L'ensemble cherch\'e est form\'e des points de $C_1$ situ\'es au dessus de 
la droite d'\'equa\-tion $3x+2y+1=0$. Ce sont les points de $C_1$ d'abscisse 
sup\'erieure \`a -1 (voir graphe).
Soit $n$ dans ${\bf N}$ et $P\in  ]M_{n+1},M_{n+2}[$. $P$ est l'image par 
$\varphi$ de $M\in C_1$, l'abscisse $x$ de $M$ \'etant sup\'erieure \`a -1. Si $x$ 
est positif, $x$ appartient \`a un unique $]u_k,u_{k+1}[$ , $M$ est dans 
$]M_k,M_{k+1}[$ et 
d'apr\`es IV.F $k=n$. Si $-1 \leq x\leq 0$, l'ordonn\'ee $y$ de $M$ v\'erifie
${3\over 4}\leq y\leq 1$ et l'abscisse de $P$ est inf\'erieure \`a $3$ ce qui
est contraire au choix de $P$.

\medskip
{\bf IV.H-} On consid\`ere $a$ et $c$ d\'efinissant un TRPI.  Le point $P(a,c)$
 est un point \`a coordonn\'ees enti\`eres positives de $C_1$ . $P$ est dans un 
$[M_n,M_{n+1}]$ et $\varphi^{-n}(P)$ appartient \`a $[M_0,M_1]$ et est \`a 
coordonn\'ees enti\`eres. Les seuls points \`a coordonn\'ees enti\`eres de $[M_0,M_1]$ 
sont $M_0,M_1$ est donc $P\ =\ M_n$ ou $ M_{n+1}$.

\bigskip
{\bf V.A-} Transformation simple de la relation (R1).

\medskip
{\bf V.B-} Il s'agit de prouver 
$2a_n + 1 + c_n \sqrt 2 = (1 + \sqrt 2)^{2n+1}$. C'est imm\'ediat par 
r\'ecurrence \`a partir des relations (S) de III.A.1. Mais \'etait-ce le sens
de la question?

\vfil\eject
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