\parindent=0mm
\input psfig.sty
\setbox1=\hbox{\psfig{file=M97CS1Fa.eps,height=3cm}}
\setbox2=\hbox{\psfig{file=M97CS1Fb.eps,height=5cm}}

%***** Les fontes et les caract{\`e}res particuliers *****

\font\caml=cmtex10

\font\twelvern = cmbxsl10 at 12 pt
\font\itaten = cmti10
\font\quinze = cmbxsl10 at 15 pt

\font\tit=eufm10 at 25pt
\font\stit=eufm10 at 12pt

\def\rmat{{\bf R}}
\def\qmat{{\bf Q}}
\def\cmat{{\bf C}}
\def\nmat{{\bf N}}
\def\zmat{{\bf Z}}
\def\kmat{{\bf K}}

\font\mp=cmbsy10
\def\PP{\hbox{\mp P}}
\def\RR{\hbox{\mp R}}
\def\EE{\hbox{\mp E}}
\def\BB{\hbox{\mp B}}
\def\LL{\hbox{\mp L}}
\def\MM{\hbox{\mp M}}
\def\mm{\hbox{\mp M}}
\def\SS{\hbox{\mp S}}
\def\FF{\hbox{\mp F}}

\newfam\bbfam
\font\tenbb=cmbx10 
\textfont\bbfam=\tenbb \scriptfont\bbfam=\tenbb
\def\bb{\fam\bbfam\tenbb}

\def\R{\hbox{\bb R}}
\def\Z{\hbox{\bb Z}}
\def\Q{\hbox{\bb Q}}
\def\K{\hbox{\bb K}}
\def\C{\hbox{\bb C}}
\def\N{\hbox{\bb N}}

\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}

\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits}



%***** a10 Le format et les accents *****


%font black board de AMS

\catcode`\@=11

\hsize=150 true mm       \vsize=245 true mm
\hoffset=3.5mm       \voffset=-10mm
\pretolerance=500  \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string?}

\frenchspacing

\catcode`\@=12

%\catcode`\{\'e}=\active\def{\'e}{\'e} 
%\catcode`\{\c c}=\active\def{\c c}{\c c} 
%\catcode`\{\`e}=\active\def{\`e}{\`e} 
%\catcode`\{\`a}=\active\def{\`a}{\`a} 
%\catcode`\{\`u}=\active\def{\`u}{\`u}
%\catcode`\{\^a}=\active\def{\^a}{\^a}        % option i, then  a
%\catcode`\{\^e}=\active\def{\^e}{\^e}        % option i, then  e
%\catcode`\{\^\i}=\active\def{\^\i}{\^\i}       % option i, then  i
%\catcode`\{\^o}=\active\def{\^o}{\^o}        % option i, then  o
%\catcode`\{\^u}=\active\def{\^u}{\^u}        % option i, then  u
%\catcode`\{\"\i}=\active\def{\"\i}{\"\i}       %
%\catcode`\{\"e}=\active\def{\"e}{\"e}


%***** am20 Abr{\'e}viations et compteur *****

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt
width 0pt}

\let\vect=\overrightarrow
\let\ds=\displaystyle
\let\ep=\varepsilon
\let\ssi=\Longleftrightarrow

\def\resetcountCX{\count110=0}
\def\incrementeCX{\global\advance\count110 by 1}
\def\resetcountCC{\count112=0}
\def\incrementeCC{\global\advance\count112 by
1\resetcountCX} 
\resetcountCC
\def\chap{\number\count112}
\def\exo{\number\count110}
\def\itemitemitem{\par\indent\indent
\hangindent=3\parindent \textindent}



\def\LAcancel#1#2{\ooalign{$\hfil#1\mkern0mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
\def\not#1{\mathrel{\mathpalette\LAcancel#1}}

\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox
spread#1{\vfil\hbox
spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}

\def\mpth#1{\vtop{\hrule\hbox{\vrule\vbox
spread 3pt{\vfil\hbox
spread 3pt{\hfil{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox
spread 15pt{\vfil\hbox
spread
15pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}\hfil}\vfil}\vrule}
\hrule}}

\def\bboxit#1#2#3{\hbox{\vrule \hskip#1\vrule\vbox
spread#2{\vfil
 \hbox spread#2{\hfil #3\hfil}\vfil}}}

\def\mpdef#1{\vtop{\hbox{\vrule \hskip
2pt\vrule\vbox spread 6pt{\vfil
 \hbox spread 15pt{\hfil #1\hfil}\vfil}}}}

\def\mpntend{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
n\rightarrow +\infty}}}

\def\mpxtend{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
x\rightarrow +\infty}}}

\def\mptend#1#2{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
#1\rightarrow #2}}}

\def\tsvp{
\def\page{Tournez S.V.P.}
\footline={\ifodd\pageno
{\hfil\tenrm\folio\hfil\tenrm
\page}\else {\hfil\tenrm\folio\hfil}\fi}}

\def\mpchap#1{\goodbreak\vskip
2cm\incrementeCC\centerline{\bf
\chap.--- #1:}\par\nobreak\vskip 5mm}

\def\mpexo{\vskip 6mm
\incrementeCX \ifnum\exo>1 \filbreak \fi{\bf
exercice
\chap.\exo : }\nobreak\par\vskip 2mm}

\def\mppar#1{\vskip 6mm
\incrementeCX \ifnum\exo>1 \filbreak \fi{\bf 
\chap.\exo. -- #1 :}\nobreak\par\vskip 2mm}


%***** Verbatim *****

\chardef\other=12%
\def\deactivate{%
			\catcode`\\=\other    \catcode`\{=\other
   \catcode`\}=\other    \catcode`\$=\other
   \catcode`\&=\other    \catcode`\#=\other
   \catcode`\%=\other    \catcode`\~=\other
   \catcode`\^=\other    \catcode`\_=\other
   \catcode`\:=\other
}

\def\makeactive#1{\catcode`#1=\active\ignorespaces}
{% The group delimits the text over wich ^^M is active.
    \makeactive\^^M%
    \gdef\obeywhitespace{%
    % Use \gdef so the definition survives the group.
        \makeactive\^^M %
        \let^^M=\newline %
        \aftergroup\removebox % Kill extra paragraph at end.
        \obeyspaces % sans lui on a un passage {\`a} la ligne
    }%
}

\def\newline{\par\indent}
\def\removebox{\setbox0=\lastbox}



{\catcode`\�=\active
\gdef\verbatim{%
   \begingroup\tt\deactivate\obeywhitespace%
   \catcode`�=\active
   \def �{\endgroup} }}

%***** Dessins *****

\overfullrule =0pt
\def\picture #1 by #2 (#3){
 \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{picture #3} % this is the low-level interface
    }
  }









\footline=
{\vbox{\null\vskip 12mm\hrule\vskip
6mm\line{\tenrm M.PAGES\hfil\tenrm
\folio\hfil\tenrm
Centrale 97 PSI}}}
\centerline{\quinze CENTRALE-SUPELEC  97 FILIERE PSI }
\par\vskip 20mm





\hrule\vskip 5mm
\centerline{\bf  PARTIE 1 - Pr{\'e}liminaires}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm

\par

1.A. \par
Soit $\varphi$ la fonction continue d{\'e}finie sur $\rmat$ par: $t\mapsto
\varphi(t)=\sup\{1-|t-1|,0\}$
\par
Pour $t<1$, $\varphi(t)=\sup\{t,0\}=\ds\left\{\matrix{0&{\rm si}&t\leq
0\hfill\cr t&{\rm si}&0\leq t<1\cr}\right.$\par

Pour $t\geq 1$, $\varphi(t)=\sup\{2-t,0\}=\ds\left\{\matrix{2-t&{\rm si}&1\leq t\leq
2\cr 0&{\rm si}&2<t\hfill\cr}\right.$\par
D'o{\`u} la repr{\'e}sentation graphique:


%\hskip 2cm \picture 8cm by 4cm (fig2 scaled 1000)\par
\box1\vskip 6mm
$$\int_\rmat \varphi(t)dt=\int_0^2\varphi(t)dt=1$$
\bigskip
1.B.\par 
1.B.1)  
$$g(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n\over r_n}\varphi\left({t-\lambda_n\over r_n}\right)$$
avec:\par $(a_n)_{n\geq 1}$ est une suite de nombres complexes, 
\par$(\lambda_n)_{n\geq
1}$ est une suite strictement croissante de r{\'e}els strictement positifs telle que
$\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}\lambda_n=+\infty$ 
\par et $(r_n)_{n\geq 1}$ est une suite
de r{\'e}els tels que, $\forall n\geq 1$, $0<r_n<\ds{\lambda_{n+1}-\lambda_n\over 2}$.
\bigskip
$\ds 0<\ds{t-\lambda_n\over r_n}<2\ssi
0<t-\lambda_n<2r_n\ssi\lambda_n<t<2r_n+\lambda_n<\lambda_{n+1}$. Donc, pour tout
$t\in[0,+\infty[$, un terme au plus de la s{\'e}rie est non nul, donc la s{\'e}rie converge.
$g$ est bien d{\'e}finie sur $[0,+\infty[$.\par 
De plus, pour tout $A>0$, il existe un entier $n_0$ tel que, si $n> n_0$,
$\lambda_n\geq A$.\par
 Ainsi, pour tout $t\in[0,A]$, $\ds
g(t)=\sum_{n=1}^{n_0}{a_n\over r_n}\varphi\left({t-\lambda_n\over r_n}\right)$. Donc
$g$ est continue sur $[0,A]$ (comme somme finie de fonctions continues).

\par\centerline{\mpth{$g$est d{\'e}finie et continue sur $[0,+\infty[$}} \bigskip


1.B.2) Pour tout $t\in[\lambda_p,\lambda_{p+1}]$, $g(t)=\ds {a_p\over
r_p}\varphi\left({t-\lambda_p\over r_p}\right)$. Par le changement de variable $\ds
u={t-\lambda_p\over r_p}$, on obtient:
$$\int_{\lambda_p}^{\lambda_{p+1}}g(t) dt={a_p\over
r_p}\int_{\lambda_p}^{\lambda_{p+1}}\varphi\left({t-\lambda_p\over r_p}\right)
dt=a_p\int_0^{\lambda_{p+1}-\lambda_p\over r_n}\varphi(u)du$$
Or, $\ds {\lambda_{p+1}-\lambda_p\over r_n}>2$, donc la derni{\`e}re int{\'e}grale vaut 1 et 
\par\centerline{\mpth{$\ds \int_{\lambda_p}^{\lambda_{p+1}}g(t) dt=a_p$}} \bigskip

1.C. 
Si $h$ est une fonction d{\'e}finie et continue sur $[0,+\infty[$, admettant une limite
finie $L$ en $+\infty$, alors $h$ est born{\'e}e. \par
En effet, il existe $A$ tel que, pour
$x\geq A$, $|h(x)|\leq |L|+1$. Sur $[0,A]$, $h$ est d{\'e}finie et continue donc
born{\'e}e.\par Soit $M$ un majorant de $|h|$ sur $[0,A]$ et $M_1=sup\{|L|+1,M\}$, alors,
pour tout
$x$ de
$[0,+\infty[$, $|h(x)|\leq M_1$.




\par\vskip 10mm
\hrule\vskip 5mm
\centerline{\bf  PARTIE 2 - Exemples}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm

Dans cette partie, on choisit $\lambda_n=\ln n$ pour tout $n\geq 1$.
\bigskip

2.A. On pose, $u_n(x)=a_ne^{-\ln(n)x }$
\par
2.A.a) Pour tout $n\geq 1$, $a_n=1$ donc $u_n= {1\over n^x}$. La s{\'e}rie $\sum u_n$ est
{\`a} termes r{\'e}els positifs, elle converge si et seulement si $x>1$ donc  
\par\centerline{\mpth{$\gamma=\delta=1$ et $I_A=I_B=]1,+\infty[$}} \bigskip

2.A.b) Pour tout $n\geq 1$, $a_n=(-1)^n\ds{\ln n\over n(n+1)}$ et $u_n= {\ln n\over
n^{x+1}(n+1)}$. $|u_n|\sim \ds{\ln n\over n^{x+2}}$, donc la s{\'e}rie $\sum u_n$ diverge
grossi{\`e}rement si $x\leq2$, et converge absolument si et seulement si $x>-1$ (s{\'e}rie de
Bertrand).\par
Si $x>-2$, la s{\'e}rie est {\`a} termes altern{\'e}s, la suite $(|u_n|)_{n\geq 1}$ est
d{\'e}croissante {\`a} partir d'un certain rang et converge vers 0, donc la s{\'e}rie $\sum u_n$
converge.

\par\centerline{\mpth{$\ds \gamma=-2,\ \delta=-1$ et $I_A=]-1,+\infty[,\
I_C=]-2,+\infty[$}} \bigskip

2.B. On suppose ici que $I_A$ et $I_C$ sont non vides et minor{\'e}s.
\par
2.B.1) Si $\Re(z)>\delta$, il existe $d\in I_A$ tel que $\Re(z)>d$, donc
$|u_n(z)|<|u_n(d)|$ et $\sum |u_n(z)|$ converge. 
\bigskip
2.B.2) $I_A\subset I_C$ donc $\gamma\leq\delta$.\par
Pour tout $\varepsilon>0$, il existe $c\in I_C$, $\gamma\leq c\leq
\gamma+\varepsilon$. $ u_n(c)\mpntend 0$ donc $u_n(c+1+\varepsilon=u_n(c)\ds{1\over
n^{1+\varepsilon}}=o\left({1\over
n^{1+\varepsilon}}\right)$ donc $\sum u_n(c+1+\varepsilon)$ converge absolument.
Ainsi, il existe un {\'e}l{\'e}ment $(c+1+\varepsilon)\leq(\gamma+1+2\varepsilon)$ appartenant
{\`a}
$I_A$ et donc sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $\delta$.\par Ceci prouve  que pour tout
$\varepsilon>0$,
$\delta\leq\gamma+1+2\varepsilon$ et donc $\delta\leq\gamma+1$.
\bigskip
2.B.3) Dans l'exemple de la question 2.A.a), $\gamma=\delta$.
\bigskip
2.B.4)  Dans l'exemple de la question 2.A.b), $\gamma+1=\delta$.
\bigskip
2.C. Pour $n\geq 2$, $a_n=\ds\ln\left(1+{(-1)^n\over \sqrt n}\right)$.\par
$\ds u_n(x)\sim {1\over n^x}{-1}^n\over\sqrt n$. La s{\'e}rie $\sum |u_n$ converge si et
seulement si $x=\ds{1\over 2}>1 ssi x>{1\over n}$. Donc $\delta=\ds{1\over 2}$.
$$u_n(x)={1\over n^x}\left({(-1)^n\sqrt n}-{1\over 2n}+o\left({1\over
n}\right)\right)={(-1)^n\over n^{x+{1\over 2}}}-{1\over n^{x+1}}+o\left({1\over
n^{x+1}}\right)$$
Ainsi, la s{\'e}rie $\sum u_n$ diverge grossi{\`e}rement lorsque $x\leq \ds{1\over 2}$, pour
$x>\ds{1\over 2}$, la premi{\`e}re s{\'e}rie de la somme ci-dessus converge (crit{\`e}re sp{\'e}cial
des s{\'e}ries altern{\'e}es), la deuxi{\`e}me converge si et seulement si $x>0$. $\sum u_n$
converge si et seulement si $x>0$ donc $\gamma=0$.

\par\centerline{\mpth{$\gamma=0,\quad \delta=\ds{1\over 2},\quad
\gamma<\delta<\gamma+1$}}
\bigskip






\par\vskip 10mm
\hrule\vskip 5mm
\centerline{\bf  PARTIE 3 - Etude d'un cas particulier}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm


Dans cette partie, on choisit $\lambda_n=\ln (n+1)$  et $a-n=(-1)^n\ds{\ln(n+1)\over
n(n+1)}$ pour tout
$n\geq 1$.\par
On note $U$ la fonction d{\'e}finie sur $[0,+\infty[$ par:
$$\forall\ x\geq 0,\quad U(x)=\sum_{n\geq 1}u_n(x)=\sum_{n\geq 1}(-1)^n{\ln(n+1)\over
n(n+1)^{1+x}}$$
\bigskip

\par
3.A. Les fonctions $u_n:x\mapsto a_n\ds e^{-\lambda_n x}=(-1)^n{\ln(n+1)\over
n(n+1)^{1+x}}$ sont d{\'e}finies et continues (
et m{\^e}me $C^\infty$) sur $\rmat$.\par
Pour tout $x\geq 0$, $|u_n(x)|\leq|a_n|=\ds {\ln(n+1)\over
n(n+1)}$. Ce qui assure la convergence normale de la s{\'e}rie de fonctions $\sum u_n$
sur $[0,+\infty[$ et donc la continuit{\'e} de $U$ sur cet intervalle. 
\bigskip


3.B. Montrons que, pour $x$ fix{\'e}, la suite $(|u_n(x)|)_{n\geq 1}$ est d{\'e}croissante. En
effet, introduisons la fonction $h:t\mapsto \ds{\ln(t+1)\over t(t+1)^{x+1}}$. Elle est
d{\'e}finie et d{\'e}rivable sur $]0,+\infty[$ et 
$$h'(t)={1\over t(t+1)^{x+2}}-\ln(t+1)\left[{t\over
t^2(t+1)^{x+1}}+{(x+1)\over t(t+1)^{x+2}}\right]={(x+2)t+1\over
t^2(t+1)^{x+2}}\big[{t\over (x+2)t+1}-\ln(t+1)\big]$$
Soit la fonction $h_1:t\mapsto h_1(t)=\ds {t\over (x+2)t+1}-\ln(t+1)$.\par 
$h'_1(t)=\ds{1\over ((x+2)t+1)^2}-{1\over t+1}$ est n{\'e}gative pour tout $t\geq 0$ et
$x>0$. Donc, $h_1$ est n{\'e}gative (car $h_1(0)=0$) et $h'$ aussi. $h$ est d{\'e}croissante
(cqfd).\smallskip
Donc, pour tout $x\geq 0$, $|U(x)|$ est major{\'e} par $|u_1(x)|$ (crit{\`e}re sp{\'e}cial des
s{\'e}ries altern{\'e}es).
$$|U(x)|\leq |u_1(x)|={\ln(2)\over 2^{x+1}}\qquad \qquad U(x)\mptend{x}{+\infty}0$$

\bigskip
3.C. Pour tout $n$, $u_n$ est de classe
$C^\infty$ sur $\rmat$ et $u_n^{(p)}(x)=\ds(-1)^{n+p}{\ln(n+1)^{p+1}\over
n(n+1)^{x+1}}$. Pour tout
$p$, la s{\'e}rie $\sum u_n^{(p)}$ converge normalement sur $[0,+\infty[$. Donc $U$ est de
classe $C^\infty$ sur $[0,+\infty[$.
\bigskip


3.D. Par un raisonnement identique {\`a} celui de la question 3.B, montrons que pour $x$
fix{\'e}, la suite $(|u'_n|)_{n\geq 1}$ est d{\'e}croissante. En appliquant le crit{\`e}re
sp{\'e}cial, $U(x)$ est du m{\^e}me signe que $u_1(x)$, c'est {\`a} dire positif.
\par
Posons donc: $h(t)\ds{\ln(t+1)\over \sqrt t(t+1)^\alpha}$ avec $\alpha=\ds{x+1\over
2}$.
$$h'(t)={(2\alpha+1)t+1\over 2t\sqrt t(t+1)^{\alpha+1}}\left[{2t\over (2\alpha+1)t+1
}\ln(t+1)\right]$$
Notons $h_1$ la fonction entre crochets, $h'_1(t)={2\over (x+2)t+1}-{1\over t+1}\leq
0$ et on conclut comme ci-dessus.

\par\centerline{\mpth{ La fonction $U$ est $C^\infty$ et croissante sur
$[0,+\infty[$ et $\ds U(x)\mptend{x}{+\infty}0$}} \bigskip

\bigskip
3.E. \par
\par 3.E.1) 
Pour tout $n\geq 1$, la fonction $f_n=(-1)^{n+1}\ds {1\over n(n+1)^{x+1}}$
est une primitive de $u_n$. Elle est admet une limite en $+\infty$ donc $u_n$ est
int{\'e}grable sur $[0,+\infty[$.\par 
\bigskip
3.E.2)

La s{\'e}rie $\sum f_n(0)=\sum(-1)^{n+1\ds{1\over
n(n+1)}}$ converge, donc la somme
$F $de la s{\'e}rie
$\sum f_n$ est une primitive de $U$.\par
Pour tout $x\geq 0$, la suite $(f_n(x))_{n\geq 1}$ v{\'e}rifie les hypoth{\`e}ses du criy{\`e}re
sp{\'e}cial des s{\'e}ries altern{\'e}es, ce qui permet comme en 3.B
 de prouver que sa somme $F$ a une limite nulle en $+\infty$. D'o{\`u} $U$ est
int{\'e}grable sur $[0,+\infty[$ et 
$$\int_0^{+\infty} U(x)dx=-F(0)=\sum_{n\geq 1}{(-1)^n\over n(n+1)}$$
$$\sum_{n=1}^{2p}{(-1)^n\over n(n+1)}=\sum_{k=1}^p{-1\over
(2k-1)(2k)}+\sum_{k=1}^p{1\over 2k(2k+1)}=\sum_{k=1}^p{-1\over
2k-1}+\sum_{k=1}^p{1\over 2k}+\sum_{k=1}^p{1\over 2k}+\sum_{k=1}^p{-1\over
2k+1}$$
$$=1-{1\over 2p+1}-2\sum_{k=1}^{p-1}{-1\over 2k+1}+2\sum_{k=1}^p{1\over
2k}=1-{1\over 2p+1}-2\sum_{k=1}^{2p}{1\over k}+2\sum_{k=1}^p{1\over k}=1-2\ln
2+\varepsilon\left({1\over p}\right)$$
\par\centerline{\mpth{$\ds \int_0^{+\infty} U(x)dx=1-2\ln 2$}} \bigskip


\bigskip
3.F. 
$$U(0)=\sum_{n\geq 1}(-1)^n{\ln(n+1)\over n(n+1)}$$
Comme on l'a vu pr{\'e}c{\'e}demment, c'est une s{\'e}rie v{\'e}rifiant les hypoth{\`e}ses du crit{\`e}re
sp{\'e}cial des s{\'e}ries altern{\'e}es. On peut donc d{\'e}composer, pour un $n$ donn{\'e},
$U(0)=S_n+R_n$ (o{\`u} $S_n$ d{\'e}signe la somme des $n$ premiers termes, et $R_n$ le reste).
On sait alors que $R_n$ est du signe de son premier terme (soit du signe de
$(-1)^{n+1}$)
 et major{\'e} en valeur absolue par ce terme soit $\ds{\ln(n+2)\over (n+1)(n+2)}$. En
n{\'e}gligeant les erreurs machines, on obtiendra une valeur approch{\'e}e {\`a} $10^{-1}$ pr{\'e}s en
choisissant $n$ tel que $\ds{\ln(n+2)\over (n+1)(n+2)}\leq 10^{-1}$ soit $n=3$ (cette
faible valeur justifie que l'on n{\'e}glige les erreurs machines) et $\tilde S_3=-0,3$.
\par
Un {\'e}tude analogue montre que pour $U'(0)$, il faut choisir $n=5$ et $\tilde S'_5=0,2$.
\bigskip
3.G.  Allure de la courbe:\par\nobreak
%\hskip 2cm \picture 9cm by 9cm (fig1 scaled 1000)\par
\box2





\par\vskip 10mm
\hrule\vskip 5mm
\centerline{\bf  PARTIE 4 - Etude de $I_A$ et $I_C$ dans le cas g{\'e}n{\'e}ral}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm

$$I_A=\{x\in\rmat\ /\sum |u_n(x)|\ \ {\rm converge}\}\qquad I_C=\{x\in\rmat\ /\sum
u_n(x)\ \ {\rm converge}\}$$

\par
4.A. 
\par
4.A.1) Soit $x_0\in I_A$. Alors, pour tout $x\geq x_0$ et tout $n\geq 1$,  $|u_n(x)|\leq
|u_n(x_0)|$, donc $x\in I_A$.
\par
$I_A$ est donc soit vide, soit {\'e}gal {\`a} $\rmat$, soit un intervalle de la forme
$]\delta, +\infty[$ ou $[\delta, +\infty[$.
\bigskip


4.A.2) $a_n=\ds{(-1)^n\over\sqrt n}$, $\lambda_n=\ln(\ln(n+1))$ et
$u_n(x)=\ds{(-1)^n\over\sqrt n(\ln(n+1)^x)}$.\par
Pour tout $x$, $\ds n^{2\over 3}|u_n(x)\mpntend +\infty$, donc, il existe un entier
$n_x$ tel que, pour tout $n\geq n_x$, $|u_n(x)|\geq \ds{1\over n^{2\over 3}}$. La
s{\'e}rie $\sum |u_n(x)|$ est donc divergente.\smallskip
Pour tout $x$, $$\ds\left|{u_{n+1}(x)\over u_n(x)}\right|=\sqrt{n\over
n+1}\left[{\ln(n+1)\over\ln(n+2)}\right]^x=(1+{1\over n})^{-{1\over 2}}\left[
1+{\ln(1+{1\over n})\over \ln n}\right]^x\left[
1+{\ln(1+{2\over n})\over \ln n}\right]^x=1-{1\over 2n}+o\left({1\over n}\right)$$
La suite $(|u_n(x)|)_{n\geq 1}$ est donc d{\'e}croissante {\`a} partir d'un certain rang. Le
crit{\`e}re sp{\'e}cial des s{\'e}ries altern{\'e}es s'applique, $\sum u_n$ converge.
\par\centerline{\mpth{Pour tout $x$, $\sum|u_n(x)|$ diverge et $\sum u_n(x)$ converge
donc $I_A=\phi$ et $I_C=\rmat$}}

\bigskip

4.A.3) Si on choisit  les m{\^e}mes $\lambda_n$ et $a_n=\ds{1\over\sqrt n}$, alors
$I_A=I_C=\phi$.
\bigskip

4.A.4) Si on choisit les m{\^e}mes $\lambda_n$ et $a_n=\ds{1\over\ n^2}$, alors
$I_A=I_C=\rmat$.
\bigskip

4.B. On suppose $I_C$ non vide et minor{\'e}, on note $\gamma$ sa borne inf{\'e}rieure.
\par
4.B.1) Si les $a_n$ sont r{\'e}els positifs, et si $\Re(z)>\gamma$, il existe
$\beta\in I_C$ tel que $\Re(z)\geq\beta$.Posons $z=\beta+x+iy$ (avec $x\geq 0$).
$$|u_n(z)|=a_n e^{-\lambda_n\beta}e^{-\lambda_n x}\leq u_n(\beta)$$
La s{\'e}rie $\sum u_n(\beta)$ converge, donc la s{\'e}rie $\sum u_n(z)$ converge absolument
et $z\in I_A\subset I_C$.
\bigskip


4.B.2) 
\par
a) Soit $L=\ds\lim_{x\rightarrow +\infty} F(t)$. D{\'e}finissons la fonction
$h:t\mapsto h(t)=F(t)e^{(\alpha-z)t}$. Elle est d{\'e}finie et continue sur $[0,+\infty[$,
donc localement int{\'e}grable sur cet intervalle. De plus, en $+\infty$,
$|h(t)|\sim e^{(\alpha-x)t L}$ o{\`u} $x=\Re(z)>\alpha$. La fonction $h$ est donc
int{\'e}grable sur $[0,+\infty[$.
\smallskip
b) $$\int_0^{\lambda_n}f(x)e^{-zx}dx=\int_0^{\lambda_n}f(x)e^{-\alpha
x}e^{(\alpha-z)x}dx=\left[F(x)e^{(\alpha-z)x}\right]_0^{\lambda_n}
-\int_0^{\lambda_n}(\alpha-z)F(x)e^{(\alpha-z)x}dx$$
Le terme int{\'e}gr{\'e} a une limite finie lorsque $n\rightarrow +\infty$ (et $\lambda_n$
aussi) puisque $F$ a une limite finie en $+\infty$. L'int{\'e}grale a aussi une limite
finie d'apr{\'e}s la question pr{\'e}c{\'e}dente. \par La suite
$\ds\left(\int_0^{\lambda_n}f(x)e^{-zx}dx\right)_{n\geq 1}$ est convergente.
\bigskip

4.B.3) La s{\'e}rie $\sum u_n(z)$ converge si et seulement si la s{\'e}rie $\sum v_n(z)$
converge. \par 
Or, il existe $\alpha\in I_C$ tel que $\Re(z)>\alpha$. Pour cet $\alpha$, $\sum
u_n(\alpha) $ converge donc aussi $\sum v_n(\alpha)$. Posons $G(t)=\ds\int_0^t
g(x)e^{-\alpha x}$. La suite $(G(\lambda_n))_{n\geq 1}$ converge.\par
La fonction $g$ est d{\'e}finie et continue sur $[0,+\infty[$ {\`a} valeurs dans $\cmat$. Il
suffit de montrer que
$G$ a une limte finie en $+\infty$.
\par
Pour tout $x>0$, il existe $\lambda_n$ tel que: $\lambda_n\leq x\leq
\lambda_{n+1}$. On a alors:
$$G(x)=G(\lambda_n)+\int_{\lambda_n}^x g(t)e^{-\alpha t} dt=
G(\lambda_n)+{a_n\over r_n}\int_{\lambda_n}^x\varphi\left({t-\lambda_n\over
r_n}\right)e^{-\alpha t}dt$$ 
$$0\leq \int_{\lambda_n}^x\varphi\left({t-\lambda_n\over
r_n}\right)dt\leq\leq
\int_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}\varphi\left({t-\lambda_n\over
r_n}\right)e^{-\alpha t}dt={r_n\over a_n}v_n(\alpha)$$
$$|G(x)-G(\lambda_n)|\leq |v_n(\alpha)$$
Soit $l$ la limite de la suite $(G(\lambda_n))_{n\geq 1}$. \par
Pour tout
$\varepsilon>0$, il existe $n_0$ et $n_1$ tels que
$|G(\lambda_n)-l|\leq\varepsilon$ pour tout $n\geq n_0$, et
$|v_n(\alpha)|\leq\varepsilon$ pour tout $n\geq n_1$.
Soit $N=sup(n_0,n_1)$, et $A=\lambda_N$,\par
Pour tout $x\geq A$, $|G(x)-l|\leq 2\varepsilon$.\par
Ainsi, $G$ a une limte finie en $+\infty$.


\bye