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%TCIDATA{Created=Wed Apr 30 11:53:59 1997}
%TCIDATA{LastRevised=Thu May 15 20:54:03 1997}
%TCIDATA{Language=American English}

\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{Concours Centrale - Sup\'{e}lec 1997}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\underline{\emph{Partie I - La fonction }$F$}
\end{center}

\medskip

I.A. $\forall x\in \Bbb{R}$ , l'application $t\rightarrow \exp (-\dfrac{t^{2}%
}{2})\;$est continue sur $[x,+\infty [\;$et $\lim\limits_{t\rightarrow
+\infty }t^{2}\exp (-\dfrac{t^{2}}{2})=0.\;$Donc $\int\nolimits_{x}^{+\infty
}\exp (-\dfrac{t^{2}}{2})dt$ converge pour tout $x\in \Bbb{R}$ .

Donc \underline{$F$ est d\'{e}finie sur $\Bbb{R}$} .

$\forall x\in \Bbb{R}$ , $F(x)=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\exp (-\dfrac{%
t^{2}}{2})dt-\int\nolimits_{0}^{x}\exp (-\dfrac{t^{2}}{2})dt.$ D'o\`{u} $:$

\underline{$\forall x\in \Bbb{R}$ , $F^{\prime }(x)=-\exp (-\dfrac{x^{2}}{2}%
) $} . On en d\'{e}duit que \underline{$F$ est d\'{e}croissante sur $\Bbb{R}$%
} .

La formule pr\'{e}c\'{e}dente montre que \underline{$\lim\limits_{x%
\rightarrow +\infty }F(x)=0$} .

L'application $t\rightarrow \exp (-\dfrac{t^{2}}{2})\;$est continue sur $%
\Bbb{R}^{+}.$ Elle est positive et non nulle sur $\Bbb{R}^{+}.\;$Donc$\;$%
\underline{$F(0)=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\exp (-\dfrac{t^{2}}{2})dt>0$} .

\medskip

B.1. $\forall x\in \Bbb{R}$ , $F(-x)=\int\nolimits_{-x}^{+\infty }\exp (-%
\dfrac{t^{2}}{2})dt$

$=-\int\nolimits_{x}^{-\infty }\exp (-\dfrac{u^{2}}{2})du$ (changement de
variable $u=-t$)

$=\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }\exp (-\dfrac{u^{2}}{2}%
)du-\int\nolimits_{x}^{+\infty }\exp (-\dfrac{u^{2}}{2})du$

Donc : $F(x)+F(-x)=2\int\nolimits_{0}^{+\infty }\exp (-\dfrac{u^{2}}{2}%
)du=2F(0)$ et

\underline{le graphe de $F$ est sym\'{e}trique par rapport au point $I$ de
coordonn\'{e}es $(0,F(0)).$}

\medskip

B.2. $\forall x>0,$ $\forall t\in [x,+\infty [,$ $0\leq \dfrac{e^{-t^{2}/2}}{%
t^{2}}\leq \dfrac{e^{-t^{2}/2}}{x^{2}}$

$\Rightarrow 0\leq \int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{t^{2}}%
dt\leq \int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{x^{2}}dt$
(int\'{e}grales convergentes)

$\Rightarrow $\underline{$0\leq \int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{%
e^{-t^{2}/2}}{t^{2}}dt\leq \dfrac{F(x)}{x^{2}}$}

\medskip

B.3. $\forall x>0,$ $\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{t^{2}}%
dt=\left[ -\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{t}\right] _{x}^{+\infty
}-\int\nolimits_{x}^{+\infty }e^{-t^{2}/2}dt$ (int\'{e}gration par parties
valide). D'o\`{u}, d'apr\`{e}s B.2., $0\leq \dfrac{e^{-x^{2}/2}}{x}-F(x)\leq 
\dfrac{F(x)}{x^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{e^{-x^{2}/2}}{x}\leq F(x)\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}$ et $%
F(x)\leq \dfrac{e^{-x^{2}/2}}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{xe^{-x^{2}/2}}{1+x^{2}}\leq F(x)\leq \dfrac{e^{-x^{2}/2}%
}{x}.$

Les deux membres ext\'{e}rieurs \'{e}tant \'{e}quivalents \`{a}$\;\dfrac{%
e^{-x^{2}/2}}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty ,$ l'on a :

\[
\underline{F(x)\stackunder{+\infty }{\sim }\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{x}} 
\]

\medskip

C. $\forall x\in \Bbb{R}$ , $F^{\prime }(x)=-\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})$ et $%
F^{\prime \prime }(x)=x\exp (-\dfrac{x^{2}}{2}).\;$D'o\`{u} :

$F^{\prime \prime }(x)+xF^{\prime }(x)=0$ et

\underline{$F$ est solution sur $\Bbb{R}$ de l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle $y^{\prime \prime }+xy^{\prime }=0.$}

\medskip

D.1. $(t,x)\stackrel{\varphi }{\rightarrow }\dfrac{e^{-(1+t^{2})x^{2}/2}}{%
F(0)(1+t^{2})}$ est continue sur $\Bbb{R}^{+}\times \Bbb{R}$ .\ En outre :

$\forall (t,x)\in \Bbb{R}^{+}\times \Bbb{R}$ , $\left| \varphi (t,x)\right|
\leq \dfrac{1}{F(0)(1+t^{2})}$ et $\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{1}{%
F(0)(1+t^{2})}dt$ converge (hypoth\`{e}se de domination).

D'o\`{u} \underline{$G$ est d\'{e}finie et continue sur $\Bbb{R}$ .}

\fbox{$G(0)$}$=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{1}{F(0)(1+t^{2})}dt$\fbox{$%
=\dfrac{\pi }{2F(0)}$}

Enfin : $\forall x\in \Bbb{R}$ , $G(x)=\dfrac{1}{F(0)}\exp
(-x^{2}/2)\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{\exp (-t^{2}x^{2}/2)}{1+t^{2}}%
dt $

$\Rightarrow 0\leq G(x)\leq \dfrac{1}{F(0)}\exp
(-x^{2}/2)\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{1}{1+t^{2}}dt=\dfrac{\pi \exp
(-x^{2}/2)}{2F(0)}$

On en d\'{e}duit : 
\[
\underline{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }G(x)=0} 
\]

\medskip

D.2. Sous les notations pr\'{e}c\'{e}dentes, $\varphi $ est $C^{1}$ sur $%
\Bbb{R}^{+}\times \Bbb{R}$ et $\forall (t,x)\in \Bbb{R}^{+}\times \Bbb{R}$, $%
\dfrac{\partial \varphi }{\partial x}(t,x)=-x\exp \left( -\dfrac{%
(1+t^{2})x^{2}}{2}\right) $

D'o\`{u} $\forall (t,x)\in \Bbb{R}^{+}\times J$, $\left| \dfrac{\partial
\varphi }{\partial x}(t,x)\right| \leq b\exp \left( -\dfrac{(1+t^{2})a^{2}}{2%
}\right) $ et $\int\nolimits_{a}^{b}b\exp \left( -\dfrac{(1+t^{2})a^{2}}{2}%
\right) dt$ converge $(\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }t^{2}b\exp \left( -%
\dfrac{(1+t^{2})a^{2}}{2}\right) =0).$

Donc \underline{$G$ est $C^{1}$ sur $J$ et $\forall x\in J,$ $G^{\prime
}(x)=-\int\nolimits_{0}^{+\infty }x\exp \left( -\dfrac{(1+t^{2})x^{2}}{2}%
\right) dt.$}

Soit $x_{0}\in \Bbb{R}^{+*}.$ Alors il existe $a$ et $b>0$ tels que $%
a<x_{0}<b.\;G$ est $C^{1}$ sur $J=[a,b],$ donc $G$ est d\'{e}rivable en $%
x_{0},\;G^{\prime }(x_{0})=-\int\nolimits_{0}^{+\infty }x_{0}\exp \left( -%
\dfrac{(1+t^{2})x_{0}^{2}}{2}\right) dt.$

Cela \'{e}tant vrai pour tout $x_{0}\in \Bbb{R}^{+*},$ \underline{$G$ est
d\'{e}rivable sur $\Bbb{R}^{+*}$}$.$

En outre $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},G^{\prime
}(x)=-\int\nolimits_{0}^{+\infty }x\exp \left( -\dfrac{(1+t^{2})x^{2}}{2}%
\right) dt$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=-\dfrac{x}{F(0)}%
\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})\int\nolimits_{0}^{+\infty }\exp \left( -\dfrac{%
t^{2}x^{2}}{2}\right) dt$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ($\downarrow u=tx) 
$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=-\dfrac{1}{F(0)}%
\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})\stackunder{F(0)}{\underbrace{\int\nolimits_{0}^{+%
\infty }\exp \left( -\dfrac{u^{2}}{2}\right) du}}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=-\exp (-\dfrac{%
x^{2}}{2})$

Donc \underline{$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)$}.

On en d\'{e}duit qu'il existe $C\in \Bbb{R}$ tel que $\forall x\in \Bbb{R}%
^{+*},G(x)=F(x)+C$.

Comme $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F(x)=\lim\limits_{x\rightarrow
+\infty }G(x)=0,$ $C=0.$

Donc \underline{$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},G(x)=F(x)$}.

$F$ et $G$ \'{e}tant continues en $0,$ $G(0)=F(0);$ de D.1., on d\'{e}duit $%
F(0)=\dfrac{\pi }{2F(0)}.$

D'o\`{u} : \frame{$F(0)=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}$}

\medskip

\medskip

\underline{\emph{Partie II- \'{E}tude d'une suite d'\'{e}quations
diff\'{e}rentielles}}

\medskip

A.\ \underline{$S_{n}$ est un $\Bbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2.$}

\medskip

B. Comme $y\in S_{n},$ $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},\;y^{\prime \prime
}=-xy^{\prime }+ny.\;y$ et $y^{\prime }$ \'{e}tant d\'{e}rivables sur $\Bbb{R%
}^{+*},$ $y^{\prime \prime }$ l'est aussi et $y^{(3)}+xy^{\prime \prime
}+y^{\prime }-ny^{\prime }=0\Rightarrow $

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $(y^{\prime })^{\prime \prime
}+x(y^{\prime })^{\prime }-(n-1)y^{\prime }=0.$

D'o\`{u} : \underline{$y^{\prime }\in S_{n-1}$}$.$

$z$ est aussi $2$ fois d\'{e}rivable sur $\Bbb{R}^{+*}$ et $\forall x\in 
\Bbb{R}^{+*},$

$z^{\prime \prime }+xz^{\prime }-(n+1)z=xy^{\prime \prime }+2y^{\prime
}+y^{(3)}+x(xy^{\prime }+y+y^{\prime \prime })-(n+1)(xy+y^{\prime })$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\stackunder{y^{(3)}+xy^{\prime
\prime }+(1-n)y^{\prime }}{\underbrace{(y^{\prime \prime }+xy^{\prime
}-ny)^{\prime }}}+x(y^{\prime \prime }+xy^{\prime }-ny)$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=0$ car $y\in S_{n}.$

D'o\`{u} : \underline{$z\in S_{n+1}$}$.$

\medskip

C.1. $y_{0}\in S_{0}.$

Supposons qu'au rang $n\geq 0$, $y_{n}\in S_{n}\;$(hypoth\`{e}se de
r\'{e}currence)$.$ D'apr\`{e}s la question II.B., $xy_{n}+y_{n}^{\prime }\in
S_{n+1}.$ D'o\`{u} $y_{n+1}\in S_{n+1}.$

Donc \underline{$\forall n\in \Bbb{N}$ , $y_{n}\in S_{n}$}.

\medskip

C.2. $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $y_{n+1}^{\prime }=xy_{n}^{\prime
}+y_{n}+y_{n}^{\prime \prime }$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=xy_{n}^{\prime
}+y_{n}+(-xy_{n}^{\prime }+ny_{n})$ $(y_{n}$ est solution de $S_{n})$

D'o\`{u} : \underline{$\forall n\in \Bbb{N}$ , $y_{n+1}^{\prime }=(n+1)y_{n}$%
}.

Soit $n\in \Bbb{N}^{*}.$ On sait que $y_{n+1}^{\prime \prime
}+xy_{n+1}^{\prime }-(n+1)y_{n+1}=0.$

Or : $y_{n+1}^{\prime }=(n+1)y_{n}$ et $y_{n+1}^{\prime \prime
}=(n+1)y_{n}^{\prime }=n(n+1)y_{n-1}.$

Alors $n(n+1)y_{n-1}+x(n+1)y_{n}-(n+1)y_{n+1}=0.$

On a donc montr\'{e} :

\[
\underline{\forall n\in \Bbb{N}^{*},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},\
y_{n+1}=xy_{n}+ny_{n-1}}. 
\]

\medskip

\medskip

\begin{center}
\underline{\emph{III - \'{E}tude d'une suite de polyn\^{o}mes}}
\end{center}

\medskip

A. $P_{0}^{^{\prime \prime }}+xP_{0}^{\prime }=0,$ donc $P_{0}\in S_{0}.$

D'apr\`{e}s la question I.C.1., \underline{$\forall n\in \Bbb{N}$ , $%
P_{n}\in S_{n}$}$.$

D'apr\`{e}s la question I.C.2., \underline{$\forall n\in \Bbb{N}$ , $%
P_{n+1}^{\prime }=(n+1)P_{n}$} et

\underline{$\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
P_{n+1}(x)=xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x)$}.

\medskip

B. $P_{0}$ et $P_{1}$ sont de degr\'{e}s $0$ et $1$ respectivements et \`{a}
coefficients positifs.

Supposons $P_{k}$ de degr\'{e} $k$ et \`{a} coefficients positifs pour $%
k=n-1 $ et $n$ ($n\geq 1)$ et montrons $d{{}^\circ}P_{n+1}=n+1$ et que les
coefficients de $P_{n+1}\;$sont positifs.

Comme $P_{n+1}=xP_{n}+nP_{n-1},$ la propri\'{e}t\'{e} est vraie au rangs $n$
et $n+1.$

Donc \underline{$\forall n\in \Bbb{N},$ $P_{n}$ est de degr\'{e} $n$ et est
\`{a} coefficients positifs.}

\medskip

C. $\forall x\in \Bbb{R}^{+*}\;$et $\forall p\in \Bbb{N}^{*},\;P_{1}(x)=x%
\geq \dfrac{2!}{2^{1}1!}x$ et$\;P_{2}(x)=x^{2}+1\geq \dfrac{2!}{2^{1}1!}%
(1+x^{2}).$ D'o\`{u} les minorations propos\'{e}es sont vraies pour $p=1.$

Hypoth\`{e}se de r\'{e}currence : supposons $\forall x\in \Bbb{R}%
^{+*},\;P_{2p-1}(x)\geq \dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}x$ et $P_{2p}(x)\geq \dfrac{%
(2p)!}{2^{p}p!}(1+px^{2})$ avec $p\geq 1.$

Alors $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},\;P_{2p+1}(x)=xP_{2p}(x)+2pP_{2p-1}(x)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq x\dfrac{(2p)!}{%
2^{p}p!}(1+\stackunder{\geq 0}{\underleftrightarrow{px^{2}}})+2p\dfrac{(2p)!%
}{2^{p}p!}x$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\geq (2p+1)x%
\dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}=\dfrac{(2(p+1))!}{2^{p+1}(p+1)!}x$

et

$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},\;P_{2p+2}(x)=xP_{2p+1}(x)+(2p+1)P_{2p}(x)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq x\dfrac{(2(p+1))!}{%
2^{p+1}(p+1)!}x+(2p+1)\dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}(1+px^{2})$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\geq 
\dfrac{(2(p+1))!}{2^{p+1}(p+1)!}x^{2}+\dfrac{(2(p+1))!}{2^{p+1}(p+1)!}%
(1+px^{2})$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\geq \dfrac{(2(p+1))!}{%
2^{p+1}(p+1)!}(1+(p+1)x^{2})$

Donc l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence est vraie au rang $p+1$ et la
propri\'{e}t\'{e} est vraie pour tout $p$ et$\;\forall p\in \Bbb{N}%
^{*},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},\;$%
\[
\underline{P_{2p-1}(x)\geq \dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}x\;\text{et}\;P_{2p}(x)\geq 
\dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}(1+px^{2})}. 
\]

\medskip

D.1. $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{(2n+2)(2n+1)%
}{4(n+1)n}=\dfrac{2n+2}{2n}=1+\dfrac{1}{n}$

D'o\`{u} $\ln \left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) =\ln (1+\dfrac{1}{n})%
\stackunder{+\infty }{\sim }\dfrac{1}{n}$

et \underline{$\sum \ln \left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) $ diverge}.

La s\'{e}rie \'{e}tant \`{a} termes positifs, $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }\sum\limits_{k=1}^{n}\ln (\dfrac{u_{k+1}}{u_{k}})=+\infty .$

\medskip

D.2. $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\sum\limits_{k=1}^{n}\ln (\dfrac{u_{k+1}}{%
u_{k}})=\ln u_{n+1}-\ln u_{1}.$

Donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }\ln u_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }(\ln
u_{1}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln (\dfrac{u_{k+1}}{u_{k}})).$

On a montr\'{e} : \frame{$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=+\infty $}

\medskip

D.3. Comme $u_{n}=\exp (v_{n}),$ \frame{$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}u_{n}=+\infty $}.

\medskip

D.4. Soit $x>0$. Alors $\forall p\in \Bbb{N}^{*},$

$P_{2p}(x)\geq \dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}(1+px^{2}).\;$D'o\`{u} $P_{2p}(x)\geq 
\dfrac{(2p)!}{2^{p}(p-1)!}x^{2}\Rightarrow $

\ \ \ \ \ \ $\dfrac{P_{2p}^{2}(x)}{(2p)!}\geq \dfrac{(2p)!}{2^{2p}p!(p-1)!}%
x^{4}=u_{p}x^{4}.$

D'o\`{u} $\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }\dfrac{P_{2p}^{2}(x)}{(2p)!}%
=+\infty .$

$P_{2p-1}(x)\geq \dfrac{(2p)!}{2^{p}p!}x\Rightarrow $

$\dfrac{P_{2p-1}^{2}(x)}{(2p-1)!}\geq \dfrac{(2p)!}{2^{2p}p!(p-1)!}%
2x^{2}=2u_{p}x^{2}.$

D'o\`{u} $\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }\dfrac{P_{2p-1}^{2}(x)}{(2p-1)!}%
=+\infty .$

On en d\'{e}duit : 
\[
\underline{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{P_{n}^{2}(x)}{n!}%
=+\infty } 
\]

\medskip

\medskip

\begin{center}
\underline{\emph{Partie IV - \'{E}tude de }$S_{n}$}
\end{center}

\medskip

A. L'on a vu dans la question I.C. que $R_{0}=F\in S_{0}.$

Donc d'apr\`{e}s la question II.C.2., \underline{$\forall n\in \Bbb{N},$ $%
R_{n+1}^{\prime }=(n+1)R_{n}$} et

\underline{$\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
R_{n+1}(x)=xR_{n}(x)+nR_{n-1}(x).$}

\medskip

B. $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $R_{0}(x)=F(x)=P_{0}(x)F(x)+0F^{\prime }(x).$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $R_{1}(x)=xF(x)+F^{\prime
}(x)=P_{1}(x)+1F^{\prime }(x).$

Comme $F^{\prime }$ ne s'annule pas, $\exists !(Q_{0},Q_{1})\in \Bbb{R[}X%
\Bbb{]}^{2},$ $\forall k\in \{1,2\},$ $R_{k}(x)=P_{k}(x)F(x)+Q_{k}(x)F^{%
\prime }(x).\;$Ici $Q_{0}(x)=0,\;Q_{1}(x)=1.$

Supposons d\'{e}finis de mani\`{e}re unique $Q_{0},...Q_{n}$ tels que :

$\forall k\in \{1,..,n\},$ $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
R_{k}(x)=P_{k}(x)F(x)+Q_{k}(x)F^{\prime }(x)$ $(n\geq 2)$

Alors $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $R_{n+1}(x)=xR_{n}(x)+R_{n}^{\prime }(x)$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=xR_{n}(x)+nR_{n-1}(x)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x(P_{n}(x)F(x)+Q_{n}(x)F^{\prime
}(x))+n(P_{n-1}(x)F(x)+Q_{n-1}(x)F^{\prime }(x))$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;=(xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x))F(x)+(xQ_{n}(x)+nQ_{n-1}(x))F^{\prime }(x)$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=P_{n+1}(x)F(x)+Q_{n+1}(x)F^{\prime }(x)$

avec $Q_{n+1}(x)=xQ_{n}(x)+nQ_{n-1}(x)$ qui est d\'{e}fini de mani\`{e}re
unique car $F^{\prime }$ ne s'annule pas.

Donc \underline{il existe une suite unique $(Q_{n})$ de polyn\^{o}mes tels
que $\forall n\in \Bbb{N},$}\newline
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $\left\{ 
\begin{array}{l}
R_{n}(x)=P_{n}(x)F(x)+Q_{n}(x)F^{\prime }(x) \\ 
Q_{n+2}(x)=xQ_{n+1}(x)+(n+1)Q_{n}(x)
\end{array}
\right. $}

\medskip

C. L'on a $\forall n\in \Bbb{N},$

$P_{n}(x)F(x)\stackunder{x\rightarrow +\infty }{\sim }P_{n}(x)\dfrac{%
e^{-x^{2}/2}}{x}$ et $Q_{n+1}(x)F^{\prime }(x)=-Q_{n+1}(x)e^{-x^{2}/2}.$

L'exponentielle ''l'emportant sur la puissance'', 
\[
\underline{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }R_{n}(x)=0} 
\]

\medskip

D.1. $P_{n}$ et $R_{n}$ sont tous deux des \'{e}l\'{e}ments de $S_{n}.$

Soient $\lambda $ et $\mu \in \Bbb{R}$ tels que $\lambda P_{n}+\mu R_{n}=0.$

Alors si$\lambda \neq 0,$ $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left|
(\lambda P_{n}+\mu R_{n})(x)\right| =+\infty .\;$Donc $\lambda =0.$

Comme $R_{n}\neq 0$ (en effet $R_{n}^{(n)}=n!R_{0}=n!F\neq 0),$ on en
d\'{e}duit $\mu =0.$

Donc \underline{$(P_{n},R_{n})$ est une base de $S_{n}.$}

\medskip

D.2. Les \'{e}l\'{e}ments de $S_{n}$ sont de la forme $\lambda P_{n}+\mu
R_{n}.\;$D'apr\`{e}s la question C.1.,

\underline{ceux qui tendent vers $0$ en $+\infty $ sont ceux de la forme$%
\;\mu R_{n}.$}

\medskip

E.1. Les coefficients de $P_{n}$ \'{e}tant \`{a} coefficients positifs et $%
P_{n}$ de degr\'{e} $n,$ pour tout $x\in \Bbb{R}^{+*},$ $\forall t\in
[x,+\infty [,\;P_{n}^{2}(t)>0.$

En outre $t\rightarrow \dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(t)}$ est continue sur$%
[x,+\infty [$ et $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }t^{2}\dfrac{e^{-t^{2}/2}%
}{P_{n}^{2}(t)}=0.$

Donc \underline{$T_{n}$ est bien d\'{e}fini sur $\Bbb{R}^{+*}.$}

$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $T_{n}^{\prime }(x)=-\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{%
P_{n}(x)}+P_{n}^{\prime }(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{%
P_{n}^{2}(t)}dt$ et

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $T_{n}^{\prime \prime }(x)=\dfrac{xe^{-x^{2}/2}}{P_{n}(x)%
}+P_{n}^{\prime }(x)\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{P_{n}^{2}(x)}+P_{n}^{\prime \prime
}(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(t)}%
dt-P_{n}^{\prime }(x)\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{P_{n}^{2}(x)}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;\;\;\;\;\;=\dfrac{xe^{-x^{2}/2}}{P_{n}(x)}%
+P_{n}^{\prime \prime }(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{%
P_{n}^{2}(t)}dt$

D'o\`{u} :

$T_{n}^{\prime \prime }(x)+xT_{n}^{\prime }(x)=(P_{n}^{\prime \prime
}(x)+xP_{n}^{\prime }(x))\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{%
P_{n}^{2}(t)}dt$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=nP_{n}(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }%
\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(t)}dt$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=nT_{n}(x)$

Donc \frame{$T_{n}\in S_{n}$}

\medskip

E.2. $P_{n}$ \'{e}tant \`{a} coefficients positifs, $P_{n}$ est une fontion
croissante sur $\Bbb{R}^{+*}.$

D'o\`{u} $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $0\leq T_{n}(x)\leq
P_{n}(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(x)}dt$

$\Rightarrow \forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $0\leq T_{n}(x)\leq \dfrac{1}{%
P_{n}(x)}\int\nolimits_{x}^{+\infty }e^{-t^{2}/2}dt$

$\Rightarrow $\frame{$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $0\leq T_{n}(x)\leq \dfrac{%
F(x)}{P_{n}(x)}$}

\medskip

E.3. Comme $T_{n}\in S_{n},$ il existe $\alpha _{n}\;$et $\beta _{n}\in \Bbb{%
R}$ tels que $T_{n}=\alpha _{n}R_{n}+\beta _{n}P_{n}.$ On a alors :

$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},0\leq (\alpha _{n}R_{n}+\beta _{n}P_{n})(x)\leq 
\dfrac{F(x)}{P_{n}(x)}$

$\Rightarrow 0\leq \alpha _{n}\dfrac{R_{n}(x)}{P_{n}(x)}+\beta _{n}\leq 
\dfrac{F(x)}{P_{n}^{2}(x)}.$

Si l'on fait tendre $x$ vers $+\infty ,$ $\dfrac{R_{n}(x)}{P_{n}(x)}$ et $%
\dfrac{F(x)}{P_{n}^{2}(x)}$ tendent vers $0$ et l'on obtient $\beta _{n}=0.$
D'o\`{u} :

\[
\underline{\exists \alpha _{n}\in \Bbb{R},T_{n}=\alpha _{n}R_{n}} 
\]

\medskip

F.1. $\forall n\in \Bbb{N}^{*},$ $W_{n}=P_{n}R_{n}^{\prime }-P_{n}^{\prime
}R_{n}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;\;=P_{n}\times nR_{n-1}-nP_{n-1}R_{n}$
(question II.C.2.)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=n[R_{n-1}(xP_{n-1}+P_{n-1}^{\prime
})-(xR_{n-1}+R_{n-1}^{\prime })P_{n-1}]$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=-n(P_{n-1}R_{n-1}^{\prime
}-R_{n-1}P_{n-1}^{\prime })$

D'o\`{u}$\;$%
\[
\underline{\forall n\in \Bbb{N}^{*},W_{n}=-nW_{n-1}} 
\]

On en d\'{e}duit $\forall n\in \Bbb{N},\;W_{n}=(-1)^{n}n!W_{0}$
(r\'{e}currence simple)

Or $W_{0}=P_{0}R_{0}^{\prime }-R_{0}P_{0}^{\prime }=F^{\prime }.$

Donc \frame{$\forall n\in \Bbb{N},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
W_{n}(x)=(-1)^{n+1}n!\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})$}

\medskip

F.2. $\forall n\in \Bbb{N},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$

$(P_{n}T_{n}^{\prime }-P_{n}^{\prime }T_{n})(x)=P_{n}(x)\left( P_{n}^{\prime
}(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(t)}dt-P_{n}(x)%
\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{P_{n}^{2}(x)}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-P_{n}^{\prime
}(x)P_{n}(x)\int\nolimits_{x}^{+\infty }\dfrac{e^{-t^{2}/2}}{P_{n}^{2}(t)}dt$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=-e^{-x^{2}/2}$

\frame{$\forall n\in \Bbb{N},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
(P_{n}T_{n}^{\prime }-P_{n}^{\prime }T_{n})(x)=-\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})$}

Comme $\forall n\in \Bbb{N},\;\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
(P_{n}T_{n}^{\prime }-P_{n}^{\prime }T_{n})(x)=\alpha _{n}W_{n}(x),$ on
obtient

$\alpha _{n}(-1)^{n+1}n!\exp (-\dfrac{x^{2}}{2})=-\exp (-\dfrac{x^{2}}{2}%
)\Rightarrow $

\[
\frame{$\alpha _{n}$=$\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$} 
\]

\medskip

\medskip

\begin{center}
\underline{\emph{Partie V - Une jolie formule}}
\end{center}

\medskip

A.1. $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $\forall n\in \Bbb{N},\;0\leq T_{n}(x)\leq 
\dfrac{F(x)}{P_{n}(x)}$ (question IV.E.2.)

$\Rightarrow 0\leq \alpha _{n}R_{n}(x)\leq \dfrac{F(x)}{P_{n}(x)}$

$\Rightarrow 0\leq \left| \alpha _{n}\right| \left| R_{n}(x)\right| \leq 
\dfrac{F(x)}{P_{n}(x)}$

$\Rightarrow \;$\underline{$0\leq \left| P_{n}(x)F(x)+Q_{n}(x)F^{\prime
}(x)\right| \leq n!\dfrac{F(x)}{P_{n}(x)}$} (d'apr\`{e}s les expressions de $%
\alpha _{n}$ et $R_{n})$

\medskip

A.2. Soit $x>0;$ alors $\forall n\in \Bbb{N},$

$0\leq \left| P_{n}(x)F(x)+Q_{n}(x)F^{\prime }(x)\right| \leq n!\dfrac{F(x)}{%
P_{n}(x)}\Rightarrow $

$0\leq \left| F(x)+\dfrac{Q_{n}(x)}{P_{n}(x)}F^{\prime }(x)\right| \leq n!%
\dfrac{F(x)}{P_{n}^{2}(x)}$

D'apr\`{e}s la question III.D.4., $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n!%
\dfrac{F(x)}{P_{n}^{2}(x)}=0.\;$Donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}F(x)+\dfrac{Q_{n}(x)}{P_{n}(x)}F^{\prime }(x)=0$ et 
\[
\underline{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{Q_{n}(x)}{P_{n}(x)}=-%
\dfrac{F(x)}{F^{\prime }(x)}=e^{x^{2}/2}\int\nolimits_{x}^{+\infty
}e^{-t^{2}/2}dt} 
\]

\medskip

B.1. Soit $p\in \{2,...,n\}$ et $x>0.$

$Z_{p-1,n}(x)=\dfrac{p-1}{x+\dfrac{p}{x+\dfrac{p+1}{%
\begin{array}{l}
..... \\ 
x+\dfrac{n}{x}
\end{array}
}}}=\dfrac{p-1}{x+Z_{p,n}(x)}$

Donc 
\[
\underline{Z_{p-1,n}(x)=\dfrac{p-1}{x+Z_{p,n}(x)}} 
\]

B.2. Soit $n\geq 2\;$et $x>0.$ Montrons par r\'{e}currence que $\forall k\in
\{0,...,n-1\}$ :

$\dfrac{Q_{n+1}(x)}{P_{n+1}(x)}=\dfrac{Q_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)Q_{n-k-1}(x)}{%
P_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)P_{n-k-1}(x)}$

Pour $k=0,$

$\dfrac{Q_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)Q_{n-k-1}(x)}{%
P_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)P_{n-k-1}(x)}=\dfrac{Q_{n}(x)+Z_{n,n}(x)Q_{n-1}(x)}{%
P_{n}(x)+Z_{n,n}(x)P_{n-1}(x)}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;=\dfrac{%
Q_{n}(x)+\dfrac{n}{x}Q_{n-1}(x)}{P_{n}(x)+\dfrac{n}{x}P_{n-1}(x)}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;\;=\dfrac{%
xQ_{n}(x)+nQ_{n-1}(x)}{xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x)}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\;\;\;\;\;=\dfrac{%
Q_{n+1}(x)}{P_{n+1}(x)}$

La formule est donxc vraie pour $k=0.$

Supposons la vraie au rang $k\leq n-2.$

Alors $\dfrac{Q_{n+1}(x)}{P_{n+1}(x)}=\dfrac{%
Q_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)Q_{n-k-1}(x)}{P_{n-k}(x)+Z_{n-k,n}(x)P_{n-k-1}(x)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{%
xQ_{n-k-1}(x)+(n-k-1)Q_{n-k-2}(x)+Z_{n-k,n}(x)Q_{n-k-1}(x)}{%
xP_{n-k-1}(x)+(n-k-1)P_{n-k-2}(x)+Z_{n-k,n}(x)P_{n-k-1}(x)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{%
Q_{n-k-1}(x)(x+Z_{n-k,n}(x))+(n-k-1)Q_{n-k-2}(x)}{%
P_{n-k-1}(x)(x+Z_{n-k,n}(x))+(n-k-1)P_{n-k-2}(x)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{Q_{n-k-1}(x)\dfrac{n-k-1}{%
Z_{n-k-1,n}(x)}+(n-k-1)Q_{n-k-2}(x)}{P_{n-k-1}(x)\dfrac{n-k-1}{Z_{n-k-1,n}(x)%
}+(n-k-1)P_{n-k-2}(x)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{%
Q_{n-k-1}(x)+Z_{n-k-1,n}(x)Q_{n-k-2}(x)}{%
P_{n-k-1}(x)+Z_{n-k-1,n}(x)P_{n-k-2}(x)}$

La formule est donc vraie au rang $k+1.$

Elle est donc vraie pour tout $k\in \{0,...,n-1\}.$ En posant $p=n-k,$ on en
d\'{e}duit :

\[
\underline{\forall p\in \{1,...,n\},\;\dfrac{Q_{n+1}(x)}{P_{n+1}(x)}=\dfrac{%
Q_{p}(x)+Z_{p,n}(x)Q_{p-1}(x)}{P_{p}(x)+Z_{p,n}(x)P_{p-1}(x)}} 
\]

\medskip

B.3. De B.2., on d\'{e}duit pour $x>0$ et $n\geq 2,$ $\dfrac{Q_{n+1}(x)}{%
P_{n+1}(x)}=\dfrac{Q_{1}(x)+Z_{1,n}(x)Q_{0}(x)}{P_{1}(x)+Z_{1,n}(x)P_{0}(x)}%
. $

Or $Q_{0}(x)=0,$ $Q_{1}(x)=1,$ $P_{0}(x)=1,$ $P_{1}(x)=x$.

D'o\`{u} $\dfrac{Q_{n+1}(x)}{P_{n+1}(x)}=\dfrac{1}{x+Z_{1,n}(x)}\Rightarrow $

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x+Z_{1,n}(x)}%
=e^{x^{2}/2}\int\nolimits_{x}^{+\infty }e^{-t^{2}/2}dt\Rightarrow $

\[
\frame{$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+\dfrac{2}{%
x+\dfrac{3}{%
\begin{array}{l}
......... \\ 
x+\dfrac{n}{x}
\end{array}
}}}}=e^{x^{2}/2}\int\nolimits_{x}^{+\infty }e^{-t^{2}/2}dt$}
\]

\begin{center}
$\infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty
\infty \infty \infty \infty \infty $

\medskip 
\end{center}

R\'{e}dig\'{e} par

\[
\begin{array}{l}
Pierre\;Bron,\;professeur\;de\;Sp\acute{e}ciales\;TSI \\ 
Lyc\acute{e}e\;Chaptal,\;6,\;all\acute{e}e\;Chaptal,\;22000\;StBrieuc \\ 
Tel.\;0296639414 \\ 
Email:106233.3407@COMPUSERVE.COM
\end{array}
\]

\`{a} l'aide de Scientific Workplace

\end{document}
