%\input clavierpers
\magnification=1000 \nopagenumbers
\null \vskip-2truecm
\def\ssev {sous-espace vectoriel }
\def\ssevs {sous-espaces vectoriels }
\centerline{\bf CENTRALE SUPELEC TSI II}

\vfill
{\bf Partie I}

\def\n{\noindent}
\def\rmath{{\bf R}}
\def\tr{\hbox{tr}}
\def\id{\hbox{id}}

\bigskip
\n \hskip-1.5em
I.A.1. D'apr{\`e}s le cours : $\dim S=6\ \dim A=3$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.A.2. L'application trace est une forme lin{\'e}aire de $M_3(\rmath )$. $T$ en est le noyau. C'est donc un sous-espace vectoriel
de $M_3(\rmath )$. Comme de plus l'application trace n'est pas nulle, d'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me du rang, on a : $\dim T=8$.

\medskip \n \hskip-1,5em
I.A.3. En tant qu'intersection de deux \ssevs de $M_3(\rmath )$, $S\cap T$ en est un. De plus, $S\cap T$ est
inclus dans $S$. C'est donc un \ssev de $S$.

\n $V$ est le sous-espace vectoriel engendr{\'e} par $J$, qui est un {\'e}l{\'e}ment de $S$, donc $V$ est un \ssev de $S$.

\n Il est clair que ces deux \ssevs n'ont pour {\'e}l{\'e}ment commun que la matrice nulle ($J$ n'a pas une trace nulle).
De plus, toute matrice sym{\'e}trique $M$ s'{\'e}crit : $M=(M-{\tr (M)\over 3}J)+{\tr (M)\over 3}J$, somme d'une matrice de trace
nulle, et d'une matrice colin{\'e}aire {\`a} $J$. En r{\'e}sum{\'e} : $(S\cap T)\cap V=\{ \vec 0\}$ et $(S\cap T)+V=S$. Donc $S\cap T$ et $V$
sont suppl{\'e}mentaires dans $S$.

\n De plus $\dim V =1$, donc $\dim S\cap T=5$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.A.4. On sait que $M_3(\rmath )=A\oplus S$, donc d'apr{\`e}s ce qui pr{\'e}c{\`e}de, $M_3(\rmath )=A\oplus [(S\cap T)\oplus V]$.


\bigskip
\n \hskip-1.5em
I.B.1. $\varphi$ est un octuplet d'applications. Chacune de ces applications est lin{\'e}aire, ce que l'on peut, par exemple,
d{\'e}montrer directement. 

\n Donc $\varphi $ est lin{\'e}aire.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.B.2. On trouve : $\pmatrix{
1&1&1&0&0&0&0&0&0\cr
0&0&0&1&1&1&0&0&0\cr
0&0&0&0&0&0&1&1&1\cr
1&0&0&1&0&0&1&0&0\cr
0&1&0&0&1&0&0&1&0\cr
0&0&1&0&0&1&0&0&1\cr
1&0&0&0&1&0&0&0&1\cr
0&0&1&0&1&0&1&0&0\cr}$.

\medskip \n\hskip-1,5em
I.B.3. On remarque, par exemple, que $L_1+L_2+L_3-L_4-L_5=L_6$. Donc le rang de la matrice est au plus 8-1=7.
L'algorithme du pivot de Gauss appliqu{\'e} {\`a} la matrice {\`a} laquelle on a retir{\'e} $L_6$ permet de  conclure que son rang est 7.

\medskip\n \hskip-1.5em
I.B.4. Le rang de la matrice est 7, donc le rang de $\varphi $ est {\'e}galement 7. L'espace de d{\'e}part {\'e}tant de dimension 9,
d'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me du rang, on a : $\dim\ker\varphi =2$. 

\bigskip
\n \hskip-1.5em
I.C.1. Une forme lin{\'e}aire non nulle sur $E$ est de rang 1, donc la dimension de son noyau est $\dim E-1$, c'est {\`a} dire :
$\dim H=p-1$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.C.2. On remarque d'abord que $\lambda '$ est une forme lin{\'e}aire de $F$. Soit $x$ dans $F$; $\lambda '(x)=0$ {\'e}quivaut {\`a}  
$x$ est dans $\ker \lambda \cap F$.
 Donc $\ker \lambda '=F\cap H$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.C.3. Si $\lambda '$ est nulle sur $F$, c'est-{\`a}-dire si $F$ est inclus dans $H$, $\ker \lambda '=F\cap H=F$. Donc  : 
$\dim F\cap H=q$.

\n Si $\lambda '$ n'est pas nulle sur $F$, son rang est 1, et $\dim \ker \lambda '=\dim F-1$. Donc $\dim F\cap H=q-1$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
I.C.4. Si $F$ contient un vecteur n'appartenant pas {\`a} $H$, $\lambda '$ n'est pas nulle sur $F$, donc $F\cap H$ est de
dimension $q-1$.

\vfill
{\bf Partie II.}
\bigskip
\n \hskip-1.5em
II.A. L'application qui {\`a} $M$ de $M_3(\rmath)$ associe $(s_i-s_j)_{1\le i<j\le 8}$ de $\rmath ^{28}$ est une
application lin{\'e}aire (ceci se d{\'e}montrerait comme au I.B.1.). L'ensemble des matrices magiques en est le noyau. Donc $\cal M$
est un \ssev de $M_3 (\rmath )$.

\vskip-3,5truecm\eject

\null\vskip-1,5truecm

\n \hskip-1.5em
II.B.1. En tant qu'intersections de \ssevs de $M_3 (\rmath )$ , ${\cal M}\cap S\cap T$ et ${\cal M}\cap A$
sont des
\ssevs. Etant inclus dans $\cal M$, ce sont des \ssevs de $\cal M$.
$\cal M$. 

\n Un {\'e}l{\'e}ment de  ${\cal M}\cap S\cap T$ s'{\'e}crit : $\pmatrix{a&b&c\cr b&l&m\cr c&m&t\cr}$, avec
$a+l+t=a+b+c=b+l+m=c+m+t=2c+l=0$ (1). Apr{\`e}s application de l'algorithme du pivot de Gauss, on aboutit {\`a} la condition
{\'e}quivalente {\`a} (1) : $b=t=-a=-m$ et $c=0$. Les {\'e}l{\'e}ments de  ${\cal M}\cap S\cap T$ sont les matrices : 
$\pmatrix{a&-a&0\cr -a&0&a\cr 0&a&-a\cr}$, o{\`u} $a$ d{\'e}crit $\rmath$. 

\n Donc la dimension de  ${\cal M}\cap S\cap T$ est 1, et une
base en est : $\pmatrix{1&-1&0\cr -1&0&1\cr 0&1&-1\cr }$.

\n Un {\'e}l{\'e}ment de $\cal M\cap A$ s'{\'e}crit : $\pmatrix {0&b&c\cr -b&0&m\cr -c&-m&0\cr}$ avec $b+c=-b-m=-c-m=0$, c'est-{\`a}-dire
$-c=b=m$. Les {\'e}l{\'e}ments de  ${\cal M}\cap A$ sont les matrices : 
$\pmatrix{0&b&-b\cr -b&0&b\cr b&-b&0\cr}$, o{\`u} $b$ d{\'e}crit $\rmath$. 

\n Donc la dimension de  ${\cal M}\cap A$ est 1, et une
base en est : $\pmatrix{0&1&-1\cr -1&0&1\cr 1&-1&0\cr }$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
II.B.2. Remarquons que $V\subset {\cal M}\cap S$. La restriction de la trace {\`a} ${\cal M}\cap S$ est une forme lin{\'e}aire non
nulle (car $J$ est dans ${\cal M}\cap S$ et
$J$ est de trace non nulle). D'apr{\`e}s le I.C., son noyau est ${\cal M}\cap S \cap T$, qui est de dimension $\dim ({\cal M}\cap
S)-1$. D'autre part, comme $V\cap T=\{\vec  O\}$,
$({\cal M}\cap S
\cap T )\cap V=\{\vec 0\}$.  Comme $\dim V=1$, les deux \ssevs sont suppl{\'e}mentaires dans
${\cal M}\cap S$. Donc :
$({\cal M}\cap S \cap T )\oplus V={\cal M}\cap S$

\bigskip
\n \hskip-1.5em
II.C.1. Les propri{\'e}t{\'e}s d{\'e}finissant les matrices magiques {\'e}tant sym{\'e}triques relativement aux lignes et aux colonnes, la
transpos{\'e}e d'une matrice magique est magique. Soit $M$ une matrice magique. $M={1\over 2}(M+^tM)+{1\over 2}(M-^tM)$, les
deux termes matriciels sont magiques (C.L. de matrices magiques), la premi{\`e}re est sym{\'e}trique, la seconde antisym{\'e}trique. De
plus, comme $S$ et $A$ sont suppl{\'e}mentaires, ${\cal M}\cap S$ et ${\cal M}\cap A$ ont pour intersection $\{\vec 0\}$.
Donc $({\cal M}\cap S)\oplus ({\cal M}\cap A)={\cal M}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
II.C.2. D'apr{\`e}s le II.B., une base de ${\cal M}\cap S$ est $\left ( \pmatrix{1&-1&0\cr -1&0&1\cr 0&1&-1\cr };J\right )$. Une
base de ${\cal M}\cap A$ est $\pmatrix{0&1&-1\cr -1&0&1\cr 1&-1&0\cr }$. Les deux \ssevs {\'e}tant suppl{\'e}mentaires dans
$\cal M$, une base de
$\cal M$ est donc la "r{\'e}union" de ces deux bases.
Toute matrice de $\cal M $ est  une combinaison lin{\'e}aire de ces trois matrices, donc de la forme :
$\pmatrix{x+y&-x+y+z&-x+z\cr -x-y+z&z&x+y+z\cr y+z&x-y+z&-x+z\cr}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
II.C.3. Une matrice magique v{\'e}rifie ces trois conditions si, et seulement si, $\left\{\matrix{x+z&=3\cr -x+y+z&=4\cr
-y+z&=5}\right.$, ce qui {\'e}quivaut {\`a} $x=-1$ et $y=-1$ et $z=4$. Il y a donc bien une unique matrice magique remplissant les
trois conditions : $\pmatrix{3&4&5\cr 6&4&2\cr 3&4&5\cr }$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
II.C.4. En proc{\'e}dant comme au II.B.2., on prouve que $\dim {\cal M}\cap T=2$... (3-1).

\vskip-3,5truecm\eject
\null \vskip-1,5truecm


{\bf Partie III}

\medskip
\n \hskip-1.5em
III.A. Comme en faisant la somme des termes de chacune des trois lignes on trouve la somme $\alpha$ de la matrice magique, le
vecteur $\pmatrix{1\cr 1\cr1\cr}$ en est vecteur propre associ{\'e}e {\`a} $\alpha$. Donc le vecteur $\vec v$ est vecteur propre de
$u$ associ{\'e} {\`a} la valeur propre $\lambda _1$, somme de la matrice magique.

\medskip
\n \hskip-1.5em
III.B. Le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique {\`a} pour premiers termes : $(-1)^3X^3+(-1)^2\tr (M)X^2+\ldots$. La somme des trois valeurs
propres, qui sont les z{\'e}ros du polyn{\^o}me caract{\'e}ristique, ont pour somme l'oppos{\'e} du coefficient de $X^2$, soit $a+l+t$.

\n On a donc : $\lambda _1+\lambda _2+\lambda _3=a+l+t$. Vu la valeur de $\lambda _1$, on on a  $\lambda _2+\lambda
_3=0$, et donc $\lambda _2$ et $\lambda _3$ sont oppos{\'e}s.

\medskip
\n \hskip-1.5em
III.C. $\Pi$ a pour {\'e}quation : $x+y+z=0$.  soit $\vec a$ un vecteur de $\Pi$, et $(x,y,z)$ ses composantes. $u(\vec a)$ a
pour composantes : $(ax+by+cz,kx+ly+mz,rx+sy+tz)$. La somme de ces trois composantes est : $\alpha (x+y+z)$ qui est nul.
Donc $u(\vec a)$ est dans $\Pi$. Donc $\Pi$ est stable par $u$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
III.D.1. $u(\vec i-\vec k)$ a pour composantes : $(a-c,k-m,r-t)$. Son produit scalaire avec $\vec v$ vaut $\alpha - \alpha
=0$. Donc $u(\vec i-\vec k )$ est orthogonal {\`a} $\vec v$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
III.D.2. $u(\vec i-\vec k)\cdot (\vec i-\vec k)$ vaut $a-c-r+t$ que l'on peut {\'e}crire $a+t+l-(c+r+l)$ et qui
est donc nul. Donc, $u(\vec i-\vec k)$ est orthogonal {\`a} $\vec i-\vec k$.

\bigskip
\n \hskip-1.5em
III.E. La matrice $M$ est sym{\'e}trique r{\'e}elle, donc diagonalisable {\`a} l'aide d'une matrice de passage orthogonale $P$ :
$P^{-1}=\ ^tP$. En choisissant comme premi{\`e}re colonne de $P$ les composantes de ${1\over \sqrt 3}\vec v$, la matrice diagonale
semblable {\`a}
$M$ sera diag($\alpha, \lambda _2,\lambda _3$), soit de la forme diag$(\alpha ,\beta ,-\beta)$; soit $D$ cette matrice. 
De plus les coefficients de la premi{\`e}re colonne de $P$ seront tous {\'e}gaux {\`a} ${1\over \sqrt 3}$.

\n On a bien {\'e}galement : $M=PDP^{-1}=PD^tP$.

\vfill
{\bf Partie IV}

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.A.1.  Si $f$ est une sym{\'e}trie orthogonale non triviale,  $f$ est diagonalisable, ses valeurs propres sont 1 et $-1$, et
comme la sym{\'e}trie se fait par rapport {\`a}
$E_1$, parall{\`e}lement {\`a} $E_{-1}$, ces deux sous-espaces sont orthogonaux. De plus $f$ laisse invariante une base orthonormale
de $E_1$ et transforme une base orthonormale de $E_{-1}$ en son "oppos{\'e}e". Elle transforme donc une base orthonormale de
l'espace en une base orthonormale. $f$ est donc orthogonale. $S$ v{\'e}rifie donc : $S^{-1}=S$ et $^tS=S^{-1}$, donc $^tS=S$.
$S$ est donc sym{\'e}trique et orthogonale.

\n Si $S$ est sym{\'e}trique et orthogonale, $^tSS=I_3$ et $^tS=S$, donc $S^2=I_3$ et donc $f^2=\id _E$. $f$ est donc une
sym{\'e}trie vectorielle. Si elle n'est pas triviale, ses valeurs propres sont 1 et -1. La
sym{\'e}trie vectorielle se fait par rapport {\`a} $E_{1}$, parall{\`e}lement {\`a} $E_{-1}$, qui sont orthogonaux. C'est donc une sym{\'e}trie
orthogonale.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.A.2. On sait que les seules valeurs propres possibles pour $S$ sont  1 et $-1$.

\n $S$ est donc semblable, gr{\^a}ce {\`a} une matrice orthogonale, {\`a} diag($x,y,z)$, $x$, $y$ et $z$ vallant 1 ou $-1$. Sa trace 
vaut $x+y+z$ (invariance de la trace par similitude). tr$S=-1$ si, et seulement si, 2 valeurs propres vallent $-1$ et une seule
vaut 1, c'est-{\`a}-dire dim$E_1=1$ (et dim$E_{-1}=2$), c'est-{\`a}-dire $W$ est une droite.

\n Donc $f$ est un retournement si, et seulement si, la trace de $S$ est $-1$.

\bigskip
\n \hskip-1.5em
IV.B.1.  D'apr{\`e}s le cours, la matrice est : $\pmatrix{\cos \theta &-\sin \theta &0\cr
\sin \theta &\cos \theta &0\cr 0&0&1\cr }$. On sait que son spectre est : $\{1;e^{i\theta};e^{-i\theta}\}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.B.2. Les valeurs propres sont oppos{\'e}es si, et seulement si, $e^{i\theta}=-1$ ou $e^{-i\theta}=-1$ (impossible car $\theta
\le k\pi $) ou
$e^{i\theta}=-e^{-i\theta}$, soit  $\theta =\pi -\theta \ [2\pi ]$,
soit encore $\theta$ appartient {\`a} $\{ {\pi \over 2},{-\pi \over 2}\}$.


\n Si $\theta = {\pi \over 2}$, Sp$(R)=\{ 1,i,-i\}$.

\n Si $\theta = {-\pi \over 2}$, Sp$(R)=\{ 1,i,-i\}$.

\vskip-3,5truecm\eject
\null\vskip-1,5truecm

\n \hskip-1.5em
IV.B.3.a. Le vecteur $\vec w$ se projette selon $\vec K$ en $(\vec w\cdot\vec K)\vec K$. Soit $\vec W$ ce vecteur. $\vec
w-\vec W=\vec V$ est orthogonal {\`a} l'axe de la rotation, et donc a pour image $\cos \theta \vec V+\sin \theta (\vec K\wedge
\vec V)$; or  $\vec K\wedge \vec V=\vec K\wedge (\vec w-(\vec w\cdot\vec K)\vec K=\vec K\wedge \vec w=-\vec
w\wedge \vec K$. Le projet{\'e} selon $\vec K $ {\'e}tant invariant par la rotation, on a donc :
$u(\vec w)=(\vec w\cdot\vec K)\vec K-\vec w\wedge \vec K$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.B.3.b. Dans ce cas, on a :
$u(\vec w)=(\vec w\cdot\vec K)\vec K+\vec w\wedge \vec K$.

\bigskip
\n \hskip-1.5em
IV.C.1. $u$ {\'e}tant une rotation, ses seules valeurs propres sont 1 et -1. Si $\vec v$ est associ{\'e} {\`a} -1, 1 {\'e}tant toujours
valeur propre d'une rotation, -1 doit {\^e}tre une valeur propre double (le d{\'e}terminant d'une rotation est 1, c'est aussi le
produit des valeurs propres). $u$ serait alors un retournement, ce qui est exclu. Donc $\vec v $ est associ{\'e} {\`a} la valeur
propre 1. L'axe de la rotation est dirig{\'e} par $\vec v$.

\n D'apr{\`e}s III.B., la matrice {\'e}tant magique, les deux autres valeurs propres doivent {\^e}tre oppos{\'e}es, donc $\theta$ vaut
${\pi\over 2}$ ou $-{\pi\over 2}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.C.2. On pose $\vec K={1\over \sqrt 3}\vec v$, $\vec x'=\vec x -(\vec x\cdot \vec K)\vec K$.

\n si $\theta ={\pi\over 2}$, d'apr{\`e}s IV.B.3., $u(x)=(\vec x\cdot \vec K)\vec K-\vec x'\wedge \vec K$, qui a pour
composantes,

\n $A={1\over 3}(x_1+x_2+x_3)(1,1,1)+{1\over \sqrt 3}(1,1,1)\wedge (x_1-{1\over  3}(x_1+x_2+x_3),x_2-{1\over 
3}(x_1+x_2+x_3),x_3-{1\over  3}(x_1+x_2+x_3))$, soit apr{\`e}s calculs, la matrice de $u$  correspondante
est : $\pmatrix{ {1\over  3}&{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over3}+{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over  3}&{1\over 3}-{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over 3}+{1\over \sqrt3}&{1\over  3}\cr}$.

\n Si $\theta =-{\pi\over 2}$, on trouve, $\pmatrix{ {1\over  3}&{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over3}-{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over  3}&{1\over 3}+{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over 3}-{1\over \sqrt3}&{1\over  3}\cr}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.C.3. Ces matrices sont effectivement magiques ($\alpha =1$).

\bigskip
\n \hskip-1.5em
IV.D.1. En partant de la matrice du II.C.2., la trace devant {\^e}tre {\'e}gale {\`a} -1, on trouve : $z=-{1\over 3}$. La matrice devant
{\^e}tre sym{\'e}trique, $y=0$. La matrice devant {\^e}tre orthogonale, l'orthogonalit{\'e} des colonnes se traduit par $x^2={1\over 3}$. Les
matrices possibles pour que $u$ soit un retournement sont :

\n $\pmatrix{ -{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}\cr
-{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}&-{1\over 3}-{1\over \sqrt 3}\cr
-{1\over  3}&{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over 3}+{1\over \sqrt3}}$
ou $\pmatrix{ -{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}\cr
-{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}&-{1\over 3}+{1\over \sqrt 3}\cr
-{1\over  3}&{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over 3}-{1\over \sqrt3}}$

\n (On remarque que la norme de chaque vecteur colonne est bien 1)

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.D.2. Une matrice magique orthogonale de d{\'e}terminant 1 {\'e}tant soit un retournement, soit pas un retounement, les matrices
magiques orthogonales de d{\'e}terminant 1 sont :

\n  $\pmatrix{ {1\over  3}&{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over3}+{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over  3}&{1\over 3}-{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over 3}+{1\over \sqrt3}&{1\over  3}\cr}$
ou
 $\pmatrix{ {1\over  3}&{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over3}-{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&{1\over  3}&{1\over 3}+{1\over \sqrt 3}\cr
{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&{1\over 3}-{1\over \sqrt3}&{1\over  3}\cr}$
ou
   $\pmatrix{ -{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}\cr
-{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}&-{1\over 3}-{1\over \sqrt 3}\cr
-{1\over  3}&{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over 3}+{1\over \sqrt3}}$
ou
 $\pmatrix{ -{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}\cr
-{1\over  3}-{1\over \sqrt 3}&-{1\over  3}&-{1\over 3}+{1\over \sqrt 3}\cr
-{1\over  3}&{1\over  3}+{1\over \sqrt 3}&-{1\over 3}-{1\over \sqrt3}}$.

\medskip
\n \hskip-1.5em
IV.D.3. Si $M$ est une matrice magique orthogonale de d{\'e}terminant -1, $-M$ en est une de  d{\'e}terminant 1. Les matrices magiques
orthogonales de d{\'e}terminant -1 sont les oppos{\'e}es des pr{\'e}c{\'e}dentes.



\vskip-3,5truecm \end
