%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Probl\`eme 1.A. du concours PT 1997. 
% Version 1.03 du 28 mai 1998
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Auteur :
% Daniel DUPARC
% Lyc\'ee Voltaire
% 101 av. de la R\'epublique
% 75543 PARIS CEDEX 11
%
% Donn\'e au domaine public pour un usage non commercial.
%
% Fichiers distribu\'es (fichiers textes en codes ASCII 7 bits) :
% pt97_1a.tex (ce fichier en plain \TeX)
% (pas de format fran\c{c}ais externe)
% pt97_1a.ps (fichier PostScript, transform\'e par dvips de pt97_1a.dvi)
%
%  Si vous ne disposez pas des fontes msbm (blackboard) de l'AMS
%  changez \blackboardtrue en \blackboardfalse ligne 133
%

%\magnification=1095

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input mon_a4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fichier format pour plain TeX, d'apr\`es R. Seroul
% Le petit livre de TeX. (Intereditions, Paris, 1992)
% Voir en particulier les pages 29-30, le paragraphe 7.2 page 203,
% le paragraphe 12.4 page 205 et le paragraphe 12.8 page 214.
% Daniel Duparc.
% num\'ero de version : 1.20
% date de version : 29 mars 1997
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\DP{:}%
% taper \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% \`a la place de \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% pour obtenir l'impression d'un fichier graphique *.PCX sous emTeX ,
% car on red\'efinit plus loin le caract\`ere ":"

\catcode`\@=11

%\magnification=1200
\hsize=6.5truein
%\vsize=8.9truein
%\hoffset=4mm       
% Pour dvidot :
\voffset=0mm
% Pour dvips puis GhostScript :
%\voffset=20truemm

\pretolerance=500  \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

\catcode`\@=12

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Les macros suivantes sont expliqu\'ees page 89 .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue
\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}
\newtoks\nbpages            \nbpages={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche     \newtoks\hautpagedroite
\hautpagegauche={\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\hfil\the\titrecourant\hfil}

\newtoks\baspagegauche   \baspagegauche={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}
\newtoks\baspagedroite   \baspagedroite={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
\else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
\else\the\hautpagegauche\fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre
\global\pagetitrefalse
\else\ifodd\pageno\the\baspagedroite
\else\the\baspagegauche\fi\fi}

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% guillemets fran\c{c}ais : ces macros sont tir\'ees du livre de Seroul page 247
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% red\'efinition de \dysplaystyle pour aller plus vite .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\ds{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% macro utile pour les tableaux (Seroul p.133)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\sc=cmcsc10 

\vsize=9.1truein
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input probleme.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  En-tete standard pour correction de probleme
% Daniel Duparc
% numero de version : 1.19
% date de version   : 17 mai 1996
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifblackboard
\blackboardtrue

\ifblackboard
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  en utilisant les fontes de l'AMS
%  Pour agrandir les caracteres red\'efinir dans un groupe la 
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=msbm10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=msbm10 
\def\R{\hbox{\bb R}}
\def\N{\hbox{\bb N}}
\def\C{\hbox{\bb C}}
\def\Z{\hbox{\bb Z}}
\def\Q{\hbox{\bb Q}}
\def\K{\hbox{\bb K}}

\else
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  d'apres Urban,Cornelis:Premiers pas en LATEX page 80
%  Pour agrandir les caracteres red\'efinir dans un groupe la 
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=cmsl10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=cmsl10
\def\R{\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}}
\def\N{\hbox{\bb I\hskip -0.15em N}}
\def\C{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em C\/}}
\def\Z{\hbox{\bb Z\hskip -0.3em Z}}
\def\Q{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em Q}}
\def\K{\hbox{\bb I\hskip -0.15em K}}

\fi

\hautpagetitre={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagegauche={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagedroite={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\baspagegauche={\hfil}
\baspagedroite={\hfil}


% Macro \boxit tir\'ee du livre Le petit livre de TEX 
% de R. Seroul page 123.
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}
% Mode d'emploi : 
%  \setbox10=\hbox{$h(x)=\sin(x)$}
%  \boxit{3pt}{\box10}
% si on veut entourer \box10 d'un blanc de 3 points et d'un cadre .

% Macro \cadre
% d'apr\`es R. Seroul page 123.
\def\cadre#1#2{\vbox{\hrule height 2pt \hbox{\vrule width 2pt
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule width 2pt}\hrule height 2pt }}
% Mode d'emploi : 
%  \setbox10=\hbox{$h(x)=\sin(x)$}
%  \cadre{3pt}{\box10}
% si on veut entourer \box10 d'un blanc de 3 points et d'un cadre .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\font\gros=cmbx10 scaled \magstep2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  Variables a changer pour chaque probleme:
%\font\sc=cmcsc10
%\auteurcourant={DUPARC 805 }
\auteurcourant={Concours PT 1997. Probl\`eme 1A}    
% avant compilation vers dvi
\nbpages={/9}                  % apres compilation vers dvi
                                % contient le nombre de pages
\parindent=0pt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Demande de Quercia pour la banque UPS :
\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline=%
{\@upstt\hfil\jobname.tex\  - page\ \the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}%
\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undifined\else\count0=\numerodepage\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Partie I
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_i1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 1.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie I}
\centerline{  \boxit{5pt}{\box10}}
\bigskip

\noindent {\bf 1.1 La suite 
$u_n = \ds \sum_{k=0}^{k=n-1}{1 \over k+1}-\ln (n)$ est convergente}

\medskip
\noindent Montrons pour cela que la s\'erie de terme g\'en\'eral
$v_n = u_n - u_{n-1}$ est convergente.
$$v_n = u_n - u_{n-1}= {1\over n} + \ln ({n-1\over n})=
{1\over n} + \ln (1- {1\over  n})= {1\over n} -{1\over n} -{1\over {n^2}}
+{1\over {n^2}} \varepsilon (n)
$$
avec $\ds \lim_{n\rightarrow  +\infty}\varepsilon (n) =0$.
Donc la suite de terme g\'en\'eral $v_n $ est \'equivalente, 
quand $n$ tend vers l'infini \`a
$-{\ds 1\over {\ds n^2}}$, donc est n\'egative pour $n$ assez grand, et donc
la s\'erie de terme g\'en\'eral $v_n$ est convergente.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_i2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 1.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent {\bf 1.2 
Calcul de $\ds \sum_{n=0}^{+\infty} {(-1)^n\over {n+1}}$}

\medskip
\noindent a) Premi\`ere m\'ethode

Le programme PT fournit un th\'eor\`eme
qui donne le r\'esultat imm\'ediatement !

On sait que pour tout $x$ r\'eel, $-1 < x <1$, 
$$\ln (1+x) = x-{x^2\over 2}+\cdots +(-1)^{n+1}{x^n\over n}+\cdots
$$
Quand on remplace $x$ par $1$ dans la s\'erie de droite, on obtient
une s\'erie convergente, en vertu du th\'eor\`eme sur les s\'eries
altern\'ees. Donc la valeur de la s\'erie de droite est la limite
de l'expression de gauche quand $x$ tend vers $1$, donc $\ln (2)$.
Le probl\`eme propose une autre m\'ethode, qu'on va 
expliquer maintenant.
\medskip
\noindent a) Deuxi\`eme m\'ethode

On pose conform\'ement \`a l'indication :
$$s_n = 1 -{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+ {(-1)^n\over {n+1}}$$
Donc :
$$\eqalign{ s_{2n} &= 1 -{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots- {1\over {2n}}
+{1\over {2n+1}} \cr
&= 1 +{1\over 3}+{1\over 5}+\cdots+ {1\over {2n+1}}-
{1\over 2} (1 +{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+ {1\over {n}})\cr
&= 1 +{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+{1\over {2n}}+ {1\over {2n+1}}-
{1\over 2} (1 +{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+ {1\over {n}})-
{1\over 2} (1 +{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+ {1\over {n}})\cr
&= u_{2n+1}+\ln (2n+1)-(1 +{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+ {1\over {n}})\cr
&= u_{2n+1}+\ln (2n+1)-(u_n + \ln (n) )\cr
&= u_{2n+1}-u_n + \ln (2+{1\over n}) \cr
}$$
D'apr\`es la question I.1 la suite de terme g\'en\'eral $u_n$
tend vers une limite et donc la suite de terme g\'en\'eral
 $u_{2n+1}-u_n$
tend vers $0$ (On remarquera que l'indication fournie est impr\'ecise).
Finalement on voit que $s_{2n}$ et donc $s_n$ tendent vers $\ln (2)$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_i3.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 1.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent {\bf 1.3 
Calcul de  
$ \ds \sum_{k=0}^{+\infty}{\ds (-1)^k \over \ds k+1}$ \`a $10^{-6}$ pr\`es}

\medskip
\noindent La question est impr\'ecise : le calcul 
effectif d\'epend \'evidemment de la pr\'ecision
disponible dans le calcul des approximations des 
${\ds (-1)^k \over \ds k+1}$. Si la question est seulement
de trouver $n$ tel que tel que le reste d'ordre $n$ de
la s\'erie soit inf\'erieur \`a $10^{-6}$ la r\'eponse est
sans ambiguit\'e avec les termes du programme : les 
candidats doivent savoir que le reste d'ordre $n$ est
inf\'erieur en valeur absolue \`a la valeur absolue 
du premier terme n\'eglig\'e. 

Une solution est alors, en prenant les notations de la 
question pr\'ec\'edente et si c'est $s_n$ qu'on  calcule, que le
reste $r_n$ v\'erifie :
$$| r_n| < {1\over {n+2}}$$
et donc imposer $r_n < 10^{-6}$ impose $n+2 > 10^6$
et donc
$n > 999\  998$, $n\ge 999\ 999$.


Mais cela ne donne 
nullement une v\'eritable approximation car alors
il faut tenir compte des majorants d'erreurs sur les calculs
num\'eriques des termes de $s_n$.

Examinons ce qui se passe dans un calcul r\'eel, en supposant
qu'on dispose de moyens de calcul permettant d'avoir un
majorant d'erreur sur chaque calcul de $10^{-16}$, ce qui
est vrai pour un ordinateur de bureau, presque tous les
compilateurs, et Maple V en le demandant.

Si on r\'eserve par exemple $10^{-8}$ pour l'erreur de calcul machine,
il reste $0,99\  10^{-6}$ pour l'erreur de m\'ethode (le reste)
et donc, comme ci-dessus : $n+2 > {1\over(0,99\  10^{-6})}$.
Comme $1/0,99 \le   1,010\  102$ il suffit de prendre 
$n> 1\  010\  100$, $n \ge 1\  010\  101$. Comme 
$1\  010\  101 * 10^{-16}< 10^{-5}$ le calcul num\'erique
approch\'e de $s_{1\  010\  101}$ donne $\ln (2)$ \`a $10^{-6}$
pr\`es.

Dans un calcul r\'eel o\`u un
majorant d'erreur sur chaque calcul est  $10^{-10}$, ce qui 
est courant sur les calculettes de poche, les choses
changent radicalement.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_i4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 1.4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent {\bf 1.4 
Calcul de  
$ \ds \sum_{k=1}^{+\infty}{\ds 1\over \ds k 2^k}$ \`a $10^{-6}$ pr\`es}

\medskip
\noindent La question est tout aussi impr\'ecise que
la pr\'ec\'edente pour la m\^eme raison.
L'auteur du sujet suppose implicitement que pour avoir
une approximation de 
$$ s= \ds \sum_{k=1}^{+\infty}{\ds 1\over \ds k 2^k}$$
on va calculer une valeur approch\'ee de
$$ s_n =\ds \sum_{k=1}^{n}{\ds 1\over \ds k 2^k}$$
c'est \`a dire n\'egliger le reste
$$ r_n =\ds \sum_{k=n+1}^{+\infty}{\ds 1\over \ds k 2^k}$$
Or \c ca n'a rien d'\'evident, car on peut essayer d'estimer
$s_n$ plus finement. De toutes fa\c cons, il faut tenir
compte du majorant de l'erreur sur le calcul num\'erique de
$s_n$.

R\'edigeons une solution : Pour tout $k$ entier sup\'erieur 
ou \'egal \`a $2$,
${\ds 1\over \ds k 2^k} < {\ds 1\over \ds  2^k}$ et donc 
$$ r_n =\ds \sum_{k=n+1}^{+\infty}{\ds 1\over \ds k 2^k}
< \sum_{k=n+1}^{+\infty}{\ds 1\over \ds  2^k}=
{1\over 2^{n+1}}\sum_{k=0}^{+\infty}{\ds 1\over \ds  2^k}=
{1\over 2^{n+1}}{1\over {1-1/2}}={1\over 2^{n}}
$$
Si par exemple on veut que $r_n < 5\  10^{-7}$ (on r\'eserve
$ 5\  10^{-7}$ aussi pour les erreurs de calcul sur les termes
de $s_n$), on doit prendre :
$${1\over 2^n} < 5 \ 10^{-7}$$
soit 
$${ 2^n} >  10^{7}/5= 2 \ 000\ 000$$
ou 
$$n> {\ln (2\ 000\ 000)\over \ln (2)}$$
$n\ge 21$ convient.

Attention d'autres m\'ethodes d'estimation du reste
sont possibles, il y a beaucoup de r\'eponses
correctes (elles sont {\it suffisantes}).

Bien entendu, m\^eme avec une calculette, les erreurs
dues aux calculs num\'eriques des 21 termes sont acceptables.

On remarquera que l'\'enonc\'e ne demande pas de calcul num\'erique
effectif.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Partie II
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_ii1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 2.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie II}
\centerline{  \boxit{5pt}{\box10}}
\bigskip

\noindent {\bf 2.1.1 \bf 
Si la suite $u$ converge vers $0$, la suite $v$ converge vers $0$}

\medskip
\noindent Pour tout $n_0 $ entier inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ :
$$v_n = {1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} u_k +
{1\over {n+1}}\sum_{k=n_0 + 1}^{n} u_k$$
\'Ecrivons que la suite $u$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers
l'infini :
Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ entier tel
que pour tout $n$ entier, $n \ge n_0$, $|u_n| \le \varepsilon$.

Alors pour $n \ge n_0$ :
$$| v_n| \le {1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} |u_k| +
{1\over {n+1}}\sum_{k=n_0 + 1}^{n} \varepsilon
={1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} |u_k| +
{n- n_0 +1\over n+1} \varepsilon
\le {1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} |u_k| +
 \varepsilon
$$
Le nombre $\ds \sum_{k=0}^{n_0} |u_k| $ est un nombre r\'eel 
positif qui ne d\'epend pas de $n$ et donc :
$$\lim_{n \rightarrow +\infty }{1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} |u_k| 
=0
$$
(Il existe $n_1$ entier tel que $n\ge n_1$ entraine :
$\ds {1\over \ds {n+1}}\sum_{k=0}^{n_0} |u_k| \le \varepsilon $).
Donc pour $n$ plus grand que le plus grand de $n_0$ et de
$n_1$ :
$$ |v_n| \le 2\varepsilon$$
ce qu'il fallait d\'emontrer.
\goodbreak
\bigskip
\noindent {\bf 
Si la suite $u$ converge vers $L$, la suite $v$ converge vers $L$}

Il suffit d'appliquer le r\'esultat pr\'ec\'edent \`a
la suite de terme g\'en\'eral $u_n - L$ car
$${1\over n+1}\sum_{k=0}^{n}L = L
$$
et la suite de terme g\'en\'eral $v_n$ est chang\'ee en la suite
de terme g\'en\'eral $v_n - L$.


\bigskip

\noindent {\bf 2.1.2 \bf 
Convergence des suites $u$ et $v$ si $\ds u_n = e^{2i\pi n \theta}$}
\medskip
\noindent
Si $u_n$ tend vers une limite $l$, $u_{n+1}$ aussi et donc
$u_n - u_{n+1}$ tend vers $0$.
Or :
$$|u_n - u_{n+1}|= |e^{2i\pi n \theta}| |1-e^{2i\pi  \theta}|
=|1-e^{2i\pi  \theta}| \neq 0
$$
si $\theta$ n'est pas entier. Donc la suite $u$ n'est pas convergente
si $\theta$ n'est pas entier.
\medskip
\noindent \'Etudions la suite $v$.
$$v_n = {1\over {n+1}}\sum_{k=0}^{n} e^{2i\pi n \theta}
={1\over {n+1}}{1- e^{2i\pi (n+1) \theta}\over 1-e^{2i\pi  \theta} }$$
Comme $n$ n'est pas entier, $e^{2i\pi  \theta} \neq 1$ et 
$$| v_n | \le {1\over n+1}{2\over {| 1-e^{2i\pi  \theta}| }}
$$
et donc la suite $v$ tend vers $0$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_ii2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 2.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\noindent {\bf 2.2.1
Si la suite $u$ converge vers $L$, la suite $w$ converge vers $L$}

\medskip
\noindent Comme dans la question 2.1.1, il suffit de montrer 
que $w$ tend vers $0$ si $u$ tend vers $0$ car :
$$(1+1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^{k=n} {n\choose k}$$
Pour tout $n_0 $ entier inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ :
$$w_n = {1\over {2^n}}\sum_{k=0}^{n_0} {n\choose k}u_k +
{1\over {2^n}}\sum_{k=n_0 + 1}^{n} {n\choose k}u_k$$
\'Ecrivons que la suite $u$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers
l'infini :
Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ entier tel
que pour tout $n$ entier, $n \ge n_0$, $|u_n| \le \varepsilon$.

Alors pour $n \ge n_0$ :
$$| w_n| \le {1\over {2^n}}\sum_{k=0}^{n_0} {n\choose k}|u_k| +
{1\over {2^n}}\sum_{k=n_0 + 1}^{n} {n\choose k}\varepsilon
\le {1\over {2^n}}\sum_{k=0}^{n_0}{n\choose k} |u_k| +
 \varepsilon
$$
$\ds \sum_{k=0}^{n_0} {n\choose k}|u_k| 
\le \sum_{k=0}^{n_0} {n_0 \choose k}|u_k|$ 
qui est est un nombre r\'eel 
positif qui ne d\'epend pas de $n$ et donc :
$$\lim_{n \rightarrow +\infty }{1\over {2^n}}
\sum_{k=0}^{n_0}{n\choose k} |u_k| 
=0
$$
(Il existe $n_1$ entier tel que $n\ge n_1$ entraine :
$\ds {1\over \ds {2^n}}\sum_{k=0}^{n_0}{n\choose k} 
|u_k| \le \varepsilon $).
Donc pour $n$ plus grand que le plus grand de $n_0$ et de
$n_1$ :
$$ |w_n| \le 2\varepsilon$$
ce qu'il fallait d\'emontrer.
\bigskip
\noindent {\bf 2.2.2
Exemple de suite $u$ divergente telle que la suite $w$ converge}

\medskip
\noindent Si $u_n = (-2)^n$, \'evidemment divergente,
$$w_n  = {1\over {2^n}}\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}(-2)^k
={1\over {2^n}}(1-2)^n = \Bigl({-1\over {2}}\Bigr)^n
$$
$w_n$ est convergente vers $0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805_ii3.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 2.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip

\noindent {\bf 2.3.1 \bf 
D\'emonstration de la formule $\ds u_0^{(k)}= \sum_{j=0}^k 
{k\choose j}u_j$}

\medskip
\noindent En fait, quand on examine les premiers \'el\'ements
des suites $u^{(0)}$, $u^{(1)}$,$u^{(2)}$, $u^{(3)}, \ldots$ , 
on se rend
vite compte que la formule g\'en\'erale est :
$$u_n^{(k)}= \sum_{j=0}^k {k\choose j} u_{n+j}$$
Or celle-ci est {\it beaucoup }plus facile \`a d\'emontrer par
r\'ecurrence sur $k$ que la formule demand\'ee. En fait il aurait 
\'et\'e plus facile que ce qui est demand\'e de ne pas donner 
la formule g\'en\'erale, de la faire deviner puis d\'emontrer.
\medskip
\noindent La formule est \'evidemment vraie pour $k=0$.

\noindent Supposons vraie la formule :
$$u_n^{(k-1)}= \sum_{j=0}^{k-1} {k-1\choose j} u_{n+j}$$
Alors :
$$\eqalign{u_n^{(k)} &=u_n^{(k-1)} + u_{n+1}^{(k-1)}\cr
&=\sum_{j=0}^{k-1}{k-1 \choose j}u_{n+j}+
\sum_{j=0}^{k-1}{k-1 \choose j}u_{n+1+j}\cr
&={k-1 \choose 0}u_n +\sum_{j=1}^{k-1}{k-1 \choose j}u_{n+j}+
\sum_{i=1}^{k}{k-1 \choose i-1}u_{n+i}\ \ \ \ \ (i=j+1)\cr
&={k-1 \choose 0}u_n +\sum_{j=1}^{k-1}{k-1 \choose j}u_{n+j}+
\sum_{j=1}^{k-1}{k-1 \choose j-1}u_{n+j}+{k-1\choose k-1}u_{n+k}\cr
&=u_n + \sum_{j=1}^{k-1}\Bigl[ {k-1 \choose j} +
{k-1 \choose j-1}\Bigr] u_{n+j} + u_{n+k}\cr
&=\sum_{j=0}^k {k\choose j} u_{n+j}\cr
}$$
\bigskip

\noindent {\bf 2.3.2 \bf 
D\'emonstration de la formule $\ds S_n = {1\over 2^{n+1}}
\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k+1}s_k$}

\medskip
\noindent Nous allons d\'emontrer la formule par r\'ecurrence sur $n$.
D'abord elle est vraie pour $n=0$ : 
$$ S_0 = \sum_{k=0}^0 {u_0^{(k)}\over 2^{k+1}}={u_0 \over 2}
={1\over 2}\sum_{k=0}^0 {1 \choose k+1}s_k
={s_0\over 2}=\sum_{k=0}^0{u_k \over 2}={u_0\over 2}
$$
Supposons la formule vraie au rang $n$ et d\'emontrons la au
rang $n+1$.
$$ 2^{n+2} S_{n+1} = 2^{n+2} \Bigl( 
\sum_{k=0}^{n}{u_0^{(k)}\over 2^{k+1}} + 
{u_0^{(n+1)}\over 2^{n+2}}\Bigr) 
$$
D'apr\`es l'hypoth\`ese de r\'ecurrence :
$$\sum_{k=0}^{n}{u_0^{(k)}\over 2^{k+1}} =
{1\over 2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} {n+1\choose k+1} s_k
$$
et d'apr\`es 2.3.1 
$$u_0^{(n+1)}= \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}u_k
$$
Donc :
$$ 2^{n+2} S_{n+1} = 2 \sum_{k=0}^{n} {n+1\choose k+1} s_k
+\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}u_k
$$
Or $u_k = s_k - s_{k-1}$ pour $k \ge 1$ et $u_0 = s_0$.
 On en d\'eduit :
$$\eqalign{2^{n+2} S_{n+1} &= 2 \sum_{k=0}^{n} {n+1\choose k+1} s_k
+\Bigl[ {n+1\choose 0} s_0 + {n+1\choose 1} (s_1 - s_0) 
+ \cdots + {n+1\choose n+1} (s_{n+1} - s_n)\Bigr]\cr
&=2 {n+1\choose 1} s_0 + 2{n+1\choose 2} s_1+\cdots 
+ 2 {n+1\choose n+1} s_n\cr
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + {n+1\choose 0} s_0 + {n+1\choose 1} (s_1 - s_0) 
+ \cdots + {n+1\choose n+1} (s_{n+1} - s_n)\cr
&=\Bigl[ 2 {n+1\choose 1} + {n+1\choose 0}-{n+1\choose 1}\Bigr]s_0
+\cdots+
\Bigl[ 2 {n+1\choose j+1} + {n+1\choose j}-{n+1\choose j+1}\Bigr]s_j\cr
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots+
\Bigl[ 2 {n+1\choose n+1} + {n+1\choose n}-{n+1\choose n+1}\Bigr]s_n
+{n+1\choose n+1} s_{n+1}\cr
}$$
Mais :
$$2 {n+1\choose j+1} + {n+1\choose j}-{n+1\choose j+1}=
{n+1\choose j+1} + {n+1\choose j}=
{n+2\choose j+1} 
$$
et d'autre part :
$${n+1\choose n+1} = {n+2\choose n+2}$$
Donc :
$$2^{n+2} S_{n+1}= {n+2\choose 1} s_0 +\cdots
+{n+2\choose j+1} s_j +\cdots+{n+2\choose n+2} s_{n+1} $$
$$ S_{n+1}={1\over 2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n+1}
{n+2\choose k+1} s_k$$ 
\bigskip

\noindent {\bf 2.3.3  
Si la s\'erie $\sum u_n$ converge vers
$S$, il en est de m\^eme pour la s\'erie 
$\sum {\ds u_0^{(n)} \over \ds 
2^{n+1}}$}

\medskip
\noindent Par d\'efinition $\ds \lim_{n\rightarrow + \infty}s_n = S$.
Comme :
$$ S_{n}={1\over 2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}
{n+1\choose k+1} s_k$$ 
d'apr\`es 2.2.1, (si $u_n$ tend vers $L$, il en est de m\^eme
pour $w_n$), $S_n$ tend vers $S$.
Donc :
$$\sum_{k=0}^{n} {\ds u_0^{(k)} \over \ds 
2^{k+1}} \hbox{\ tend vers\ } S \hbox{\ quand \ } n 
\hbox{\ tend vers l'infini}$$
\bigskip

\noindent {\bf 2.3.4
Calcul de $\ds \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}{\ds (-1)^{k} \over \ds 
{k+1}}x^{k+1}$}

\medskip 
\noindent La formule du bin\^ome de {\sc Newton} donne :
$$(1-t)^n= \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (-1)^{k}  t^{k}
$$
Int\'egrons les deux membres entre $0$ et $x$:
$${1-(1-x)^{n+1}\over n+1}=
\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}{\ds (-1)^{k} \over \ds 
{k+1}}x^{k+1}
$$
\bigskip

\noindent {\bf 
Calcul de $u_0^{(n)}$ si $u_n = {\ds (-1)^n\over \ds n+1}$
}

\medskip 
\noindent En rempla\c cant :
$$u_0^{(n)}= \sum_{j=0}^{n} {n\choose j}{\ds (-1)^{j} \over \ds 
{j+1}}$$
ce qui revient \`a prendre $x=1$ dans la formule pr\'ec\'edente :
$$u_0^{(n)}= {1\over n+1}
$$
\bigskip

\noindent {\bf 
Calcul d'une valeur approch\'ee \`a $10^{-6}$ pr\`es de
 $S = \ds \sum_{n=0}^{+\infty}{(u_0^{(n)}\over \ds 2^{n+1}}$
}

\medskip 
\noindent On voit qu'il s'agit de calculer 
$\sum_{n\ge 0} {\ds 1 \over \ds 2^{n+1}(n+1)}$. On reconnait 
la question 1.4 : il suffit de prendre $n\ge 21$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Partie III
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805iii1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 3.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie III}
\centerline{  \boxit{5pt}{\box10}}
\bigskip

\noindent {\bf 3.1 \bf 
Calcul de $B_1(u)$ et $B_2(u)$ si $u_n=(-1)^n$}
\medskip
\noindent Avec les m\^emes notations que dans les
questions pr\'ec\'edentes :
$$s_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k$$
donc $ s_{2p}= 1$ et $s_{2p+1}= 0 $ pour tout $p$ dans \N.
$$\eqalign{B_1 (u)&= \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}
\sum_{n=0}^{+\infty}{\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \over n!}x^n\cr
&=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}
\sum_{n=0}^{+\infty}{x^{2n} \over (2n)!}\cr
&=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}\hbox{ch}(x)\cr
&={1\over 2}
}$$
$$\eqalign{B_2 (u)&= \int_{0}^{+\infty}e^{-x}
\sum_{n=0}^{+\infty}{ (-x)^n \over n!}dx\cr
&=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}e^{-x} dx\cr
&=\int_{0}^{+\infty}e^{-2x} dx\cr
&={1\over 2}
}$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805iii2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 3.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\noindent {\bf 3.2
Rayon de convergence des s\'eries enti\`eres 
$\ds \sum {\ds u_n \over \ds n!}x^n$ 
et $\ds \sum {\ds s_n \over \ds n!}x^n$ }
\medskip
\noindent Comme la s\'erie $\sum u_n$ est convergente,
la suite de terme g\'en\'eral $s_n$ converge et bien sur
la suite de terme g\'en\'eral $u_n$ converge vers $0$.
Donc les deux suites sont born\'ees.

\noindent Montrons par exemple que la s\'erie 
$\ds \sum {\ds u_n \over \ds n!}x^n$ est absolument 
convergente pour tout $x$ dans \R . Il existe $M$ dans
\R , $M>0$, tel que pour tout $n$ dans \N ,
$$|u_n| \le M$$
Donc pour tout $n$ dans \N ,
$$|{ u_n \over \ds n!}x^n| \le M {|x|^n\over n!}$$
Nous reconnaissons le terme g\'en\'eral de la
s\'erie enti\`ere de somme $\ds e^{|x|}$, dont le 
rayon de convergence est infini. Donc la
s\'erie enti\`ere 
$\ds \sum {\ds u_n \over \ds n!}x^n$ a un rayon de 
convergence infini. 

\noindent M\^eme d\'emonstration 
\'evidemment pour la s\'erie
$\ds \sum {\ds s_n \over \ds n!}x^n$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805iii3.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 3.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\noindent {\bf 3.3
Calcul de 
$\ds \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}
\int_{\varepsilon}^{2\varepsilon} {\ds dx \over \ds x}$ }
\medskip
$$\int_{\varepsilon}^{2\varepsilon} {\ds dx \over \ds x}
= \ln (2\varepsilon ) - \ln (\varepsilon )= \ln (2)$$  
\bigskip
\noindent {\bf Calcul de 
$\ds \int_{0}^{+\infty} {\ds e^{-x}-e^{-2x}\over x} dx$}
\medskip
\noindent L'int\'egrale est g\'en\'eralis\'ee en $0$
et en l'infini.
En $0$ la fonction est prolongeable par continuit\'e
car :
$$ {\ds e^{-x}-e^{-2x}\over x} =
{\ds 1-x -1+2x +x \varepsilon (x) \over x}$$
avec $\varepsilon (x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend
vers $0$.
En $+\infty$, comme
$$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2 {\ds e^{-x}-e^{-2x}\over x}=0$$
la fonction est major\'ee en valeur absolue par $1/x^2$
pour $x$ assez grand, donc l'int\'egrale est convergente.

\noindent Pour la calculer posons :
$$I = \ds \int_{a}^{A} { e^{-x}-e^{-2x}\over x} dx
=\ds \int_{a}^{A} { e^{-x}\over x} dx
-\ds \int_{a}^{A} {e^{-2x}\over x} dx
$$
dans la deuxi\`eme int\'egrale effectuons le 
changement de variable $u=2x$ :
$$I = 
 \int_{a}^{A} { e^{-x}\over x} dx
-\ds \int_{2a}^{2A} {e^{-u}\over u} du
= \int_{a}^{A} { e^{-x}\over x} dx
-\ds \int_{2a}^{2A} {e^{-x}\over x} dx
= \int_{a}^{2a} { e^{-x}\over x} dx
-\ds \int_{A}^{2A} {e^{-x}\over x} dx
$$
Alors :
$$\inf_{x\in [a,2a]}e^{-x}\int_{a}^{2a} { 1\over x} dx
\le
\int_{a}^{2a} { e^{-x}\over x} dx
\le
\sup_{x\in [a,2a]}e^{-x}\int_{a}^{2a} { 1\over x} dx
$$
$$e^{-2a}\int_{a}^{2a} { 1\over x} dx
\le
\int_{a}^{2a} { e^{-x}\over x} dx
\le
e^{-a}\int_{a}^{2a} { 1\over x} dx
$$
$$e^{-2a}\ln (2)
\le
\int_{a}^{2a} { e^{-x}\over x} dx
\le
e^{-a} \ln (2)
$$
De m\^eme :
$$\inf_{x\in [A,2A]}e^{-x}\int_{A}^{2A} { 1\over x} dx
\le
\int_{A}^{2A} { e^{-x}\over x} dx
\le
\sup_{x\in [A,2A]}e^{-x}\int_{A}^{2A} { 1\over x} dx
$$
$$e^{-2A}\int_{A}^{2A} { 1\over x} dx
\le
\int_{A}^{2A} { e^{-x}\over x} dx
\le
e^{-A}\int_{A}^{2A} { 1\over x} dx
$$
$$e^{-2A}\ln (2)
\le
\int_{A}^{2A} { e^{-x}\over x} dx
\le
e^{-A} \ln (2)
$$
Quand $a$ tend vers $0$, $\ds \int_{a}^{2a} { e^{-x}\over x} dx$
tend vers $\ln (2)$ et quand $A$ tend vers $+\infty $,
$\ds \int_{A}^{2A} { e^{-x}\over x} dx $ tend vers $0$.
Finalement :
$$\int_{0}^{+\infty} {\ds e^{-x}-e^{-2x}\over x} dx  = \ln (2)$$
\bigskip
\noindent {\bf Calcul de 
$B_2 (u)$ si $u_n = {\ds (-1)^n \over \ds n+1}$}
\medskip
$$ B_2 (u) = 
\int_{0}^{+\infty}e^{-x} \Bigl( 
\sum_{n\ge 0} {(-1)^n x^n \over (n+1)!}\Bigr) dx
= \int_{0}^{+\infty}{-e^{-x}\over x} \Bigl( 
\sum_{n\ge 0} {(-x)^{n+1} \over (n+1)!}\Bigr) dx
= \int_{0}^{+\infty}{-e^{-x}\over x} \Bigl( 
e^{-x} -1\Bigr) dx
$$
D'apr\`es la question pr\'ec\'edente :
$$B_2 (u) = \ln (2)$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d805iii4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question 3.4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\noindent {\bf 3.4
Existence de $B_1 (u)$ }
\medskip
\noindent Par d\'efinition :
$$ B_1 (u) = \lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x}\sum_{n\ge 0}{\sum_{k=0}^{n}q^k\over n!}x^n$$
Si $q \neq 1$,
$$\eqalign{ B_1 (u) &= \lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x}\sum_{n\ge 0} {1-q^{n+1}\over (1-q)n!}x^n\cr
&= {1\over 1-q}\lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x}\Bigl( \sum_{n\ge 0} {x^n\over n!}
-q\sum_{n\ge 0} {(qx)^{n+1}\over n!}
\Bigr)\cr
&= {1\over 1-q}\lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x}\Bigl( e^x
-q e^{qx}
\Bigr)\cr
&= {1\over 1-q}\lim_{x\rightarrow +\infty}
\Bigl( 1-q e^{(q-1)x}\Bigr)\cr
}
$$
Donc si $q > 1 $ il n'y a pas de limite et si $q<1$ :
$$B_1 (u) = {1\over 1-q}$$
Si enfin $q=1$, 
$$B_1 (u) = \lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x} \sum_{n\ge 0} {x^n \over (n-1)!}
= \lim_{x\rightarrow +\infty}
e^{-x} x e^x = +\infty
$$
\bigskip
\noindent {\bf
Existence de $B_2 (u)$ }
\medskip
\noindent Par d\'efinition :
$$B_2 (u) =
\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\Bigl( \sum_{n=0}^{+\infty}
{(qx)^n \over n!}\Bigr) dx
=\int_{0}^{+\infty}e^{(q-1)x} dx
$$
Donc $B_2 (u)$ existe si $q<1$ et alors :
$$B_2 (u) = {1\over 1-q}$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\bye
