%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Probl\`eme 1.B. du concours PT 1997. 
% Version 1.02 du 20 mai 1997
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Auteurs :
% Claude MENDES
% Daniel DUPARC
% Lyc\'ee Voltaire
% 101 av. de la R\'epublique
% 75543 PARIS CEDEX 11
%
% Donn\'e au domaine public pour un usage non commercial.
%
% Fichiers distribu\'es (fichiers textes en codes ASCII 7 bits) :
% pt97_1b.tex (ce fichier en plain \TeX)(pas de format fran\c{c}ais externe)
% pt97_1b.ps (fichier PostScript, transform\'e par dvips de pt97_1b.dvi)
%
%  Si vous ne disposez pas des fontes msbm (blackboard) de l'AMS
%  changez \blackboardtrue en \blackboardfalse ligne 128
%

\magnification=1095
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input mon_a4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fichier format pour plain TeX, d'apr\`es R. Seroul
% Le petit livre de TeX. (Intereditions, Paris, 1992)
% Voir en particulier les pages 29-30, le paragraphe 7.2 page 203,
% le paragraphe 12.4 page 205 et le paragraphe 12.8 page 214.
% Daniel Duparc.
% num\'ero de version : 1.20
% date de version : 29 mars 1997
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\DP{:}%
% taper \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% � la place de \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% pour obtenir l'impression d'un fichier graphique *.PCX sous emTeX ,
% car on red�finit plus loin le caract�re ":"

\catcode`\@=11

%\magnification=1200
\hsize=6.5truein
%\vsize=8.9truein
%\hoffset=4mm       
% Pour dvidot :
\voffset=0mm
% Pour dvips puis GhostScript :
%\voffset=20truemm

\pretolerance=500  \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

\catcode`\@=12

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Les macros suivantes sont expliqu�es page 89 .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue
\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}
\newtoks\nbpages            \nbpages={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche     \newtoks\hautpagedroite
\hautpagegauche={\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\hfil\the\titrecourant\hfil}

\newtoks\baspagegauche   \baspagegauche={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}
\newtoks\baspagedroite   \baspagedroite={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
\else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
\else\the\hautpagegauche\fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre
\global\pagetitrefalse
\else\ifodd\pageno\the\baspagedroite
\else\the\baspagegauche\fi\fi}

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% guillemets fran�ais : ces macros sont tir�es du livre de Seroul page 247
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% red�finition de \dysplaystyle pour aller plus vite .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\ds{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% macro utile pour les tableaux (Seroul p.133)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vsize=9.1truein
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input probleme.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  En-tete standard pour correction de probleme
% Daniel Duparc
% numero de version : 1.19
% date de version   : 17 mai 1996
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifblackboard
\blackboardtrue

\ifblackboard
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  en utilisant les fontes de l'AMS
%  Pour agrandir les caracteres red�finir dans un groupe la 
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=msbm10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=msbm10
\def\R{\hbox{\bb R}}
\def\N{\hbox{\bb N}}
\def\C{\hbox{\bb C}}
\def\Z{\hbox{\bb Z}}
\def\Q{\hbox{\bb Q}}
\def\K{\hbox{\bb K}}

\else
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  d'apres Urban,Cornelis:Premiers pas en LATEX page 80
%  Pour agrandir les caracteres red�finir dans un groupe la 
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=cmsl10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=cmsl10
\def\R{\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}}
\def\N{\hbox{\bb I\hskip -0.15em N}}
\def\C{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em C\/}}
\def\Z{\hbox{\bb Z\hskip -0.3em Z}}
\def\Q{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em Q}}
\def\K{\hbox{\bb I\hskip -0.15em K}}

\fi

\hautpagetitre={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagegauche={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagedroite={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\baspagegauche={\hfil}
\baspagedroite={\hfil}


% Macro \boxit tir\'ee du livre Le petit livre de TEX 
% de R. Seroul page 123.
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}
% Mode d'emploi : 
%  \setbox10=\hbox{$h(x)=\sin(x)$}
%  \boxit{3pt}{\box10}
% si on veut entourer \box10 d'un blanc de 3 points et d'un cadre .

% Macro \cadre
% d'apr�s R. Seroul page 123.
\def\cadre#1#2{\vbox{\hrule height 2pt \hbox{\vrule width 2pt
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule width 2pt}\hrule height 2pt }}
% Mode d'emploi : 
%  \setbox10=\hbox{$h(x)=\sin(x)$}
%  \cadre{3pt}{\box10}
% si on veut entourer \box10 d'un blanc de 3 points et d'un cadre .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\font\gros=cmbx10 scaled \magstep2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  Variables a changer pour chaque probleme:
%\font\sc=cmcsc10
%\auteurcourant={DUPARC 798. 
%{\rm \ \ \ Correction de C.~{\sc Mendes} et D.~{\sc Duparc}} }    
\auteurcourant={Concours PT 1997. Probl\`eme 1B}    
% avant compilation vers dvi
\nbpages={/14}                  % apres compilation vers dvi
                                % contient le nombre de pages
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Partie I
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_I1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question I.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie I}
\centerline{  \boxit{3pt}{\box10}}
\bigskip

\noindent {\bf I.1.a) $I_c$ est un intervalle}

\medskip
\noindent Un intervalle $J$ de \R{} est caract\'eris\'e par le fait que pour 
tout $(x,y)$ dans $J^2$, pour tout $z$ de \R , $(x\le z \le y)$
entraine que $z$ appartient \`a $J$.

\noindent Or pour tout $(x,y)\in I_c^2$, tout $z\in \R $, $(x\le z \le y)$
entraine que $(x + c \le z + c  \le y + c)$.

\noindent Or $x+c$ et $y+c$ appartiennent \`a $I$, donc $z+c$ appartient \`a
$I$ et $z$ \`a $I_c$.
\medskip
\noindent {\bf $\hat f$ est solution de $(*)$}
\medskip
\noindent Pour tout $x$ de $I_c$, 
$$ \hat f' (x) =  f' (x+c)$$
$$ \hat f'' (x) = f'' (x+c) = f^2 (x+c) = \hat f^2 (x)$$

\noindent Par suite $\hat f$ est solution de $(*)$ sur $I_c$.
\bigskip
\noindent {\bf I.1.b) $\tilde f$ est solution de $(*)$ sur $\tilde I$}
\medskip
\noindent $\tilde I $ est un intervalle et pour tout $x$ de $\tilde I$,
$$\tilde f' (x) = -f'(-x)$$
$$\tilde f'' (x) = f''(-x) = f^2 (-x) = \tilde f^2 (x)$$
\noindent Par suite $\tilde f$ est solution de $(*)$ sur $\tilde I$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_I2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question I.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf I.2.a) D\'etermination des 
r\'eels $d$ et $\gamma$ tels que $d/x^\gamma$
soit solution de $(*)$ sur $\Bigl] 0, +\infty \Bigr[$} 
\medskip
\noindent Pour tout $x$ de $\Bigl] 0, +\infty \Bigr[$,
$$f' (x) = {-\gamma d \over x^{\gamma +1}}\qquad\qquad
f'' (x) = {\gamma (\gamma + 1)d \over x^{\gamma +2}}\qquad\qquad
f^2 (x) = {d^2 \over x^{2\gamma}}$$
Donc pour que $d/x^\gamma$
soit solution de $(*)$ sur $\Bigl] 0, +\infty \Bigr[$, il faut 
et il suffit que $\gamma + 2 = 2\gamma$ et 
$\gamma (\gamma+ 1) d= d^2$. Nous en d\'eduisons que $\gamma = 2$ et
$d= 6$.
$$f (x) = {6\over x^2 }$$
\bigskip
\noindent {\bf I.2.b) Solution non nulle de $(*)$ sur
$\Bigl] -\infty ,0 \Bigr[$} 

\medskip
\noindent D'apr\`es la question I.1.b une solution non nulle de $(*)$
sur $\Bigl] -\infty ,0 \Bigr[$ est $\tilde f(x) = {\ds 6 \over \ds (-x)^2}$.
$$\tilde f (x) = {6\over x^2 }$$
\bigskip
\noindent {\bf I.2.c) Solution non nulle $g_b$ de $(*)$ sur
$\Bigl] b, +\infty \Bigr[$} 

\medskip
\noindent Si $I= \Bigl] 0, +\infty \Bigr[$, $I_c= \Bigl] -c, +\infty \Bigr[$
d'o\`u $I_{-b}= \Bigl] b, +\infty \Bigr[$. Une solution non nulle
$g_b$ de $(*)$ sur $\Bigl] b, +\infty \Bigr[$ sera donc telle que
$$g_b (x) = {6 \over (x-b)^2 }$$
La fonction $g_b$ ci-dessus satisfait bien \`a
$$\lim_{x\rightarrow b \atop x>b} g_b (x) = +\infty .$$
\medskip
\noindent {\bf Solution non nulle $f_b$ de $(*)$ sur
$\Bigl] -\infty ,b \Bigr[$} 

\noindent Si $I_b= \Bigl] -b, +\infty \Bigr[$, $\tilde I_b= \Bigl] -\infty , b \Bigr[$
qui est l'ensemble des $x \in \R$ tels que $-x$ appartienne \`a
$I_b$. Une solution non nulle
$h_b$ de $(*)$ sur $I_b$ sera donc telle que
$$h_b (x) = {6 \over (x+b)^2 }$$
et donc une solution non nulle
$f_b$ de $(*)$ sur $\Bigl] -\infty ,b \Bigr[$ sera donc telle que
pour tout $x$ de $\Bigl] -\infty ,b \Bigr[$,
$$f_b (x) = {6 \over (-x+b)^2 }.$$
$$f_b (x) = {6 \over (x-b)^2 }$$
La fonction $f_b$ ci-dessus satisfait bien \`a
$$\lim_{x\rightarrow b \atop x<b} f_b (x) = +\infty .$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_I3.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question I.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf I.3.a) $f'$ est croissante sur $I$ }

\medskip
\noindent Pour tout $x$ dans $I$ $f'' (x) = f^2 (x) \ge 0$, donc 
$f'$ est croissante sur $I$.

\bigskip
\noindent {\bf I.3.b) Il existe $\varepsilon \in ] 0 , 1 ]$ tel que 
pour tout $x \in [ 0 ,\varepsilon ]$, 
$f'' (x) \ge {\ds f^2 (0)\over \ds 2}$}

\medskip
\noindent $f''$ est continue sur $I$ donc sur $[ 0, 1[$, en particulier en $0$.
Par suite \`a tout $\alpha$ r\'eel strictement positif on peut associer
un $\beta$ r\'eel strictement positif tel que pour tout $x$ de $[ 0 ,1[$,
l'in\'egalit\'e $0\le x \le \beta$ entraine
$$-\alpha \le f'' (x) -f'' (0) \le \alpha .$$

\noindent Choisissant $\alpha = {\ds f^2 (0)\over \ds 2}$, sachant que 
$f'' (0) = f^2 (0)$, on aura pour tout $x$ de 
$[0, \beta] \cap [0,1[$,
$${\ds f^2 (0)\over \ds 2}\le f'' (x) \le {\ds 3 f^2 (0)\over \ds 2} .$$
Ici $\beta <1$ car on ne consid\`ere que la restriction de $f$ \`a 
$[0,1[$, et on peut toujours remplacer $\beta$ par un r\'eel positif
plus petit. On a donc $[0, \beta] \cap [0,1[ = [0, \beta]$ et la 
proposition est d\'emontr\'ee en prenant $\varepsilon = \beta$.
Donc il existe $\varepsilon \in ] 0 , 1 ]$ tel que 
pour tout $x \in [ 0 ,\varepsilon ]$, 
$$f'' (x) \ge {\ds f^2 (0)\over \ds 2}$$

\medskip
\noindent {\bf Pour tout $x \in [ 0 ,\varepsilon ]$, 
$f' (x) >0$}

\noindent Pour tout $x$ de $] 0 ,\varepsilon ]$, 
$f'' (x) > 0$ et donc $f'$ est strictement croissante sur 
$[ 0 ,\varepsilon ]$ et, puisque $f' (0) =0$, pour tout $x$ de
$] 0 ,\varepsilon ]$, 
$$ f' (x) > f' (0) =0$$ 

\bigskip
\noindent {\bf I.3.c) $f$ est strictement croissante sur $I$}

\medskip
\noindent Comme $f'$ est croissante sur $I$ (question I.3.a), 
pour les valeurs de $x$ sup\'erieures \`a $\varepsilon$,
$f'(x) \ge f'(\varepsilon ) >0$. Donc pour tout $x > 0$  de $I$,
$f'(x) >0$ et par suite $f$ est strictement croissante sur $I$.

\bigskip
\noindent {\bf I.3.d) Pour tout $x$ de $I$, 
$f'(x)^2 -{\ds 2\over \ds 3}\left( f(x)^3 - f(0)^3\right)=0$.}

\medskip
\noindent Pour tout $x$ de $I$, $f''(x) = f^2(x)$ donc, en multipliant
les deux membres par $f'x)$,
$$f'(x) f''(x) = f^2(x) f'(x).$$
 En int\'egrant on obtient qu'il existe 
une constante r\'eelle $C$ telle que pour $x$ de $I$,
$${\ds 1 \over \ds 2}f'(x)^2 = {\ds 1 \over \ds 3}f(x)^3 +C .$$ 
Si on fait $x=0$ dans l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente, on obtient 
$0 = { 1 \over  3}f(0)^3 +C $ donc 
$C ={ -1 \over  3}f(0)^3 $. Par suite 
pour tout $x$ de $I$, 
$$f'(x)^2 -{\ds 2\over \ds 3}\left( f(x)^3 - f(0)^3\right)=0.$$  

\bigskip
\noindent {\bf I.3.e) Pour tout $x$ de $I$, }
$$x\sqrt{{2\over 3}} = \int_{f(0)}^{f(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - f(0)^3}}$$
On tire de l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente que
$$f'(x) =+\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}\sqrt{ f(x)^3 - f(0)^3}$$  
ou
$$f'(x) =-\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}\sqrt{ f(x)^3 - f(0)^3}.$$  
Mais comme $f'(x)\ge 0$
$$f'(x) =+\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}\sqrt{ f(x)^3 - f(0)^3}.$$  
On aimerait bien \'ecrire que
$${f'(t)\over\sqrt{ f(t)^3 - f(0)^3} } =\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}$$  
et int\'egrer entre $0$ et $x$, ce qui donnerait 
$$\int_0^x {f'(t)\over\sqrt{ f(t)^3 - f(0)^3} }dt =
\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}x$$  
puis faire le changement de variable $y=f(x)$ dans le premier
membre ce qui donnerait l'\'egalit\'e demand\'ee. 

\noindent Autrement dit on aimerait appliquer le th\'eor\`eme suivant :
\medskip
\noindent {\bf Th\'eor\`eme}

\noindent {\sl Soient $a$ et $b$ des r\'eels tels que $a<b$. Soit
$\psi$ une fonction de classe ${\cal C}^1$ de $[ a , b ]$
vers \R . Soit $J$ un intervalle de \R{} contenant le segment ferm\'e
born\'e $\psi ([a,b])$.
Soit $h$ une fonction continue $J \rightarrow \R$. Alors
$$\int_{\psi (a)}^{\psi (b)} h(y)\, dy
=\int_{a}^{b} h(\psi (x))\, \psi '(x)\, dx .$$}
\medskip


\noindent Ici, \'evidemment, on souhaite l'utiliser avec
$\psi =f$, $h(y) = {1\over \sqrt{ y^3 - f(0)^3} }$, $a=0$ et $b=x$.
$f$ est de classe ${\cal C}^2$ donc ${\cal C}^1$ sur $I$, et la fonction
$y \mapsto {1\over \sqrt{ y^3 - f(0)^3} }$ est continue en dehors de $f(0)$ :
Quand $y$ tend vers $f(0)$, le 
d\'enominateur tend vers $0$ et on a une int\'egrale 
g\'en\'eralis\'ee ! 

\noindent $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ et 
admet une fonction r\'eciproque $\varphi$ d\'efinie sur l'intervalle
$f(I)$ dont la borne inf\'erieure est $f(0)$. Soient $u$ et $x$
deux \'el\'ements de $I$ tels que $0 < u < x$. Alors
on peut appliquer le th\'eor\`eme de changement de variable ci-dessus :
$$\int_{f(u)}^{f(x)} {dy\over\sqrt{ y^3 - f(0)^3} } =
\sqrt{{\ds 2\over \ds 3}}(x -u).$$  
Quand $u$ tend vers $0$, $f(u)$ tend vers $f(0)$, et nous devons examiner 
la convergence de l'int\'egrale. 
Alors au voisinage de $0$ 
$${1\over\sqrt{ y^3 - f(0)^3} }= {1\over\sqrt{(y- f(0))(y^2+f(0)y+f(0)^2)} }
\sim {1\over\sqrt{(y- f(0))(3 f(0)^2)} }$$
donc l'int\'egrale converge et donc pour tout $x$ de $I$, 
$$x\sqrt{{2\over 3}} = \int_{f(0)}^{f(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - f(0)^3}}$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_I4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question I.4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf I.4) \'Etude de la convergence de l'int\'egrale
impropre}
$$J(w) = \int_{w}^{+\infty} {dy \over \sqrt{y^3-w^3}}$$

\noindent Au voisinage de $+ \infty$,
$$(y \mapsto {1\over \sqrt{y^3-w^3}}) \sim 
(y \mapsto {1\over \sqrt{y^3}}).$$
Comme $3/2 > 1$, l'int\'egrale converge en $+ \infty$.

\noindent Si $w \neq 0$, au voisinage de $w$,
$$(y \mapsto {1\over \sqrt{y^3-w^3}}) \sim 
(y \mapsto {1\over \sqrt{3} w \sqrt{y -w}}).$$
Donc $J(w) $ converge en $w$.
\noindent Si $w = 0$, 
$$J(0) = \int_0^{+\infty} {dy \over y^{3/2}} .$$
Comme $3/2 > 1$, $J(0) $ diverge en $0$.

\medskip
\noindent {\bf Calcul de $J(w)$ pour $w>0$}

\medskip
\noindent Effectuons le changement de variable $y=wt$ dans $J(w)$ :
$$J(w) = \int_{w}^{+\infty}{dy \over \sqrt{y^3-w^3}}
=\int_{1}^{+\infty}{w dt \over \sqrt{w^3 t^3-w^3}}
={J(1)\over \sqrt{w}}.$$
(En toute rigueur il aurait fallu faire le changement de variable 
dans 
$$\int_{w}^{A}{dy \over \sqrt{y^3-w^3}}$$
pour $A > w$ puis faire tendre $A$ vers $+\infty$ \dots )

\medskip
\noindent {\bf Calcul de $J(-w)$ pour $w>0$}

\medskip
\noindent Effectuons le changement de variable $y=wt$ dans $J(-w)$ :
$$J(-w) = \int_{-w}^{+\infty}{dy \over \sqrt{y^3+w^3}}
=\int_{-1}^{+\infty}{w dt \over \sqrt{w^3 t^3+w^3}}
={J(-1)\over \sqrt{w}}.$$
M\^eme remarque que ci-dessus.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_I5.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question I.5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf I.5) Il n'existe pas de fonction $f$ solution de $(*)$
sur $[0,+\infty[$ telle que $f'(0)=0$ et $f(0)\neq 0$}

\medskip
\noindent Supposons qu'il existe une telle fonction $f$,
solution de $(*)$
sur $[0,+\infty[$ telle que $f'(0)=0$ et $f(0)\neq 0$. Alors soit
$f(0) >0$, soit $f(0) <0$.
\medskip

\noindent{\sl Examinons d'abord le cas o\`u $f(0)>0$.}

\noindent Posons 
$w=f(0)$ dans l'\'egalit\'e de la question I.3.e :
$$x\sqrt{{2\over 3}}=\int_{f(0)}^{f(x)} {dy\over \sqrt{y^3-f(0)^3}}=
\int_{1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{w}\sqrt{t^3-1}}=
{1\over \sqrt{w}}\int_{1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{t^3-1}}$$
avec $1\le f(x)/w$.

\noindent Alors $\int_{1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{t^3-1}}$
\'etant major\'ee pour $x\in [0,+\infty[$ par $J(1)$,
pour $x\in [0,+\infty[$, $x\sqrt{{2\over 3}}$ serait
major\'e par $J(1)/\sqrt{f(0)}$, ce qui est impossible.

\medskip
\noindent{\sl Examinons maintenant le cas o\`u $f(0)<0$.}

\noindent Posons 
$w=-f(0)$ dans l'\'egalit\'e de la question I.3.e :
$$x\sqrt{{2\over 3}}=\int_{-w}^{f(x)} {dy\over \sqrt{y^3+w^3}}=
\int_{-1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{w}\sqrt{t^3+1}}=
{1\over \sqrt{w}}\int_{-1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{t^3+1}}$$
avec $-1\le f(x)/w$.

\noindent Alors $\int_{-1}^{f(x)/w} {dt\over \sqrt{t^3+1}}$
\'etant major\'ee pour $x\in ]0,+\infty[$ par $J(-1)$,
pour $x\in ]0,+\infty[$, $x\sqrt{{2\over 3}}$ serait
major\'e par $J(-1)/\sqrt{-f(0)}$, ce qui est impossible.

\medskip
\noindent Par suite $(*)$ n'admet pas de solution $f$ sur 
sur $[0,+\infty[$ telle que $f'(0)=0$ et $f(0)\neq 0$

\vfill\eject\null
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Partie II
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_II1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question II.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie II}
\centerline{  \boxit{3pt}{\box10}}
\bigskip


\noindent {\bf II.1.a) D\'emonstration de relations diverses}

\medskip
\noindent Posons $R_1 =\ds \sum_{j=1}^{k} j$.
$$\matrix{R_1 & =& 1& +& 2& +&\cdots& +&(k-1)&+&k\cr
          R_1 & =& k&+ &(k-1)&+&\cdots& +&2&+&1\cr}$$
En faisant la somme nous voyons que 
$$ 2 R_1 = k (k+1)$$
donc
$$ R_1 = {k (k+1)\over 2}$$

\medskip
\noindent Posons $\ds R_2 =\sum_{j=1}^{k} j^2$.
Pour montrer que $\ds R_2 = {\ds k(k+1)(2k+1)\over \ds \strut 6}$,
nous allons faire une d\'emonstration par r\'ecurrence.
Soit ${\cal P}_k$ la propri\'et\'e :
$$\ds R_2 = {\ds k(k+1)(2k+1)\over \ds \strut 6}.$$
${\cal P}_1$ est vraie.

\noindent Supposons ${\cal P}_k$ vraie.

\noindent ${\cal P}_{k+1}$ signifie :
$$\eqalign{\sum_{j=1}^{k+1} j^2 &= { k(k+1)(2k+1)\over 6}+(k+1)^2\cr
&={(k+1)\over 6}\left[ k(2k+1)+6(k+1)\right]\cr
&={(k+1)\over 6}\left[ 2k^2+7k+6\right]\cr
&={ (k+1)(k+2)(2k+3)\over 6}\cr}$$
Donc la propri\'et\'e est r\'ecurrente.

\medskip
\noindent \'Etudions le signe de 
$\ds R_3= 2k(2k-1)-{\ds (k+1)^2\over \ds \strut 2}$.
$$\eqalign{R_3 &= 2k(2k-1)-{\ds (k+1)^2\over \ds \strut 2}\cr
&= {1\over 2 }\left[ 4k(2k-1)-(k+1)^2\right]\cr
&= {1\over 2 }\left[ 7k^2-6k-1\right]\cr
&= {1\over 2 }(k-1)(7k+1) \ge 0 \hbox{\ pour\  }k\ge 1\cr
}$$

\medskip
\noindent \'Etudions le signe de 
$\ds R_4= k^2+2k - {\ds 3\over \ds \strut 4}(k+1)^2$.
$$\eqalign{R_4 &=k^2+2k - {\ds 3\over \ds \strut 4}(k+1)^2\cr
&= {1\over 4 }\left[ 4(k^2+2k)-3(k+1)^2\right]\cr
&= {1\over 4 }\left[ k^2+2k-3\right]\cr
&= {1\over 4 }(k-1)(k+3) \ge 0 \hbox{\ pour\  }k\ge 1\cr
}$$

\bigskip
\noindent {\bf II.1.b) Calcul de $\ds \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)$}

\medskip
$$\eqalign{\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)
&=\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)[(k+1)-(j+1)]\cr
&=\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k+1)-\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)^2\cr
&=(k+1)\sum_{j=1}^{k} j-\sum_{j=1}^{k} j^2\cr
&={k(k+1)^2\over 2}-{k(k+1)(2k+1)\over 6}\cr
&={k(k+1)\over 6}(3k+3-2k-1)\cr 
&={k(k+1)(k+2)\over 6}\cr
}$$

\bigskip
\noindent {\bf V\'erification l'inegalit\'e}
$${1\over 8}\le {1\over (k+1)^3} \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)
\le {1\over 6}$$

\medskip
$$\eqalign{{1\over (k+1)^3} \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)-{1\over 8}
&={k(k+2)\over 6(k+1)^2}-{1\over 8}\cr
&={1\over 24 (k+1)^2 } [4k(k+2)-3(k+1)^2]\cr
&={1\over 24 (k+1)^2 } (k^2+2k-3)\cr
&={(k-1)(k+3)\over 24 (k+1)^2 } \ge 0\cr
}$$

\medskip
$$\eqalign{{1\over (k+1)^3} \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)-{1\over 6}
&={k(k+2)\over 6(k+1)^2}-{1\over 6}\cr
&={1\over 6 (k+1)^2 } [k(k+2)-(k+1)^2]\cr
&={-1\over 6 (k+1)^2 } \le 0\cr
}$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_II2.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question II.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf II.2) Conditions sur les coefficients $a_k$}

\medskip
\noindent Pour $x\in ]-R,R[$, 
$$f(x) = \ds\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^{2k} $$
$$f'(x) = \ds\sum_{k=0}^{+\infty}2(k+1) a_{k+1} x^{2k+1} $$
$$f''(x) = \ds\sum_{k=0}^{+\infty}2(k+1)(2k+1) a_{k+1} x^{2k} $$
$$f^2(x) = \ds\sum_{k=0}^{+\infty}\left( \sum_{j=0}^{k} 
a_{k-j} a_{j} \right) x^{2k} $$
$f$ est solution de $(*)$ sur $] -R , R [$ si et seulement si pour tout
$k \in \N$,
$$\sum_{j=0}^{k} a_{k-j} a_{j} = 2 (k+1) (2k+1) a_{k+1}$$
c'est-\`a-dire pour tout $k\in \N ^*$,
$$\sum_{j=0}^{k-1} a_{k-1-j} a_{j} = 2 k (2k-1) a_{k} .$$
Donc pour tout $k \ge 1$, 
$$a_k = {1 \over 2k (2k-1)}\sum_{j=0}^{k-1} a_{k-1-j} a_{j}$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_II3.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question II.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf II.3.a) $c_k >0 $  pour tout $k\in \N$}

\medskip
\noindent Nous allons faire une d\'emonstration par r\'ecurrence.
D\'esignons par ${\cal Q}_k$ la propri\'et\'e 
$$\left( \forall i \in [ 0, k ],\  c_i >0 \right) $$
$c_1 = 1$ donc ${\cal Q}_1$ est vraie.

\noindent Pour $k \ge 1$ supposons que ${\cal Q}_{k-1}$ est vraie.
Alors pour tout $j\in [ 0 , k-1 ]$, $c_j >0$. Donc pour tout 
$j\in [ 0 , k-1 ]$, $k-1- j \in [ 0 , k-1 ]$ et $c_j c_{k-1-j} >0$.

\noindent Alors $\ds \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j} >0$ et
$\ds c_k = {1 \over 2k (2k-1)}\sum_{j=0}^{k-1} c_{k-1-j} c_{j} >0$
donc ${\cal Q}_k$ est vraie : la propri\'et\'e ${\cal Q}_k$
est r\'ecurrente.

\bigskip

\noindent {\bf II.3.b) D\'emonstration de l'in\'egalit\'e}
$${1\over 4 (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j} \le
c_k \le {2\over (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j}$$

\medskip
\noindent D'apr\`es la question II.1.a, $2k (2k-1)\ge 
{\ds (k+1)^2 \over \ds \strut 2 }$ d'o\`u
 ${\ds 1\over \ds\strut 2k (2k-1)}\le 
{\ds 2\over \ds \strut (k+1)^2  }$, donc
$$c_k = {1 \over 2k (2k-1)}\sum_{j=0}^{k-1} c_{k-1-j} c_{j}
\le  {2 \over (k+1)^2}\sum_{j=0}^{k-1} c_{k-1-j} c_{j}$$
D'autre part 
$${1\over 4(k+1)^2 }-{1\over 2k(2k-1) }=
{1\over 4k(k+1)^2 (2k-1)}[(2k^2-k)-(2k^2+4k+2)]=
{-5k-2\over 4k(k+1)^2 (2k-1)}\le 0$$
donc pour $k\ge 1$,
$${1\over 4(k+1)^2}\le {1\over 2k(2k-1)} $$
et
$$c_k = {1 \over 2k (2k-1)}\sum_{j=0}^{k-1} c_{k-1-j} c_{j}
\ge  {1 \over 4(k+1)^2}\sum_{j=0}^{k-1} c_{k-1-j} c_{j}$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_II4.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question II.4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf II.4.a)  D\'emonstration de l'in\'egalit\'e}
$${k+1\over 32^k}\le c_k \le {k+1\over 3^k}$$

\medskip
\noindent Nous allons, comme il est sugg\'er\'e, 
 faire une d\'emonstration par r\'ecurrence.
Soit ${\cal R}_k$ la proposition
$$\left(\forall i\in [ 0 , k ],\  
{i+1\over 32^i}\le c_i \le {i+1\over 3^i}\right). $$
${\cal R}_0$ est vraie.

\noindent Pour $k\ge 1$, supposons que ${\cal R}_{k-1}$ est vraie.
Alors pour tout $j \in [ 0 , k-1 ]$,
$${j+1\over 32^j} {k-j\over 32^{k-1-j}}
\le c_j c_{k-1-j}\le {j+1\over 3^j} {k-j\over 3^{k-1-j}} $$
$${(j+1)(k-j)\over 32^{k-1}}
\le c_j c_{k-1-j}\le {(j+1)(k-j)\over 3^{k-1}} $$
$${1\over 32^{k-1}}\sum_{j=0}^{k-1}(j+1)(k-j)
\le \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j}
\le {1\over 3^{k-1}}\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(k-j)$$
\noindent et en vertu de la question II.1.b
$${(k+1)^3\over 8\times 32^{k-1}}
\le \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j}
\le {(k+1)^3\over 6\times 3^{k-1}}.$$
Alors d'apr\`es la question II.3.b
$${1\over 4 (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j} \le
c_k \le {2\over (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j}$$
\noindent donc
$${1\over 4 (k+1)^2}{(k+1)^3\over 8\times 32^{k-1}}
\le {1\over 4 (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j} \le
c_k \le {2\over (k+1)^2} \sum_{j=0}^{k-1} c_j c_{k-1-j}
\le {2\over (k+1)^2} {(k+1)^3\over 6\times 3^{k-1}}$$
donc
$${k+1\over 32^k}\le c_k \le {k+1\over 3^k}$$
La propri\'et\'e ${\cal R}_k$ est vraie, ${\cal R}_k$ est r\'ecurrente.
\bigskip

\noindent {\bf II.4.b) Rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere
$\ds \sum_{k\ge 0} c_k x^{2k}$}

\noindent Posons $u_k ={k+1\over 32^k}$ et $v_k ={k+1\over 3^k}$.
$$\lim_{k\rightarrow +\infty}{u_{k+1}\over u_k}={1\over 32 }
\hbox{\ \ \ et\ \ \ } \lim_{k\rightarrow +\infty}{v_{k+1}\over v_k}=
{1\over 3} $$
Donc la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} u_k x^{2k}$  a pour rayon de convergence
$\sqrt{32}$ et
la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} v_k x^{2k}$  a pour rayon de convergence
$\sqrt{3}$.
Pour $0\le |x| <\sqrt{3}$, la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} v_k x^{2k}$
converge absolument et donc la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} c_k x^{2k}$ 
aussi, donc $\rho \ge \sqrt{3}$.
Pour $|x| > \sqrt{32}$, la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} u_k x^{2k}$
ne converge pas absolument et donc la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} c_k x^{2k}$ 
non plus, donc $\rho \le \sqrt{32}$.

\noindent Finalement on voit que $\sqrt{3}\le \rho \le 4\sqrt{2}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798_II5.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question II.5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf II.5.a)  D\'emonstration de l'\'egalit\'e}
$$R(z)={\rho\over \sqrt{|z|}}$$

\medskip
\noindent La (une) d\'efinition de $\rho$ est que pour tout
$x\in \R$ tel que $|x| < \rho$ la s\'erie 
$\ds \sum_{k\ge 0} c_k x^{2k}$ est absolument convergente et
pour tout
$x\in \R$ tel que $|x| > \rho$ la s\'erie 
$\ds \sum_{k\ge 0} c_k x^{2k}$ est non absolument convergente.

\noindent La (une) d\'efinition de $R(z)$ est que pour tout
$x\in \R$ tel que $|x| < R(z)$ la s\'erie 
$\ds \sum_{k\ge 0} c_k z^{k+1} x^{2k}$ est absolument convergente et
pour tout
$x\in \R$ tel que $|x| > R(z)$ la s\'erie 
$\ds \sum_{k\ge 0} c_k z^{k+1} x^{2k}$ est non absolument convergente.

\noindent Soit $x\in \R$ tel que 
$|x|< {\ds \rho \over \ds\strut\sqrt{|z|}}$.
Posons $\rho '= {\ds |x|  \ds\strut\sqrt{|z|}}$.
Alors $|c_k z^{k+1} x^{2k}|= c_k |z| \rho '^{2k}< c_k |z| \rho ^{2k}$. 
Comme $\rho '<\rho $
 la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} c_k z^{k+1} x^{2k}$ est absolument 
convergente. Donc
$$R(z)\ge {\rho\over \sqrt{|z|}}.$$

\noindent Soit $x\in \R$ tel que 
$|x|> {\ds \rho \over \ds\strut\sqrt{|z|}}$.
Posons $\rho '= {\ds |x|  \ds\strut\sqrt{|z|}}$.
Alors $|c_k z^{k+1} x^{2k}|= c_k |z| \rho '^{2k}> c_k |z| \rho ^{2k}$. 
Comme $\rho '>\rho $
 la s\'erie $\ds \sum_{k\ge 0} c_k z^{k+1} x^{2k}$ est non absolument 
convergente. Donc
$$R(z)\le {\rho\over \sqrt{|z|}}.$$
Donc
$$R(z) = {\rho\over \sqrt{|z|}}.$$

\medskip 
\noindent{\bf Donc $R(z_0) = 1$ pour $z_0$ strictement positif
si et seulement si $z_0= \rho ^2$.}

\bigskip

\noindent {\bf II.5.b)  La fonction r\'eelle $h_z$ est solution de
$(*)$ sur $]-R(z) , R(z)[$}

\medskip
\noindent Pour tout $x\in ]-R(z) , R(z)[$,
$$h_z (x) = \sum_{k\ge 0} c_k z^{k+1} x^{2k}$$
$$h'_z (x) = \sum_{k\ge 0} (2k+2) c_{k+1} z^{k+2} x^{2k+1}$$
$$h''_z (x) = \sum_{k\ge 0} (2k+2)(2k+1) c_{k+1} z^{k+2} x^{2k}$$
Or
$$\eqalign{
\left( h_z (x)\right)^2 
&=\sum_{k\ge 0}\left( 
\sum_{j=0}^{k} c_j z^{j+1} c_{k-j} z^{k-j+1} \right)x^{2k}\cr
&=\sum_{k\ge 0}\left( 
\sum_{j=0}^{k} c_j  c_{k-j}  \right)z^{k+2} x^{2k}\cr
&=\sum_{k\ge 0}(2k+2)(2k+1) c_{k+1} z^{k+2} x^{2k} = h''_z (x)\cr
}$$
\noindent Donc $h_z$ est solution de
$(*)$ sur $]-R(z) , R(z)[$.

\vfill\eject\null
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% Partie III
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%\input d798III1.tex
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% Question III.1
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\bigskip
\setbox10=\hbox{\gros Partie III}
\centerline{  \boxit{3pt}{\box10}}
\bigskip

\noindent {\bf III.1)  D\'emonstration de l'\'egalit\'e $u(0)=-v(0)$}

\medskip
\noindent $u(0) = C_0 (z_0) = c_0 z_0 =z_0$.

\noindent $v(0) = -C_0 (z_0) = -c_0 z_0 =-z_0$.

\bigskip

\noindent {\bf D\'emonstration de l'\'egalit\'e $u'(0)=v'(0)=0$}

\medskip
\noindent $u'$ et $v'$ \'etant des s\'eries ne contenant que les puissances 
impaires de $x$, on a $u'(0)=v'(0)=0$.

\bigskip
\noindent {\bf D\'emonstration de l'\'egalit\'e }
$$x\sqrt{{2\over 3}} =
 \int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}
=\int_{-z_0}^{v(x)} {dy\over \sqrt{y^3 + (z_0)^3}}
$$

\medskip
\noindent On prend la formule d\'emontr\'ee en I.3.e, 
$$x\sqrt{{2\over 3}} = \int_{f(0)}^{f(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - f(0)^3}}$$
on remplace 
$f$ par $u$ puis par $v$, ce qui possible puisque $u$ et $v$
sont solutions de $(*)$ sur $]-1,1[$, et on utilise que
$u(0) = z_0$ puis $v(0) =-z_0$ :
$$x\sqrt{{2\over 3}} =
 \int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}
=\int_{-z_0}^{v(x)} {dy\over \sqrt{y^3 + (z_0)^3}}
$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798III2.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question III.2
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\bigskip

\noindent {\bf III.2)  D\'emonstration de l'\'egalit\'e $J(z_0)^2= 2/3$
et valeur de $z_0$ en fonction de $J(1)$}

\medskip
$$\lim_{x\rightarrow 1} x\sqrt{{2\over 3}}=\sqrt{{2\over 3}}
\hbox{\ \ \ \ et\ \ \ \ } 
\lim_{x\rightarrow 1} \int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}
= \int_{z_0}^{+\infty} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}=J(z_0)$$
donc 
$$J(z_0)=\sqrt{{2\over 3}}\hbox{\ \ \ \ et\ \ \ \ } 
J(z_0)^2= {2\over 3}$$
Or on a vu dans la question I.4 que
$$[J(z_0)]^2 ={[J(1)]^2\over z_0}\hbox{\ \ \ \ donc\ \ \ \ }
{[J(1)]^2\over z_0}={2\over 3} \hbox{\ \ \ \ et\ \ \ \ }
z_0 = {3\over 2}[J(1)]^2$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798III3.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Question III.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\noindent {\bf III.3)  D\'emonstration de l'in\'egalit\'e 
$J(1)< J(-1)$}

\medskip
\noindent Faisons le changement de variable $y=2+t$ dans l'int\'egrale
$$J(1)= \int_{1}^{+\infty} {dy\over \sqrt{y^3-1}}.$$
$$J(1)= \int_{-1}^{+\infty} {dt\over \sqrt{t^3+6t^2+12t+7}}
=\int_{-1}^{+\infty} {dt\over \sqrt{t^3+1+6(t+1)^2}}
< \int_{-1}^{+\infty} {dt\over \sqrt{t^3+1}} =J(-1)$$
(Car la fonction 
$$t\mapsto ({1\over \sqrt{t^3+1+6(t+1)^2}}-{1\over \sqrt{t^3+1}} )
$$
est strictement n\'egative et continue  sur $]-1 , +\infty[$) 

\noindent (En toute rigueur il aurait fallu faire le changement
de variable dans
$$ \int_{1}^{A} {dy\over \sqrt{y^3-1}}$$
avec $A > -1$ puis faire tendre $A$ vers $+\infty$ \dots)

\bigskip

\noindent {\bf Il existe un unique r\'eel $\lambda > -1$ tel que }
$$J(1) = \int_{-1}^{\lambda} {dy\over \sqrt{y^3+1}}$$

\medskip
\noindent Soit
$$\eqalign{\varphi\ \ \  :\ \ \  ]-1 , +\infty [
&\rightarrow \ \ \ \ \R\cr
u\ \ \ \ \  &\mapsto \int_{-1}^{u}{dy\over \sqrt{y^3+1}}\cr
}$$
$\varphi$ est continue et croissante sur $]-1 , +\infty [$.

\noindent $\ds \lim_{u\rightarrow +\infty} \varphi (u) = J(-1)$
et $\ds \lim_{u\rightarrow -1} \varphi (u) = 0$.

\noindent $J(1) $ appartient \`a l'intervalle $] 0 , J(-1) [$, qui est
$\varphi (]-1 ,+\infty [)$, donc il existe un unique r\'eel
$\lambda$ de $]-1, +\infty [ $ tel que $\strut \varphi (\lambda )
= J(1)$ c'est-\`a-dire tel que 
$$J(1) = \int_{-1}^{\lambda} {dy\over \sqrt{y^3+1}}$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input d798III4.tex
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% Question III.4
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\bigskip

\noindent {\bf III.4)  Existence et calcul de la  limite \`a gauche}
$$L= \lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}v(x)$$

\medskip
\noindent Faisons le changement de variable $y= z_0 t$ dans l'int\'egrale
trouv\'ee dans la question III.1 :
$$x\sqrt{{2\over 3}} =
\int_{-z_0}^{v(x)} {dy\over \sqrt{y^3 + (z_0)^3}}
=\int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}$$
$$x\sqrt{{2\over 3}} ={1\over \sqrt{z_0}}
\int_{-1}^{v(x)/z_0} {dt\over \sqrt{t^3 + 1}}
=\int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}$$
$$\lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}x\sqrt{{2\over 3}}=\sqrt{{2\over 3}}
\hbox{\ \ \ et\ \ \ }
\lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}\int_{z_0}^{u(x)} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}
=\int_{z_0}^{+\infty} {dy\over \sqrt{y^3 - (z_0)^3}}
=J(z_0)={J(1)\over \sqrt{z_0}}$$
\noindent Donc
$$\lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}\int_{-1}^{v(x)/z_0} {dt\over \sqrt{t^3 + 1}}
=J(1)=\int_{-1}^{\lambda} {dy\over \sqrt{y^3+1}}$$
\noindent On en d\'eduit que 
$$\lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}{v(x)\over z_0}=\lambda
\hbox{\ \ \ et\ \ \ }
\lim_{{x\rightarrow 1\atop x<1}}{v(x)}=L=\lambda z_0 = 
{3\over 2}\lambda [J(1)]^2$$
\noindent Finalement
$$L = {3\over 2}\lambda [J(1)]^2$$



\bye
