%Document compos‚ avec le CD-ROM TeX & Co pour PC Version 2.2 (AsTeX)
%Format Plain
%Style  US
%Veuillez adresser vos remarques concernant les erreurs
% math‚matiques et TeXtuelles … saladin@netguacom.fr
%
%Des d‚finitions de fonctions%%%%%
\def\Id{\mathop{\rm Id}}         %
\def\sh{\mathop{\rm sh}}         %
\def\ch{\mathop{\rm ch}}         %
\def\Arctan{\mathop{\rm Arctan}} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Une macro pour les int‚grales de l'exercice 2%%%%%%%%%%%%%%
\def\Intt#1#2{\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \! #1 \,d #2}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Une macro pour superposer des symboles cf R.Seroul p.175%%%
\def\build#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Une macro de blanc vertical%%%%
\def\ind{\null\hskip 1cm\relax}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Choix de mise en page%
\nopagenumbers        %
\parindent = 0mm      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline {\bf Banque fili\`{e}re PT}
\centerline {\bf Math II-A}
\null \vskip 6pt plus 5mm minus 1cm

\ind \underbar {\bf Exercice 1}

{\bf{1)}} La loi $\ast$ est clairement interne dans ${\bf H}$, et
$\left( 1, \vec{0} \right)$ est \'{e}l\'{e}ment neutre.

L'associativit\'{e} \'{e}tant admise, il suffit de v\'{e}rifier que
$\displaystyle{
\left( x,\vec{u} \right) \ast \left( {x \over x^{2}+\vec{u} \cdot \vec{u}},
{-\vec{u} \over x^{2}+\vec{u} \cdot \vec{u}} \right)
= \left( 1, \vec{0} \right) }$

$Q^{-1}$ existe si $Q \neq \left( 0, \vec{0} \right) $.

${\bf H}^{\ast }$ est un groupe non commutatif car en g\'{e}n\'{e}ral
 $\vec{u} \wedge \vec{u}^{\prime} \neq \vec{u}^{\prime} \wedge \vec{u}$.


{\bf{2)}} $Q \ast Q^{\prime} = Q^{\prime} \ast Q$ si et seulement si 
$\vec{u}\wedge \vec{u}^{\prime} = \vec{u}^{\prime}\wedge \vec{u}$,
soit si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{u}^{\prime}$ sont colin\'{e}aires.

$Q^{\prime}\in {\bf H}$ v\'{e}rifie : $\forall Q\in {\bf H},\,
Q \ast Q^{\prime}=Q^{\prime} \ast Q$ si et seulement si $\vec{u}^{\prime}$
est colin\'{e}aire \`{a} tous les vecteurs de $E$,
soit si et seulement si $\vec{u}^{\prime}=\vec{0}$.

{\bf{3)}} $\overline{Q \ast Q^{\prime}}=\overline{Q^{\prime}}\ast\overline{Q}$
: v\'{e}rification imm\'{e}diate.

$Q \ast \overline{Q}=\left( x^{2}+\vec{u} \cdot \vec{u},\vec{0} \right)$.

$\eqalign{
\left( Q \ast Q^{\prime} \right) \ast \left( \overline{Q \ast Q^{\prime}} \right)
&= Q \ast \left( Q^{\prime} \ast \overline{Q^{\prime}} \right) \ast \overline{Q} \cr
&= \left( N \left( Q^{\prime} \right),\vec{0} \right) \ast \left( Q \ast \overline{Q} \right) \cr
&= \left( N \left( Q^{\prime} \right),\vec{0} \right) \ast \left( N \left( Q \right), \vec{0} \right) \cr
&= \left( N \left( Q \right) .N \left( Q^{\prime} \right) ,\vec{0} \right). \cr}$

d'o\`{u} $N\left( Q\ast Q^{\prime }\right) =N\left( Q\right) .N\left(
Q^{\prime }\right) $.

Pour $Q=\left( \cos \theta ,\sin \theta \, \vec{a}\right) $ avec
$\vec{a}$ unitaire, $N\left( Q\right) =1$ donc $Q \in S$.

R\'{e}ciproquement, si $Q\in S$, soit $\theta \in {\bf{R}}$ tel que
$\cases{ \cos \theta = x \cr 
\sin \theta =\left\| \vec{u}\right\| \cr}$

et $\vec{a}= \left\{ \vcenter{
\+ ${\vec{u}} \over {\left\| \vec{u} \right\|}$ si $\vec{u} \neq \vec{0}$ \cr
\+ un vecteur unitaire quelconque sinon. \cr}
\right.$

Alors, $x=\cos \theta $ et $\vec{u}=\sin \theta \, \vec{a}$
donc $Q = \left( \cos \theta ,\sin \theta \, \vec{a} \right)$.

$N:\left( x,\vec{u}\right) \mapsto x^{2}+\vec{u} \cdot \vec{u} \,$
est un morphisme de $\left( {\bf H}^{\ast},\ast \right) \,$ sur
$\left( {\bf{R}}_{+}^{\ast },\times \right) $
donc son noyau $S$ est un sous-groupe de $\left( {\bf H}^{\ast },\ast \right) $.

{\bf{4)}} Si $\vec{v}\,$ non nul est orthogonal \`{a} $\vec{a}
$, alors $\left( \vec{v},\vec{a}\wedge \vec{v}\right) $
est une base orthonormale directe du plan
$\left( {\bf{R}} \vec{a}\right) ^{\perp}$,

et {\it R} $\left( \vec{v} \right)
= \cos \theta \, \vec{v}+\sin \theta \, \vec{a} \wedge \vec{v}$.

Si $\vec{u}$ est quelconque,
$\vec{u} = \vec{v} + \left( \vec{a} \cdot \vec{u} \right) .\vec{a}$
\quad avec $\vec{v}$ orthogonal \`{a} $\vec{a}$, donc

$\eqalign{
{\it R} \left( \vec{u} \right)
&= \cos \theta \, \vec{v} + \sin \theta \, \vec{a} \wedge \vec{v} +
\left( \vec{a} \cdot \vec{u} \right) .\vec{a} \cr
&= \cos \theta \, \left( \vec{u}-\left( \vec{a} \cdot \vec{u}\right) .\vec{a}\right)
+ \sin \theta \, \vec{a} \wedge \vec{u}
+ \left( \vec{a} \cdot \vec{u} \right).\vec{a} \cr
&= \cos \theta \, \vec{u} + \left( 1-\cos \theta \right) \,
\left( \vec{a} \cdot \vec{u} \right) .\vec{a}
+ \sin \theta \, \vec{a}\wedge \vec{u}. \cr}$

{\bf{5)}} Pour $Q=\left( \cos \theta ,\sin \theta \, \vec{a} \right) $
dans $S$, on a $Q^{-1}=\left( \cos \theta ,-\sin \theta \, \vec{a}\right)$
et avec $M = \left( x,\vec{u}\right) $, on a successivement~:

$Q\ast M=\left( x \, \cos \theta -\sin \theta \, \vec{a} \cdot \vec{u},\,
\cos \theta \, \vec{u}+x \, \sin \theta \, \vec{a} +
\sin \theta \, \vec{a} \wedge \vec{u} \right) $

$\left( Q \ast M\right) \ast Q^{-1}
= \left( x\,,\, \cos 2\theta \, \vec{u} +
\left( 1 - \cos 2\theta \right) \left( \vec{a} \cdot \vec{u} \right) .\vec{a}
+ \sin 2\theta \, \vec{a}\wedge \vec{u} \right) $

qui est de la forme $\left( x,{\it R}_{Q}\left( \vec{u}\right) \right) $,
o\`{u}, si $Q = \left( 1,\vec{0}\right) $, alors
${\it R}_{Q}= \Id_{E}$, et sinon, ${\it R}_{Q}$ est la rotation vectorielle
de $E$ d'axe dirig\'{e} par $\vec{a}$ et d'angle $2\theta$.


{\bf{6)}} L'application $$\vbox{ \halign{
#         &#   & #              & #                            \cr
$\rho : $ &$S$ & $\rightarrow$  & $\it{O}^{+}\left( E \right)$ \cr 
          &$Q$ & $\mapsto$      & ${\it R}_{Q}$                \cr}
}$$
est trivialement surjective, et de plus :

$\forall M\in H,\;\Phi _{Q\ast Q^{\prime }}\left( M\right) =\left( Q\ast
Q^{\prime }\right) \ast M\ast \left( Q\ast Q^{\prime }\right) ^{-1}=Q\ast
\Phi _{Q^{\prime }}\left( M\right) \ast Q^{-1}=\left( \Phi _{Q}\circ \Phi
_{Q^{\prime }}\right) \left( M\right) $.

D'o\`{u} {\it R}$_{Q\ast Q^{\prime }}={\it R}_{Q}\circ {\it R}_{Q^{\prime
}}$ et $\rho $ est un morphisme surjectif de $\left( S,\ast \right) $ sur $
\left( \it{O}^{+}\left( E\right) ,\circ \right) $.

${\it R}_{Q}={\it R}_{Q^{\prime }}$ \'{e}quivaut \`{a}
$ \left\{ \vcenter{
\+ $\vec{a} = \vec{a}^{\prime}$ \cr
\+ $\theta = \theta^{\prime} \pmod \pi$ \cr}
\right.$ donc $Q=Q^{\prime}$ ou $Q=-Q^{\prime}$, et $\rho$ n'est pas injectif.


\ind \underbar {\bf {Exercice 2}}

{\bf{1)}}\ \ $\displaystyle t \mapsto {\ln t \over 1+t^{2}}$ est continue sur $\left]
0,+\infty \right[$, et est \'{e}quivalente \`{a} $t \mapsto \ln t$ au
voisinage de $0$, donc $\varphi$ est d\'{e}finie et continue sur $\left]
0,+\infty \right[$.

Pour tout $t$ de $\left] 0,x\right]$,
${1 \over 1+x^{2}}\leq {1 \over 1+t^{2}} \leq 1$
donc $-1 \leq \varphi \left( x\right) \leq {-1\over 1+x^{2}}$
et $\lim\limits_{0^{+}}\varphi =-1$.

$\lim\limits_{+\infty }t^{3/2}\displaystyle {\ln t \over 1+t^{2}}=0$
donc pour $t$ assez grand,
$\left| {\ln t \over 1+t^{2}}\right| \leq {1 \over t^{3/2}}$
ce qui \'{e}tablit l'existence de
$\lim\limits_{+\infty }\varphi = \Intt{{\ln t \over 1+t^{2}}}{t}$.

Avec le changement de variable $u=\displaystyle {1 \over t},\quad
\Intt{{\ln t \over 1+t^{2}}}{t} = -\Intt{{\ln u \over 1+u^{2}}}{u}$, \quad
et on a donc $\lim\limits_{+\infty }\varphi = 0.$

{\bf{2)}} La fonction $u \mapsto \sqrt{u}-\ln \left( 1+u \right)$ a pour
d\'{e}riv\'{e}e
$u \mapsto {\left( 1-\sqrt{u}\right) ^{2} \over 2\sqrt{u}.\left( 1+u \right)}$
donc est croissante sur $\left[ 0,+\infty \right[$.
Comme elle prend la valeur $0$ en $0$, elle est positive sur
$\left[0,+\infty \right[$.

Soit $x\in \left[ 0,+\infty \right[ $ fix\'{e}.
La fonction $t\mapsto \displaystyle {\ln \left( 1+xt\right) \over 1+t^{2}}$
est continue, positive sur $\left[ 0,+\infty \right[$,
et d'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de,
$\displaystyle {\ln \left( 1+xt\right) \over 1+t^{2}}
\leq {\sqrt{x} \sqrt{t} \over 1+t^{2}}
\leq {\sqrt{x} \over t^{3/2}}$,
ce qui assure la convergence de
$\Intt{{\ln \left( 1+xt\right) \over 1+t^{2}}}{t}$.

La fonction $\alpha : \left( x,t \right) \mapsto \displaystyle
{\ln \left( 1+xt\right) \over 1+t^{2}}$
est continue sur $\left[ 0,A\right] \times \left[ 0,+\infty \right[$,
et v\'{e}rifie $0 \leq \alpha \left( x,t \right)
\leq \sqrt{A} {\sqrt{t} \over 1+t^{2}} = \varphi_{A} \left( t\right).$

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \! \varphi _{A}$ converge,
d'o\`{u} la continuit\'{e} de $f$ sur
$\left[ 0,A\right]$ puis sur $\left[ 0,+\infty \right[$.

{\bf{3)}} Pour tout $\left( x,t\right)$ de
$\left[ 0,+\infty \right[ \times \left[ 0,+\infty \right[,
\displaystyle {\partial u \over \partial x} \left( x,t \right)
={t \over \left( 1+t^{2}\right) \left( 1+xt\right) }$ donc sur 
$\left[ \varepsilon ,+\infty \right[ \times \left[ 0,+\infty \right[$
$$0 \leq {\partial u \over \partial x} \left( x,t \right)
\leq {t \over \left( 1+t^{2} \right) \left( 1 + \varepsilon t \right)}
= \varphi _{\varepsilon} \left( t\right).$$

La convergence de $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\varphi _{\varepsilon}$
et le r\'{e}sultat du {\bf{2)}} montrent que $f$ est de classe $C^{1}$ sur
$\left[ \varepsilon ,A \right]$, donc sur $\left] 0,+\infty \right[ $.

Pour $x\neq 0$, $${t \over \left( 1+t^{2}\right) \left( 1+xt \right)}
={1 \over 1+x^{2}}{x+t \over 1+t^{2}}-{x \over 1+x^{2}}{1 \over 1+xt}.$$

$$\eqalign{ f^{\prime} \left( x \right)
&=\Intt{{\partial u \over \partial x} \left( x,t\right)}{t} \cr
&=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}
\int_{0}^{X} {\partial u \over \partial x} \left( x,t \right) \, dt \cr
&=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty}
\left( {1 \over 2} \, {1 \over 1+X^{2}}
\ln \left( {1+X^{2} \over \left( 1+xX \right)^{2}} \right)
+ {x \over 1+x^{2}} \Arctan \left( X \right) \right) \cr
&={\pi \over 2}{x \over 1+x^{2}}-{\ln x \over 1+x^{2}}. \cr}$$

{\bf{4)}} Pour tout $x$ de ${\bf R_{+}^{*}}$,
$$\eqalign{ f\left( x \right)
&=f \left( 0 \right) + \int_{0}^{x} f^{\prime} \left( t \right) \, dt \cr
&={\pi \over 4} \ln \left( 1+x^{2} \right) - \varphi \left( x \right). \cr}$$
On en d\'{e}duit, puisque $\lim\limits_{+\infty} \varphi = 0$,
$$f \left( x\right) \build {\sim}_{+\infty} {\pi \over 2} \ln x.$$

{\bf{5)}} La fonction $u \mapsto \ln \left( 1+u \right) - {u \over 1+u}$
a pour d\'{e}riv\'{e}e $u \mapsto {u \over \left( 1+u \right) ^{2}}$,
donc est croissante sur $\left[ 0,+\infty \right[$. Comme elle vaut $0$ en $0$,
elle est positive sur $\left[ 0,+\infty \right[$.
On en d\'{e}duit :
$$\eqalign{
{f \left( x \right) - f \left( 0 \right) \over x}
&={1 \over x} \Intt{{\ln \left( 1+xt \right) \over 1+t^{2}}} {t} \cr
&\geq {1 \over x}
\Intt{{xt \over \left( 1+xt \right) \left(1+t^{2} \right)}} {t} \cr
&\geq f^{\prime} \left( x \right). \cr
}$$

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f^{\prime} \left( x \right) = +\infty$
donc $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}
{f \left( x \right) -f \left( 0 \right) \over x}=+\infty$
et $f$ n'est pas d\'{e}rivable en $0$. La courbe repr\'{e}sentative
de $f$ pr\'{e}sente une tangente verticale en ce point.


\ind \underbar {\bf {Exercice 3}}

{\bf{1)}} Le polyn\^{o}me caract\'{e}ristique de $A$ est
$$\eqalign{ \chi_{A}
&=\left| \matrix{
 2 \sh \theta - X &  0  & 1  \cr
          0       & 1-X & 0  \cr
          1       &  0  & -X \cr} \right| \cr
&=\left( 1-X \right) \left[ X \left( X-2\sh \theta \right) -1 \right] \cr
&=\left( 1-X \right)
\left( \left( X-\sh \theta \right)^{2}-\ch \nolimits ^{2} \theta \right) \cr
&=\left( 1-X \right) \left( X-e^{\theta} \right) \left( X+e^{-\theta}\right)
.}$$
Pour tout $\theta$, $A$ est une matrice sym\'{e}trique r\'{e}elle,
donc diagonalisable dans ${\cal M}_{3} \left( {\bf R} \right)$.

Si $\theta =0$, on peut prendre $\pmatrix {0 \cr 1 \cr 0 \cr} ,
{1 \over \sqrt{2}} \pmatrix {1 \cr 0 \cr 1 \cr}
{1 \over \sqrt{2}} \pmatrix {-1 \cr 0 \cr 1 \cr}$
associ\'{e}s respectivement \`{a} $1$ (double) et $-1$.

Si $\theta \neq 0$, on peut prendre $\pmatrix {0 \cr 1 \cr 0 \cr} , 
{1 \over \sqrt{1+e^{2\theta }}} \pmatrix {e^{\theta} \cr 0 \cr 1 \cr}
{1 \over \sqrt{1+e^{2\theta }}} \pmatrix {-1 \cr 0 \cr e^{\theta} \cr}$
associ\'{e}s respectivement \`{a} $1$, $e^{\theta}$ et $-e^{-\theta }$.

{\bf{2)}} En posant $\left\{ \matrix{
x^{\prime} & = & x   \cr 
y^{\prime} & = & y-1 \cr 
z^{\prime} & = & z   \cr} \right. $
l'\'{e}quation de $\left( S \right)$ devient :
$$2 \sh \theta \, x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+2x^{\prime}z^{\prime}-1=0,$$

qui est invariante par $\left( x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} \right)
\gets \left( -x^{\prime},-y^{\prime},-z^{\prime} \right)$ donc
$\Omega$ est centre de sym\'{e}trie de $\left( S \right)$.

$\left( S \right)$ est un hyperbolo\"{\i}de \`{a} une nappe (de
r\'{e}volution si $\theta =0$).
L'\'{e}quation r\'{e}duite $$X^{2}+\exp \theta Y^{2}-e^{-\theta}Z^{2}=1$$
s'obtient dans le rep\`{e}re ${\cal R}_{2}$ d'origine $\Omega$ et de base
la famille des vecteurs propres trouv\'{e}e au ${\bf 2)}$.
La matrice de passage peut s'\'{e}crire, pour $\theta \neq 0$
$$P = \pmatrix{
0 & e^{\theta}/\sqrt{1+e^{2\theta}} & -1/\sqrt{1+e^{2\theta}}	     \cr
1 & 0				    & 0				     \cr
0 & 1/\sqrt{1+e^{2\theta}}	    & e^{\theta}/\sqrt{1+e^{2\theta}}\cr}.$$

On constate que cette matrice vaut aussi pour le cas $\theta=0$.
$P$ \'{e}tant orthogonale, pour tout $\theta$ de ${\bf R}$
$$P^{-1}= \tilde P = \pmatrix{
0				& 1 & 0				     \cr
 e^{\theta}/\sqrt{1+e^{2\theta}}& 0 & 1/\sqrt{1+e^{2\theta}}	     \cr
-1/\sqrt{1+e^{2\theta}}		& 0 & e^{\theta}/\sqrt{1+e^{2\theta}}\cr}$$
On a donc
$$\left\{ \matrix{
X & = & y-1 \cr 
Y & = & {1 \over \sqrt{1+e^{2\theta}}} \left( e^{\theta}x+z \right) \cr 
Z & = & {1 \over \sqrt{1+e^{2\theta}}} \left( -x+e^{\theta}z \right) \cr}
\right. $$

{\bf{3)}} Sections par $X=h:$
$\left\{
\vcenter{
\+ hyperboles d'axes transverses
parall\`{e}les \`{a} $\Omega Y$ si $\left| h \right| <1$,
et \`{a} $\Omega X$ si $\left| h \right| >1$ \cr
\+ deux droites s\'{e}cantes
$Z= \pm e^{\theta}Y$ si $\left| h \right| =1.$ \cr } \right.$

Sections par $Z=k:$ ellipses centr\'{e}es sur $\Omega Z$.

Avec $\theta =\ln 2$, on obtient pour sections :

  par $X=1$, les droites $Z=\pm 2.Y$,\qquad
  par $X=3$, l'hyperbole $-{Y^{2} \over 4}+{Z^{2} \over 16}=1$,

  et par $Z=0$, l'ellipse $X^{2}+2Y^{2}=1$.

{\bf{4)}} Avec $\gamma = \Arctan c$ la relation $a^{2}+b^{2}=1+c^{2}$
s'\'{e}crit $\cos ^{2}\gamma \left( a^{2}+b^{2} \right) =1$
d'o\`{u} l'existence de $\alpha$ tel que $$\left\{ \matrix{
a=\displaystyle {\cos \alpha  \over \cos \gamma} \cr 
b=\displaystyle {\sin \alpha  \over \cos \gamma} \cr}
\right. $$

puis avec $\beta =\alpha +\gamma$, par les formules d'addition,
$\left\{ \matrix{
a=\cos \beta +\tan \gamma \sin \beta \cr
b=\sin \beta -\tan \gamma \cos \beta \cr}
\right. $

d'o\`{u} les formules avec $\tan \gamma =c$.

{\bf{5)}} En utilisant le {\bf{4)}} avec
$\left( a,b,c \right) =
\left(X,e^{{\theta \over 2}}Y,e^{-{\theta \over 2}}Z \right)$,
on obtient,
pour tout $M \left( X,Y,Z \right)$ de $\left( S \right)$, l'existence de $v$
tel que
$\left\{ \matrix{
X=\cos v+e^{-{\theta \over 2}}Z \sin v \cr 
e^{{\theta \over 2}}Y=\sin v-e^{-{\theta \over 2}}Z \cos v \cr}
\right.$

d'o\`{u} en posant $u=e^{-{\theta \over 2}}Z$, $\left\{ \matrix{
X=\cos v+u\sin v \hfill \cr 
Y=e^{-{\theta \over 2}} \sin v-e^{-{\theta \over 2}} u \cos v \cr 
Z=e^{{\theta \over 2}} u \hfill }.
\right. $

Lorsque $\left( u,v \right) $ d\'{e}crit ${\bf{R}}^{2}$, cela
repr\'{e}sente un param\'{e}trage de $\left( S \right)$.

Pour $v$ fix\'{e}, la droite $D_{v}$ est donc contenue dans $\left( S \right)$
, et lorsque $v$ d\'{e}crit ${\bf{R}}$, les droites $D_{v}$ engendrent
$\left( S \right) $.

$\left( S\right) $ est donc le support de la nappe r\'{e}gl\'{e}e
param\'{e}tr\'{e}e par:

$M\left( u,v \right) =P \left( v \right) + u \vec{K} \left( v \right)$
avec $P \left( v \right) \pmatrix{
\cos v \cr
e^{-{\theta \over 2}} \sin v \cr 
0 \cr }$
et $\vec{K} \left( v \right) \pmatrix{
\sin v \cr
-e^{-{\theta \over 2}} \cos v \cr
e^{{\theta \over 2}} \cr } $.

Le produit mixte $\left[
\vec{K}\left( v \right) ,\displaystyle {d\vec{K} \over dv},
\displaystyle {d\vec{P} \over dv} \right]$
vaut donc $$\left| \matrix{
\sin v & \cos v & -\sin v \cr 
-e^{-{\theta\over 2}}\cos v&e^{-{\theta\over 2}}\sin v&e^{-{\theta\over 2}}\cos v\cr
e^{{\theta \over 2}} & 0 & 0 \cr}
\right|
= e^{{\theta\over 2}} \left[ e^{-{\theta\over 2}} \left( \cos^{2}v+\sin^{2}v \right) \right]
= 1.$$

Il est non nul, donc $\left( S \right) $ n'est pas d\'{e}veloppable.

\bye