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%%%%%%%%								%%%%%%%%
%%%%%%%%               Corrig{\'e} de l'{\'e}preuve de math 1	 		%%%%%%%%
%%%%%%%%								%%%%%%%%
%%%%%%%%			E.N.S.A.E. 97				%%%%%%%%
%%%%%%%%								%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%% fichier A4

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% Fonctions usuelles:

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% Convergence

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% 3 petits points ascendants

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\def\etc{{\it etc.}}



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\catcode`\@=12

%%% fin de a4.tex




\centerline{\bf Corrig{\'e} de la premi{\`e}re {\'e}peuve de math{\'e}matiques.}
\medskip
\centerline{\bf ENSAE MP 97.}


\vskip 2cm
{\bf PARTIE I.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.1)} Supposons que ${\cal M}(\delta,F)$ soit vide. Comme $F$ est non vide, nous
pouvons choisir $x_1\in\,F$ et construire par r{\'e}currence une suite $(x_n)$ v{\'e}rifiant:
$$x_{n+1}\in\,F\setminus \bigcup_{i=1}^nB(x_i,\delta)$$
pour tout entier $n\geq 1$. Comme $F$ est born{\'e}e, la suite $(x_n)$ l'est {\'e}galement. Comme $\R^d$ est de dimension finie,
la suite $(x_n)$ poss{\`e}de au moins une valeur d'adh{\'e}rence, ce qui est absurde puisque $d(x_i,x_j)\geq \delta$ d{\`e}s que $i$ et $j$
sont distincts.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.2.a)} Comme $F\subset F'$, ${\cal M}(\delta,F')\subset {\cal M}(\delta,F)$ , et donc
$N(\delta,F)\leq N(\delta,F')$. Pour $\delta <1$, nous avons donc
$${N(\delta,F)\over -\ln \delta}\leq {N(\delta,F')\over -\ln \delta},$$
ce qui donne l'in{\'e}galit{\'e} demand{\'e}e par passage {\`a} la limite.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.2.b)} Si $F$ est contenue dans $\displaystyle\bigcup_{i=1}^nB(x_i,\delta)$, $\lambda F$ est contenue dans
$\displaystyle\bigcup_{i=1}^nB(\lambda x_i,\lambda\delta)$. Ainsi, $N(\delta\lambda,\lambda F)\leq N(\delta,F)$. En appliquant
cette in{\'e}galit{\'e} en rempla{\c c}ant $F$ par $\lambda F$ et $\lambda$ par $1/\lambda$, nous obtenons:
$$N(\delta\lambda,\lambda F) = N(\delta,F)$$
pour tout $\delta>0$. Nous avons alors:
$${N(\delta,\lambda F)\over -\ln \delta}= {N(\delta/ \lambda,F)\over - \ln (\delta/ \lambda)}\times {\ln \delta - \ln \lambda\over \ln \delta}\, ,$$
et donc
$${N(\delta,\lambda F)\over -\ln \delta}\tend {10}{\hbox{\rm B-dim}(F)}{\delta}{0^+}{}.$$
B-dim($\lambda F$) existe donc et est {\'e}gale {\`a} B-dim($F$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.2.c)} Quitte {\`a} {\'e}changer les r{\^o}les de $F$ et de $F'$, nous pouvons supposer que $\hbox {\rm B-dim}(F)\geq \hbox {\rm B-dim}(F')$. Remarquons
tout d'abord la double in{\'e}galit{\'e}:
$$N(\delta ,F)\leq N(\delta,F\cup F')\leq N(\delta ,F)+N(\delta ,F').$$
La premi{\`e}re in{\'e}galit{\'e} a {\'e}t{\'e} prouv{\'e}e au {\bf 2.a)}. Pour la seconde, il suffit de remarquer que s'il existe $n$ boules
de rayon $\delta$ recouvrant $F$ et $n'$ boules de rayon $\delta$ recouvrant $F'$, alors les $n+n'$ boules recouvrent
$F\cup F'$. Nous allons alors distinguer deux cas:

\vskip .2cm
\hskip .5cm $\bullet$  $\hbox {\rm B-dim}(F)>\hbox {\rm B-dim}(F')$.
\vskip .2cm

Nous avons alors
$\displaystyle{\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}\geq \displaystyle{\ln N(\delta,F')\over -\ln \delta}$, c'est {\`a} dire
$N(\delta,F)\geq N(\delta,F')$, pour $\delta$ assez petit (et strictement inf{\'e}rieur {\`a} 1).
Alors $N(\delta,F)\leq N(\delta,F\cup F')\leq N(\delta,F)+N(\delta,F')\leq 2N(\delta,F)$, puis
$${\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}\leq {\ln N(\delta,F\cup F')\over -\ln \delta}\leq
{\ln 2+\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}$$
pour $\delta$ assez petit. Cette in{\'e}galit{\'e} prouve que B-dim($F\cup F'$) existe et est {\'e}gale {\`a} B-dim($F$).

\vskip .2cm
\hskip .5cm $\bullet$  $\hbox {\rm B-dim}(F)=\hbox {\rm B-dim}(F')=a$.
\vskip .2cm

Soit $\varepsilon>0$. Fixons $\delta_0\in\,]0,1[$ tel que
$$a-\varepsilon \leq {\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}\leq a+\varepsilon,$$
$$a-\varepsilon \leq {\ln N(\delta,F')\over -\ln \delta}\leq a+\varepsilon$$
pour $\delta\in\,]0,\delta_0[$. Nous avons alors, pour $\delta <\delta_0$:
$${\rm e}^{-(a-\varepsilon)\ln \delta}\leq N(\delta,F)\leq N(\delta,F\cup F') \leq N(\delta,F)+N(\delta,F')\leq 2\,{\rm e}^{-(a+\varepsilon)\ln \delta},$$
soit
$$a-\varepsilon\leq {\ln N(\delta,F\cup F')\over -\ln \delta}\leq {\ln 2\over -\ln\delta}+a+\varepsilon.$$
Soit alors $\delta'_0\in\,]0,\delta_0]$ tel que $\displaystyle{\ln 2\over -\ln\delta}<\varepsilon$ pour $\delta\in\,]0,\delta'_0[$. Nous obtenons alors:
$$a-\varepsilon\leq {\ln N(\delta,F\cup F')\over -\ln \delta}\leq a+2\varepsilon$$
pour tout $\delta \in\,]0,\delta'_0[$. Cette in{\'e}galit{\'e} prouve que B-dim($F\cup F'$) existe et est {\'e}gale {\`a} $a$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.2.d)} Le r{\'e}sultat s'obtient imm{\'e}diatement en consid{\'e}rant la double in{\'e}galit{\'e}
$${\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}\leq {\ln N(\delta,F'')\over -\ln \delta}\leq {\ln N(\delta,F')\over -\ln \delta},$$
valable pour tout $\delta \in\,]0,1[$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.3)} Soit $F=\{x_1,\ldots ,x_k\}$ une partie non vide finie de $\R^d$, et soit $\delta_0$ la plus petite distance
s{\'e}parant deux points distincts de $F$:
$$\delta_0=\min\{||x_j-x_i||, 1\leq i<j\leq k\}.$$
Nous avons $N(\delta,F)=k$ d{\`e}s que $\delta<\delta_0/2$, puisqu'une boule de rayon $\delta$ (et donc de diam{\`e}tre strictement inf{\'e}rieur {\`a}
$\delta_0$) ne peut contenir deux points de $F$. Nous obtenons alors:
$${\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}={\ln k\over -\ln \delta}\tend {10}0{\delta}{0^+}{},$$
ce qui prouve que B-dim($F$) existe et que $\hbox {\rm B-dim}(F)=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.4.a)} L'application est clairement une norme {\'e}quivalente {\`a} la norme euclidienne.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.4.b)} Soit $x\in \R^d$ et $i\in\{1,\ldots ,d\}$. La projection $P_i$ de la boule $B(x,\delta)$ sur la droite
${\rm Vect}(v_i)$ est un segment de longueur $2\delta$. Notons $N_i$ le nombre de segments
de la forme $[k\delta v_i, (k+1)\delta v_i]$ (avec $k$ entier relatif) intersectant $P_i$. Comme les segments
$[k\delta v_i, (k+1)\delta v_i]$ sont de longueur $\delta ||v_i||$, nous avons
$$(N_i-2)\delta ||v_i||\leq 2\delta,$$
l'{\'e}galit{\'e} {\'e}tant obtenue quand les extr{\'e}mit{\'e}s de $P_i$ sont chacunes de la forme $k\delta v_i$ avec $k\in \Z$. Nous obtenons
donc une majoration de $N_i$:
$$N_i\leq 2+{2\over ||v_i||}.$$
D'autre part, si $B(x,\delta)$ rencontre $C(k_1,k_2,\ldots ,k_d,\delta)$, alors
$[k_i\delta, (k_i+1)\delta]\cap P_i\not= \emptyset$ pour tout $i$. On en d{\'e}duit donc que $B(x,\delta)$ rencontre au
maximum $N_1\times N_2\times \ldots \times N_k$ $\delta$-cubes, chaque entier $k_i$ ne pouvant prendre que $N_i$ valeurs distinctes. Nous obtenons donc
le r{\'e}sultat demand{\'e} avec
$$\gamma=\prod_{i=1}^d\left( 2+{2\over ||u_i||}\right).$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.4.c)} $F$ est recouverte par $N(\delta,F)$ boules de rayons $\delta$. Comme chacune de ces boules rencontre
au maximum $\gamma$ $\delta$-cubes, $F$ rencontre au maximum $\gamma N(\delta,F)$ $\delta$-cubes. Nous en d{\'e}duisons la premi{\`e}re in{\'e}galit{\'e}:
$${1\over \gamma}A(\delta,F)\leq N(\delta,F).$$
Deux $\delta$-cubes $C_1$ et $C_2$ {\'e}tant isom{\'e}triques, nous avons $N(\delta,C_1)=N(\delta,C_2)$. Notons
$\gamma_2$ cet entier, qui ne d{\'e}pend que de $\delta$ et de $(v_1,\ldots ,v_d)$. Comme $F$ est contenu dans la r{\'e}union des
$A(\delta,F)$ $\delta$-cubes qui le rencontrent, on en d{\'e}duit que $F$ est recouvert par la r{\'e}union de
$\gamma_2A(\delta,F)$ boules ouvertes de rayon $\delta$. On obtient ainsi la seconde in{\'e}galit{\'e}:
$$N(\delta ,F)\leq \gamma A(\delta,F).$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.4.d)} Le r{\'e}sultat est clair, les in{\'e}galit{\'e}s pr{\'e}c{\'e}dentes montrant que les expressions
$\displaystyle{\ln A(\delta,F)\over -\ln \delta}$ et $\displaystyle{\ln N(\delta,F)\over -\ln \delta}$
sont {\'e}quivalentes au voisinage de 0.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.5.a)} Un $\delta$-cube $C(k_1,\ldots ,k_d,\delta)$ rencontre $U_{\alpha}$ si et seulement si
$[k_i\delta ,(k_i+1)\delta]\cap [-\alpha,\alpha]$ est non vide pour tout $i$ compris entre 1 et $p$ et si
$0\in [k_i\delta ,(k_i+1)\delta]$ pour tout $i$ compris entre $p+1$ et $d$.  Pour
$i$ entier compris entre 1 et $p$ fix{\'e}, notons $N_i$ l'entier naturel d{\'e}fini par la condition:
$$N_i\delta ||v_i||\leq \alpha <(N_i+1)\delta ||v_i||.$$
Il existe alors exactement $2(N_i+1)$ intervalle de la forme $[k_i\delta ,(k_i+1)\delta]$ rencontrant $[-\alpha,\alpha]$.
Nous en d{\'e}duisons que
$$A(\delta ,U_{\alpha})=2^{d-p}\times 2(N_1+1)\times 2(N_2+1)\ldots \times 2(N_p+1).$$
Nous obtenons ensuite (en prenant $\delta$ assez petit pour avoir $N_i\geq 1$ pour tout $i$):
$$2^d({\alpha\over \delta||v_1||}-1)\ldots ({\alpha\over \delta||v_p||}-1)\leq A(\delta ,U_{\alpha})
\leq 2^d({\alpha\over \delta||v_1||})\ldots ({\alpha\over \delta||v_p||}),$$
puis
$$d\ln 2- p\ln \delta +\ln (\alpha-\delta ||v_1||)+\cdots+\ln (\alpha-\delta ||v_p||)
\leq \ln A(\delta,U_{\alpha})
\leq d\ln 2- p\ln \delta +p\ln \alpha.$$
Ceci prouve que $\displaystyle {\ln A(\delta,U_{\alpha})\over -\ln \delta}$ tend vers $p$ quand $\delta$ tend vers $0^+$.
B-dim($U_{\alpha}$) est donc bien d{\'e}finie, et est {\'e}gale {\`a} $p$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.5.b)} L'{\'e}quivalence des normes obtenue {\`a} la question {\bf I.4.b)} prouve l'existence de $\alpha_1$ et $\alpha_2$
r{\'e}els strictement positifs tels que:
$$\{\lambda_1v_1+\cdots +\lambda_dv_d,\ \lambda_1,\ldots,\lambda_d\in [-\alpha_1,\alpha_1]\}\subset B(0,R) \subset
\{\lambda_1v_1+\cdots +\lambda_dv_d,\ \lambda_1,\ldots,\lambda_d\in [-\alpha_2,\alpha_2]\}.$$
Nous obtenons la relation demand{\'e}e par intersection avec le sous-espace $L$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf I.5.c)} Comme $\hbox {\rm B-dim}(U_{\alpha_1})$ et $\hbox {\rm B-dim}(U_{\alpha_2})$ existent et sont tous deux {\'e}gaux {\`a} $p$, on sait
d'apr{\`e}s le {\bf I.2.d.} que $\hbox {\rm B-dim}(B(0,R))$ existe et est {\'e}gale {\`a} $p$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vskip 2cm
{\bf PARTIE II.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf II.1.a)} Nous avons $|\lambda^{(s-2)k}\sin (\lambda^kt)|\leq \lambda^{(s-2)k}$ pour tout r{\'e}el $t$ et pour tout
entier $k\geq 1$. Comme la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $\lambda^{(s-2)k}$ est convergente (ce terme g{\'e}n{\'e}ral est n{\'e}gligeable
devant $1/k^2$), la s{\'e}rie d{\'e}finissant $f$ est normalement convergente sur $\R$. Ceci prouve que $f$ est d{\'e}finie et continue sur $\R$,
les fonctions somm{\'e}es {\'e}tant continues par rapport {\`a} $t$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf II.1.b)} $G$ est l'image du compact $[0,1]$ par l'application continue $t\mapsto (t,f(t))$. $G$ est ainsi une partie
compacte, donc born{\'e}e, de $\R^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf II.2)} Soit $t\in \R$ et $h\in\,]0,1/\lambda[$. Notons $N$ la partie enti{\`e}re de $-\displaystyle{\ln h\over \ln \lambda}$.
Nous avons
$$N\geq 1,\ \lambda^{-(N+1)}<h\leq \lambda^{-N}.$$
Nous pouvons alors {\'e}crire:
$$\eqalign{
|f(t+h)-f(t)|&=\left|\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda^{-(2-s)k}\left(\sin(\lambda^k(t+h))-\sin (\lambda^kt)\right)\right|\cr
\noalign{\vskip .3cm}
&\leq \sum_{k=1}^{N}\lambda^{-(2-s)k}\underbrace{\ti 0{8}\left|\sin(\lambda^k(t+h))-\sin (\lambda^kt)\right|}_{\displaystyle\leq \lambda^k\,h}
+\sum_{k=N+1}^{+\infty}\lambda^{-(2-s)k}\underbrace{\ti 0{8}\left|\sin(\lambda^k(t+h))-\sin (\lambda^kt)\right|}_{\displaystyle\leq 2}.\cr}$$
Notons $A_N$ et $B_N$ ces deux derni{\`e}res sommes. Nous obtenons facilement les majorations de $A_N$ et de $B_N$:
$$\eqalign{
A_N&\leq \sum_{k=1}^{N}\lambda^{-(2-s)k}\lambda^k\,h=h\,\sum_{k=1}^{N}\lambda^{(s-1)k}=h\,{\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\left(\lambda^{(s-1)N}-1\right)\cr
\noalign{\vskip .3cm}
&\leq h{\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\,\left(\lambda^N\right)^{s-1}\leq
h{\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\,h^{1-s}= {\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\,h^{2-s} \cr
\noalign{\vskip .3cm}
B_N&\leq 2\sum_{k=N+1}^{+\infty}\lambda^{-(2-s)k}=2{\lambda^{-(2-s)(N+1)}\over 1-\lambda^{-(2-s)}}
\leq {2\over 1-\lambda^{-(2-s)}}h^{2-s}\cr}$$
puisque $\lambda^N<h^{-1}$ et $\lambda^{-(N+1)}\leq h$. Nous obtenons ainsi l'in{\'e}galit{\'e} demand{\'e}e, en posant
$$c={\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}+{2\lambda^{2-s}\over \lambda^{2-s}-1}.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf II.3.a)} Supposons qu'un tel $\varepsilon$ n'existe pas. Pour chaque entier $n$, il existe donc $t_n\in \R$
tel que
$$|\sin(t_n+h)-\sin(t_n)|\leq {1\over n+1}$$
pour tout $h\in [1/2,1[$. La fonction sinus {\'e}tant de p{\'e}riode $2\pi$, nous pouvons supposer que $t_n\in[0,2\pi]$ pour
tout $n$. La suite $(t_n)$ est alors born{\'e}e et nous pouvons en extraire une sous-suite $(t_{\psi(n)})$ qui converge vers un
{\'e}l{\'e}ment $t$ de $[0,2\pi]$. Fixons $n_0$ tel que l'on ait $|t_{\psi(n)}-t|< 1/8$ pour tout entier $n$ au moins {\'e}gal {\`a} $n_0$.
Nous obtenons alors
$$t_{\psi(n)}+1/2< t+1/2+1/8 < t+1-1/8 < t_{\psi(n)}+1$$
pour tout $n\geq n_0$, ce qui permet d'affirmer que l'in{\'e}galit{\'e}
$$|\sin(t+h)-\sin(t)|\leq {1\over \psi(n)}$$
est v{\'e}rifi{\'e}e d{\`e}s que $n\geq n_0$ et $5/8\leq h\leq 7/8$. En faisant tendre $n$ vers l'infini, nous obtenons
$$\sin(t+h)=\sin(t)$$
pour tout $h$ compris entre $5/8$ et $7/8$, ce qui est absurde.  


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
{\bf II.3.b)} Soit $t,h$ et $N$ tels que $0\leq t < t+h$ et $\lambda^{-(N+1)}\leq h\leq \lambda^{-N}$. En utilisant
les m{\^e}mes majorations qu'{\`a} la question {\bf II.2)}, nous obtenons:
$$\eqalign{
\sum_{k=1}^{N-1}\lambda^{-(2-s)k}\left|\sin(\lambda^k(t+h))-\sin (\lambda^kt)\right|&
\leq {\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\left(\lambda^{(s-1)(N-1)}-1\right)\,h
\leq {\lambda^{s-1}\over \lambda^{s-1}-1}\,\lambda^{(s-1)(N-1)}\,h\cr
&\leq {1\over \lambda^{s-1}-1}\,\lambda^{N(s-1)}\,h\leq
{1\over \lambda^{s-1}-1}\,\lambda^{(s-1)N}\,\lambda^{-N}\cr
&\leq {1\over \lambda^{s-1}-1}\,\lambda^{N(s-2)}\cr
\noalign{\vskip .3cm}
\sum_{k=N+1}^{+\infty}\lambda^{-(2-s)k}\left|\sin(\lambda^k(t+h))-\sin (\lambda^kt)\right|
&\leq 2\,{\lambda^{(s-2)(N+1)}\over 1-\lambda^{s-2}}\cr
&\leq {2\, \lambda^{s-2}\over 1-\lambda^{s-2}}\lambda^{(s-2)N}\cr}$$
Comme $\displaystyle{1\over \lambda^{s-1}-1}$ et $\displaystyle{2\, \lambda^{s-2}\over 1-\lambda^{s-2}}$ tendent vers 0
quand $\lambda$ tend vers $+\infty$, il existe $\lambda_0$ ne d{\'e}pendant que de $s$ et de $\varepsilon$ tel que
$\displaystyle{1\over \lambda^{s-1}-1}+\displaystyle{2\, \lambda^{s-2}\over 1-\lambda^{s-2}}\leq {\varepsilon\over 2}$
pour tout $\lambda\geq \lambda_0$. Nous avons alors
$$\left|f(t+h)-f(t)-\lambda^{(s-2)N}\left(\sin\left(\lambda^N(t+h)\right)-\sin(\lambda^Nt)\right)\right|\leq {\varepsilon\over 2}\, \lambda^{(s-2)N}$$
pour tout $\lambda\geq \lambda_0$.  



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\bigskip
{\bf II.3.c)} Soit $t'=\lambda^N t$. Fixons $h'\in [1/2,1[$ tel que
$|\sin (t'+h')-\sin t'|>\varepsilon$ et posons $h=\lambda^{-N}h'$. Nous avons
$$\lambda^{-(N+1)}\leq {1\over 2\lambda^N}\leq h< {1\over \lambda^N}$$
puis
$$\eqalign{
|f(t+h)-f(t)|&\geq \left|\lambda^{(s-2)N}\left(\sin(t'+h')-\sin(t')\right)\right|-
\left|f(t+h)-f(t)-\lambda^{(s-2)N}\left(\sin(t'+h')-\sin(t')\right)\right|\cr
&\geq \varepsilon\,\lambda^{(s-2)N}-{\varepsilon\over 2}\,\lambda^{(s-2)N}={\varepsilon\over 2}\,\lambda^{(s-2)N}.\cr}$$


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\bigskip
{\bf II.4)} Soit $\delta\in\,]0,1/\lambda[$. Pour tout r{\'e}el $t$ et pour tout $h\in [0,\delta]$, nous avons
$$|f(t+h)-f(t)|\geq c\,h^{2-s}\leq c\,\delta^{2-s}$$
d'apr{\`e}s le {\bf II.2)}. Nous obtenons donc la premi{\`e}re in{\'e}galit{\'e} demand{\'e}e, pour $\delta<1/\lambda$, en posant
$$C_1=c.$$

\vskip .2mm
Soit $\delta>0$ et $t\in \R$. On sait d'apr{\`e}s le {\bf II.3.c)} qu'il existe $h\in\,]0,\delta[$ tel que
$$|f(t+h)-f(t)|\geq {\varepsilon\over 2}\,\lambda^{s-2}\delta^{2-s}.$$
Comme $\omega(t,t+\delta)\leq |f(t+h)-f(t)|$, on en d{\'e}duit la seconde in{\'e}galit{\'e} demand{\'e}e en posant
$$C_2={\varepsilon\over 2}\,\lambda^{s-2}.$$

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{\bf II.5)} Pour $i$ entier relatif, notons $N_i$ le nombre de $\delta$-cubes de la forme
$[i\delta,i\delta+\delta]\times [j\delta,j\delta+\delta]$ qui intersectent la partie $G$. Tout d'abord, un tel $\delta$-cube
intersecte $G$ si et seulement si $[i\delta,i\delta+\delta]$ intersecte $[0,1]$ et
$[j\delta,j\delta+\delta]$ intersecte $f([i\delta,i\delta+\delta])$. La premi{\`e}re condition impose {\`a} $i$ d'{\^e}tre compris (au sens large)
entre $-1$ et $q$. Comme $f(0)=0$, nous avons clairement $N_{-1}=2$. Si $q=1/\delta$, nous aurons $N_q=1$ ou $2$ suivant
l'appartenance de $\delta f(1)$ {\`a} $\Z$. Si $q>1/\delta$, $N_q=0$. Nous avons donc dans tous les cas:
$$N_{-1}=2,\ 0\leq N_q\leq 2.$$
Soit maintenant $i\in [0,q-1]$. Comme $f$ est continue,
l'image par $f$ de $[i\delta,i\delta+\delta]$ est un intervalle, de diam{\`e}tre $\omega(i\delta,i\delta+\delta)$. Nous pouvons donc
en d{\'e}duire l'encadrement:
$$(N_i-2)\delta\leq \omega(i\delta,i\delta+\delta) \leq N_i\delta.$$
En effet, $f([i\delta,i\delta+\delta])$ est contenue dans la r{\'e}union de $N_i$ intervalles de longueur $\delta$ et contient
au moins $N-2$ de ces intervalles disjoints. Nous en d{\'e}duisons donc l'encadrement de $N_i$:
$${1\over \delta}\omega(i\delta,i\delta+\delta)\leq N_i\leq 2+{1\over \delta}\omega(i\delta,i\delta+\delta).$$
Nous  pouvons maintenant sommer les encadrements obtenus:
$$2+{1\over \delta}\sum_{i=0}^{q-1}\omega(i\delta,i\delta+\delta)\leq \sum_{i=-1}^{q} N_i= A(\delta,G)
\leq 2q+4+{1\over \delta}\sum_{i=0}^{q-1}\omega(i\delta,i\delta+\delta).$$
Cette majoration est presque celle demand{\'e}e. Il y a une petite erreur d'{\'e}nonc{\'e}, la majoration
demand{\'e}e {\'e}tant fausse pour $\delta=1$.


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{\bf II.6)} Nous d{\'e}duisons des deux questions pr{\'e}c{\'e}dentes l'encadrement:
$${q\over \delta}\,C_1\delta^{2-s}\leq A(\delta,G)\leq 2q+4+{q\over \delta}\,C_2\delta^{2-s}$$
pour $\delta$ assez petit. Or $1/\delta\leq q <1+1/\delta$, donc
$$C_1\,\delta^{-s}\leq A(\delta,G)\leq {2\over \delta}+6+2\,C_2\,\delta^{-s}+C_2\,\delta^{1-s},$$
puis
$$-s \ln \delta +\ln C_1 \leq \ln A(\delta,G)\leq -s \ln \delta +
\underbrace{\ti 0{8}\ln(2\,C_2+2\,\delta^{s-1}+C_2\,\delta + 6\,\delta^s)}_{\displaystyle\tend {12}{\ln 2\,C_2}{\delta}{0^+}{}}.$$
On en d{\'e}duit que $\ln A(\delta,G)$ est {\'e}quivalent {\`a} $-s\ln \delta$ au voisinage de $0$, puis que
B-dim($G$) existe et est {\'e}gale {\`a} $s$. Nous avons ainsi ``construit'' une courbe de dimension $s$ pour $s$ {\'e}l{\'e}ment
quelconque de $]1,2[$. Il suffit en effet de calculer un $\varepsilon$ convenable, puis de choisir $\lambda$ tel que
$$\displaystyle{1\over \lambda^{s-1}-1}+\displaystyle{2\, \lambda^{s-2}\over 1-\lambda^{s-2}}\leq {\varepsilon\over 2}.$$
Le graphe de l'application $f$ d{\'e}finie sur $[0,1]$ par la relation
$f(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\lambda^{(s-2)k}\,\sin(\lambda^kt)$ est alors une courbe fractale de dimension $s$.


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\vskip 2cm
{\bf PARTIE III.}

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{\bf III.1)} Si $A$ est une partie compacte non vide de $E$, l'image de $A$ par chaque $S_i$ est une partie compacte non vide
de $E$ ($S_i$ est continue car lipschitzienne de rapport $c_i$). $\varphi (A)$ est alors une r{\'e}union finie de parties compactes
non vides: c'est donc un compact non vide de $E$.

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{\bf III.2)} On montre facilement que si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ v{\'e}rifiant $A\subset B$, alors
$\varphi (A)\subset \varphi (B)$.
La suite ($\varphi^k(E)$) est donc une suite d{\'e}croissante, puisque $\varphi (E)\subset E$. $F$ est alors un compact non vide
comme intersection d'une suite d{\'e}croissante de compacts non vides.

\vskip .3cm
$\bullet$ Montrons que $F$ est contenu dans $\varphi (F)$. Soit donc $x\in F$. Pour tout $n\geq 1$, choisissons
$i_n\in \{1,\ldots ,m\}$ et $y_n\in \varphi^{n-1}(E)$ tel que
$$x=S_{i_n}(y_n).$$
L'ensemble d{\'e}crit par la suite $(i_n)$ {\'e}tant fini, il existe un indice $i$
et une application $\delta:\ \N \longrightarrow \N^*$ strictement croissante telle que
$$i_{\delta (n)}=i$$
pour tout entier naturel $n$. La suite $(y_{\delta (n)})$ est alors une suite d'{\'e}l{\'e}ments du compact $E$: on peut en extraire une sous-suite
convergeant dans $E$. Soit donc $y\in E$ et $\delta':\ \N \longrightarrow \N^*$ strictement croissante telle que
$$y_{\delta(\delta'(n))}\tend{12}yn{+\infty}{}.$$
Pour $k\geq 1$, nous avons $y_{\delta(\delta'(n))}\in \varphi^k(E)$ pour $n$ assez grand (la suite $\varphi^n(E)$ est d{\'e}croissante).
Comme $\varphi^k(E)$ est ferm{\'e}, $y$ est {\'e}l{\'e}ment de $\varphi^k(E)$, et donc $y\in F$. D'autre part,
$$x=S_i(y_{\delta(\delta'(n))})$$
pour tout $n$ et $S_i$ est continue. On en d{\'e}duit que $x=S_i(y)$ en passant {\`a} la limite, et donc $x\in \varphi (F)$.

\vskip .3cm
$\bullet$ Montrons que $\varphi (F)$ est contenu dans $F$. Soit donc $x\in \varphi (F)$. Choisissons $i\in \{1,\ldots ,m\}$ et $y\in F$
tel que $x= S_i(y)$. Comme $y\in \varphi^k(E)$ pour tout $k\geq 1$, $x\in \varphi^k(E)$ pour tout $k\geq 2$. Nous obtenons donc
$$x\in \bigcup_{k=2}^{+\infty}\varphi^k(E)=\bigcup_{k=1}^{+\infty}\varphi^k(E)=F.$$

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{\bf III.3)} Soient $A$ et $B$ deux compacts non vides distincts de $E$. On peut, quitte {\`a} {\'e}changer $A$ et $B$, supposer que
$A$ ne contient pas $B$. Choisissons donc $y\in B\setminus A$. Soit $\mu_0=d(y,A)$. Comme $A$ est compact, la distance de $y$ {\`a} $A$ est atteinte:
nous pouvons choisir $x$ dans $A$ tel que $\mu_0=d(x,y)>0$. Si $\mu$ est strictement plus petit que $\mu_0$, nous aurons alors
$$\mu<d(x,y)\leq d(z,y)$$
pour tout $z$ dans $A$, et donc $x\not\in A^{\mu}$. $B$ ne sera donc pas inclu dans $A^{\mu}$. La d{\'e}finition de $d(A,B)$
permet alors d'affirmer que $d(A,B)\geq \mu_0>0$.

\vskip .2cm
R{\'e}ciproquement, il est clair que $d(A,A)=0$ pour tout {\'e}l{\'e}ment $A$ de ${\cal K}$, puisque $A\subset A^{\mu}$ pour tout
$\mu>0$.

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{\bf III.4)} Soient $\mu>\displaystyle\max_{1\leq i\leq m}d(A_i,B_i)$. Nous avons alors $A_i\subset B_i^{\mu}$ et
$B_i\subset A_i^{\mu}$ pour tout $i$ \footnote{$^1$}{\ On utilise ici le fait que, pour $A$ et $B$
compacts non vides de $E$, l'ensemble des $\mu$ tels que $A\subset B^{\mu}$ et $B\subset A^{\mu}$ est un intervalle.}.
Nous allons montrer alors que
$$\bigcup_{i=1}^mA_i\subset \left(\bigcup_{i=1}^mB_i\right)^{\mu}.$$
Nous aurons alors par sym{\'e}trie l'inclusion
$$\bigcup_{i=1}^mB_i\subset \left(\bigcup_{i=1}^mA_i\right)^{\mu},$$
ce qui ach{\`e}vera de prouver l'in{\'e}galit{\'e} demand{\'e}e.

\vskip .2cm
Pour cela, prenons un {\'e}l{\'e}ment $x$ de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^mA_i$. Soit $i$ tel que $x\in A_i$. Comme $A_i\subset B_i^{\mu}$,
il existe $y\in B_i$ tel que $||x-y||\leq \mu$. Mais comme $y\in \displaystyle\bigcup_{i=1}^mB_j$, nous avons prouv{\'e} que $x$ {\'e}tait {\'e}l{\'e}ment
de $\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^mB_i\right)^{\mu}$. 

 

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{\bf III.5)} Remarquons tout d'abord que si $S$ est une application de $E$ dans $E$ lipschitzienne de rapport $K$, si
$A$ et $B$ sont deux compacts non vides de $E$ et si $\mu$ est un r{\'e}el strictement positif tel que $A\subset B^{\mu}$, alors
$S(A)\subset S(B)^{K\mu}$. En effet, si $X\in S(A)$, il existe $x\in A$ tel que $S(x)=X$. Mais $x\in B^{\mu}$, donc il existe $y\in B$
tel que $||x-y||\leq \mu$. On en d{\'e}duit donc qu'il existe $Y=S(y)\in S(B)$ tel que
$$||X-Y||=||S(x)-S(y)||\leq K||x-y|| \leq K\mu.$$
Cette in{\'e}galit{\'e} prouve que $X$ est {\'e}l{\'e}ment de $S(B)^{K\mu}$.

\vskip .2cm
Soient alors $A$ et $B$ deux compacts non vide de $E$. Nous d{\'e}duisons de la propri{\'e}t{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente que
$$d(S_i(A),S_i(B))\leq c_id(A_i,B_i)$$
pour tout entier $i$ compris entre 1 et $m$. Nous obtenons alors:
$$d(\varphi(A),\varphi(B))=d\left(\bigcup_{i=1}^mS_i(A),\bigcup_{i=1}^mS_i(B)\right)\leq \max_{1\leq i\leq m}d(S_i(A),S_i(B))
\leq \max_{1\leq i\leq m}c_id(A,B),$$
et donc
$$d(\varphi(A),\varphi(B))\leq M\,d(A,B)$$
o{\`u} $M=\displaystyle\max_{1\leq i\leq m}c_i\in [0,1[$\ \footnote{$^2$}{\ Cette relation prouve que $\varphi: {\cal K}\longrightarrow {\cal K}$ est contractante
pour la distance (de Hausdorff) $d$. Comme ${\cal K}$ est complet pour cette m{\'e}trique, le th{\'e}or{\`e}me du point fixe s'applique:
$\varphi$ poss{\`e}de un unique point fixe $F$, qui est la limite de toute suite de la forme
$(\varphi^k(A))_{k\geq 1}$ o{\`u} $A$ est un compact non vide de $E$.}.

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{\bf III.6)} Si $F'$ est un compact non vide de $E$ v{\'e}rifiant $\varphi(F')=F'$, nous avons
$$d(F,F')=d(\varphi(F),\varphi(F'))\leq Md(F,F').$$
Comme $M<1$, nous en d{\'e}duisons que $d(F,F')=0$, soit $F=F'$. $F$ est ainsi le seul compact invariant par $\varphi$.

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{\bf III.7)} Nous avons pour tout entier naturel $k$ et pour tout compact non vide $A$ de $E$:
$$d(\varphi^{k+1}(A),F)\leq M d(\varphi^k(A),F),$$
d'o{\`u}
$$d(\varphi^k(A),F )\leq M^k d(A,F)$$
par r{\'e}currence {\'e}vidente. Comme $M<1$, $M^k$ tend vers 0 quand $k$ tend vers l'infini, ce qui prouve que
$\varphi^k(A)$ tend vers $F$ quand $k$ tend vers l'infini, et ceci pour tout {\'e}l{\'e}ment $A$ de ${\cal K}$ (et en particulier pour $A=E$).

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{\bf III.8.a)} L'application $f:\ s\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^mc_i^s$ est continue et strictement d{\'e}croissante
sur $[0,+\infty[$ ($0< c_i<1$ pour tout $i$). Mais $f(0)=m$ et $f(s)\tend {10}0s{+\infty}{}$, donc $f$ r{\'e}alise une
bijection de $[0,+\infty[$ sur $]0,m]$. Comme $0<1\leq m$, il existe un unique $s_0$ tel que $f(s_0)=1$.

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{\bf III.8.b)} Comme $\delta^sN(\delta,F)$ tend vers 1 quand $s$ tend vers $0^+$, nous avons
$$s\ln \delta+\ln N(\delta,F)\tend{12}0s{0^+}{}.$$
Nous en d{\'e}duisons que B-dim($F$) existe et est {\'e}gale {\`a} $s$.

\vskip .3cm
D'autre part, les parties $S_i(E)$ {\'e}tant disjointes, $F$ est la r{\'e}union des $m$ compacts disjoints
$S_i(F)$. Soit $\delta_0$ d{\'e}fini par:
$$\delta_0=\min_{1\leq i<j\leq m}\Bigl(\min \ti{4}{4}\{||x-y||,\ (x,y)\in S_i(F)\times S_j(F)\}\Bigr)>0.$$
Si $\delta$ est strictement plus petit que $\delta_0/2$, nous aurons
$$N(\delta,F)=\sum_{i=1}^mN(\delta,S_i(F))$$
puisqu'une boule de rayon $\delta$ (et donc de diam{\`e}tre strictement inf{\'e}rieur {\`a} $\delta_0$) ne peut intersecter deux ensembles
$S_i(F)$ diff{\'e}rents. Il semble alors naturel de penser\footnote{$^3$}{\ Mais cela n'est pas si simple {\`a} d{\'e}montrer, et je n'ai plus
le courage de chercher la preuve.} que $N(\delta,S_i(F))$ est {\'e}quivalent {\`a} $C\left(\displaystyle{c_i\over \delta}\right)^s$ pour
$\delta$ tendant vers 0. En passant {\`a} la limite dans l'{\'e}galit{\'e}
$$\delta^s\,N(\delta,F)=\sum_{i=1}^mc_i^s \left({\delta\over c_i}\right)^sN(\delta,S_i(F)),$$
nous obtenons $C=C\,\displaystyle\sum_{i=1}^mc_i^s$, soit $s=s_0$ (la constante $C$ est non nulle car $N(\delta,F)$ est non nul).


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\bye
