%    Martine PAGES
%    04 93 84 79 91
%    pages@pelat.ac-nice.fr

%    Dossier input (am-info)


\parindent=0mm


%***** Les fontes et les caract{\`e}res particuliers *****

\font\caml=cmtex10

\font\twelvern = cmbxsl10 at 12 pt
\font\itaten = cmti10
\font\quinze = cmbxsl10 at 15 pt

\font\tit=eufm10 at 25pt
\font\stit=eufm10 at 12pt

\def\rmat{{\bf R}}
\def\qmat{{\bf Q}}
\def\cmat{{\bf C}}
\def\nmat{{\bf N}}
\def\zmat{{\bf Z}}
\def\kmat{{\bf K}}

\font\mp=eusm10
\def\AA{\hbox{\mp A}}
\def\BB{\hbox{\mp B}}
\def\EE{\hbox{\mp E}}
\def\FF{\hbox{\mp F}}
\def\LL{\hbox{\mp L}}
\def\MM{\hbox{\mp M}}
\def\mm{\hbox{\mp M}}
\def\PP{\hbox{\mp P}}
\def\RR{\hbox{\mp R}}
\def\SS{\hbox{\mp S}}
\def\UU{\hbox{\mp U}}
\def\VV{\hbox{\mp V}}
\def\WW{\hbox{\mp W}}

\font\smp=eusm5
\def\PU{\hbox{\smp U}}
\def\PV{\hbox{\smp V}}
\def\PW{\hbox{\smp W}}

\newfam\bbfam
\font\tenbb=cmbx10 
\textfont\bbfam=\tenbb \scriptfont\bbfam=\tenbb
\def\bb{\fam\bbfam\tenbb}

\def\R{\hbox{\bb R}}
\def\Z{\hbox{\bb Z}}
\def\Q{\hbox{\bb Q}}
\def\K{\hbox{\bb K}}
\def\C{\hbox{\bb C}}
\def\N{\hbox{\bb N}}

\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}

\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits}





%*****  Le format et les accents *****


%font black board de AMS

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\frenchspacing

\catcode`\@=12

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%\catcode`\{\c c}=\active\def{\c c}{\c c} 
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%\catcode`\{\"\i}=\active\def{\"\i}{\"\i}       %
%\catcode`\{\"e}=\active\def{\"e}{\"e}


%*****  Abr{\'e}viations et compteurs *****

\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt
width 0pt}

\let\vect=\overrightarrow
\let\ds=\displaystyle
\let\ep=\varepsilon
\let\ssi=\Longleftrightarrow

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1\resetcountCX} 
\resetcountCC
\def\chap{\number\count112}
\def\exo{\number\count110}
\def\itemitemitem{\par\indent\indent
\hangindent=3\parindent \textindent}

\def\LAcancel#1#2{\ooalign{$\hfil#1\mkern0mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
\def\not#1{\mathrel{\mathpalette\LAcancel#1}}

\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox
spread#1{\vfil\hbox
spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}

\def\mpth#1{\vtop{\hrule\hbox{\vrule\vbox
spread 3pt{\vfil\hbox
spread 3pt{\hfil{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox
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15pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}\hfil}\vfil}\vrule}
\hrule}}

\def\bboxit#1#2#3{\hbox{\vrule \hskip#1\vrule\vbox
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\def\mpdef#1{\vtop{\hbox{\vrule \hskip
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\def\mpntend{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
n\rightarrow +\infty}}}

\def\mpxtend{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
x\rightarrow +\infty}}}

\def\mptend#1#2{\mathrel{\mathop{\kern
0pt{\longrightarrow}}\limits_{\scriptscriptstyle
#1\rightarrow #2}}}

\def\tsvp{
\def\page{Tournez S.V.P.}
\footline={\ifodd\pageno
{\hfil\tenrm\folio\hfil\tenrm
\page}\else {\hfil\tenrm\folio\hfil}\fi}}

\def\mpchap#1{\goodbreak\vskip
2cm\incrementeCC\centerline{\bf
\chap.--- #1:}\par\nobreak\vskip 5mm}

\def\mpexo{\vskip 6mm
\incrementeCX \ifnum\exo>1 \filbreak \fi{\bf
exercice
\chap.\exo : }\nobreak\par\vskip 2mm}

\def\mppar#1{\vskip 6mm
\incrementeCX \ifnum\exo>1 \filbreak \fi{\bf 
\chap.\exo. -- #1 :}\nobreak\par\vskip 2mm}

\def\norm#1{\mathrel{\mathop{\big|\!\big| #1\big|\!\big|}}}



%***** Verbatim *****

\chardef\other=12%
\def\deactivate{%
			\catcode`\\=\other    \catcode`\{=\other
   \catcode`\}=\other    \catcode`\$=\other
   \catcode`\&=\other    \catcode`\#=\other
   \catcode`\%=\other    \catcode`\~=\other
   \catcode`\^=\other    \catcode`\_=\other
   \catcode`\:=\other
}

\def\makeactive#1{\catcode`#1=\active\ignorespaces}
{% The group delimits the text over wich ^^M is active.
    \makeactive\^^M%
    \gdef\obeywhitespace{%
    % Use \gdef so the definition survives the group.
        \makeactive\^^M %
        \let^^M=\newline %
        \aftergroup\removebox % Kill extra paragraph at end.
        \obeyspaces % sans lui on a un passage {\`a} la ligne
    }%
}

\def\newline{\par\indent}
\def\removebox{\setbox0=\lastbox}

{\catcode`\�=\active
\gdef\verbatim{%
   \begingroup\tt\deactivate\obeywhitespace%
   \catcode`�=\active
   \def �{\endgroup} }}

%***** Dessins *****

\overfullrule =0pt
\def\picture #1 by #2 (#3){
 \vbox to #2{
    \hrule width #1 height 0pt depth 0pt
    \vfill
    \special{picture #3} % this is the low-level interface
    }
  }

% *******  Mise en page  *******

\footline=
{\vbox{\null\vskip 12mm\hrule\vskip
6mm\line{\tenrm J.P.CHRISTIN et M.PAGES\hfil\tenrm
\folio/6 \hfil\tenrm
ESIM PC-PSI 97 Math.2}}}


% ****** Debut du corrig{\'e} *******


Jean-Paul CHRISTIN \ \ (Ly{\c c}{\'e}e La Martini{\`e}re - Lyon)
\par\hskip 20mm et
\par
Martine PAGES \ \ (Lyc{\'e}e Les Eucalyptus - Nice)
\par\vskip 15mm

\centerline{\quinze ESIM PC-PSI 97 }
\par\vskip 15mm
\centerline{\bf EPREUVE DE MATHEMATIQUES II \ \ \ (3 heures) }
\par\vskip 20mm

\hrule\vskip 5mm
\centerline{\bf PREMIERE PARTIE}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm

\underbar{Question 1.1.:}\smallskip
Soit $B\in M_m(\rmat)$.\par
La matrice $A=(^t\!B).B$ est sym{\'e}trique r{\'e}elle, donc \underbar{diagonalisable} dans le
groupe orthogonal
$O_m(\rmat)$. \par Il existe donc une matrice $T\in O_m(\rmat)$ telle que 
\par\centerline{\mpth{$^tTAT=
T^{-1}AT$ est diagonale.}} 


\bigskip


\underbar{Question 1.2.:}\smallskip
 On pose $A^{\#}=B.(^t\!B)$. On note $\Phi$, l'endomorphisme de
$M_{m,1}(\rmat)$ d{\'e}fini, pour tout $X\in M_{m,1}(\rmat)$, par $\Phi(X)=B.X$
et $0_{m,1}$ d{\'e}signe la matrice colonne nulle de $M_{m,1}(\rmat)$.\par 

{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } Soit $X\in \ker(\Phi)\cap E(\lambda,A)$ o{\`u} $\lambda$ d{\'e}signe une
valeur propre \underbar{non nulle} de $A$.
\item{} Montrons que
$X$ est {\'e}gal {\`a} la matrice colonne nulle.
$$X\in \ker(\Phi)\cap E(\lambda,A)\quad\ssi\quad \left\{\matrix{B.X=0_{m,1}\hfill\cr
(^t\!B).B.X=\lambda X\cr}\right.\quad \Longrightarrow \quad \lambda
X=0_{m,1}\quad\ssi\quad X=0_{m,1}
$$ 
On en d{\'e}duit que $\Phi$ induit un isomorphisme de $E(\lambda,A)$ sur
$\Phi(E(\lambda,A))$ et donc $$\dim(\Phi(E(\lambda,A)))=\dim(E(\lambda,A))$$
\smallskip\item{b) } Soit $X$ un vecteur propre (donc non nul) de $A$ associ{\'e} {\`a} la
valeur propre $\lambda$. Alors $Y=\phi(X)\not=0_{m,1}$
$$A^{\#}.Y=B.(^t\!B).Y=B.(^t\!B).B.X=B.(\lambda X)=\lambda Y$$
Ainsi, $Y$ est un vecteur propre de $A^\#$ associ{\'e} {\`a} la valeur $\lambda$ (donc 
$\lambda$ est une valeur propre de $A^\#$) et por tout $X\in E(\lambda,A)$,
$\Phi(X)\in E(\lambda, A^\#)$
$$\Phi(E(\lambda,A))\subset E(\lambda, A^\#) \quad \Longrightarrow \quad
\dim(E(\lambda,A))= \dim(\Phi(E(\lambda,A)))\leq \dim(E(\lambda,A^\#))$$
\smallskip\item{c) } En rempla{\c c}ant $B$ par $^t\!B$ dans les questions pr{\'e}c{\'e}dentes, on
{\'e}change $A$ et $A^\#$. On obtient donc, sur les dimensions, l'in{\'e}galit{\'e} inverse. D'o{\`u} 
\par\centerline{\mpth{
$\ds \dim(E(\lambda,A))=\dim(E(\lambda,A^\#))$}} 
\par}


\bigskip


\underbar{Question 1.3.:}\smallskip
$A$ et $A^\#$ sont deux matrices diagonalisables de m{\^e}me ordre. Leurs valeurs propres
non nulles sont les m{\^e}mes avec le m{\^e}me ordre de multiplicit{\'e}, donc si $0$ est valeur
propre pour l'une, elle l'est pour l'autre et aussi avec le m{\^e}me ordre de
multiplicit{\'e}. Ces deux matrices sont donc semblables {\`a} la m{\^e}me matrice diagonale,
elles sont semblables. (Et puisqu'elles sont sym{\'e}triques r{\'e}elles, on peut trouver une
matrice
$P$ dans
$O_m(\rmat)$ telle que
$^t\!P.A.P=A^\#$).
\par\centerline{\mpth{$A$ et $A^\#$ sont semblables.}} \bigskip

\underbar{Question 1.4.:}\smallskip
{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } $$\norm{B.X}_2^2
=^t\!(B.X).B.X=^t\!\!X.A.X=\lambda\  (^t\!X.X)=\lambda\norm{X}_2^2$$
\smallskip\item{b) } Choisissons un vecteur propre $X$ de norme 1, 
$0\leq\norm{B.X}_2^2\leq
\norm{B}_2^2\leq 1$  et comme
$\lambda=\norm{B.X}_2^2$,
\smallskip
 \par\centerline{\mpth{Le spectre de $A$ est contenu dans
$\{0,1\}$}}
\bigskip
\par}



\bigskip


\goodbreak
\hrule\vskip 8mm
\centerline{\bf DEUXIEME PARTIE}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm\nobreak


Soient $F$ et $G$ deux sous espaces vectoriels de $E$ de m{\^e}me dimension $m$ non
nulle.\par
\bigskip

\underbar{Question 2.1.:}\smallskip
Le coefficient $b_{i,j}$ de la $i^{\rm i\grave eme}$ ligne et de la $j^{\rm i\grave
eme}$ colonne de ${\PU\PV}$, est la $i^{\rm i\grave eme}$ coordonn{\'e}e de $\pi_F(v_j)$
dans la base $\UU$. Cette base {\'e}tant ortonorm{\'e}e, il vaut: $(u_i|v_j)$. Donc
$B_{\PU\PV}=((u_i|v_j))_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq m}$.
\item{} De m{\^e}me, la matrice $\MM_{\PU,\PV}(\pi_G)$ vaut (en inversant les r{\^o}les),
$\MM_{\PU,\PV}(\pi_G)=((v_i|u_j))_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq m}=^t\!\!\!B_{\PU\PV}$
Donc:
$$\MM_{\PV}(\pi_G\circ\pi_F)=(^t\!B_{\PU\PV}).B_{\PU\PV}$$


\bigskip


\underbar{Question 2.2.:}\smallskip
Soit $x$ un {\'e}l{\'e}ment de $G$ et $X$ la matrice colonne de ses coordonn{\'e}es dans la base
$\VV$.
 {\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } $B_{\PU\PV}.X$ est la matrice des coordonn{\'e}es de
$\pi_F(x)=p_F(x)$ dans la base $\UU$. Donc:
$$\norm{B_{\PU\PV}.X}_2 = \norm{p_F(x)} $$

\smallskip\item{b) } Or, pour tout $x\in E$, $\norm{p_F(x)}\leq\norm{x}$, donc, pour
tout $X\in M_{m,1}(\rmat)$, $\norm{B_{\PU\PV}.X}_2\leq \norm{X}_2$
 \par\centerline{\mpth{$\norm{B_{\PU\PV}}_2\ \leq \ 1$}} 

\par}

\bigskip
\underbar{Question 2.3.:}\smallskip
 Notons $A= (^t\!B_{\PU\PV}).B_{\PU\PV}$. Cette matrice est
diagonalisable dans le groupe orthogonal et toutes ses valeurs propres sont dans
$\{0,1\}$. Notons $\lambda_1$, $\lambda_2$, \dots $\lambda_m$ ces valeurs propres
distinctes ou non, rang{\'e}es dans l'ordre d{\'e}croissant. Pour tout $i$, il existe un unique
$t_i\in\left(\left[0,\ds{\pi\over 2}\right]\right)^m$ tel que $\lambda_i=\cos^2(t_i)$.
Les $(t_i)$ v{\'e}rifient $t_1\leq t_2\leq\dots \leq t_m$.\par
Il exste une matrice orthogonale $T$ telle que: 
$$\MM_{\PV}(\pi_G\circ\pi_F)=\  ^tT.\pmatrix{\cos^2(t_1)&& \cr
&&(0)\cr
&\ddots&\cr(0)&&\cr&&\cos^2(t_n)\cr}.T=\MM_{\PW}(\pi_G\circ\pi_F)$$
o{\`u} $\WW$ d{\'e}signe la base orthonormale de $G$, obtenue {\`a} partir de $\VV$ par la matrice
de passage $T$.\par
Les $\lambda_i$ repr{\'e}sentent les valeurs propres de l'endomorphisme
diagonalisable $\pi_G\circ\pi_F$, ces valeurs  ne d{\'e}pendent pas de la base choisie.
\par
Donc, le $m-$uplet ordonn{\'e} $(t_1, t_2,\dots, t_m)$ ne d{\'e}pend pas du choix de la base
$\WW$, il ne d{\'e}pend que des sous espaces $F$ et $G$.

\par\centerline{\mpth{On pose:\  $\AA ngle(F,G)=(t_1, t_2, \dots, t_m)$}} \bigskip


\bigskip

\underbar{Question 2.4.:}\smallskip

{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } $F=\langle(1,1,0),\rangle$ et $G=\langle(1,0,1),\rangle$.
Choisissons pour chacun d'eux une base orthonorm{\'e}e:
\item{}  $\UU=(u_1)$ pour $F$, avec
$u_1=\ds{1\over\sqrt 2}(1,1,0)$ et $\VV=(v_1)$ pour $G$, avec
$v_1=\ds{1\over\sqrt 2}(1,0,1)$.
$$B_{\PU,\PV}=\pmatrix{{1\over 2}\cr}\qquad
\MM_{\PV}(\pi_G\circ\pi_F)=\pmatrix{{1\over 4}\cr}\qquad \lambda_1={1\over 4} \qquad
t_1={\pi\over 3}$$
\par\centerline{\mpth{$\ds \AA ngle(F,G)=\left({\pi\over 3}\right)$}} \bigskip
\item{} Notons que dans ce cas $F$ et $G$ sont deux droites et cet angle correspond
bien {\`a} l'angle g{\'e}om{\'e}trique (non orient{\'e}) des deux droites puisque $(u_1|v_1)=\ds{1\over
2}$. 
\smallskip\item{b) } 
De m{\^e}me, choisissons des bases orthonorm{\'e}es pour $F$ et $G$.
\item{} $F=\{(x,y,t)\in E \ /\ y=0\}$, $\UU=(u_1,u_2)$ avec $u_1=(1,0,0)$ et
$u_2=(0,0,1)$.
\item{} $G=\{(x,y,t)\in E \ /\ y-z=0\}$, $\VV=(v_1,v_2)$ avec $v_1=(1,0,0)$ et
$v_2=\ds{1\over\sqrt 2}(0,1,1)$.
$$B_{\PU,\PV}=\pmatrix{1&0\cr 0&{1\over \sqrt 2}\cr}\qquad
\MM_{\PV}(\pi_G\circ\pi_F)=\pmatrix{1&0\cr 0&{1\over 2}\cr}\qquad
\lambda_1=1,\ \lambda_2={1\over 2}
\qquad t_1=0,\ t_2={\pi\over 4}$$
\par\centerline{\mpth{ $\ds \AA ngle(F,G)=\left(0,{\pi\over 4}\right)$}}\bigskip
\item{} $F^\bot=\{(x,y,t)\in E \ /\ x=z=0\}$, $\UU'=(u_3)$ avec $u_3=(0,1,0)$ .
\item{} $G^\bot=\{(x,y,t)\in E \ /\ x=y+z=0\}$, $\VV'=(v_3)$ avec 
$v_3=\ds{1\over\sqrt 2}(0,1,-1)$.
$$B_{\PU',\PV'}=\pmatrix{{1\over \sqrt 2}\cr}\qquad
\MM_{\PV'}(\pi_{G^\bot}\circ\pi_{F^\bot})=\pmatrix{{1\over 2}\cr}\qquad
\lambda={1\over 2}
\qquad t={\pi\over 4}$$
\par\centerline{\mpth{ $\ds \AA ngle(F^\bot,G^\bot)=\left({\pi\over 4}\right)$}} 
 
\par}



\bigskip


\underbar{Question 2.5.:}\smallskip
Les matrices $A$ et $A^\#$ sont des matrices semblables question 3.1.. 
\item{ }Or, 
$\MM_{\PV}(\pi_G\circ\pi_F)=(\ ^t\!B_{\PU\PV}).B_{\PU\PV}$ et
$\MM_{\PU}(\pi_F\circ\pi_G)=B_{\PU\PV}.(\ ^t\!B_{\PU\PV})$ (vu en question 2.1.).
Donc ces deux matrices ont les m{\^e}mes valeurs propres avec le m{\^e}me ordre de
multiplicit{\'e}.
\par\centerline{\mpth{$\AA ngle (F,G)=\AA ngle(G,F)$}} \bigskip
\underbar{Question 2.6.:}\smallskip
Soit $x\in G$ et $X$ la matrice colonne de ses coordonn{\'e}es dans
la base $\VV$.
$$(x|\pi_G\circ\pi_F(x))=\ ^tX.(\
^t\!B_{\PU\PV}).B_{\PU\PV}.X=\
^t(B_{\PU\PV}.X).B_{\PU\PV}.X=\norm{B_{\PU\PV}.X}_2=\norm{p_F(x)}^2$$


\bigskip


\underbar{Question 2.7.:}\smallskip
Soit $r$ le nombre de composantes de $\AA ngle(F,G)$ {\'e}gales {\`a} 0.
{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } $\forall x\in E$, $\norm{p_F(x)}=\norm{x}\ssi x\in F$. En effet,
soit $x\in E$, il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in F\times F^\bot$ tel que
$x=x_1+x_2$ et par d{\'e}finition $p_F(x)=x_1$.
\item{} $\norm{x}^2=\norm{x_1}^2+\norm{x_2}^2$ donc $\norm{p_F(x)}=\norm{x}$ {\'e}quivaut
{\`a} $x_2=0$ c'est {\`a} dire  $x\in F$.
\item{} Cette propri{\'e}t{\'e} vraie pour tous les vecteurs de $E$ et donc vraie pour tous
les vecteurs de $F$.
\smallskip\item{b) } $t_i=0\ssi \lambda_i=1$, donc $r$ est {\'e}gal {\`a} la dimension du
sous espace propre de $\pi_G\circ\pi_F$ pour la valeur propre 1 not{\'e}
$G(1,\pi_G\circ\pi_F)$.
\item{}  $$\forall x\in G,\quad \pi_G\circ\pi_F(x)=x\quad\Longrightarrow
(x|\pi_G\circ\pi_F(x))=(x|x)\ssi \norm{p_F(x)}=\norm{x}\ssi x\in F$$
 $$G(1,\pi_G\circ\pi_F)\subset F\cap G$$
R{\'e}ciproquement, si $x\in F\cap G$, alors $\pi_F(x)=x$ et $\pi_G(x)=x$ donc
$\pi_G\circ\pi_F(x)=x$ et $x\in G(1,\pi_G\circ\pi_F)$. Donc:
\par\centerline{\mpth{$r=\dim (G(1,\pi_G\circ\pi_F))=\dim{F\cap G}$}} 
\bigskip
\item{} $r=m\ssi F=G$, et $\AA
ngle(F,F)=(0, 0, \dots, 0)$
\par}
\bigskip
\underbar{Question 2.8.:}\smallskip
Soit $s$ le nombre de composantes de $\AA ngle(F,G)$ {\'e}gales {\`a} $\ds{\pi\over 2}$.\par
$t_i=\ds{\pi\over 2}\ssi \lambda_i=0$. Donc $s=\dim(G(0,\pi_G\circ\pi_F))$.
 $$\forall x\in G, \quad \pi_G\circ\pi_F(x)=0\Longrightarrow \norm{p_F(x)}=0\ssi x\in
F^\bot$$
et r{\'e}ciproquement ,$$x\in F^\bot\cap G \Longrightarrow \pi_G\circ\pi_F(x)=0\ssi x\in
G(0,\pi_G\circ\pi_F)$$ Donc:$$G(0,\pi_G\circ\pi_F)=F^\bot\cap G$$
\par\centerline{\mpth{$s=\dim(G(0,\pi_G\circ\pi_F))=\dim(F^\bot\cap G$)}} 
\bigskip



\goodbreak
\hrule\vskip 8mm
\centerline{\bf TROISIEME PARTIE}
\vskip 5mm
\hrule\vskip 8mm\nobreak

Le but de cette partie est de comparer $\AA ngle(F,G)$ et $\AA ngle (F^\bot,G^\bot)$.

\underbar{Question 3.1.:}\smallskip
On a vu, {\`a} la question 2.7. que,pour tout  $x\in E$, il existe un unique couple
$(x_1,x_2)\in F\times F^\bot$ tel que
$x=x_1+x_2$ et par d{\'e}finition $p_F(x)=x_1$ et $p_{F^\bot}(x)=x_2$. Donc
$$\forall x\in E,\quad p_{F^\bot}(x)=x-p_{F}(x)$$
$$p_{F^\bot}=I_E-p_F$$
et de m{\^e}me, $p_{G^\bot}=I_E-p_G$.

\bigskip


\underbar{Question 3.2.:}\smallskip
Soit $\lambda$ une valeur propre diff{\'e}rente de 1 de $\pi_G\circ\pi_F$ et soit $x\in
G(\lambda,\pi_G\circ\pi_F)$.\par
On pose $y=x-p_F(x)$ et $t=\arccos\left(\sqrt\lambda\right)$.
{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } $y=0\ssi x=p_F(x)\ssi x\in F$. Or, $x\in G$, donc dans ce cas
$\pi_G\circ\pi_F(x)=x$ ce qui est exclu puisque $\lambda\not=1$.
\item{} Donc: $y\not=0$.
\item{} $p_F(y)=p_F(x)-p_F(p_F)(x)=0$ (car $p_F\circ p_F=p_F$). Donc: $y\in f^\bot$
\smallskip\item{b) } $x\in G$ donc $P_G(x)=x$ et $p_G\circ p_F(x)=\pi_G\circ\pi_F(x)$
donc: $$(I_E-p_G)(y)=y-p_G(y)=(x-p_F(x))-(p_G(x)-p_G\circ p_F(x))=\lambda x-p_F(x)$$ 
\smallskip\item{c) } 
$(I_E-p_F)\circ(I_E-p_G)(y)=(I_E-p_F)(\lambda x-p_F(x))= \lambda x-p_F(x)-\lambda
p_F(x)+p_F(x)=\lambda(x-p_F(x))=\lambda y$.
\item{}
Donc, puisque $y$ n'est pas le vecteur nul,  $\lambda$ est une valeur propre de
$(I_E-p_F)\circ(I_E-p_G)=p_{F^\bot}\circ p_{G^\bot}$ et $y$ est un vecteur propre
associ{\'e}.
\smallskip\item{d) } Consid{\'e}rons une base $(x_1, x_2,  x_p)$ de
$G(\lambda,\pi_G\circ\pi_F)$ et soient les $y_i=x_i-p_F(x_i)$ associ{\'e}s. Ils forment
une partie libre de $F^\bot(\lambda,\pi_{F^\bot}\circ \pi_{G^\bot})$. En effet, ils
sont tous dans cet ensemble, et si $y=a_1y_1+a_2y_2 +\dots +a_py_p=0$ alors soit
$x=a_1x_1+a_2x_2 +\dots +a_px_p\in G(\lambda,\pi_G\circ\pi_F)$ on a $y=x-p_F(x)=0$
donc $x=0$ (en utilisant la contrapos{\'e}e de la propri{\'e}t{\'e} {\'e}table en a).), et donc tous
les $(a_i)$ sont nuls.
\item{} 
En cons{\'e}quence: $\dim(F^\bot(\lambda,\pi_{F^\bot}\circ \pi_{G^\bot}))\geq
p=\dim(G(\lambda,\pi_G\circ\pi_F))$.
\item{} Le nombre de composantes {\'e}gales {\`a} $t$ de $\AA ngle(F^\bot,G^\bot)$ est {\'e}gal {\`a}
$\dim(F^\bot(\lambda,\pi_{F^\bot}\circ \pi_{G^\bot}))$ donc sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a}
$\dim(G(\lambda,\pi_G\circ\pi_F))$ qui repr{\'e}sente le nombre de composantes {\'e}gales {\`a}
$t$ de $\AA ngle(F,G)$. 
\par}
\bigskip


\underbar{Question 3.3.:}\smallskip
Mais on d{\'e}montre de m{\^e}me l'in{\'e}galit{\'e} contraire en inversant les r{\^o}les jou{\'e}s par $F$ et
$F^\bot$ (puisque, en dimension finie, $(F^\bot)^\bot=F$).
Donc,  toutes leurs composantes non nulles de $\AA ngle(F^\bot,G^\bot)$ et $\AA
ngle(F,G)$ sont identiques (compt{\'e}es avec le m{\^e}me ordre de multiplicit{\'e}). Ces deux
$\AA ngles$ ne diff{\`e}rent donc que par le nombre de leurs composantes non nulles.
\par
Lorsque l'on conna{\^\i}tra l'un d'eux, on obtiendra l'autre en ajustant le nombre de
composantes nulles puisque le nombre total de composantes est la dimension commune des
deux sous espaces.

\bigskip


\underbar{Question 3.4.:}\smallskip

{\parindent=10mm
\smallskip\item{a) } soit $\vec v=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$, $$\vec v\in
F\quad\ssi\quad\left\{\matrix{x_1=x_2\cr
x_2=x_3\cr }\right.\quad\ssi\quad\left\{\matrix{\big (\vec
v\ \big|\ (\vect{e_1}-\vect{e_2})\big)=0\cr \big (\vec
v\ \big|\ (\vect{e_2}-\vect{e_3})\big)=0\cr }\right.$$
\smallskip\item{b) }  La famille
$\big(\vect{e_1}-\vect{e_2},\vect{e_2}-\vect{e_3}\big)$ est une base de $F^\bot$. On
en d{\'e}duit une base $\UU$ orthonormale  par le proc{\'e}d{\'e} de Schmidt.
$\UU=(\vect{u_1},\vect{u_2})$ $$
\vect{u_1}={1\over\norm{\big(\vect{e_1}-\vect{e_2}\big)}}
\big(\vect{e_1}-\vect{e_2}\big)=
{1\over\sqrt 2}(1,-1,0,0,0)$$
$$
\vect{u_2}=\alpha\big(\vect{e_1}-\vect{e_2}\big) +\beta
\big(\vect{e_2}-\vect{e_3}\big) \ \ {\rm avec}\ \ \left\{\matrix{\big (\vect{u_2}
\ \big|\ \vect{u_1}\big)=0\cr
\norm{\vect{u_2}}=1\hfill\cr}\right.\quad\ssi\quad\left\{\matrix{\beta=2\alpha\hfill\cr
2\alpha^2-2\alpha\beta+2\beta^2=1\cr}\right.$$
La derni{\`e}re {\'e}galit{\'e} devient $6\alpha^2=1$. On peut donc choisir
$\alpha=\ds{1\over\sqrt6}$ et $\beta={2\over\sqrt 6}$.
$$\vect{u_2}={1\over\sqrt 6}(1,1,-2,0,0)$$ 
Par un proc{\'e}d{\'e} analogue, en modifiant les indices, on obtient une base orthonorm{\'e}e
$\VV=(\vect{v_1},\vect{v_2})$ de $G^\bot$
$$\vect{v_1}= {1\over\sqrt2}(0,0,1,-1,0)\qquad \vect{v_2}={1\over\sqrt 6}(0,0,1,1,-2)$$

\smallskip\item{c) } $$\left\{\matrix{\big(\vect{u_1}\ \big|\ \vect{v_1}\big)&=&0\cr
\big(\vect{u_1}\ \big|\ \vect{v_2}\big)&=&0\cr
\big(\vect{u_2}\ \big|\ \vect{v_1}\big)&=&-{1\over\sqrt 3}\cr
\big(\vect{u_2}\ \big|\ \vect{v_2}\big)&=&-{1\over 3}\cr
}\right.\qquad B_{\PU\PV}=\pmatrix{0&0\cr -{1\over\sqrt 3}&-{1\over 3}\cr}\qquad
\MM_{\PU}(\pi_{G^\bot}\circ\pi_{F^\bot})=\pmatrix{0&0&\cr0&{4\over 9}\cr}$$
Ainsi les valeurs propres sont $0$ et $\ds{4\over 9}$ toutes deux simples.
\par\centerline{\mpth{$\AA ngle(F^\bot,G^\bot)=\ds\left(\arccos\left({2\over
3}\right),{\pi\over 2}\right)$}}
\bigskip
\par\centerline{\mpth{$\AA ngle(F,G)=\ds\left(0,\arccos\left({2\over
3}\right),{\pi\over 2}\right)$}}
\par}
\bigskip

\bye
