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\documentclass[12pt,thmsa]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{sw20jart}
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%TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart}

%TCIDATA{Created=Wed Jun 04 10:11:37 1997}
%TCIDATA{LastRevised=Fri Jun 06 14:16:05 1997}

\input{tcilatex}
\begin{document}


Engees1997 SPE PSI

Premi\`{e}re partie

1.$P(t)=0\Leftrightarrow t=\exp (i(\pi /4+k\pi /2)),k\in Z$

$P(t)=(t^{2}-t\sqrt{2}+1)(t^{2}+t\sqrt{2}+1)$

2.$f:t\longmapsto \frac{1}{\sqrt{t}(1+t^{2})}$ est positive et continue sur $%
\left] 0,+\infty \right[ $

$f(t)\stackunder{0}{\sim }\frac{1}{\sqrt{t}}$ et $f(t)\stackunder{+\infty }{%
\sim }\frac{1}{t^{5/2}}$d'o\`{u} f est int\'{e}grable sur $\left] 0,+\infty
\right[ $

soit 
\[
I=\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{t}(1+t^{2})}dt 
\]

en posant 
\[
t=u^{2},I=\int_{0}^{+\infty }\frac{2}{1+u^{4}}du 
\]
or 
\[
\frac{2}{1+u^{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{\sqrt{2}+u}{u^{2}+u\sqrt{2}%
+1}-\frac{-\sqrt{2+u}}{u^{2}-u\sqrt{2}+1}\right) 
\]

\begin{eqnarray*}
I &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \frac{1}{2}\ln \left| \frac{u^{2}+u\sqrt{2}+1}{%
u^{2}-u\sqrt{2}+1}\right| +Arc\tan (u\sqrt{2}+1)+Arc\tan (u\sqrt{2}%
-1)\right] _{0}^{+\infty } \\
I &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\pi
\end{eqnarray*}

3.$g_{\alpha }:t\longmapsto $ $\frac{Arc\tan (t)}{t^{\alpha }}$est positive
et continue sur $\left] 0,+\infty \right[ $

$g_{\alpha }(t)\stackunder{0}{\sim }\frac{1}{t^{\alpha -1}}$ et 
\[
\forall t\in \left] 1,+\infty \right[ ,\frac{\pi }{4t^{\alpha }}\langle
g_{\alpha }(t)\langle \frac{\pi }{2t^{\alpha }} 
\]

d'o\`{u} $\int_{0}^{+\infty }g_{\alpha }(t)dt$ existe $\Longleftrightarrow
1<\alpha <2$

en supposant $\alpha =\frac{3}{2}$et 
\[
J=\int_{0}^{+\infty }\frac{Arc\tan (t)}{t^{\frac{3}{2}}}dt 
\]

en int\'{e}grant par parties 
\begin{eqnarray*}
J &=&2\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{t}(1+t^{2})}dt \\
J &=&\sqrt{2}\pi
\end{eqnarray*}

4.$f_{n}:t\longmapsto $ $\frac{Arc\tan (t)}{t^{\frac{3}{2}}+t^{n}}$ est
positive et continue sur $\left] 0,+\infty \right[ $

pour $n\succeq 2$ , $f_{n}\stackunder{0}{\sim }\frac{1}{\sqrt{t}}$ et $%
f_{n}(t)\stackunder{+\infty }{\sim }\frac{Arc\tan (t)}{t^{n}}$ d'o\`{u}
l'existence de la suite $I$ d\'{e}finie par:

\begin{eqnarray*}
&&I_{n=}\int_{0}^{+\infty }f\Sb n  \\  \endSb (t)dt \\
&&I_{n=}\int_{0}^{1}f\Sb n  \\  \endSb (t)dt+\int_{1}^{+\infty }f\Sb n  \\ 
\endSb (t)dt
\end{eqnarray*}

sur $\left[ 1,+\infty \right[ $ 
\[
\left| f\Sb n  \\  \endSb (t)\right| \leq \frac{\pi }{2t^{n}} 
\]

d'o\`{u} 
\[
\left| \int_{1}^{+\infty }f\Sb n  \\  \endSb (t)dt\right| \leq \frac{\pi }{%
2(n-1)} 
\]

et 
\[
\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{1}^{+\infty }f\Sb n  \\ 
\endSb (t)dt=0 
\]

sur $\left] 0,1\right[ $ la suite de fonctions $(f_{n})$ converge simplement
sur $\left] 0,1\right[ $ vers 
\[
\varphi :\longmapsto \frac{Arc\tan (t)}{t^{\frac{3}{2}}} 
\]

\[
\forall n\in N,n\succeq 2,\forall t\in \left] 0,1\right[ ,\left|
f_{n}(t)\right| \leq \varphi (t) 
\]

et $\varphi $ est int\'{e}grable sur $\left] 0,1\right[ $ donc du
th\'{e}or\`{e}me de convergence domin\'{e}e

\[
\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{0}^{1}f\Sb n  \\  \endSb %
(t)dt=\int_{0}^{1}\frac{Arc\tan (t)}{t^{\frac{3}{2}}}dt 
\]

de m\^{e}me qu'au 3. 
\[
\int_{0}^{1}\frac{Arc\tan (t)}{t^{\frac{3}{2}}}dt=\frac{\pi }{2}(\sqrt{2}-1)+%
\frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right) 
\]

2\`{e}me partie :

\[
F(x)=\int_{0}^{+\infty }\frac{Arc\tan (tx)}{t^{2}+1}dt 
\]

I.1.$f:(x,t)\longmapsto \frac{Arc\tan (tx)}{t^{2}+1}$ est continue sur $%
R\times R\Sp +  \endSp $

\[
\forall (x,t)\in R\times R\Sp +  \endSp ,\left| f(x,t)\right| \leq \frac{\pi 
}{2}\frac{1}{1+t^{2}} 
\]

et $t\longmapsto \frac{1}{1+t^{2}}$ est continue ,positive et int\'{e}grable
sur $R^{+}$ d'o\`{u} $F$ est d\'{e}finie et continue sur $R$

$F$ est impaire .

Soit $t\in R^{+},x\longmapsto f(x,t)$ est croissante sur $R^{+}$ d'o\`{u} $F$
est croissante sur $R^{+}$

\begin{eqnarray*}
F(0) &=&0,F(1)=\left[ \frac{1}{2}Arc\tan ^{2}(t)\right] _{0}^{1} \\
F(1) &=&\frac{\pi ^{2}}{32}
\end{eqnarray*}

Soit $x\in R^{+},$%
\begin{eqnarray*}
F(x) &\leq &\int_{0}^{+\infty }\frac{\frac{\pi }{2}}{t^{2}+1}dt \\
F(x) &\leq &\frac{\pi ^{2}}{4}
\end{eqnarray*}

d'o\`{u} l'existence de la limite de F en $+\infty $

\[
F(x)\geq \int_{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{+\infty }\frac{Arc\tan (tx)}{t^{2}+1}dt 
\]

d'o\`{u} 
\begin{eqnarray*}
F(x) &\geq &Arc\tan (\sqrt{x})\int_{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{+\infty }\frac{1}{%
t^{2}+1}dt \\
F(x) &\geq &Arc\tan (\sqrt{x})\left( \frac{\pi }{2}-Arc\tan (\frac{1}{\sqrt{x%
}})\right)
\end{eqnarray*}

et 
\[
\stackunder{+\infty }{\lim }f\geq \frac{\pi ^{2}}{4} 
\]

ainsi 
\[
\stackunder{+\infty }{\lim }f=\frac{\pi ^{2}}{4} 
\]

I.2. 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) &=&\frac{t}{(1+t^{2})(1+t^{2}x^{2})} \\
\forall \alpha &\in &R^{+*},\forall (x,t)\in \left[ \alpha ,+\infty \right[
\times R^{+} \\
\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| &\leq &\frac{t}{%
(1+t^{2})(1+t^{2}\alpha ^{2})}
\end{eqnarray*}

et 
\[
\frac{t}{(1+t^{2})(1+t^{2}\alpha ^{2})}\stackunder{+\infty }{\sim }\frac{1}{%
t^{3}\alpha ^{2}}
\]

et $\frac{\partial f}{\partial x}$est continue sur $\left[ \alpha ,+\infty
\right[ \times R^{+}$ d'o\`{u} $F$ est de classe $C^{1\text{ }}$sur $\left[
\alpha ,+\infty \right[ $ pour tout $\alpha $ de $R^{+*}$

ainsi $F$ est de classe $C^{1\text{ }}$sur $R^{+*}$ et 
\[
F^{\prime }(x)=\int_{0}^{+\infty }\frac{t}{(1+t^{2})(1+t^{2}x^{2})}dt 
\]

I.3. pour $x\in R^{+*}\setminus \left\{ 1\right\} $

\[
\frac{t}{(1+t^{2})(1+t^{2}x^{2})}=\frac{1}{x^{2}-1}\left( -\frac{t}{1+t^{2}}+%
\frac{x^{2}t}{1+t^{2}x^{2}}\right) 
\]

\begin{eqnarray*}
F^{\prime }(x) &=&\frac{1}{2(x^{2}-1)}\left[ \ln \left( \frac{1+t^{2}x^{2}}{%
1+t^{2}}\right) \right] _{0}^{+\infty } \\
F^{\prime }(x) &=&\frac{\ln x}{x^{2}-1}
\end{eqnarray*}

or $F$ est de classe $C^{1\text{ }}$sur $R^{+*}$ d'o\`{u} 
\[
F^{\prime }(1)=\frac{1}{2} 
\]

II.1.Soit $\alpha \in R^{+},x\longmapsto x^{\alpha }\ln x$est continue sur $%
\left] 0,1\right] $

\[
\stackunder{x\rightarrow 0}{\lim }\sqrt{x}x^{\alpha }\ln x=0
\]
d'o\`{u} la fonction $x\longmapsto x^{\alpha }\ln x$  est int\'{e}grable sur 
$\left] 0,1\right] $

Soit $n\in N,$%
\[
J_{2n}=\int_{0}^{1}x^{2n}\ln xdx 
\]

en int\'{e}grant par parties 
\begin{eqnarray*}
J_{2n} &=&\left[ \frac{x^{2n+1}\ln x}{2n+1}\right] _{0}^{1}-\int_{0}^{1}%
\frac{x^{2n}}{2n+1}dx \\
J_{2n} &=&-\frac{1}{(2n+1)^{2}}
\end{eqnarray*}

II.2. $\forall x\in \left] 0,1\right[ $%
\[
\sum_{n=0}^{+\infty }x^{2n}=\frac{1}{1-x^{2}} 
\]

et 
\[
-\sum_{n=0}^{+\infty }x^{2n}\ln x=\frac{\ln x}{-1+x^{2}} 
\]

$\forall n\in N,g_{n}:x\longmapsto -x^{2n}\ln x$ est positive sur $\left]
0,1\right[ $ et la s\'{e}rie de fonctions $\sum g_{n}$ converge simplement
sur $\left] 0,1\right[ $ vers la fonction $g:x\longmapsto \frac{\ln x}{%
-1+x^{2}}$  continue sur $\left] 0,1\right[ ,$

de plus $g(x)\stackunder{0}{\sim }-\ln x$ int\'{e}grable sur $\left]
0,1\right[ $ et $g(x)\stackunder{1}{\sim }\frac{1}{2}$ d'o\`{u} g est
int\'{e}grable sur $\left] 0,1\right[ $

du th\'{e}or\`{e}me de convergence monotone

\[
-\sum_{n=0}^{+\infty }J_{2n}=\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{-1+x^{2}}dx 
\]

II.3. 
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{+\infty }J_{2n} &=&-\int_{0}^{1}F^{\prime }(x)dx \\
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(2n+1)^{2}} &=&\frac{\pi ^{2}}{32}
\end{eqnarray*}

3\`{e}me partie :

1.Supposons y solution de $(\varepsilon )$ d\'{e}veloppable en s\'{e}rie
enti\`{e}re sur un intervalle $\left] -R,R\right[ ,R>0$

\[
y=\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n} 
\]

d'o\`{u} 
\[
\sum_{n=0}^{+\infty }(n^{2}-1)a_{n}x^{n}+4\sum_{n=4}^{+\infty
}a_{n-4}x^{n}=0 
\]

de l'unicit\'{e} du d\'{e}veloppement en s\'{e}rie enti\`{e}re :

\begin{eqnarray*}
\forall n &\in &N,n\succeq 4,(n^{2}-1)a_{n}+4a_{n-4}=0 \\
\forall n &\in &\left[ 0..3\right] ,(n^{2}-1)a_{n}=0
\end{eqnarray*}

donc

$\forall n\in N,$%
\begin{eqnarray*}
a_{4n+1} &=&\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}a_{1} \\
\forall k &\in &\left\{ 0,2,3\right\} ,a_{4n+k}=0
\end{eqnarray*}
le rayon de convergence $R$ est $+\infty $

on v\'{e}rifie une telle fonction $y_{0}(x)=a_{1}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{%
(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{n}$comme solution de $(\varepsilon )$ sur $\left]
0,+\infty \right[ $

\[
y_{0}^{\prime }(0)=1\Leftrightarrow a_{1}=1 
\]

et 
\[
\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,y_{0}(x)=\frac{\sin (x^{2})}{x} 
\]

2.$y_{1}:x\longmapsto \frac{\cos (x^{2})}{x}$ est aussi solution de $%
(\varepsilon )$ sur $\left] 0,+\infty \right[ $ , le wronskien de $%
(y_{0},y_{1})$ en x \'{e}l\'{e}ment de $\left] 0,+\infty \right[ $ vaut $%
\frac{2}{x}$ donc est non nul et les fonctions $y_{0}$ et $y_{1}$ sont
ind\'{e}pendantes .

or 
\[
y\text{ est solution de }(\varepsilon )\text{ sur }\left] 0,+\infty \right[
\Leftrightarrow y^{\prime \prime }+\frac{1}{x}y^{\prime }+\frac{4x^{4}-1}{x}%
y=0 
\]

et les fonctions $:x\longmapsto \frac{1}{x}$ et $:x\longmapsto \frac{4x^{4}-1%
}{x}$ sont continues sur $\left] 0,+\infty \right[ $ d'o\`{u} les solutions
de $(\varepsilon )$ sur $\left] 0,+\infty \right[ $ sont les fonctions $%
:x\longmapsto A\frac{\cos (x^{2})}{x}+B\frac{\sin (x^{2})}{x},A$ et $B$
r\'{e}els

3.a) 
\begin{eqnarray*}
z &=&\frac{y}{x}\text{est solution de }(\varepsilon )\text{ sur }\left]
0,+\infty \right[ \Leftrightarrow y\text{ est solution de }(\varepsilon
^{\prime })\text{ sur }\left] 0,+\infty \right[ \text{ avec} \\
(\varepsilon ^{\prime })\text{ } &:&\text{}y^{\prime \prime }-\frac{1}{x}%
y^{\prime }+4x^{2}y=0
\end{eqnarray*}

3.b) Soit $y_{1}$ et $y_{2}$ deux solutions de $(\varepsilon ^{\prime })$
sur $\left] 0,+\infty \right[ $ telles que :$f=$ $y_{1}^{2}+$ $y_{2}^{2}$ 
\begin{eqnarray*}
f^{\prime } &=&2y_{1}y_{1}^{\prime }+2y_{2}y_{2}^{\prime } \\
f^{\prime \prime } &=&2(y_{1}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime
2})+2(y_{1}y_{1}^{\prime \prime }+y_{2}y_{2}^{\prime \prime })
\end{eqnarray*}

de $(\varepsilon ^{\prime })$ on obtient 
\begin{equation}
xf^{\prime \prime }=2x(y_{1}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2})+f^{\prime }-8x^{3}f
\end{equation}

en d\'{e}rivant ,f \'{e}tant de classe $C^{3}$ sur $\left] 0,+\infty \right[ 
$

\[
xf^{(3)}=2(y_{1}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2})+4x(y_{1}^{\prime
}y_{1}^{\prime \prime }+y_{2}^{\prime }y_{2}^{\prime \prime
})-24x^{2}f-8x^{3}f^{\prime } 
\]

de $(\varepsilon ^{\prime })$ on obtient : 
\[
y^{\prime }y^{\prime \prime }=\frac{1}{x}y^{\prime 2}-4x^{2}yy^{\prime } 
\]

d'o\`{u} 
\[
y_{1}^{\prime }y_{1}^{\prime \prime }+y_{2}^{\prime }y_{2}^{\prime \prime }=%
\frac{1}{x}(y_{1}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2})-2x^{2}f^{\prime } 
\]

donc 
\[
xf^{(3)}=6(y_{1}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2})-24x^{2}f-16x^{3}f^{\prime } 
\]

et en utilisant $(0.1)$

\[
x^{2}f^{(3)}-3xf^{\prime \prime }+3f^{\prime }+16x^{4}f^{\prime }=0 
\]

une solution de cette \'{e}quation est $f=1$

Pour r\'{e}soudre $(\varepsilon ^{\prime })$ , consid\'{e}rons une fonction $%
\varphi $ de classe $C^{2}$ sur $\left] 0,+\infty \right[ $ , en posant

$y_{1}=\cos \varphi $ et $y_{2}=\sin \varphi $ solutions de $(\varepsilon
^{\prime })$

$y_{1}^{\prime }=-\varphi ^{\prime }\sin \varphi ,y_{1}^{\prime \prime
}=-\varphi ^{\prime \prime }\sin \varphi -\varphi ^{\prime 2}\cos \varphi $
et

$y_{2}^{\prime }=\varphi ^{\prime }\cos \varphi ,y_{2}^{\prime \prime
}=\varphi ^{\prime \prime }\cos \varphi -\varphi ^{\prime 2}\sin \varphi $

d'o\`{u}$\left\{ 
\begin{array}{c}
-x\varphi ^{\prime \prime }\sin \varphi -x\varphi ^{\prime 2}\cos \varphi
+\varphi ^{\prime }\sin \varphi +4x^{3}\cos \varphi =0 \\ 
x\varphi ^{\prime \prime }\cos \varphi -x\varphi ^{\prime 2}\sin \varphi
-\varphi ^{\prime }\cos \varphi +4x^{3}\sin \varphi =0
\end{array}
\right. $

d'o\`{u} $\left\{ 
\begin{array}{c}
\varphi ^{\prime 2}=4x^{2} \\ 
x\varphi ^{\prime \prime }-\varphi ^{\prime }=0
\end{array}
\right. $

$\varphi (x)=x^{2}$ est solution que l'on v\'{e}rifie d'o\`{u} $y_{1}$ et $%
y_{2}$ et on conclut de la m\^{e}me fa\c{c}on qu'au 2.

\end{document}
