%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%						ATTENTION !
%
% Ce corrige a ete ecrit rapidement pour tenir le delai du 14 Juillet. Le lecteur se montrera donc indulgent
% quant aux eventuelles erreurs ou incorrections...
% Une version amelioree (avec peut-etre en particulier des graphiques) sera eventuellemnt disponible sur
% le serveur Internet de Dijon (ftp://ftp.ac-dijon.fr/\carnot1\maths\corriges-97) utilise par Michel Quercia  
%
%		auteur :  Jean Blanchard
%			  38 chemin de Narrade 	
%			  31400 Toulouse
%
%			  tel  :  05 62 17 14 58		
%			  mail :  jblancha@ac-toulouse.fr 
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% PSI* 
% corrige de devoir pour l'UPS
%
\documentclass[11pt,a4paper]{amsart}
\usepackage{latexsym,amssymb,amscd}
\sloppy
\setlength{\textwidth}{19cm}
%\setlength{\topmargin}{-4.0cm}             % -1.5cm pour imprimer a partir de DVI
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%
\setlength{\footskip}{1.cm}               % 
%
% \pagestyle{empty}
%
 \pagestyle{plain}
%
% \input mes_defi.def
%
\def\ds{\displaystyle}
\def\aster{\mbox{$\ast \; $}}
\def\puce{\mbox{$\bullet \; $}}
\def\cqfd{\hfill {\small {\bf cqfd}} \\}
\def\imp{\mbox{$\ \Rightarrow\ $}}
\def\bmax#1{\mbox{$ \max\limits_{#1} $} }
\def\ps(#1#2{\mbox{$\left( \, {#1}\, |\, {#2}\, \right) $}}
\def\bip#1{\mbox{$\, \overrightarrow{#1}$}}
\def\intff#1#2{\mbox{$[ #1 \ #2 ] $}}           % intervalle [a b]
\def\intoo#1#2{\mbox{$] #1 \ #2 [ $}}           % intervalle ]a b[
%
     %ceci est le titre
\begin{document}
%
    \begin{center}
       \framebox[19.5cm][s]{
     \makebox[3cm][l]{}
%     
% Fermat - PSI\raisebox{0.5ex}{*}
%
 \makebox[12cm] {\centerline{\bf \hfill Arts et M\'etiers PSI-1997 : \'epreuve de Math\'ematiques 2 \hfill}}
     \makebox[3cm][r]     
%     
% {1996/97}       
%
                 } \\[0.15cm]
%
      - Bourse de corrig\'es UPS -
%      
% \'el\'ements de corrig\'e
%
    \end{center}                          
%
\bigskip
\textbf{Exercice 1 :} \\[1em]
	Donnons deux r\'eponses ``diff\'erentes'' pour 1) et 2).
	\begin{enumerate}
%	
	\item[1)] On v\'erifie facilement que le syst\`eme $(e_0,\, e_1,\, e_2)$ est compos\'e de vecteurs %
		\textit{non nuls} orhogonaux 2 \`a 2 pour $\ps( \cdot \cdot $ : le sous-espace $V$ %
		qu'ils engendrent est donc de dimension 3. \\ %
		Plus pr\'ecis\'ement, calculons (nous en aurons besoin...) la ``matrice de Gram''~%
				$A = [\ps( {e_i}{e_j}]_{0\leq i,\, j \leq 2}$ : %
			$$ A = \begin{pmatrix} 
			    2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 
			\end{pmatrix} $$ 
	\begin{enumerate} 
		\item[a)] Le syst\`eme $(e_0',\, e_1',\, e_2')$ d\'efini par : %
				$e'_i = \dfrac{e_i}{\|e_i\|}\ (0\leq i \leq 2)$ est une base orthonorm\'ee %
			de $V$. Une formule classique de projection nous dit alors que la projection %
			orthogonale de $u$ sur $V$ est donn\'ee par :
$$ \varphi = \sum\limits_{i=0}^{2} \ps( {e'_i} u e'_i = \sum\limits_{i=0}^{2} \dfrac{\ps( {e_i} u}{\|e_i\|^2} e_i$$
Tous calculs faits on trouve : \quad \framebox{$ \varphi = e_0 - \dfrac{2}{\pi}e_2$ }
		\item[b)] Le th\'eor\`eme de Pythagore appliqu\'e \`a la d\'ecomposition $u=\varphi+(u-\varphi)$ %
				fournit :  $$ d(u,V)^2 = \|u-\varphi\|^2 = \|u\|^2 - \|\varphi\|^2 \quad %
			\text{(c'est la formule qui est \`a la base de {\em l'in\'egalit\'e de Bessel})} $$  %
			Compte tenu de : $\|\varphi\|^2= \|e_0 - \dfrac{2}{\pi}e_2\|^2 = %
						\|e_0\|^2 + \left(\dfrac{2}{\pi} \right)^2 \|e_2\|^2$
			il vient, tous calculs faits : %
	$$ \framebox{$ d(u,V)= \; \sqrt[]{\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{\pi^2}}$}$$
%													
	\end{enumerate} 
%
	\item[2)] 
	\begin{enumerate} 
		\item[a)] {\em Classique !} Rappelons les diff\'erentes v\'erifications :
		\begin{itemize}
			\item[\puce] L'existence de l'int\'egrale d\'efinissant ${\ps( f g}_1$ est %
				     assur\'ee par la continuit\'e de $x \mapsto |x|f(x)g(x)$ sur %
				     $[-\!1\; 1]$.
			\item[\puce] La lin\'earit\'e par rapport \`a la ``premi\`ere'' variable provient de %
					la ``distributivit\'e'' dans $\mathbb R$ de $\times$ par %
					rapport \`a  $+$ et $\times$ :
					$$ (\lambda a + \mu b)c = \lambda ac + \mu bc $$
					et de la lin\'earit\'e de l'int\'egrale. 
 	     		\item[\puce] La sym\'etrie est \'evidente en raison de la commutativit\'e de %
					$\times $ dans $\mathbb R$
 	     		\item[\puce] L'int\'egrale d'une fonction positive continue et {non nulle} %
				     sur $\intff {-1} 1$ \'etant strictement positive on a bien : 
			$$ \forall\,  f \in E \quad (f\geq 0 \text{ et } f\neq {0}) %
				\ \imp\ {\ps( f f}_1 = \ds\int_{-1}^{1} |x|(f(x))^2\, dx > 0 $$
%				
			En effet la fonction $x \mapsto |x|(f(x))^2 $ v\'erifie bien les hypoth\`eses %
			ci-dessus. Elle est en particulier {\em non nulle} puisque sinon $f$ s'anullerait %
			en tout $x$ de $\intff {-1} 1 \setminus \left\{ 0 \right\}$ donc %
			par continuit\'e en tout $x$ de $\intff {-1} 1$. 
%
		\end{itemize}
		\item[b)] Le syst\`eme $(e_0,\, e_1,\, e_2)$ n'est plus orthogonal pour le nouveau produit %
		scalaire ${\ps( \cdot \cdot}_1 $ ; on a maintanant : 
			$$ A_1 = [{\ps( {e_i}{e_j}}_1]_{0\leq i,\, j \leq 2} =
			\begin{pmatrix} 
			1 & -4/\pi^2 & 0 \\ -4/\pi^2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 
			\end{pmatrix} $$
			Cherchons $\varphi_1$ sous la forme : %
					$\varphi_1=\sum\limits_{0\leq j \leq 2}^{} x_j e_j$ %
			et traduisons l'orthogonalit\'e de $u-\varphi$ et $V$ :
%
	\begin{eqnarray*}
	    u-\varphi\ \overset{1} {\bot}\ V & %
				\iff & \forall\, i=0,\, 1,\, 2\quad e_i\ \overset{1} {\bot} \ \varphi-u \\
    			       & \iff & \forall\, i=0,\, 1,\, 2\quad {\ps( {e_i} \varphi}_1 = {\ps( {e_i} u }_1 \\
    			       & \iff & \forall\, i=0,\, 1,\, 2\quad %
					\sum\limits_{j=0}^{2} {\ps( {e_i}{e_j}}_1 x_j = {\ps( {e_i} u }_1 \\
			       & \iff & \begin{pmatrix} 
						1 & -4/\pi^2 & 0 \\ -4/\pi^2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 
					\end{pmatrix}
					\begin{pmatrix} 
			       		    x_1 \\ x_2 \\ x_3	
					\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
			       		    1 \\ -4/\pi^2 \\ 8/\pi^3 -2/\pi 	
					\end{pmatrix}		
	\end{eqnarray*}
	L'unique solution de ce syst\`eme de Cramer est : %
				      $	\begin{pmatrix} 
			       		    x_1 \\ x_2 \\ x_3	
					\end{pmatrix} = %
					\begin{pmatrix} 
			       		    1 \\ 0 \\ 16/\pi^3-4/\pi 	
					\end{pmatrix} $ ce qui fournit la r\'eponse~:
					$$ \framebox{$\varphi_1=e_0 + (\dfrac{16}{\pi^3}-\dfrac{4}{\pi})e_2$} $$		
%
	\end{enumerate} 
%
\end{enumerate}
%
%
\bigskip
\textbf{Exercice 2 :} \\ %[1em] 
%
\begin{enumerate} 
	\item[1)] Posons $r= \;\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}$ et calculons, sur %
			$\mathbb R^3 \setminus \left\{(0,0,0) \right\}$ : %
			$\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{2x}{2\;\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}} =\dfrac{x}{r}$ %
			et de m\^eme : %
	$\dfrac{\partial r}{\partial y} = \dfrac{y}{r}$ et $\dfrac{\partial r}{\partial z} = \dfrac{z}{r}$.  %
	Il vient alors :
		$$ {\rm grad}\; u(P) = %
		(
		\dfrac{\partial (1/r)}{\partial x},\, %
		\dfrac{\partial (1/r)}{\partial y},\, %
		\dfrac{\partial (1/r)}{\partial z}
		) =
%		
		(
		 -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial r}{\partial x},\, %
		 -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial r}{\partial y},\, %
		 -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial r}{\partial z}
		) = %
		(-\dfrac{x}{r^{3}},\, %
		 -\dfrac{y}{r^{3}},\, %
		 -\dfrac{z}{r^{3}}) $$
		En faisant le produit scalaire par $n(P)=(\dfrac{x}{r},\, \dfrac{y}{r},\,\dfrac{z}{r})$ %
		on obtient finalement : %
			$$
			\framebox{$ \dfrac{\partial u}{\partial n}(P) 
				= -\dfrac{x^2+y^2+z^2}{r^4} 
				= -\dfrac{1}{r^2}$}
			 $$
	\item[2)]  Posons : $r_A = \;\sqrt[]{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2+ (z-a_3)^2 }$ ; %
		   en faisant maintenant le produit scalaire de ${\rm grad}\; u(P)$ %
			par $n_A(P)= (\dfrac{x-a_1}{r_A},\, \dfrac{y-a_2}{r_A},\,\dfrac{z-a_3}{r_A})$ %
		il vient en tout point $P \in \Gamma_A$ : %
		        $$
			\framebox{$
				\dfrac{\partial u}{\partial n_A}(P) = 
				-\dfrac {x^2- a_1 x + y^2-  a_2 y + z^2 - a_3 y}
				{ r^3\, r_A}  =
				\dfrac {a_1 x +  a_2 y +  a_3 z - a^2 +1}
				{ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^{3/2} } 
				 $}
			$$
		On a tenu compte, pour \'etablir la seconde \'egalit\'e, de la relation : %
		$r_A^2 = (x-a_1)^2+(y-a_2)^2+ (z-a_3)^2 = 1$ caract\'erisant l'appartenance de $P$ %
		\`a $\Gamma_A$ ; au passage on v\'erifie : $O \notin \Gamma_A$, ce qui garantit %
		la validit\'e des calculs pr\'ec\'edents.
	\begin{enumerate} 
		\item[a)] Donnons la solution ``analytique'' en consid\'erant les ensembles suivants : %
%				
				$$\begin{array}{l@{\ }l@{\ :\quad }l@{\qquad}l}
%
				 \puce & \Pi &  a_1 x +  a_2 y +  a_3 z = a^2 - 1 & 
				\text{plan orthogonal \`a %
				$\bip {OA} \left|
						\begin{array}[]{lll} a_1\\a_2\\a_3 \end{array}
					\right.$
				et passant par %
				$H \left|
				\begin{array}[]{lll} \alpha a_1\\\alpha a_2\\\alpha a_3 \end{array} %
				\right.
				\quad \alpha=(a^2-1)/a^2 $ } \\
%
				 \puce & \Pi_+ & a_1 x +  a_2 y +  a_3 z > a^2 - 1 & %
				\text{demi-espace ouvert limit\'e par $\Pi$ et contenant A} \\
%
				       & \Pi_- & a_1 x +  a_2 y +  a_3 z < a^2 - 1  & %
				\text{{\em autre} demi-espace ouvert limit\'e par $\Pi$ (il conteient O)}
%					
				\end{array}$$
%
				Les interpr\'etations g\'eom\'etriques demand\'ees en d\'ecoulent :
				\begin{itemize}
					\item[*] $C_0 = \Gamma_A \cap \Pi$ est l'intersection d'un %
						plan et d'une sph\`ere : c'est un %
						\underline{cercle v\'eritable} puisque %
						la distance du centre $A$ de $Gamma_A$ au plan $\Pi$ %
						vaut~:  
						$$ \dfrac{|a_1 a_1 +  a_2 a_2 +  a_3 a_3 - a^2 + 1 |}%
						{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} } = \dfrac{1}{a} $$ %
						strictement inf\'erieure au rayon de %
						$\Gamma_A$~: $R=1$ %
%
					\item[*] $C_+ = \Gamma_A \cap \Pi_+$ et $C_- = \Gamma_A \cap \Pi_-$ %
					sont les deux ``calottes sph\'eriques'' de $\Gamma_A$ limit\'ees par %
					$C_0$ et contenant respectivement $A$ et $O$.
%
				\end{itemize}
%
				Venons-en \`a l'interpr\'etation ``g\'eom\'etrique'' de $C_0$. %
				Pour cela observons que, pour tout $P \in \Gamma_A$ : 
				$$ {\rm grad}\; u(P) = - \dfrac{\bip {OP}}{OP^3} %
				   \qquad \text{;} \qquad 
				   n_A(P)= \bip {AP}
				   \qquad \text{;} \qquad 
				   \dfrac{\partial u}{\partial n_A}(P) = - \dfrac{\bip{OP}\cdot\bip{AP}}{OP^3}
			           		$$
		Introduisons alors l'ensemble : %
			$$ \Sigma = \left\{ P \ /\ \bip{PO}\cdot\bip{PA} = 0  \right\} $$%
			$\Sigma$ est une sph\`ere de {\em diam\`etre} $OA$, et $C_0 = \Gamma_A \cap
			\Sigma$ est un \underline{cercle v\'eritable} (d'axe $OA$) puisque la distance %
			des centres $(=a/2)$ est strictement inf\'erieure \`a la somme des rayons $(=1+a/2)$. %
			\! \footnote{- la m\^eme relation $\bip{PO}\cdot\bip{PA} = 0$ montre que $C_0$
			est aussi le contour apparent de $\Gamma_A$ vu depuis $O$ \\ %
			- $C_0$ s'interpr\`ete aussi comme l'intersection des sph\`eres %
			  $\Gamma_A $ et $\Sigma'$ de centre $O$ et de rayon $\sqrt[]{a^2-1}$ %
				 dites ``orthogonales''	justement en raison de la propri\'et\'e %
				$\bip{OP}\cdot\bip{AP} = 0 $ v\'erifi\'ee par tout point de leur intersection...}				
%							  					  		   
		\item[b)] Utilisons au lieux l'interpr\'etation g\'eom\'etrique : un vecteur tangent en %
			$P$ \`a $C_0 = \Gamma_A \cap \Pi$ s'obtient en faisant le produit vectoriel %
			de deux vecteurs normaux en $P$ respectivement \`a $\Gamma_A$ %
			et $\Pi$. On peut adopter~: 
			$$ \bip N = \bip{OA} \wedge  \bip {AP} =  %
				    \bip{OA} \wedge  \bip {OP} =
				    \begin{pmatrix} 
				      a_3 y - a_2 z \\ a_1 z -a_3 x \\ a_2 x - a_1 y
						\end{pmatrix} 	 	
					$$
			On a aussi : $\bip N = \bip{PA} \wedge  \bip {PO} $ avec %
					$\bip {PA} \ \bot\ \bip {PA}$. Il s'ensuit : %					
			$$ \begin{array}[]{r@{\quad  =\quad }l@{\qquad} l}
			   \|\bip N \|^2 & PA^2 \times PO^2	 & (\bip {PA} \ \bot\ \bip {PO}) \\
			   	 	 & PA^2 \times (AO^2-AP^2) & (\text{par Pythagore}) \\
			   	         & a^2-1 & 
			\end{array} $$
%			
	Finalement les vecteurs r\'epondant \`a la question sont :
			  $$\framebox{$ \bip {v_P} = \dfrac{\pm 1}{\sqrt[]{a^2-1}} %
				\begin{pmatrix} 
				      a_3 y - a_2 z \\ a_1 z -a_3 x \\ a_2 x - a_1 y
						\end{pmatrix} 	$} 	$$				    
%			 
		\end{enumerate} 	
%									
\end{enumerate} 
% 
\bigskip
\textbf{Exercice 3 :} \\% [1em] 
%
		\begin{enumerate} 
			\item[1)] Par le choix du rep\`ere $(O,\bip i,\bip j)$ on identifie le plan %
					affine euclidien avec $\mathbb R^2$ en confondant le point $M$ de %
					coordonn\'ees $(x,y)$ avec le couple $(x,y)$.
			\begin{enumerate} 
				\item[a)] De $M=(a\cos u,a\sin u)$ on d\'eduit : $P=(a\cos u,0)$ et %
					  $Q=(0,a\sin u)$. Le point $H=(x,y)$ doit v\'erifier~: \\
					  $\begin{cases}
					    P,\, Q,\, H \textit{align\'es} \\
					    {}\\
					    \bip {OH} \ \bot\ \bip {PQ}
					  \end{cases}$
					  \quad 
					  soit, tous calculs faits :
					   \quad $\begin{cases}
					    (\sin u) x + (\cos u) y = a \sin u \cos u \\
					    {}\\
					    (\cos u) x - (\sin u) y = 0
					  \end{cases}$ syst\`eme de Cramer dont la r\'esolution fournit : %
					  \quad $ \framebox{$H = (a\sin^2u \cos u,a\cos^2u \sin u$}$
				\item[b)] L'\'equation de la tangente en $M$ au cercle $C$ est : %
					\quad $(\cos u) x + (\sin u) y = a$. Pour $u \neq {0} \ [\pi/2]$ %
					elle {\em coupe} les axes $Ox$ et $Oy$ respectivement en %
					$U=(\dfrac{a}{\cos u},0)$  et $V=(0, \dfrac{a}{\sin u})$. Le %
					point $W$ s'en d\'eduit : %
				\quad \framebox{$W=(\dfrac{a}{\cos u},\dfrac{a}{\sin u})$}\quad et %
				\quad \framebox{$O,\, H,\, W$ sont align\'es} \quad puisque %
				\ $\bip {OH} = a\sin^2u \cos^2 u \bip{OW}$.\! %
				\footnote{\ L'\'egalit\'e $\bip {OH} \cdot \bip {OW} = a^2$ montre que %
				$H$ et $W$ sont homologues dans l'inversion de centre $O$ et de %
				puissance $a^2$.} %				
			\end{enumerate}
%			
			\item[2)] La tangente en $W$ \`a $R$ est dirig\'ee par le vecteur %
		$\dfrac{dW}{du} = \left( \dfrac{a\sin u}{\cos^2 u}, -\dfrac{a\cos u}{\sin^2 u}\right)$ %
		qui est bien d\'efini et {\em non nul} (pour $u\neq {0}\ [\pi/2]$, bien entendu) : %
		$R$ est un arc ``r\'egulier''. Observons qu'un vecteur directeur plus simple est : %
		$\bip v = (\sin^3 u, -\cos^3 u)$.
%
			\begin{enumerate} 
				\item[a)] Une \'equation de la perpendiculaire men\'ee par $O$ \`a cette %
					tangente est donc : %
						\quad \framebox{$(\sin u)^3x -(\cos u)^3y = 0$} \\
					L'\'etude de l'intersection avec la droite $PQ$ d'\'equation %
					$(\sin u) x + (\cos u) y = \sin u \cos u $ conduit au syst\`eme~: %
					$\begin{cases}
					   (\sin u)^3x -(\cos u)^3y = 0 \\
					   {}\\
					(\sin u) x + (\cos u) y = a\sin u \cos u 
					\end{cases}$ de d\'eterminant %
					$D = \cos u \sin u \neq {0}$ dont la r\'esolution fournit le point %
					\framebox{$I=\left( a\cos^3 u, %
						      a\sin^3 u \right) $}\, %
\footnote{Il est bien connu (?) que ce point d\'ecrit une {\em astro\"{\char16}de} ; arriv\'e l\`a, il n'est %
		pas difficile de v\'erifier que la tangente au lieu de $I$ est justement la droite %
		 $PQ$, ce que l'\'enonc\'e aurait pu demander...}			      
%					
				\item[b)] De %
					$\bip {IM} = \left( a\cos u \sin^2u, %
						      a\sin u \cos^2 u\right)$ %
					colin\'eaire \`a $\bip V = (\sin u,\cos u)$ et %
					$\bip {PQ} = (-a\cos u,a \sin u)$ on d\'eduit facilement %
					$\bip {PQ} \cdot \bip V = 0$.\, \footnote{
					$I$ est donc la projection orthogonale de $M$ sur $PQ$. On %
					sait donc ``construire'', \`a partir de $M$, les points $P$, $Q$,  %
					$W$, $I$, la droite $OI$ et donc la tangente \`a $R$ en $W$...} 
			\end{enumerate} 			
%			
		\end{enumerate} 
						
% 
\bigskip
\textbf{Exercice 4 :} \\[1em]
%
	\begin{enumerate} 
		\item[1)]
		\begin{enumerate} 
			\item[a)] L'in\'egalit\'e %
	$(I_k)\ :\ \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\| \leq \alpha^k \|X^{(1)}-X^{(0)}\|$ %
				demand\'ee se montre par r\'ecurrence : 
			\begin{itemize}
				\item[\aster] $(I_0) \ : \ \|X^{(1)}-X^{(0)}\|\leq \alpha^0 \|X^{(1)}-X^{(0)}\|$ %
				est triviale...
				\item[\aster] $(I_k) \imp (I_{k+1})$ : 
				\begin{eqnarray*}
					\|X^{(k+2)}-X^{(k+1)}\|  = & \|T(X^{(k+1)})-T(X^{(k)}\| & %
							\quad \text{par d\'efinition} \\
					\leq & \alpha \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\| & \quad %
								\text{par propri\'et\'e de $T$} \\
					\leq & \alpha^{k+1} \|X^{(1)}-X^{(0)}\| & \quad %
								\text{d'apr\`es $(I_k)$}			           													
				\end{eqnarray*}				
			\end{itemize}
%			
			\item[b)] Soit $p \geq 0,\, h \geq 1$ deux entiers. On a :
				\begin{eqnarray*}
			\|X^{(p+h)}-X^{(p)}\| & =  & \|\sum\limits_{k=p}^{p+h-1} (X^{(k+1)}-X^{(k)})\| \\%
					      & \leq & \sum\limits_{k=p}^{p+h-1} \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\| \\%
					      & \leq & \sum\limits_{k=p}^{p+h-1} \alpha^k \|X^{(1)}-X^{(0)}\| \\%
					      & \leq & \left(\sum\limits_{k=p}^{p+h-1} \alpha^k   \right)%
							\left( \|X^{(1)}-X^{(0)}\| \right) \\ %
      					      & = & \dfrac{\alpha^p-\alpha^{p+h} }{1-\alpha} %
							\left( \|X^{(1)}-X^{(0)}\| \right)  \\
					      & \leq &  \alpha^p \dfrac{\|X^{(1)}-X^{(0)}\|}{1-\alpha} %							
				\end{eqnarray*}
				Pour un $\varepsilon>0$ soit $N$ v\'erifiant : %
		$\forall\, p\geq N \quad \alpha^p \dfrac{\|X^{(1)}-X^{(0)}\|}{1-\alpha} <\varepsilon$ %
				(il en existe puique %
				$\lim\limits_{k\rightarrow +\infty } \alpha^k =0) $ ; l'in\'egalit\'e %
				pr\'ec\'edente montre que : %
						$$ \forall\,  p,\, q\qquad q> p \geq N \ \imp \ %
							\|X^{(q)}-X^{(q)}\| < \varepsilon $$
				La suite $\left( X^{(k)}\right)_{k\geq 0}$ est de Cauchy ; elle est donc %
				convergente puisque l'espace vectoriel $\mathbb R^n$ est de dimension %
				finie : $\quad \exists\, \overline X \in \mathbb R^n \quad /\quad %
				\lim\limits_{k\rightarrow+\infty } X^{(k)} = \overline X$ \cqfd						
			\item[b)] De : $\lim\limits_{k\rightarrow+\infty } X^{(k+1)} =
					\begin{cases} %
						\lim\limits_{k\rightarrow+\infty } X^{(k)} = %
							\overline X \quad \text{(``d\'ecalage d'indices'')} \\
							% {}\\
						\lim\limits_{k\rightarrow+\infty } T \left( X^{(k)} \right) = %
					T\big(\lim\limits_{k\rightarrow+\infty } X^{(k)} \big) = %
					T\left( \overline X \right) \quad \text{($T$ est {\em lipschitzienne} %
					donc continue)}
					\end{cases}$ %
				on d\'eduit l'\'egalit\'e demand\'ee : \quad %
					\framebox{$T\left( \overline X \right) = \overline X $}	
			\item[c)] Soient $X'$ et $X"$ deux solutions {\em distinctes} de l'\'equation $T(X)=X$ ; %
				  on peut \'ecrire : $$\|X'-X"\| = \|T(X')-T(X")\| \leq \alpha \|X'-X"\| %
				  \quad \text{soit :} \quad  %
				\|X'-X"\|(1-\alpha) \leq 0 $$
				ce qui est contradictoire avec $\|X'-X"\| >0$ et $1-\alpha >0$ ! \\
				L'\'equation $T(X)=X$ admet donc au plus %
				(et en fait exactement) {\em une} solution.
%				
		\end{enumerate}		
%
		\item[2)]
		\begin{enumerate} 
			\item[a)] De $T(x)-T(Y)=C(X-Y)$ on d\'eduit, en appelant $z_i$ la $i\!\char23 $
				composante de $T(x)-T(Y)$ : %
				$$|z_{i_0}| = \left| \sum\limits_{j=1}^{n} c_{i_0,j}(x_j-y_j)\right| %
					\leq \sum\limits_{j=1}^{n} |c_{i_0,j}||x_j-y_j| %
					\leq \left( \sum\limits_{j=1}^{n} |c_{i_0,j}| \right) \|X-Y\| %
			\leq \left( \bmax {1\leq i \leq n} \sum\limits_{j=1}^{n} |c_{i,j}| \right) \|X-Y\| $$
				Cette in\'egalit\'e \'etant v\'erifi\'ee pour tout $i_0\ (1\leq i_0 \leq n)$ %
				on en d\'eduit :  
				$$ \|T(X)-T(Y)\| \leq \alpha \|X-Y\| \quad \text{avec :} %
				   \quad \alpha = \bmax {1\leq i \leq n} \sum\limits_{j=1}^{n} |c_{i,j}| $$
%				   
			\item[b)] C'est une application directe et imm\'ediate du $1)$... \'etant %
				entendu que la notion de {\em limite} ne d\'epend pas du choix de la %
				norme (l'espace vectoriel est de dimension finie).
		\end{enumerate} 
%
		\item[3)]
		\begin{enumerate} 
			\item[a)] Pour tout choix de $\lambda\in \mathbb R$ l'\'equation $AX=b$ est %
				\'equivalente \`a : $X = X + \lambda(b-AX)$ c'est-\`a-dire : %
				\framebox{$X = (I-\lambda A)X +\lambda b$}. Pour $\lambda =\dfrac{1}{4}$ %
				on obtient : %
				$$ \begin{pmatrix} 
				   x_1 \\ x_2\\x_3 
				\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
				  0 & 1/4 & 1/4 \\ -1/4 & 0 & 1/4 \\ 1/4 & -1/4 & -1/4 
				 \end{pmatrix}
				\begin{pmatrix} 
				   x_1 \\ x_2\\x_3 
				\end{pmatrix} +
				 \begin{pmatrix} 
				   2 \\ -5/2 \\ -9/4 
				\end{pmatrix} $$
				La derni\`ere \'equation de ce syst\`eme est :
					$x_3 = \dfrac{x_1}{4} -\dfrac{x_2}{4} -\dfrac{x_3}{4}-\dfrac{9}{4}$ %
				soit, ``en r\'esolvant en $x_3$'' : %
				$x_3 = \dfrac{x_1}{5} -\dfrac{x_2}{5} -\dfrac{9}{5}$ \\
				En rempla\c{c}ant la derni\`ere \'equation par cette \'equation \'equivalente il %
				vient bien :
				$$ X = \begin{pmatrix} 
				  0 & 1/4 & 1/4 \\ -1/4 & 0 & 1/4 \\ 1/5 & -1/5 & 0 
				 \end{pmatrix} X + %
				 \begin{pmatrix} 
				   2 \\ -5/2 \\ -9/5 
				\end{pmatrix} $$
%
		{\bf Rmq : } %
		En fait on peut aussi obtenir le r\'esultat en traitant chaque \'equation du syst\`eme %
		initial comme on vient de le faire pour la troisi\`eme... %
		\! \footnote{...l'auteur de ce corrig\'e %
			voulait \'evoquer d'autres id\'ees \'eventuellement exploitables...}\\
			%				
			\item[b)]
%
				\quad $X_0 = \begin{pmatrix} 
				   0 \\ 0 \\ 0 
				\end{pmatrix} 
%				
				\quad X_1 = \begin{pmatrix} 
				 2 \\ -5/2 \\ -9/5				   
				\end{pmatrix}
%
				\quad X_2 = \begin{pmatrix} 
				37/40 \\ -69/20 \\ -9/10				   
				\end{pmatrix}
%				
				\quad X_4 = \begin{pmatrix} 
					73/80 \\ -473/160 \\ 37/40				   
				\end{pmatrix} $ \\
%				
			\item[c)] La r\'esolution du syst\`eme $AX=b$ fournit : %
				$$ \overline X  = \begin{pmatrix} 
				   1 \\ -3 \\ -1 
				\end{pmatrix} 
%				
				\quad \text{;} \quad
				\|X_0-\overline X \| = 3
%				
				\quad \text{;} \quad
				\|X_1-\overline X \| = 1
%				
				\quad \text{;} \quad
				\|X_2-\overline X \| = 0,45
%				
				\quad \text{;} \quad
				\|X_3-\overline X \| = 0,0875  $$
%
				Ces valeurs ``illustrent'' le fait que la suite $(X^{(k)})$ converge %
				vers $\overline X$, puisque ici on a :
					$$\|C\| = 1/4+1/4=1/2 \in \intoo 0 1 $$				
%				       
		\end{enumerate} 
%
		\item[4)] La r\'eponse propos\'ee pour la question $3)$ laisse entrevoir %
			  en fait {\em deux} proc\'ed\'es susceptibles de permettre la r\'esolution %
			de l'\'equation $AX=b$ par la consid\'eration %
				d'une suite r\'ecurrente du type : %
			$$ X^{(k+1)} = C X^{(k)} + b' \quad \text{avec } \|C\|<1 $$ %
			La solution attendue \'etait sans doute celle qui suit... %
%
			Le syst\`eme~: %
			$$ \begin{cases}
			  (2+\sigma_1)x_1 -x_2 & = \ b_1 \\
			  & \vdots \\
			  -x_{i-1} + (2+\sigma_i)x_i -x_{i+1} & = \ b_i  \qquad (2 \leq i \leq n-1)\\
			  & \vdots \\
			  -x_{n-1}+ (2+\sigma_n)x_n  & = \ b_n 
			\end{cases} $$
%
			\ s'\'ecrit, ``en r\'esolvant la $i\!\char23 $ \'equation en $x_i$'' :
%
			$$\begin{cases}
			  x_1 & = \ \dfrac{1}{2+\sigma_1}x_2 + \dfrac{1}{2+\sigma_1} b_1 \\
			  &  \vdots \\
			  x_i & = \ \dfrac{1}{2+\sigma_i}x_{i-1} + \dfrac{1}{2+\sigma_i} x_{i+1} %
				+ \dfrac{1}{2+\sigma_i} b_i   \qquad (2 \leq i \leq n-1)\\
			  & \vdots \\
			  x_n & = \ \dfrac{1}{2+\sigma_n}x_{n-1} + \dfrac{1}{2+\sigma_n} b_n 
			\end{cases} $$
%			
		ce qui fait appara\^{\char16}tre une matrice $C$ v\'erifiant la condition %
			voulue puisque :
%			
			$$\|C\| = \max \Big\{ \frac{1}{2+\sigma_1}\, ,
				\, \frac{2}{2+\sigma_2}\, ,\, %
				\ldots %  
				\, , \, \frac{2}{2+\sigma_{n-1}} \, , \, %
				\frac{1}{2+\sigma_n} \Big\} < 1 $$
% 
			L'algorithme demand\'e s'\'ecrit alors naturellement (ci-dessous en MAPLE V4) : %
			\\[1em]			
			 \texttt{\textit{\# On suppose que les tableaux \texttt{\bf b} et %
				\boldmath{$\sigma$} %
				de format $\mathtt{\mathbf{1..1000}}$ ont \'et\'e pr\'ec\'edemment d\'efinis...}} \\[0.5em] 
			 \texttt{ \begin{tabular}{|l@{\quad \textit{\# }}l} 
				 $>$ {\bf X := array(0..1001,[seq(i,i=0..1001)]) : } %
						& \textit{on r\'eserve deux indices de plus pour} \\
				 $>$ {\bf Y := array(0..1001) : Y[0]:=0 : Y[1001] := 0} %
					& \textit{obtenir des formules de calcul homog\`enes} \\
				 $>$ {\bf for k from 1 to 20 do }\\
				 $>$ {\bf \quad for i from 1 to 1000 do }\\
				 $>$ {\bf \quad Y[i] := (X[i-1]+b[i]+X[i+1])/(2+$\sigma$[i]) }%
						& \textit{la m\^eme formule quelle que soit {\bf i} !} \\ 
				 $>$ {\bf \quad od : }\\
				 $>$ {\bf X := copy(Y) } & \textit{et surtout pas {\bf X :=Y} ou %
							{\bf X :=eval(Y)} ! } \\
				 $>$ {\bf od : }\\ 
				 $>$ {\bf eval(X) ; } & \textit{on affiche le r\'esultat comme demand\'e...}
					\end{tabular}  }
		\texttt{\textit{\# On pourrait n'utiliser que le tableau \texttt{\bf X} en %
			g\'erant correctement l'actualisation des \texttt{\bf X[i]} }}
%
	\end{enumerate} 
%
 \end{document}
%

