% Le corrig\'e de ce probl\`eme est issu de la collaboration fructueuse des \'el\`eves de la classe de MP* du
% lyc\'ee Fermat \`a Toulouse, au clavier le prof de math (qui a fait aussi rarement l'office de censeur)
% Si vous avez des commentaires \`a faire, \'ecrivez donc \`a mon adresse mgonnord@ac-toulouse.fr


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% Petites macros
% permet de rehausser le chi
\newcommand{\chii}{\raisebox{.8mm}{$\chi$}}

% Pour obtenir des symboles en caract\`ere roman dans une formule math\'ematique
\newcommand{\gl}{\operatorname{GL} }
\newcommand{\id}{\operatorname{Id} }
\newcommand{\im}{\operatorname{Im} }
\newcommand{\tr}{\operatorname{Tr} }
\newcommand{\vect}{\operatorname{Vect} }

% Une fa\c{c}on de num\'eroter les questions
\newcounter{quest}
\newcounter{squest}
\newenvironment{liq}[1] % Liste des questions
        {\begin{list}
        {\bfseries #1.\arabic{quest}.}
        {\usecounter{quest}
        \setlength{\labelwidth}{1.5cm}
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        }{\end{list}}
\newenvironment{lsq} % Liste des sous questions
        {\begin{list}
        {\bfseries \alph{squest}.}
        {\usecounter{squest}}
        {\setlength{\leftmargin}{2cm}
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        }{\end{list}}

\begin{document}
\title{Corrig\'e de l'\'epreuve Lyon-Cachan 1997}
\maketitle

\centerline{\sc Partie I}

\medskip

\begin{liq}{I}
\item Soit $\gamma'\in \Gamma$, on a
\begin{align*}
  \rho_{\gamma'}\circ \pi
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in \Gamma}^{}\rho_{\gamma'}\circ\rho_{\gamma}
  \\
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in \Gamma}^{}\rho_{\gamma'\gamma}
  \\
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma"\in \Gamma}^{}\rho_{\gamma"}=\pi
\end{align*}
car $\gamma\mapsto \gamma'\gamma$ est une bijection de $\Gamma$ sur lui-m\^eme. On en d\'eduit que
$$
\pi\circ \pi=\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma"\in \Gamma}^{}\rho_{\gamma}\circ\pi=\pi
$$
i.e. $\pi$ est un projecteur.

Si $x\in E_{\Gamma}$ alors $\pi(x)=x$ i.e. $E_{\Gamma}\subset \im\pi$.

R\'eciproquement~: si $x\in\im\pi$ alors $\pi(x)=x$ et, pour tout $\gamma'\in \Gamma$,
$\rho_{\gamma'}\circ\pi(x)=\rho_{\gamma'}(x)=\pi(x)=x$ et donc $x\in E_{\Gamma}$.

Conclusion~: on a bien $E_{\Gamma}=\im\pi$.

Enfin, comme la trace d'un projecteur est \'egale \`a la dimension de son image (se placer dans une bonne base),
on a $\tr(\pi)=\dim E_{\Gamma}$.

\item Soient $(E,\rho)$ et $(E',\rho')$ deux $\Gamma$-espaces tels que $\chii_E=\chii_{E'}$. On a donc
$\chii_E(1_{\Gamma})=\chii_{E'}(1_{\Gamma})$ ce qui signifie que $\dim E=\dim E'$.

En conclusion, on a la formule
$$
\dim E=\tr(\rho_{1_{\Gamma}})=\chii(1_{\Gamma})=\dim\chii.
$$

\item L'application trace \'etant lin\'eaire, on a
$$
\tr(\pi)=\dim E_{\Gamma}=\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in \Gamma}^{}\tr(\rho_{\gamma})=
\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_E(\gamma).
$$

\item Prouvons tout d'abord l'\'egalit\'e fournie par l'\'enonc\'e~: si $f\in K^X$ et si
$f=\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xe_x$ (o\`u $\lambda_x=f(x)$). Soit $\gamma\in\Gamma$ alors
\begin{align*}
  \gamma.f & =\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_x(\gamma.e_x) \\
           & =\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xe_{\gamma.x} \\
           & =\sum\limits_{y\in X}^{}\lambda_{\gamma^{-1}.y}e_y
\end{align*}
car $x\mapsto \gamma.x$ est une bijection de $X$ sur $X$. On a donc
$(\gamma.f)(x)=\lambda_{\gamma^{-1}x}=f(\gamma^{-1}.x)$.

On a les \'equivalences suivantes~:
\begin{align*}
  \text{$f$ invariant par $\Gamma$}
        & \Leftrightarrow (\forall \gamma\in\Gamma,\ \gamma.f=f) \\
        & \Leftrightarrow (\forall \gamma\in\Gamma,\ \forall x\in X,\ f(\gamma^{-1}.x)=f(x))\\
        & \Leftrightarrow (\forall (x,y)\in X^2,\ x\mathcal R y\Rightarrow f(x)=f(y))
\end{align*}
ou encore, $f(x)$ ne d\'epend que de l'orbite de $x$.

Notons $X_{\Gamma}$ le sous-espace des invariants de $K^X$ (i.e. $K_{\Gamma}^X$), $X_1,\ldots,X_s$ les orbites
de $X$ sous $\Gamma$. On d\'efinit $f_i\in X_{\Gamma}$ par $f_i(X_j)=\delta_{ij}=
\begin{cases}
  1   &    \text{ si }i=j   \\
  0   &    \text{ si }i\ne j
\end{cases}$.

Les $(f_i)_{i\in [1,s]}$ forment une famille libre (\'evident).

Si $f\in X_{\Gamma}$ alors $f=\sum\limits_{i=1}^{s}f(X_i)f_i$ donc la famille $(f_i)_{i\in [1,s]}$ est
g\'en\'eratrice. On a affaire \`a une base d'o\`u la conclusion~:
$$
\dim X_{\Gamma}=s \text{ nombre d'orbites de $X$ sous $\Gamma$.}
$$

\item
  \begin{lsq}
  \item Explicitons $\rho_{\gamma}$~:

  Si $u=\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xe_x$ alors $\rho_{\gamma}(u)=\sum\limits_{x\in X}^{}\lambda_xe_{\gamma.x}$
  i.e. $\rho_{\gamma}$ induit une permutation des vecteurs de la base canonique, sa matrice est une matrice de
  permutation. Or la trace d'une matrice de permutation est \'egale au nombre de 1 sur la diagonale ce qui
  correspond ici au nombre de $x\in X$ tels que $\gamma.x=x$. On a bien
  $$
  \chii_X(\gamma)=r_{\gamma}.
  $$

  \item On a vu au 4 que $s=\dim E_{\Gamma}$ o\`u $E=K^X$ et au 3 que
  $\dim E_{\Gamma}=\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_E(\gamma)$. Vu que $\chii_E(\gamma)=
  \chii_X(\gamma)=r_{\gamma}$, on obtient la formule~:
  $$
  \dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}r_{\gamma}=s
  $$
  d'o\`u le r\'esultat demand\'e en multipliant par $\#\Gamma$.
  \end{lsq}

\item Avec $s=1$, on a $\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}r_{\gamma}=\#\Gamma$. Or, si $\gamma=1_{\Gamma}$,
$r_{\gamma}=\#X\ge 2$.

Si $r_{\gamma}\ge 1$ pour tout $\gamma\in\Gamma$ alors
$$
\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}r_{\gamma}=r_{1_{\Gamma}}+\sum\limits_{\gamma\ne 1_{\Gamma}}^{}r_{\gamma}\ge
\#X+(\#\Gamma-1)\ge\#\Gamma+1
$$
ce qui est impossible donc il existe $\gamma$ dans $\Gamma$ tel que
$r_{\gamma}=0$ et $\gamma$ est alors sans point fixe.
\end{liq}

\medskip

\centerline{\sc Partie II}

\medskip

\begin{liq}{II}
\item On peut obtenir ce r\'esultat avec un calcul matriciel. Si $A=E_{ij}$ est la matrice de $f$, $V=(v_{hk})$,
$U=(u_{hk})$ les matrices de $U$ et $V$ alors
$$
VE_{ij}U=\begin{pmatrix}
v_{1i}u_{j1}    & \hdots        & v_{1i}u_{jn}\\
\vdots          &               & \vdots      \\
v_{pi}u_{j1}    & \hdots        & v_{pi}u_{jn}
\end{pmatrix}=v_{ii}u_{jj}E_{ij}+\cdots
$$
et comme $\tr(\psi)=\sum\limits_{i,j}^{}v_{ii}u_{jj}=\tr(u)\tr(v)$, on a bien le r\'esultat demand\'e.

\item
  \begin{lsq}
  \item On remarque tout d'abord que~:
  \begin{align*}
  \gamma.(\gamma'.u)(x)
        & = \gamma.(\gamma'.u({\gamma'}^{-1}.x))\\
        & = \gamma.[\gamma'.u(\gamma^{-1}{\gamma'}^{-1}.x)]\\
        & = (\gamma.\gamma').u\left((\gamma\gamma')^{-1}.x\right)\\
        & = [(\gamma\gamma').u](x)
  \end{align*}
  ce qui donne $\gamma.(\gamma'.u)=(\gamma\gamma').u$. On v\'erifie alors que $\rho_{\gamma}$ est une bijection
  de $\mathcal L(E,F)$ sur lui-m\^eme car $\rho_{\gamma^{-1}}\circ\rho_{\gamma}=\id$. On a donc muni
  $\mathcal L(E,F)$ d'une structure de $\Gamma$-espace.

  \item Si on note $\rho_{\gamma}\in\mathcal L(F)$ et $\rho'_{\gamma^{-1}}\in\mathcal L(E)$ les repr\'esentations
  de $\Gamma$ sur $F$ et $E$ alors~:
  \begin{align*}
  \gamma.u
        & = \rho_{\gamma}\circ u\circ\rho'_{\gamma^{-1}}=\psi(u)\\
  \chii_{\mathcal L(E,F)}(\gamma)
        & = \tr(\rho_{\gamma})=\tr(\psi)=\tr(\rho'_{\gamma^{-1}}).\tr(\rho_{\gamma})\\
        & = \chii_E(\gamma^{-1}).\chii_F(\gamma)
  \end{align*}
  \end{lsq}

\item
  \begin{lsq}
  \item $\gamma\mapsto \gamma^{-1}$ est une bijection de $\Gamma$ donc
  \begin{align*}
  \langle f,g\rangle & = \dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in \Gamma}^{}f(\gamma)g(\gamma^{-1})
           \dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in \Gamma}^{}f(\gamma^{-1})g(\gamma)\\
        & =\langle g,f\rangle
  \end{align*}
  donc la forme bilin\'eaire en question est sym\'etrique.

  Montrons qu'elle est non d\'eg\'en\'er\'ee~: i.e. si $\langle f,g\rangle=0$ pour tout $g$ alors $f=0$.

  Soit $\gamma'\in \Gamma$ et $g$ d\'efinie par $g({\gamma}^{-1})=
  \begin{cases}
  \#\Gamma   &   \text{ si } \gamma=\gamma'    \\
  0          &   \text{ si } \gamma\ne \gamma'
  \end{cases}$
  alors $\langle f,g\rangle=f(\gamma')=0$ et comme on peut faire cette op\'eration pour tout $\gamma'$ de $\Gamma$, on en
  d\'eduit que $f=0$.

  \item On a
  \begin{align*}
  \langle\chii_E,\chii_F\rangle & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_E(\gamma^{-1})\chii_F(\gamma) \\
                  & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_{\mathcal L(E,F)}(\gamma)
                                \text{ vu le II.2.b}\\
                  & =\dim\mathcal L(E,F)_{\Gamma} \text{ vu le I.3}
  \end{align*}
  o\`u $\mathcal L(E,F)_{\Gamma}$ d\'esigne les applications lin\'eaires $\Gamma$-invariantes de $\mathcal L(E,F)$.

  Or
  \begin{align*}
  \varphi\in\mathcal L(E,F)_{\Gamma}
        & \Leftrightarrow (\forall \gamma\in\Gamma,\ \gamma.\varphi=\varphi)\\
        & \Leftrightarrow (\forall \gamma\in\Gamma,\ \forall x\in E,\ \gamma.\varphi(\gamma^{-1}x)=\varphi(x))\\
        & \Leftrightarrow (\forall \gamma\in\Gamma,\ \forall x\in E,\ \varphi(\gamma^{-1}x)=\gamma^{-1}.\varphi(x))\\
        & \Leftrightarrow (\varphi\in\text{hom\,}_{\Gamma}(E,F))
  \end{align*}
  donc $\langle\chii_E,\chii_F\rangle=\dim\text{hom\,}_{\Gamma}(E,F)$.

  Soit $\varphi=\id_E$ alors $\varphi\ne 0$ et $\varphi\in\text{hom\,}_{\Gamma}(E,E)$ donc
  $\dim\text{hom\,}_{\Gamma}(E,E)\rangle0$ i.e., si $E\ne\{0\}$ alors
  $\langle\chii_E,\chii_E\rangle$ est un entier strictement positif.
  \end{lsq}

\item
  \begin{lsq}
  \item On munit $K$ d'une structure de $\Gamma$-espace en d\'efinissant $\gamma.x=x$ pour tout $\gamma\in\Gamma$
  et tout $x\in K$. On a bien \'evidemment $\chii_K(\gamma)=1$ et donc la fonction constante 1 est bien un
  caract\`ere.

  Vu le I.3
  \begin{align*}
  \langle\chii_E,\chii_{\tt unit}\rangle
        & \dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_E(\gamma)\\
        & =\dim E_{\Gamma}
  \end{align*}

  \item Pour montrer que $\chii+\chii'$ est un caract\`ere, il suffit de d\'efinir une structure de $\Gamma$-espace
  sur $E\times E'$ par $\gamma.(x,x')=(\gamma.x,\gamma.x')$. La matrice de cette application lin\'eaire
  s'\'ecrit $M"=\begin{pmatrix}M & 0 \\ 0 & M'\end{pmatrix}$ o\`u $M$ et $M'$ d\'esignent les matrices des repr\'esentations
  lin\'eaires sur $E$ et $E'$. Or $\tr(M")=\tr(M)+\tr(M')$ donc $\chii+\chii'$ est bien un caract\`ere.

  \item On reprend les notations du II.2 alors, avec la structure de $\Gamma$-espace d\'efinie sur $K$ au a, on
  a $\chii_{\mathcal L(E,K)}=\chii_{E^*}=\chii^*_E.\chii_K=\chii^*_E.\chii_{\tt unit}=\chii^*_E$ car
  $\chii_{\tt unit}(\gamma)=1$ (trace de l'application identique de $K$ dans $K$). On a donc
  $$
  \chii^*_E=\chii_{E^*}
  $$
  ce qui prouve effectivement que $\chii^*$ est un caract\`ere.

  \item Si $\chii=\chii_E$ et $\chii'=\chii_F$ alors comme $(\chii^*)^*=\chii$, on a
  $$
  \chii\chii'=(\chii^*)^*\chii'=\chii^*_{E^*}\chii_{F}=\chii_{\mathcal L(E^*,F)}
  $$
  donc $\chii\chii'$ est un caract\`ere.
  \end{lsq}

\item On sait que $\rho_{\gamma^2}(x)=\rho(\rho(x))$ i.e. $\rho_{\gamma^2}=(\rho_{\gamma})^2$. De m\^eme, pour
$k\in\mathbb N$, on a $\rho_{\gamma^k}=(\rho_{\gamma})^k$. Si $n=\#\Gamma$ alors comme $\gamma^n=1_{\Gamma}$
on peut affirmer que $(\rho_{\gamma})^n=\id$. Ceci signifie que les valeurs propres de $\rho_{\gamma}$ sont
racines de $X^n=1$ et donc qu'elles sont de module 1.

On a alors
\begin{align*}
\tr(\rho_{\gamma^{-1}})
        & =\chii_{\rho_{\gamma^{-1}}}=\chii^*\\
        & =\sum\limits_{\lambda\in\sp(\rho_{\gamma})}^{}\dfrac{1}{\lambda}\\
        & =\sum\limits_{\lambda\in\sp(\rho_{\gamma})}^{}\overline{\lambda} \text{ car }|\lambda|=1
\end{align*}

Enfin
\begin{align*}
  \langle\chii,\chii\rangle & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii(\gamma)\chii(\gamma^{-1}) \\
              & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii(\gamma)\chii^*(\gamma) \\
              & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii(\gamma)\overline{\chii(\gamma)}
              \ge\dfrac{1}{\#\Gamma}|\chii(1_{\Gamma})|^2>0
\end{align*}
\end{liq}

\medskip

\centerline{\sc Partie III}

\medskip

\begin{liq}{III}
\item
  \begin{lsq}
  \item Soit $x\in\ker\varphi$ alors $\forall \gamma\in\Gamma$,
  $\varphi(\gamma.x)=\gamma\varphi(x)=0$ donc $\gamma.x\in\ker\varphi$. $\ker\varphi$ est un $\Gamma$-sous-espace
  de $E$.

  Conclusion~: $\ker\varphi=\{0\}$ ou $E$ et donc $\varphi$ est injective ou nul.

  Si $y\in\im\varphi$ alors, comme \`a la question pr\'ec\'edente, $\gamma.y\in\im\varphi$ donc $\im\varphi$
  est un $\Gamma$-sous-espace. $\varphi$ est donc soit nul soit surjectif.

  Si $\varphi$ est un $\Gamma$-morphisme entre deux espaces irr\'eductibles alors soit $\varphi$ est nul soit
  $\varphi$ est injectif et surjectif i.e. $\varphi$ est un $\Gamma$-isomorphisme.

  \item Si $\langle\chii_E,\chii_F\rangle >0$ alors, vu le II.3.b, on sait que $\text{hom\,}_{\Gamma}(E,F)$
  est un espace vectoriel de dimension $\ge 1$ et donc il existe $\varphi$ non nul $\Gamma$-morphisme de
  $E$ dans $F$. On peut dire alors que $E$ et $F$ sont $\Gamma$-isomorphes gr\^ace \`a la question pr\'ec\'edente.

  Si $E$ et $F$ sont $\Gamma$-isomorphes on appelle $\varphi$ un $\Gamma$-isomorphisme. Soit
  $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $(\varphi(e_1),\ldots,\varphi(e_n))=(f_1,\ldots,f_n)$ une base de $F$.
  On note $\rho_{\gamma}$ le morphisme de groupe de $\Gamma$ dans $\gl(E)$ et $\rho'_{\gamma}$ celui de $\Gamma$
  dans $\gl(F)$. On a alors $\varphi\circ\rho_{\gamma}=\rho'_{\gamma}\circ\varphi$.

  On a donc $\rho_{\gamma}=\varphi^{-1}\circ\rho'_{\gamma}\circ\varphi$, les matrices de $\rho_{\gamma}$
  et $\rho'_{\gamma}$ sont semblables, elles ont m\^eme trace. On a bien $\chii_E=\chii_F$.

  La derni\`ere implication est une cons\'equence directe de la question II.3.b.

  \item Soit $(\chii_1,\ldots,\chii_p)$ une famille de caract\`eres irr\'eductibles tous distincts. Soit
  $\sum\limits_{i=1}^{p}\lambda_i\chii_i=0$ alors
  $$
  \langle \chii_k,\sum\limits_{i=1}^{p}\lambda_i\chii_i\rangle=\lambda_k\langle\chii_k,\chii_k\rangle=0
  $$
  donc $\lambda_k=0$, la famille est bien libre.

  Comme $K^{\Gamma}$ est un espace vectoriel de dimension $\Gamma$ alors le nombre de caract\`eres irr\'eductibles
  est inf\'erieur \`a $\#\Gamma$.

  Soit $\dot E$ la classe de $\Gamma$-isomorphie de $E$ et $\psi~: \dot E\to \chii_E$, $\psi$ est bien d\'efinie
  (car $\chii_E$ ne d\'epend pas du repr\'esentant choisi dans $\dot E$) et $\psi$ est injective d'o\`u la bijection.
  \end{lsq}

\item
  \begin{lsq}
  \item Prouvons que $\widehat f$ est un $\Gamma$-morphisme~:
  \begin{align*}
  \gamma'.\widehat f(x)
                    & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\gamma'\gamma.f(\gamma^{-1}.x) \\
                    & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma"\in\Gamma}^{}\gamma".f[{\gamma"}^{-1}.(\gamma'.x)] \\
                    & =\widehat f(\gamma'.x)
  \end{align*}
  car $\gamma\mapsto \gamma'\gamma$ est une bijection de $\Gamma$.

  \item On a $\widehat\pi(x)=\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\gamma.\pi(\gamma^{-1}.x)$
  et donc
  \begin{align*}
  \gamma'.\pi\left[{\gamma'}^{-1}.\widehat\pi(x)\right]
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\gamma'\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}
                        \pi\Big[\underbrace{\gamma.\pi\left(\gamma^{-1}{\gamma'}^{-1}.x\right)}_{\in F}\Big] \\
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\gamma'\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\gamma.\pi\left(\gamma^{-1}{\gamma'}^{-1}.x\right)
                        \text{ car } \pi(y)=y \text{ quand }y\in F\\
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma"\in\Gamma}^{}\gamma".\pi({\gamma"}^{-1}.x)\\
        & =\widehat\pi(x)
  \end{align*}
  et donc, $\sum\limits_{\gamma'\in\Gamma}^{}\gamma'.\pi\left[{\gamma'}^{-1}.\widehat\pi(x)\right]=
  \#\Gamma.\widehat\pi$ ce qui signifie que $\widehat\pi$ est un projecteur.

  Si $x\in F$ alors $\gamma^{-1}.x\in F$ et donc $\pi(\gamma^{-1}.x)=\gamma^{-1}.x$ d'o\`u $\widehat\pi(x)=x$ i.e.
  $F\subset \im\widehat\pi$.

  R\'eciproquement, si $\widehat\pi(x)=x$ (i.e. $x\in\im\widehat\pi$) alors, avec l'\'egalit\'e
  \'etablie ci-dessus, on a $\gamma.\pi\left(\gamma^{-1}.\widehat\pi(x)\right)=\widehat\pi(x)$ et donc
  $\gamma.\pi\left(\gamma^{-1};x\right)=x$ i.e. $\pi(\gamma^{-1}.x)=\gamma^{-1}.x$. Avec $\gamma=1_{\Gamma}$,
  on en d\'eduit que $\pi(x)=x$ et en conclusion $x\in F$.

  Conclusion~: $\widehat\pi$ est un projecteur d'image $F$.

  $\id-\widehat\pi$ est un projecteur et c'est aussi un $\Gamma$-morphisme. Son image $F'$ est un suppl\'ementaire de
  $F$ et c'est le noyau de $\widehat\pi$. $F'$ est $\Gamma$-stable car si $\widehat\pi(x)=0$ alors $\widehat\pi(\gamma.x)=0$.

  On a donc prouv\'e l'existence d'un suppl\'ementaire $F'$ de $F$ $\Gamma$-stable.

  \item On raisonne par r\'ecurrence sur la dimension de $E$.

  Si $\dim E=1$ alors $E$ est n\'ecessairement irr\'eductible.

  Hypoth\`ese de r\'ecurrence~: on suppose que tout $\Gamma$-espace de dimension $\le n$ s'\'ecrit comme somme directe
  de $\Gamma$-sous-espaces irr\'eductibles.

  Si $\dim E=n+1$ alors soit $E$ est $\Gamma$-irr\'eductible et c'est fini, soit $E$ n'est pas $\Gamma$-irr\'eductible
  et donc il existe $F$ un $\Gamma$-sous-espace propre de $E$. Vu la question pr\'ec\'edente, on sait qu'il existe $F'$
  un $\Gamma$-sous-espace tel que $E=F\oplus F'$. On applique alors l'hypoth\`ese de r\'ecurrence \`a $F$ et $F'$.
  \end{lsq}

\item
  \begin{lsq}
  \item Soit $E=E_1\oplus\ldots\oplus E_k$ une d\'ecomposition de $E$ en $\Gamma$-sous-espaces irr\'eductibles.
  Si $x\in E$, on \'ecrit $x=x_1+\cdots+x_k$ la d\'ecomposition de $x$ selon la somme directe de $E$. On a alors
  $\rho(\gamma)(x)=\rho(\gamma)(x_1)+\cdots+\rho(\gamma)(x_k)$. La restriction de $\rho(\gamma)$ \`a $E_i$
  d\'efinit une op\'eration de $\Gamma$ sur $E_i$. Le caract\`ere associ\'e est irr\'eductible et donc, il existe, pour
  chaque espace $E_i$, un caract\`ere $\chii_j$ irr\'eductible. En rassemblant tous les $\Gamma$-sous-espaces $E_i$
  associ\'es \`a chaque caract\`ere irr\'eductible $\chii_j$ on aura la d\'ecomposition suivante
  $$
  \chii_E=d_1\chii_1+\cdots+d_s\chii_s
  $$
  o\`u chaque entier $d_i$ d\'esigne le nombre de $\Gamma$-sous-espaces $E_j$ $\Gamma$-isomorphes \`a $V_i$.

  Cette d\'ecomposition est unique car les ($\chii_i$) forment une famille libre.

  Ensuite, comme des caract\`eres irr\'eductibles distincts sont orthogonaux (cf III.1.b) on a
  $$
  \langle \chii_E,\chii_i\rangle =\sum\limits_{p=1}^{s}d_p\langle \chii_p,\chii_i\rangle =d_i\langle \chii_i,\chii_i\rangle
  $$
  puis
  $$
  \langle \chii_E,\chii_E\rangle =\sum\limits_{i=1}^{s}d_i\langle \chii_E,\chii_i\rangle =\sum\limits_{i=1}^{s}d_i^2\langle \chii_i,\chii_i\rangle .
  $$

  \item Soient $E$ et $F$ 2 $\Gamma$-espaces $\Gamma$-isomorphes et $\varphi$ le $\Gamma$-isomorphisme et
  $E=E_1\oplus\cdots E_k$ la d\'ecomposition de $E$ en $\Gamma$-sous-espaces irr\'eductibles. $\varphi(E_i)$
  est $\Gamma$-irr\'eductible dans $F$~: par l'absurde, si $\varphi(E_i)$ n'\'etait pas $\Gamma$-irr\'eductible, alors
  il existe $H$ $\Gamma$-sous-espace propre de $\varphi(E_i)$ et $\varphi^{-1}(H)$ est un $\Gamma$-sous-espace
  propre de $E_i$ ce qui est impossible.

  Donc $F=\varphi(E_1)\oplus\cdots\oplus\varphi(E_k)$ est une
  d\'ecomposition de $F$ en somme directe de $\Gamma$-sous-espaces irr\'eductibles. En reprenant les arguments
  de la question pr\'ec\'edente, on a
  $\chii_E=\sum\limits_{i=1}^{s}d_i(E)\chii_i$ et $\chii_F=\sum\limits_{i=1}^{s}d_i(F)\chii_i$ et donc
  $\chii_E=\chii_F$ avec $d_i(E)=d_i(F)$.

  Si $d_i(E)=d_i(F)$ pour chaque $i$ alors on va pouvoir d\'ecomposer $E$ et $F$ en somme de $\Gamma$-sous-espaces
  irr\'eductibles, $E=E_1\oplus\cdots\oplus E_k$ et $F=F_1\oplus\cdots\oplus F_k$ chaque espace $E_i$ \'etant $\Gamma$-isomorphe \`a
  $F_i$. Si on appelle $\varphi_i$ ces $\Gamma$-isomorphismes, alors on d\'efinit $\varphi$ un $\Gamma$-isomorphisme
  de $E$ sur $F$ par $\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_i(x_i)$ o\`u $x=\sum\limits_{i=1}^{k}x_i$
  est la d\'ecomposition de $x$ dans la somme directe $E_1\oplus\cdots\oplus E_k$.

  On a bien les \'equivalences.
  \end{lsq}

\item
  \begin{lsq}
  \item Soit $\lambda$ une valeur propre de $\varphi$ alors $\varphi-\lambda\id$ est un $\Gamma$-morphisme
  non injectif donc $\varphi-\lambda\id=0$ (cf III.1.a) et $\varphi$ est une homoth\'etie.

  \item Si $E$ est irr\'eductible alors $\text{hom\,}_{\gamma}(E,E)$ est engendr\'e par les homoth\'eties, il est
  donc de dimension 1. Or $\langle \chii_E,\chii_E\rangle =\dim\text{hom\,}_{\gamma}=1$.

  R\'eciproque~: si $\langle \chii_E,\chii_E\rangle =1=
  \sum\limits_{i=1}^{s}d_i^2\underbrace{\langle\chii_i,\chii_i\rangle}_{=1}$ alors tous les $d_i$ sont nuls
  sauf 1 et donc $E=E_i$ est irr\'eductible.

  Conclusion~: $E$ est un $\Gamma$-espace irr\'eductible ssi $\langle \chii_E,\chii_E\rangle =1$.

  \item Si $\Gamma$ est ab\'elien alors $\rho_{\gamma}\circ\rho_{\gamma'}=\rho_{\gamma'}\circ\rho_{\gamma}$.

  On va alors prouver par r\'ecurrence sur la dimension de $E$ que si une famille d'endomorphismes de $E$
  commutent deux \`a deux alors il existe un vecteur propre commun \`a tous ces endomorphismes.

  Si $\dim E=1$ alors c'est \'evident.

  Supposons la propri\'et\'e vraie pour tout espace vectoriel de dimension inf\'erieure ou \'egale \`a $n$ et toute
  famille d'endomorphismes $(u_i)$.

  \`A l'ordre $n+1$~: si tous les endomorphismes sont des homoth\'eties alors c'est gagn\'e. Sinon, soit $u$
  un endomorphisme non r\'eduit \`a une homoth\'etie et $E_{\lambda}(u)$ un sous-espace propre de $u$ de dimension
  inf\'erieure ou \'egale \`a $n$. $E_{\lambda}(u)$ est stable par tous les endomorphismes $u_i$ et donc
  on peut appliquer la propri\'et\'e de r\'ecurrence \`a $E_{\lambda}(u)$ et aux endomorphismes de cet espace
  vectoriel obtenus par restriction des $u_i$.

  On applique alors cette propri\'et\'es aux $\rho_{\gamma}$ et on peut conclure~:
  les endomorphismes $\rho_{\gamma}$ ont un vecteur propre en commun.

  Soit $E$ un espace irr\'eductible et $x$ un vecteur propre commun \`a tous les $\rho_{\gamma}$. L'espace
  $\vect(x)$ est alors un $\Gamma$-sous-espace ($\rho_{\gamma}(x)=\lambda_{\gamma}x$). On en d\'eduit que
  $\dim E=1$.

  Si $\dim E=1$ alors $E$ est bien irr\'eductible.
  \end{lsq}
\end{liq}

\medskip

\centerline{\sc Partie IV}

\medskip

\begin{liq}{IV}
\item
  \begin{lsq}
  \item On fait op\'erer $\Gamma$ sur $X\times X$ par $\gamma.(x,y)=(\gamma.x,\gamma.y)$. On a deux orbites,
  $\{(x,x),\ x\in X\}$ et $\{(x,y),\ x\in X,\ y\in X,\ x\ne y\}$. Si on note $r'_{\gamma}$ le nombre
  d'\'el\'ements de $X\times X$ fix\'es par $\gamma$ alors $\gamma.(x,y)=(x,y)$ ssi $\gamma.x=x$ et $\gamma.y=y$ donc
  $r'_{\gamma}=r_{\gamma}^2$. Il suffit alors d'appliquer la formule du I.5.b d'o\`u
  $$
  \sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}r_{\gamma}^2=2\times\#\Gamma.
  $$
  On a vu, toujours au I.5.b, que $\chii_X(\gamma)=r_{\gamma}$ et on v\'erifie que $r_{\gamma^{-1}}=r_{\gamma}$
  donc
  \begin{align*}
  \langle\chii_X,\chii_X\rangle
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}\chii_X(\gamma)\chii_X(\gamma^{-1})\\
        & =\dfrac{1}{\#\Gamma}\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}^{}r_{\gamma}^2=2
  \end{align*}

  \item On \'ecrit que $\varphi(e_y)=\sum\limits_{x\in X}^{}a_{xy}e_x$ et donc, si $a_{\gamma.x,\gamma.y}=a_{x,y}$,
  on a
  \begin{align*}
  \varphi(e_{\gamma.y})
        & =\sum\limits_{x\in X}^{}a_{x,\gamma.y}e_x=\sum\limits_{x'\in X}^{}a_{\gamma.x',\gamma.y}e_{\gamma.x'}\\
        & =\sum\limits_{x'\in X}^{}a_{x',y}e_{\gamma.x'}=\gamma.\sum\limits_{x'\in X}^{}a_{x',y}e_{x'}\\
        & =\gamma.\varphi(e_y)
  \end{align*}
  ce qui signifie que $\varphi$ est un $\Gamma$-morphisme.

  La r\'eciproque se fait en remontant les calculs et en utilisant le fait que les $e_x$ constituent une base.

  On aura alors une base de $\text{hom\,}_{\Gamma}(K^X,K^X)$ en prenant la famille $\varphi_0=\id$ et
  $\varphi_1$ de matrice
  $a_{x,y}=
  \begin{cases}
  0   &    \text{ si }x=y   \\
  1   &    \text{ si }x\ne y
  \end{cases}$
  et donc $\dim\text{hom\,}(K^X,K^X)=2=\langle\chii_X,\chii_X\rangle$ (cf II.3.b).

  \item Comme $\gamma.\sum\limits_{x\in X}^{}e_x=\sum\limits_{x\in X}^{}e_{\gamma.x}=\sum\limits_{x\in X}^{}
  e_x$, on peut dire que $V$ est un $\Gamma$-sous-espace stable de $K^X$. On sait alors (III.2.b) qu'il
  existe un $\Gamma$-sous-espace stable $W$ tel que $K^X=V\oplus W$. Comme $V$ est de dimension 1, il est
  irr\'eductible donc $\langle \chii_V,\chii_V\rangle=1$ (cf III.4.b).

  On \'ecrit $\chii_W=\sum\limits_{i=1}^{p}d_i\chii_i$ et donc
  \begin{align*}
  \chii_E
        & =\chii_V+\chii_W=\chii_V+\sum\limits_{i=1}^{s}d_i\chii_i\\
        & =(1+d_k)\chii_k+\sum\limits_{i\ne k}^{}d_i\chii_i
  \end{align*}
  car il existe $k\in[1,s]$ tel que $\chii_V=\chii_k$. On a alors, avec la relation du III.3.a,
  $$
  \langle\chii_E,\chii_E\rangle=(1+d_k)^2\langle\chii_k,\chii_k\rangle+\sum\limits_{i\ne k}^{}d_i^2
  \langle\chii_i,\chii_i\rangle=2
  $$
  donc $d_k=0$ et il existe $j\ne k$ tel que $d_j=1$, les autres \'etant nuls. On en d\'eduit que
  $\langle\chii_W,\chii_W\rangle=1$ et que $W$ est irr\'eductible.

  Compte tenu de la relation du III.3.a, on en d\'eduit que
  $\langle \chii_W,\chii_W\rangle=1$ et donc que $W$ est irr\'eductible.
  \end{lsq}

\item Comme $\gamma'\mapsto \gamma\gamma'$ est une permutation de $\Gamma$ et que $\gamma\gamma'=\gamma'$
ssi $\gamma=1_{\Gamma}$ on a
$$
\chii_{\tt reg}(\gamma)=
\begin{cases}
  \#\Gamma   &    \text{ si } \gamma=1_{\Gamma}   \\
  0          &    \text{ si } \gamma\ne 1_{\Gamma}
\end{cases}
$$
On en d\'eduit que $\langle\chii_{\tt reg},\chii\rangle= \dfrac{1}{\#\Gamma}.\#\Gamma.\chii(1_{\Gamma})=\dim\chii$
(cf I.2).

\item On utilise ici le r\'esultat de la question III.3.a~:
$\langle\chii_E,\chii_i\rangle=d_i\langle\chii_i,\chii_i\rangle$ et en prenant $E=K^{\Gamma}$ on obtient
$d_i=\dfrac{\dim\chii_i}{\langle\chii_i,\chii_i\rangle}$ vu la question pr\'ec\'edente (IV.2).

Enfin, la derni\`ere relation s'obtient en reprenant l'\'egalit\'e trouv\'ee au III.3.a
$$
\langle \chii_{\tt reg},\chii_{\tt reg}\rangle =\sum\limits_{i=1}^{s}d_i^2\langle \chii_i,\chii_i\rangle
$$
et comme $\langle \chii_{\tt reg},\chii_{\tt reg}\rangle =\#\Gamma$ (cf II.2.b) on obtient
\begin{align*}
\#\Gamma
        &=\sum\limits_{i=1}^{s}\left(\dfrac{\dim\chii_i}{\langle\chii_i,\chii_i\rangle}\right)^2
        \langle \chii_i,\chii_i\rangle\\
        &=\sum\limits_{i=1}^{s}\dfrac{(\dim\chii_i)^2}{\langle\chii_i,\chii_i\rangle}
\end{align*}
\end{liq}

\end{document}
