%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt]{article}
  %\usepackage{french}      % \`a d\'ecommenter si vous utilisez le style french.
	% Changer alors toutes les occurrences de `` en <<Space et de '' en Space>>
	% o— Space d‚signe un espace.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
  %\input{lcc}              % macros P. Esperet, inutiles dans ce fichier.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Les inputs. Merci de lire les commentaires accompagnateurs.

\def\RR{\mathbf{R}}
  % \`a remplacer par \def\RR{\ensuremath{\Bbb R}} si vous avez les  bonnes fontes  blackboard.
\def\ZZ{\mathbf{Z}}
  % idem, il faudra alors propbablement rajouter un \usepackage{amssymb}  dans l'en t\^ete.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Page de titre
\title{Mines-Monts MP, Math\'ematiques I\\
       \'Epreuve de 3 heures du 5 mai 1997\\
       version $\alpha\, 0.1$}

\author{Philippe \textsc{Esperet}\thanks{esperet@marie.polytechnique.fr}
                  (Henri IV, Paris)\\
        Georges \textsc{Vidiani}\thanks{101702.425@Compuserve.com}
                  (Carnot, Dijon)}
\date{5 mai 1997}
\maketitle
  %\pagebreak
\vspace*{3em}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Introduction
\centerline{\textbf{\Large Introduction}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item

  Titre propos\'e : ``Approximation par polyn\^omes trigonom\'etriques''.

\item

  \'Epreuve adapt\'ee au programme (sujet, longueur, difficult\'e), qui
permettra de bien classer les candidats \`a Mines-Ponts.

\item

  Pas de probl\`emes d'\'enonc\'e, les critiques qui suivent sont de d\'etail,
et ne compromettent pas la qualit\'e et le professionalisme du sujet. On
ne comprend pas toujours pourquoi le probl\`eme fait admettre en cours
de route des questions simples. L'utilit\'e de la distinction ``$f$
constante ou non'' n'appara\^{\i}t pas clairement au II-3.

\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Premi\`ere partie
\centerline{\textbf{\Large Premi\`ere partie}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%--------------------
\begin{enumerate}
\item %1-1
%--------------------


\begin{enumerate}


\item 

  Un calcul imm\'ediat de d\'eriv\'ee donne $\Psi(x)=R(\sin x)$ avec
$R(z)=\frac{6-4z^2}{z^4}\cdot$

\item

  La relation que l'on demande d'admettre est \'evidente (s\'erie
g\'eom\'etrique).

  On \'el\`eve au carr\'e la formule de la question pr\'ec\'edente pour voir que
seuls subsistent des $e^{ikx}$ avec $k$ pair. Le degr\'e de $Q_n$ est
$n-1$.

\item 

  Le degr\'e du produit de deux polyn\^omes trigonom\'etriques
n'est pas toujours la somme des degr\'es, mais ici l'on n'a que des
polyn\^omes pairs (les fonctions concern\'ees, convenablement d\'efinies sur
$\ZZ$, sont paires et il y a unicit\'e de l'\'ecriture pour un polyn\^ome
trigonom\'etrique). On \'ecrit $6-\sin^2 x=4+e^{2ix}+e^{-2ix}$ pour
obtenir que le degr\'e de $P_n$ est $2(n-1)+1=2n-1.$

\end{enumerate}


%--------------------
\item %1-2  
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

	On suit le sch\'ema de la d\'emonstration du th\'eor\`eme de
Dirichlet. On remplace $c_k(f)$ par sa valeur pour obtenir (expression
dans laquelle $\int_P g$ d\'esigne l'int\'egrale de la fonction
p\'eriodique $g$) :

$$4n^3\cdot 2\pi\cdot\pi_n^f(x_0)=
        \int_P f(u)(\sum_k a_{-k}e^{ik(x_0-u)})du.
$$

  On pose $u=v+x_0$ et l'on observe que l'intervalle de sommation en
$k$ est sym\'etrique par rapport \`a l'origine. On a :

$$4n^3\cdot 2\pi\cdot\pi_n^f(x_0)=
        \int_P f(x_0+v)(\sum_k a_{k}e^ {ikv})dv,
$$

expression dans laquelle on reconna\^{\i}t $P_n(v)$.

  On pose enfin $v=2w$ pour conclure \`a la formule avec
$C=\frac1{4\pi}\cdot$

\end{enumerate}

%--------------------
\item %1-3  
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

  La fonction donn\'ee est continue (et m\^eme $\mathcal{C}^\infty$) par
morceaux, donc redevable de Parseval.

  Le calcul donne :

\begin{equation}
  c_n(f)=\frac{(-1)^n\sin u}{n\pi+u}\cdot
\end{equation}

\textsc{remarque : } ce calcul n'est valide que parce que $I$ ne contient ni 0, ni $\pi$.

\item
  La formule de Parseval fournit quant \`a elle :

\begin{equation}
\sum \frac{\sin^2 u}{(n\pi+u)^2}=\frac1{2\pi}\int_P|\phi_u|^2=1.
\end{equation}

  Ainsi, il y \'egalit\'e entre les deux expressions propos\'ees.

\item

  On va utiliser (deux fois) le th\'eor\`eme suivant : soit une s\'erie $u_k$ de
fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, qui converge simplement sur $I$
(notons $U$ sa somme) et dont la s\'erie des d\'eriv\'ees converge normalement
sur tout compact de $I$. Alors $U$ est $\mathcal{C}^1$ sur $I$,
avec, pour tout $x$ de $I$ l'\'egalit\'e $U'(x)=\sum u'_k(x)$.

  On isole les contributions de $k=0$ et de $k=-1$. Pour les autres $k$,
la minoration $|u+k\pi|\ge (|k|-1)\pi$ permet de conclure.


\end{enumerate}

%--------------------
\item %1-4  
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

  Une fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ y est born\'ee (m\^eme si
elle n'atteint pas n\'ecessairement ses bornes). Ici $f$ est born\'ee sur
$[0,2\pi]$ et $2\pi$-p\'eriodique, donc born\'ee sur $\RR$.

\item

	$t\mapsto \frac{\sin^4(nt)}{t^4}$ est analytique sur $\RR$, donc
$\mathcal{C}^\infty$. Ainsi $G$ est continue par morceaux (sur tout
compact), donc L.C.I. (localement int\'egrable) sur $\RR$. La
majoration $|G(t)|\le \frac{|\!| g|\!|}{t^4}$ sur $[1,\infty[$ (ou
encore $]-\infty,-1]$) permet de conclure \`a l'int\'egrabilit\'e de
$G$ sur $\RR$ (th\'eor\`emes de comparaison pour les fonctions
positives).

\item

  Seuls les cas $k=0$ et $k=-1$ sont \`a prendre en compte. L'argument
d'analycit\'e d\'ej\`a \'evoqu\'e plus haut permet de conclure quand $k=0$, et
un changement de variable $u-\pi=h$ y ram\`ene quand $k=-1$.

\item

  Apr\`es Chasles et translation ramenant \`a l'intervalle $[0,\pi]$, les
deux int\'egrales propos\'ees sont \'egales.

\item

  On utilise la version suivante du th\'eor\`eme de convergence domin\'ee :

Soit $u_n$ une s\'erie de fonctions int\'egrables sur un intervalle $J$.
  En posant $v_n=|u_n|$, on suppose que la s\'erie $v_n$ converge
simplement sur $J$ (sauf peut-\^etre en un nombre fini de points) et que
la s\'erie $\int_J v_n$ converge.

  Alors la somme $U$ de la s\'erie (d\'efinie \'evidemment, au moins sur le
compl\'ementaire d'un ensemble fini) est int\'egrable, et $\int_J
U=\sum\int_J u_k$.

  Ici, parce que l'on sait $G$ int\'egrable sur $\RR$, on a
$\int_{-p\pi}^{(p+1)\pi} G$ qui tend vers $\int_{\RR} G$ par
cons\'equence de la convergence domin\'ee (ou par \'evidence, cela d\'epend de
la th\'eorie sous-jacente).

  Dans notre cas, $v_k=\frac{1}{(u+k\pi)^4}$ est bien int\'egrable
($k\neq0$ et $k\neq-1$) et un calcul imm\'ediat de primitives montre que
la s\'erie des int\'egrales converge.

  Finalement, on peut \'egalement passer \`a la limite dans le membre de
droite de la formule propos\'ee pour obtenir :

\begin{equation}
  6\int_{\RR} G=\int_{(0,\pi)}
g(2u)\psi(u)\sin^4(nu)du.\label{formule:un:quatre}
\end{equation}

\textsc{remarque : } une version conforme aux programmes d'avant 1997, version sans la
  convergence domin\'ee, serait possible et certainement plus simple 
(en utilisant une convergence normale de la s\'erie de fonction 
$\frac{1}{(u+k\pi)4}$ sur $[0,\pi]$ (pour $|k|\ge2$).

\end{enumerate}


%--------------------
\item %1-5  
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

  La fonction $f$ est born\'ee ainsi que le sinus : comme la fonction
propos\'ee est L.C.I., on peut conclure par th\'eor\`emes de comparaison.

\item

 On applique la formule (\ref{formule:un:quatre}) avec $g : u\mapsto
f(x+u)$ et l'on pose $nt=u$. Il reste $6C\int_{\RR}
f(x+\frac{2u}{n})\frac{\sin^4 u}{u^4}du$.

  Comme $C=\frac1{4\pi},$ on conclut.

\item

  Pour $n=1$, on a d\'ej\`a calcul\'e $P_1$ dont le terme constant est
$a_0^{(1)}$, lequel vaut 4. Alors $\pi_1^{1}=\frac{3}{2\pi}\cdot\int_{\RR}
\frac{\sin^4 t}{t^4}dt=\frac1{n^4} a_0^{(1)}=1$ (le ``quart''
vient de $1/4n^3$ avec $n=1$).

  L'int\'egrale vaut donc $\frac{2\pi}{3}\cdot$

\textsc{remarque : } Mathematica donne la r\'eponse :
% % Mathematica 
\begin{verbatim}
Integrate[Sin[x]^4/x^4,{x,0,Infinity}]
Pi            
--            
3             
\end{verbatim}

  On en d\'eduit que les $\pi_n^{\bar 1}$ valent 1, ce qui est normal
dans la perspective du probl\`eme (on veut tout de m\^eme montrer que --
sous des hypoth\`eses raisonnables, on a $\pi_n^f\to f$).

\end{enumerate}
%--------------------
\end{enumerate} % fin de la premi\`ere partie
%--------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Seconde partie
\centerline{\textbf{\Large Seconde partie}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%--------------------
\begin{enumerate}
\item %2-1
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

  Comme la fonction est born\'ee, les diff\'erences $|f(x+h)-f(x)|$ sont
toutes major\'ees par $2|\!| f|\!|$, et le sup existe.

\item 

  Il est \'evident que la fonction est croissante et vaut 0 en 0.

\textsc{remarque : } les trois propri\'et\'es que l'on demande d'admettre semblent
faciles. La premi\`ere se d\'emontre en coupant en $n$ petits intervalles,
la seconde en \'ecrivant $t=\lfloor t \rfloor +\rho$. Pour la troisi\`eme,
on suppose $\omega(t)=0$ et alors $\omega$ est nulle sur $[0,t]$ (monotonie).
  Maintenant on peut aller de n'importe quel $x$ \`a n'importe quel $y$
($x<y$) par pas plus petits que $t$ et cela permet de conclure.

\end{enumerate}


%--------------------
\item %2-2
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

  On sait que $f$, continue et p\'eriodique, est uniform\'ement continue
sur $\RR$. Soit $\varepsilon>0$ donn\'e, un $\eta$ d'uniforme continuit\'e de $f$
associ\'e et $0<t'-t<\eta$.

  Pour tout $h'$ ($0<h'<t'$), on peut choisir un $h$ ($0<h<t$)
avec $0<h'-h<t'-t$ (par l'absurde). Alors, pour tout $x$ on a :

\begin{eqnarray*}
|f(x+h')-f(x)|&\le& |f(x+h')-f(x+h)|+|f(x+h)-f(x)|\\
              &\le&  |f(x+h')-f(x+h)|+\omega(t).
\end{eqnarray*}


  Alors on voit que $\omega(t')\le \varepsilon+\omega(t)$, et la conclusion s'ensuit.

\textsc{remarque : } en r\'ealit\'e, $\omega$ est constante sur $[2\pi,\infty[$, \'egale \`a 
$|\sup f-\inf f|$.


\end{enumerate}
  


%--------------------
\item %2-3
%--------------------

\begin{enumerate}
\item

	Je ne vois pas o\`u intervient cette histoire de constante : si $f$
est constante, on a d\'ej\`a vu que l'in\'egalit\'e est triviale car
le membre de gauche vaut 0. Peut-\^etre pr\'evoyaient-ils de faire
d\'emontrer une in\'egalit\'e \emph{stricte}, et une coquille l'a
transform\'ee en in\'egalit\'e large.

  On dissimule la constante $f(x_0)$ sous la forme
$\pi_n^{\overline{f(x_0})}$ et l'on majore
$|f(x_0+\frac{2t}{n})-f(x_0)|$ par $\omega(\frac{2t}n)$ -- cela quand $t$
est positif (voir la d\'efinition de $\omega$). On doit donc couper en deux
l'int\'egrale et effectuer la m\^eme d\'emonstration sur $\RR^{-}$. La
fonction majorante est toujours localement int\'egrable ($\omega$ est
continue\footnote{Cela n'a d'ailleurs pas d'importance, car on va dans
un instant faire dispara\^{\i}tre $\omega$ en le majorant.}), et m\^eme
int\'egrable gr\^ace \`a la deuxi\`eme question admise (et les th\'eor\`emes de
comparaison).

  On voit donc que l'on peut choisir $A=1$ puisque $\int_{\RR^+}
\frac{\sin^4 t}{t^4}dt$ vaut~$\frac{\pi}{3}\cdot$

\item

  Il y a alors convergence uniforme sur $\RR$ de la suite $\pi_n^f$ vers
$f$ car $\omega$ est uniform\'ement continue (en effet $f$ est continue)
donc en particulier $\omega$ est continue en 0 et $\omega(\frac1n)\to0$.

\end{enumerate}


%--------------------
\item %2-4
%--------------------

\begin{enumerate}

\item

  On n'utilise en rien la continuit\'e de $f$ pour obtenir la
majoration. Il est cependant bien s\^ur sans espoir de montrer que la
convergence est uniforme : une limite uniforme de polyn\^omes
trigonom\'etriques serait continue. Ainsi, la limite de $\omega(1/n)$ -- qui
existe par monotonie, ne pourra valoir 0 pour une $f$ discontinue
(c'est clair si l'on pense que $\omega$ est toujours au moins \'egal au plus
grand saut de $f$).

\item

  Pour $(i)\mathrel{\Rightarrow}(ii)$ on reprend la technique de d\'emonstration de
$II-2$. Pour un $\varepsilon>0$ donn\'e, on introduit un $\eta$ de la continuit\'e de
$\omega$ en 0, et on consid\`ere $0<t'-t<\eta$.

  Pour $h'<t'$ et $x$ quelconque, on a (en choisissant $h<t$ tel que
$0<h'-h<t'-t$) :

\begin{eqnarray*}
|f(x+h')-f(x)|&\le& |f(x+h')-f(x+h)|+|f(x+h)-f(x)|\\
              &\le& \omega(t'-t)+\omega(t)\le \varepsilon+\omega(t).
\end{eqnarray*}


  Il ne reste plus qu'\`a conclure.

  Pour $(ii)\mathrel{\Rightarrow}(iii)$ on pourrait utiliser la
propri\'et\'e de continuit\'e d'une limite uniforme de fonctions
continues. Mais $|f(x+h)-f(x)|\le \omega(h)$, et il n'y a qu'\`a quantifier.

  Enfin l'implication $(iii)\mathrel{\Rightarrow}(i)$ demande de faire
intervenir les hypoth\`eses sur $f$ : elle est uniform\'ement continue sur
$\RR$, et l'\'ecrire quantifie la continuit\'e de $\omega$ en 0.

\end{enumerate}

%--------------------
\item %2-5
%--------------------


\begin{enumerate}
\item

  On regrette que l'\'epreuve soit sans calculatrice (calculatrice de haut
niveau : Maple, Mathematica) car cette question aurait permis de
valoriser l'initiative du candidat.

  On voit par l'in\'egalit\'e des accroissements que la cl\'e est dans la
majoration de $\int_{\RR^+}
\frac{\sin^4 t}{t^3}dt$ par un. Mais peut-on la calculer, comme on a
  calcul\'e celle o\`u $t$ figure \`a la puissance quatri\`eme au d\'enominateur
?  Des tentatives consistant \`a poser $f=\cos$ (et $x=0$) dans I-5b
sont possibles (jumel\'ees avec des int\'egrations par parties).


\textsc{remarque : } Mathematica donne encore la r\'eponse :
% Mathematica 
\begin{verbatim}
Integrate[Sin[x]^4/x^3,{x,0,Infinity}]
Log[4]        
------        
  2           
\end{verbatim}

  On ne voit plus alors d'o\`u va venir ce $\log 2$, mais par contre on
comprend que l'on a de la marge dans la r\'ealisation d'une
majoration. On coupe en deux : sur $[0,a]$ on majore par $\sin t$ et
sur $[a,\infty[$ on se d\'ebarrasse de $\sin^4 t$. Le majorant est
$1-\cos a+\frac1{2a^2}$. Sans calculatrice, on ne peut choisir le
meilleur $a$. Mais $a=\frac\pi3$ donne d\'ej\`a un majorant en $0,95...$,
qui permet de conclure. Il est amusant de voir que ce $\pi/3$ est
presque optimal. Une session Mathematica : 

% % Mathematica 
\begin{verbatim}
FindRoot[a^3 Sin[a]==1,{a,.5}]
{a -> 1.04879}
1-Cos[a]+1/(2a^2)/.%
0.955942      
              
1-Cos[a]+1/(2a^2)/.a->N[Pi/3]
0.955945      
\end{verbatim}

\end{enumerate}

%--------------------
\end{enumerate} % fin de la seconde partie
%--------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


recode: Recoding is not reversible
