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\begin{document}

\begin{center}
        \Large Concours commun polytechniques 1997

        \large Math\'ematiques 2
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
        {\bf \Large Partie I}
\end{center}

\section{Encadrement}

\begin{enumerate}
\item

    \begin{enumerate}
        \item \label{etudef} $f$ est clairement n\'egative sur $]0,1[$,
positive sur
        $]e,+\infty[$. Reste l'intervalle $I=[1,e]$. $f$ est d\'erivable
sur cet
        intervalle, et  $f'(x)=\frac{1-x\cos x}{x}$. Posons $g(x)=1-x\cos
x$.
        $g$ est d\'erivable sur $I$, et $g'(x)=-\cos x+x \sin x$.
Continuons \`a
        d\'eriver : $g''(x)=2\sin x+x \cos x=\cos x(x+2\tan x)$. Posons
$h(x)=x+2\tan x$.
        On voit facilement que $h$ est croissante sur $[1,\pi/2[$ et
        $]\pi/2,e]$, ce qui donne finalement le tableau de variations
        suivant (sur un intervalle plus large par commodit\'e) :





                {\tt    \setlength{\unitlength}{0.7pt}
        \begin{picture}(397,293)

        \thinlines        \put(259,268){\line(0,-1){133}}
                                  \put(327,78){$1-\sin 1$}

                                  \put(51,18){$-\sin 1$}

                                  \put(42,267){\line(0,-1){257}}
                                  \put(65,20){\vector(4,1){259}}
                                  \put(303,111){+}

                                  \put(121,110){+}

                                  \put(339,139){$\pi$}

                                  \put(264,185){\vector(3,-2){66}}
                                  \put(70,141){\vector(4,1){179}}
                                  \put(41,148){$\sin 1-\cos     1>0$}
                                  \put(41,110){$1-\cos 1 >0$}
                                  \put(293,209){-}

                                  \put(206,207){+}

                                  \put(86,206){+}

                                  \put(250,274){$\alpha$}

                                  \put(169,233){$-\infty$}

                                  \put(310,256){$\pi$}

                                  \put(313,272){$\pi$}

                                  \put(191,234){\vector(4,1){119}}
                                  \put(50,236){\vector(4,1){84}}
                                  \put(43,232){0}

                                  \put(15,13){\line(1,0){319}}
                                  \put(16,96){\line(1,0){319}}
                                  \put(10,135){\line(1,0){323}}
                                  \put(12,190){\line(1,0){321}}
                                  \put(14,231){\line(1,0){314}}
                                  \put(16,73){$f$}

                                  \put(15,109){$g$}

                                  \put(11,160){$g'$}

                                  \put(11,210){$g''$}

                                  \put(15,243){$h$}

                                  \put(142,271){$\pi/2$}

                                  \put(41,269){1}

                                  \put(17,267){\line(1,0){310}}
        \end{picture}}





Donc $f$ s'annule bien en un point $\xi$ unique, qui
appartient \`a $[1,e]$. Mais comme $\frac{\pi}{2}<e$,
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0$. Donc $\xi \in
\left[\frac{\pi}{2},e\right]$.

        \item  La majoration de $1/x$ par $1$ ne suffit pas. On peut
        utiliser la concavit\'e de $u\colon x\mapsto 1/x$. Le graphe de $u$
est
        sous la corde joignant les points d'abscisses $1$ et $2$. Donc
        $\forall x \in [1,2] \quad \frac{1}{x} \le
        \frac{3}{2}-\frac{1}{2}x$. En int\'egrant, nous obtenons
        $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x} \le \frac{3}{4}$. Or $\frac{3}{4}<1$, donc
        $\frac{3}{4}$ est inf\'erieur \`a sa racine carr\'ee, c'est-\`a-dire
        $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

        \item  De ceci r\'esulte que $\ln 2 < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Par
        ailleurs, $2\pi >6$, donc $\frac{2\pi}{3}>2>\frac{\pi}{2}$. Comme sin
        est d\'ecroissante sur $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$, il en
r\'esulte
        $\sin 2 > \frac{\sqrt3}{2}$. Donc $f(2)<0$, et on a bien $\xi \in
        [2,e]$.
        \end{enumerate}

        \item

        \begin{enumerate}
                \item  Analogue \`a l'\'etude de $f$. On obtient comme
fonctions
                auxiliaires $g_{1}(x)=x-1+x\cos x$, puis $g'_{1}(x)=1-x
\sin x+\cos x$,
                puis $g''_{1}(x)=-\cos x(x+2\tan x)$. On retrouve
l'oppos\'ee
de la fonction $h$ de \ref{etudef}.
                Le tableau de variations de $f$ est ainsi modifi\'e :

                {\tt    \setlength{\unitlength}{0.7pt}
\begin{picture}(426,297)
\thinlines    \put(344,20){$\pi-\ln\pi$}
              \put(245,83){\vector(3,-2){95}}
              \put(242,135){\line(0,-1){121}}
              \put(67,26){\vector(3,1){172}}
              \put(49,81){\vector(1,-4){14}}
              \put(60,135){\line(0,-1){119}}
              \put(47,82){$+\infty$}
              \put(18,62){$\phi$}
              \put(241,109){0}
              \put(57,112){0}
              \put(336,102){-1}
              \put(83,123){$>0$}
              \put(156,102){$1-\pi/2>0$}
              \put(48,98){-1}
              \put(176,134){\vector(4,-1){151}}
              \put(96,125){\vector(3,-1){52}}
              \put(51,105){\vector(3,2){29}}
              \put(111,148){-}
              \put(58,150){+}
              \put(91,166){0}
              \put(88,268){\line(0,-1){255}}
              \put(77,278){$\beta$}
              \put(150,148){$1-\pi/2<0$}
              \put(162,266){\line(0,-1){253}}
              \put(335,177){0}
              \put(276,142){\vector(2,1){59}}
              \put(244,142){$<0$}
              \put(56,186){\vector(4,-1){188}}
              \put(49,175){2}
              \put(44,278){0}
              \put(285,208){+}
              \put(187,208){-}
              \put(101,207){-}
              \put(300,238){$-\pi$}
              \put(179,264){\vector(4,-1){115}}
              \put(170,255){$+\infty$}
              \put(55,260){\vector(3,-1){77}}
              \put(16,246){$-h$}
              \put(18,267){\line(1,0){310}}
              \put(143,271){$\pi/2$}
              \put(12,210){$g_{1}''$}
              \put(10,161){$g_{1}'$}
              \put(16,109){$g_{1}$}
              \put(15,231){\line(1,0){314}}
              \put(13,190){\line(1,0){321}}
              \put(11,135){\line(1,0){323}}
              \put(17,96){\line(1,0){319}}
              \put(16,13){\line(1,0){319}}
              \put(46,257){0}
              \put(314,272){$\pi$}
              \put(251,274){$\alpha$}
              \put(122,110){+}
              \put(304,111){+}
              \put(43,267){\line(0,-1){257}}
              \put(260,268){\line(0,-1){133}}
\end{picture}}

             D'o\`u un graphe tr\`es approximatif :

             \includegraphics{M97PP2Fa.eps}


                \item  On trace sur le m\^eme graphe celui de $\Phi$ et la
premi\`ere
                bissectrice.


        \end{enumerate}

        \item M\'ethode classique :

             \includegraphics{M97PP2Fb.eps}

\end{enumerate}

\section{Cas g\'en\'eral}

\begin{enumerate}
        \item  Posons $\psi(x)=g(x)-x$. $\psi(a) \ge 0$, $\psi(b) \le 0$.
        $\psi$ \'etant continue sur $[a,b]$, elle s'annule au moins une fois
        sur cet intervalle d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs
interm\'ediaires,
        ce qui fournit bien une solution.

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  Il est clair par r\'ecurrence que $\forall m \in
\N^\star
                \quad |x_{m+1}-x_{m}| \le K^m |x_{1}-x_{0}|$. Par
in\'egalit\'e
                triangulaire et sommation des termes d'une suite
g\'eom\'etrique, il en
                r\'esulte \begin{equation} \forall p>n\ge 1 \quad
|x_{n}-x_{p}|
                 \le \frac{K^n}{1-K} |x_{1}-x_{0}|\label{Cauchy}
\end{equation}
                 Comme $0\le K<1$, c'est que $\lim_{n \to
                \infty}K^n = 0$, d'o\`u le r\'esultat.

                \item  La suite $(x_{n})$ est donc convergente. $g$ \'etant
continue,
                la limite est bien solution de (2-1). Supposons qu'il
existe une
                autre solution $\chi \ne \xi$. Alors $|\chi-\xi| \le
                K|\chi-\xi| < |\chi-\xi|$. Contradiction. D'o\`u l'unicit\'e,
et la
                relation $\lim x_{n}=\xi$.



                \item En passant \`a la limite $p \to \infty$ dans
(\ref{Cauchy}),
                on conclut.
        \end{enumerate}

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  Il suffit d'appliquer 2.2 en posant $K=\sup_{x \in
[a,b]}
                |g'(x)|$ et en appliquant l'in\'egalit\'e des accroissements
finis.

                \item  On a
$\frac{\xi-x_{n+1}}{\xi-x_{n}}=\frac{g(\xi)-g(x_{n})}{\xi
                -x_{n}}$ qui tend, par composition de limites et par
d\'efinition
                de la d\'eriv\'ee, vers $g'(\xi)$.
        \end{enumerate}

        \item $g'$ \'etant continue sur $\mathcal{J}$, on peut affirmer :
        $$\exists \varepsilon >0 \; \forall x \in
        [\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon]=\mathcal{I} \quad |g'(x)|<1$$
        Par l'in\'egalit\'e des accroissements finis, on a $$\forall x \in
        \mathcal{I} \quad |g(x)-g(\xi)| \le |x-\xi|$$ D'o\`u $\forall x
        \in \mathcal{I} \quad |g(x)-\xi| \le \varepsilon$, ce qui
        signifie bien que $g(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}$.

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  $g(\xi)=\xi$ est \'evident. On trouve
$g'(\xi)=\frac{f(x)f''(x)}
                {\left(f'(x)\right)^2}$, d'o\`u $g'(\xi)=0$.

                \item  $g'(\xi)=0$. On applique 2.4.

                \item  D'apr\`es l'in\'egalit\'e de Taylor-Lagrange \`a
l'ordre 2,
appliqu\'ee
                \`a $f$ sur $[x_{n},\xi]$, on a, en
                posant $M=\sup_{\mathcal{I}} |f''|$,
                $\left|f(\xi)-f(x_{n})-(\xi-x_{n})f'(x_{n})\right| \le
                M\frac{(x_{n}-\xi)^2}{2}$. D'o\`u, en divisant par
$|f'(x_{n})|$,
                $|x_{n+1}-\xi| \le M\frac{(x_{n}-\xi)^2}{2|f'(x_{n})|}$. On
conclut
                en posant $C=\frac{M}{2 \displaystyle\inf_{\mathcal{I}}
|f'|}$. Cette borne
                inf\'erieure est non nulle par compacit\'e.

                {\em Remarque :} Si on prend  une hypoth\`ese un peu plus
forte
                en supposant $f$ de
                classe $\mathcal{C}^3$, on obtient un raisonnement beaucoup
plus
                rapide en appliquant Taylor directement \`a $g$. On posera
alors
                $C=\sup_{\mathcal{I}} |g''|$.

                \item $g(x)=2x-a x^2$.

                \item $a^{-1}$ est clairement l'unique point fixe de $f$.
                Posons $\mathcal{I}=\left[0,a^{-1}\right]$ (qui est stable
par $g$ et
                contient $a^{-1}$). $g''$ est constante, \'egale \`a $-2a$. On
adonc
                d'apr\`es (2-8), $\forall n \ge 0 \quad |x_{n+1}-\xi| \le a
                |x_{n}-\xi |^2$. Il en r\'esulte par r\'ecurrence
$|a^{-1}-x_{n}| \le
                 a^{2^n-1} |a^{-1}-x_{0}|^{2^n} \le a^{2^n-1} (2^{-p})^{2^n}$
        \end{enumerate}

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  $\Phi'_{2}(\xi)=1-a_{1}f'(\xi)=0$ donc
                $a_{1}=\frac{1}{f'(\xi)}$.

                \item   De m\^eme, en tenant compte de $f(\xi)=0$, on
                trouve $a_{1}=\frac{1}{f'(\xi)}$ et
$a_{2}=-\frac{f''(\xi)}{
                \left(f'(\xi)\right)^3}$.

                \item  En d\'erivant $\Phi_{q}$ $q-1$ fois, et en tenant
compte de
                $f(\xi)=0$, on obtient un syst\`eme triangulaire de $q-1$
\'equations
                \`a $q-1$ inconnues, du type :
                $$\left\{
                \begin{array}{rcl}
                        a_{1}f'(\xi) & = & 1  \\
                        2a_{2}(f'(\xi))^2+a_{1}f''(\xi) & = & 0  \\
                        \ldots & \ldots & \ldots  \\
                        (q-1)!a_{q-1}(f'(\xi))^{q-1}+\cdots & = & 0
                \end{array}
                \right.$$
                En tenant compte de $f'(\xi) \ne 0$, on montre ainsi que le
syst\`eme
                admet bien une solution unique.
        \end{enumerate}

        \item
        $\varepsilon$ est choisi en appliquant la
        question 2-4. La convergence provient de  $\Phi'_{q}(\xi)=0$. On
applique ensuite la formule de Taylor-Lagrange
         \`a $\Phi_{q}$, avec reste d'ordre $q$ :
        $$\exists c_{n} \in \left[x_{n},\xi\right] \quad x_{n+1}=\xi+
         \frac{\left(x_{n}-\xi\right)^q}{q!}\Phi_{q}^{(q)}(c_{n})$$
         Par le th\'eor\`eme d'encadrement, $c_{n}$ tend vers $\xi$ si $n$
tend
         vers l'infini. Le r\'esultat demand\'e en d\'ecoule, vue la
continuit\'e de
         $\Phi_{q}^{(q)}$.
\end{enumerate}

\section{Application aux polyn\^omes}

\begin{enumerate}
        \item
        \begin{enumerate}
                \item  Le th\'eor\`eme de Rolle, appliqu\'e \`a $p$ sur chaque
intervalle
                $I_{k}=]\xi_{k},\xi_{k+1}[\; (1\le k \le n-1)$, montre qu'il
                existe $\alpha_{k} \in I_{k}$ tel que $p'(\alpha_{k})=0$. On
                obtient ainsi $n-1$ racines r\'eelles, distinctes. Il ne peut
y en avoir
                d'autres pour des raisons de degr\'e. Ces racines v\'erifient
:
                $$\xi_{1} < \alpha_{1}<\xi_{2} < \cdots
<\alpha_{n-1}=\alpha <
                \xi_{n}$$

                \item  On va montrer que $p$ est convexe. La convexit\'e de
$p'$ se
                montre de la m\^eme fa\c con, mais n'a aucun int\'er\^et pour
la
suite. On
                peut suspecter une erreur d'\'enonc\'e.

                En raisonnant comme ci-dessus (application du th\'eor\`eme de
Rolle),
                on voit que toutes les racines de $p''$ sont simples et
r\'eelles, et
                que la plus grande est inf\'erieure \`a $\alpha$. Donc $p''$
est de
                signe constant sur $]\alpha,+\infty[$. Comme $\lim_{x\to
\infty}
                p''(x)=+\infty$, c'est que $p''$ est positive sur
$]\alpha,+\infty[$.




                \item           On a
$g'(x)=\frac{p(x)p''(x)}{\left(p'(x)\right)^2}$. $p$, $p'$ et $p''$
                restent strictement positives sur $]\alpha,+\infty[$, donc
$g$ est strictement
                croissante sur $]\xi_{n},+\infty[$. Donc $\forall x \in
                ]\xi_{n},+\infty[ \quad g(x)>g(\xi_{n})=\xi_{n}$. Donc
                $]\xi_{n},+\infty[$ est stable par $g$.

                Donc la suite\footnote{Il faut surtout \'eviter de noter
                cette suite $(x_{n})$, $n$ \'etant d\'ej\`a le degr\'e de
$p$~!}
$(x_{k})$
                est minor\'ee par $\xi_{n}$.

                Par ailleurs $x_{k+1}-x_{k}=-\frac{p(x_{k})}{p'(x_{k})}<0$.

                Donc la suite $(x_{k})$, d\'ecroissante et minor\'ee,
converge,
vers un
                point fixe de $g$, c'est-\`a-dire une racine de $p$,
sup\'erieure ou
                \'egale \`a $\xi_{n}$, donc vers $\xi_{n}$.



        \end{enumerate}

        \item
        \begin{itemize}
                \item  Premier cas~: $\xi_{n}\le 1$. L'in\'egalit\'e
demand\'ee
est alors
                \'evidente.

                \item  Deuxi\`eme cas~: $\xi_{n} >1$. On \'ecrit alors :
                \begin{eqnarray*}
                        \left|\xi_{n}^n\right| & = &
\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_{n-i}\xi_{n}^{i}
                        \right|  \\
                         & \le & a_{M} \sum_{i=0}^{n-1} |\xi_{n}^i|  \\
                         & \le &
a_{M}\frac{\left|\xi_{n}\right|^n-1}{\left|\xi_{n}\right|-1}  \\
                         & \le &
a_{M}\frac{\left|\xi_{n}\right|^n}{\left|\xi_{n}\right|-1}
                \end{eqnarray*}

                D'o\`u le r\'esultat. On choisira alors $x_{0}>1+a_{M}$.
        \end{itemize}

        \item  On peut remplacer $p$ par $p^{(m-1)}$, o\`u  $m$ est l'ordre de
         multiplicit\'e.

        \item  On trouve $x_{0}=4, x_{1}=\frac{19}{8},
x_{2}=\frac{553}{304}$.

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  On trouve ici $x_{0}=4,x_{1}=-9, x_{2}=-87$

                \item  La suite semble diverger. On constate en effet que
$\sqrt{3}$
                est point fixe r\'epulsif de $\Phi$ :
                $|\Phi'(\sqrt{3})|=|1-2\sqrt{3}|\approx 2,4 >1$.

                En revanche, comme on l'a vu, $g'(\sqrt{3})=0$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Fonctions complexes}
\begin{enumerate}
        \item
        \begin{enumerate}
                \item  Comme $1-|h'(\zeta)|>0$, et d'apr\`es la d\'efinition
de
la limite, il existe $\epsilon>0$,
                tel que pour tout $z_{0}$ tel que $0<|z_{0}-\zeta|<\epsilon$,
                $$\left|\frac{h(z_{0})-h(\zeta)}{z_{0}-\zeta}-h'(\zeta)\right|
                <\frac{1}{2} (1-|h'(\zeta)|)$$ Alors
        $$\left|\frac{h(z_{0})-h(\zeta)}{z_{0}-\zeta}\right|-|h'(\zeta) |
                <\frac{1}{2} (1-|h'(\zeta)|)$$ d'o\`u le r\'esultat.
                \item  Par r\'ecurrence, avec
$C=\frac{1}{2}(1+|h'(\zeta)|)$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
        {\bf \Large Partie II \setcounter{section}{0}}
\end{center}

\section{\'Equations diff\'erentielles}

\begin{enumerate}
        \item  Pour le cas ({\bf a}) : $y=2e^x-1$.

        Pour le cas ({\bf b}) : $y=e^{-x^2/2}$.

        \item  On int\`egre l'\'equation diff\'erentielle entre $0$ et $x$.

        \item
        \begin{enumerate}
        \item  Par r\'ecurrence, on trouve respectivement
        $Y_{n}(x)=2\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}-1$ et
        $Y_{n}(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{2^k k!}$.

        \item On applique les r\'esultats connus sur la s\'erie exponentielle,
        qui est de rayon de convergence infini.
   \end{enumerate}

        \item  Ultra-classique :
        $$\begin{array}{rcll}
              z&=&A\ch (x\sqrt{k})+B\sh (x\sqrt{k})& \mbox{si $k>0$}\\
              z&=&A\cos (x\sqrt{-k})+B\sin (x\sqrt{-k})& \mbox{si $k<0$}\\
              z&=&Ax+B&\mbox{si $k=0$}
          \end{array}$$

        \item
        \begin{enumerate}
                \item  $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
                0&1\\k&0\end{array}\right)$

                \item   Si $k>0$, les valeurs propres sont $\sqrt{k}$ et
                $-\sqrt{k}$, associ\'es aux sous-espaces propres respectifs
vect~%
                $\left(\begin{array}{c} 1\\\sqrt{k}\end{array}\right)$ et
vect~%
                $\left(\begin{array}{c} 1\\-\sqrt{k}\end{array}\right)$.

                Si $k<0$, les valeurs propres sont $i\sqrt{-k}$ et
                $-i\sqrt{-k}$, associ\'es aux sous-espaces propres respectifs
vect~%
                $\left(\begin{array}{c} 1\\i\sqrt{-k}\end{array}\right)$ et
vect~%
                $\left(\begin{array}{c} 1\\-i\sqrt{-k}\end{array}\right)$.

                Si $k=0$, la seule valeur propre est $0$, le sous-espace
propre est vect~%
                $\left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right)$.

                \item  On trouve $$Y_{n}(x)                 \left(\begin{array}{c} \renewcommand{\arraystretch}{1,2}
                  \alpha\sum_{0\le 2j \le n} \frac{k^jx^{2j}}{(2j)!}+
                  \beta \sum_{0\le 2j+1 \le n} \frac{k^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}\\
                  \alpha\sum_{1\le 2j-1 \le n} \frac{k^jx^{2j-1}}{(2j-1)!}+
                  \beta \sum_{0\le 2j \le n} \frac{k^jx^{2j}}{(2j)!}
                 \end{array}\right)$$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}

