\documentclass[12pt, a4paper]{article}

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\def\R{\mathbf{R}}
\def\C{\mathbf{C}}
\def\Q{\mathbf{Q}}
\def\Z{\mathbf{Z}}
\def\N{\mathbf{N}}
\def\e{\mathrm{e}}
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\def\Arcsin{\mathrm{Arcsin\,}}
\def\Arccos{\mathrm{Arccos\,}}
\def\Arctan{\mathrm{Arctan\,}}
\def\eg{\mathop{=}}
\def\eq{\mathop{\sim}}
\def\tend{\mathop{\to}}

\let\qa=\alpha
\let\qb=\beta
\let\qg=\gamma
\let\qd=\delta
\let\qe=\varepsilon
\let\ql=\lambda
\let\qm=\mu
\let\qp=\varphi
\let\qt=\theta
\let\dr=\partial
\let\dps=\displaystyle




\begin{document}

\noindent
\textit{\small Concours CCP 1997 - Fili\`ere PSI}\\

\noindent
\textbf{\Large Math\'ematiques 1 : corrig\'e.}
\smallskip
\hrule

\section*{\centerline{Premi\`ere partie.}}

\begin{itemize}

\item[1.1.]
Si $f \in \mathcal{I}(\R, \C)$ l'application 
$$
\begin{array}{ccl}
\R^2 & \to & \C\\
(t,x) & \mapsto & \e^{-itx}f(t)
\end{array}
$$
est continue sur $\R^2$ et $\forall (t,x) \in \R^2$, 
$$
|\e^{-itx}f(t)| = |f(t)| = \qp (t)
$$ qui est continue et int\'egrable sur $\R$ donc, en vertu du 
th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales d\'ependant d'un 
param\`etre, $\hat{f}$ est d\'efinie et continue sur $\R$.

\item[1.2.1.]
Si $f$ est paire, $\forall x \in \R$, 
$$
\hat{f}(-x) = \int_{-\infty}^{+\infty}\e^{ixt}f(t)dt 
\eg_{u=-t} \int_{+\infty}^{-\infty}\e^{-ixu}f(-u)-du =
\int_{-\infty}^{+\infty}\e^{-ixu}f(u)du = \hat{f}(x)
$$
Si $f$ est \`a valeurs r\'eelles, $\forall x \in \R$, 
$$
\overline{\hat{f}(x)} = 
\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\e^{-ixt}f(t)}dt 
=\int_{-\infty}^{+\infty}\e^{ixt}f(t)dt 
=\hat{f}(-x)
$$
Donc si $f$ est \`a valeurs r\'eelles  et paire, $\hat{f}$ est paire, 
\`a valeurs r\'eelles.

\item[1.2.2.]
De m\^eme, si $f$ est \`a valeurs r\'eelles et impaire, $\hat{f}$ est 
impaire, \`a valeurs imaginaires pures.

\item[1.3.]
Si $\hat{f}$ est impaire, $\forall x \in \R$, 
$$
\hat{f}(x)= \frac{1}{2}[\hat{f}(x)-\hat{f}(-x)]=
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\e^{-ixt}-\e^{ixt}}{2}f(t)dt
=-i\int_{-\infty}^{+\infty}\sin (xt)f(t)dt
$$
De m\^eme, si $\hat{f}$ est paire, on montre que $\forall x \in \R$, 
$$
\hat{f}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos (xt)f(t)dt
$$

\item[1.4.1.]
$\bullet$ 
$p$ est continue en tout point de $]0, +\infty[ \setminus \{ 1\}$ 
car affine sur chacun des intervalles ouverts $]0, 1[$ et $]1, +\infty[$, 
continue en $1$ car 
$\lim\limits_{t\to1^-}(1-t)=\lim\limits_{t \to 1^+}0=0=p(1)$, et continue 
\`a droite en 0 car affine sur $[0, 1]$. 
Par parit�, $p$ est continue sur $\R$.

$\bullet$
$p$ est int\'egable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment et  
int\'egrable car nulle sur $[1, +\infty[$ donc int\'egrable sur $\R^+$; 
par parit\'e, $p$ est int\'egrable sur $\R$.

\item[1.4.2.]
$p$ est paire donc $\hat{p}$ est paire et $\forall x \in \R^*$, 
$$
\hat{p}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos (xt)p(t)dt=
2\int_0^1(1-t)\cos (xt)dt = 
2\left[(1-t)\frac{\sin (xt)}{x}-\frac{\cos (xt)}{x^2}\right]_0^1 
= 2 \left(\frac{1- \cos x}{x^2}\right)
$$
$\hat{p}(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(t)dt=1$ 

\item[1.4.3.]
En vertu du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $\cos$, 
$\forall x \in \R$ (y compris en 0 vu que $\hat{p}(0)=1$), 
$$
\hat{p}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}2(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+2)!}
$$ 
donc $\hat{p}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ (\emph{a fortiori} 
$\mathcal{C}^1$) sur $\R$ comme fonction somme d'une s\'erie enti\`ere.
Le caract\`ere $\mathcal{C}^1$ peut bien s\^ur \^etre \'etabli directement.

\item[1.4.4.]
$\hat{p}$ est continue sur $\R$ donc int\'egrable sur le segment $[0, 1]$; 
$\forall x \in [1, +\infty[, |\hat{p}(x)| \le \frac{4}{x^2}$ qui est int\'egrable 
sur $[1, +\infty[$ donc $\hat{p}$ est int\'egrable sur $[1, +\infty[$. Donc 
$\hat{p}$ est int\'egrable sur $\R^+$ et par parit\'e sur $\R$.

\item[1.5.1.]
$\bullet$ $E_n$ est continue sur $\R$, int\'egrable sur $[1, +\infty[$ car 
$E_n(t) \eg\limits_{+\infty}O\left( \frac{1}{t^2} \right)$ donc 
int\'egrable sur $\R^+$ et par parit\'e int\'egrable sur $\R$.

$\bullet$ $E_n$ est paire donc $\hat{E_n}$ est paire et
$$
\hat{E_n}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos (xt) E_n(t)dt = 
2\int_0^{+\infty}\cos (xt) t^n\e^{-t}dt= 2\ \Re e\ K_n
$$

\item[1.5.2.]
Remarquons que $\Re e(\qa) > 0$ donc 
$\forall p \in \Z, \lim\limits_{+\infty}t^p\e^{-\qa t}=0$ et 
$\forall n \in \N, t \mapsto t^n\e^{-\qa t}$ est int\'egrable sur $\R^+$. 
D'o\`u, si $n \in \N^*$,
$$
K_n = \lim_{A \to +\infty}
\left\{
\left[\frac{\e^{-\qa t}t^n}{-\qa}\right]_0^A + 
\frac{n}{\qa}\int_0^At^{n-1}\e^{-\qa t}dt
\right\} = 
\frac{n}{\qa}K_{n-1}
$$
Or $K_0=\int_0^{+\infty}\e^{-\qa t}dt=\frac{1}{\qa}$ donc par r\'ecurrence : 
$$
\forall n \in \N, K_n = \frac{n!}{\qa^{n+1}}
$$

\item[1.5.3.]
$\dps
\hat{E_0}(x)=\frac{2}{1+x^2}, 
\hat{E_1}(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}, 
\hat{E_2}(x)=\frac{4(1-3x^2)}{(1+x^2)^3}
$

\item[1.5.4.]
D'apr\`es 1.5.1., $\dps\hat{E_n}(x)=2.n!\Re e\left(\frac{1}{(1-ix)^{n+1}}\right) = 
\frac{2.n!}{(1+x^2)^{n+1}}\Re e(1+ix)^{n+1}$

Or, si on pose $\dps\qt = \Arctan x, (1+ix)^{n+1}=
\left(\frac{\e^{i\qt}}{\cos \qt}\right)^{n+1} = 
\frac{\e^{i(n+1)\qt}}{\cos^{n+1}\qt}$ et $\cos \qt = \dps\frac{1}{(1+x^2)^{1/2}}$ 
(car $\qt \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ et $x = \tan \qt$).

D'o\`u, $\hat{E_n}(x)=\dps\frac{2.n!\cos((n+1)\Arctan x)}{(1+x^2)^{(n+1)/2}}$ qui est 
le r\'esultat souhait\'e avec $\qb (n) = \frac{n+1}{2}$.

\item[1.5.5.]
$\hat{E_n}$ est continue sur $\R$ (\emph{cf.} 1.1.), int\'egrable sur 
le segment $[0, 1]$ \`a ce titre, int\'egrable sur $[1, +\infty[$ car 
$\hat{E_n}(x)\eg\limits_{+\infty}O\left(\frac{1}{x^2}\right)$ (r\'esulte de 
1.5.4. si $n\ge 1$ et de 1.5.3. pour $n=0$), donc est int\'egrable sur $\R^+$ et 
par parit\'e sur $\R$. Donc $\hat{E_n} \in \mathcal{I}(\R, \C)$.

\item[1.6.]
$\hat{f}$ est impaire et $f$ est nulle hors de $[c,d]$ donc $\forall x \in \R, 
\hat{f}(x)=-i\dps\int_c^df(t)\sin xtdt$.D'o\`u
$$
\forall (a,b) \in (\R^{+*})^2, 
\int_a^b\frac{\hat{f}(x)}{x}dx=
\int_a^b\left[\int_c^d\frac{-i\sin xt}{x}f(t)dt\right]dx = 
-i\int_c^d\left[\int_a^b\frac{\sin xt}{x}dx\right]f(t)dt
$$
en vertu du th\'eor\`eme d'int\'egration sur un segment pour les int\'egrales 
d\'ependant d'un param\`etre vu que l'application 
$$
(t,x) \mapsto \frac{\sin xt}{x}f(t)
$$
est continue sur $[c,d] \times [a,b]$.

Si $t=0, \dps\int_a^b\frac{\sin xt}{x}dx=0$ et sinon 
$\dps\left|\int_a^b\frac{\sin xt}{x}dx\right| = 
\left|\int_{at}^{bt}\frac{\sin u}{u}du\right| \eg\limits_{\mathrm{parit\acute{e}}}
\left|\int_{a|t|}^{b|t|}\frac{\sin u}{u}du\right|\le M$

On a donc, si on pose $\|f\|_\infty=\sup\limits_{t \in [c,d]}|f(t)|$, 
$$
\left|\int_a^b\frac{\hat{f}(x)}{x}dx\right| 
\le 
\int_c^dM\|f\|_\infty dt
\le 
M\|f\|_\infty (d-c)
$$

\item[1.7.]
$\dps\frac{\Arctan x}{x\ln (1+x^2)} \eq\limits_{+\infty}�\frac{\pi}{4x\ln x}$ 
qui n'est pas int\'egrable sur $[2, +\infty[$ car 
$\dps\int_2^X\frac{dx}{x\ln x} = \ln (\ln (X)) - \ln (\ln 2))$ 
qui tend vers $+\infty$ quand $X$ tend vers $+\infty$ donc
$x \mapsto \dps\frac{\Arctan x}{x\ln (2+x^2)}$ n'est pas int\'egrable sur 
$[2, +\infty[$ et \emph{a fortiori} pas int\'egrable sur $]0, +\infty[$.

\item[1.8.]
Il n'existe pas $c, d \in \R, c < d$ et $f \in \mathcal{C}(\R, \C)$ tels que 
$\hat{f}(x) = \dps\frac{\Arctan x}{\ln (2+x^2)}$ car sinon, d'apr\`es 1.6., 
$$
(a,b) \in (\R^{+*})^2 \mapsto \int_a^b\frac{\Arctan x}{x\ln (2+x^2)}dx
$$ serait born\'ee, ce qui, compte-tenu de la positivit\'e et de la continuit\'e de 
$g : x \in \R^{+*} \mapsto \dps\frac{\Arctan x}{x \ln (2+x^2)}$ impliquerait 
l'int\'egrabilit\'e de $g$ sur $]0, +\infty[$ ce qui est faux d'apr\`es 1.7.

\end{itemize}

\section*{\centerline{Deuxi\`eme partie.}}

\begin{itemize}

\item[2.1.]
En vertu du rappel et par parit\'e, on sait que $h : u \mapsto \e^{-u^2}$ est 
int\'egrable sur $\R$ et que $\dps\int_{-\infty}^{+\infty}\e^{-u^2}du = \sqrt{\pi}$.

Comme $\qp : \R \to \R, t \mapsto \qp(t)=\frac{t}{\sqrt{2}}$ est de classe 
$\mathcal{C}^1$ et bijective, on en d\'eduit que 
$h\circ \qp \times \qp ' = \dps\frac{\mathcal{H}_0}{\sqrt{2}}$ est int\'egrable sur 
$\R = \qp^{-1}(\R)$ de m\^eme int\'egrale que $h$. Donc $\mathcal{H}_0$ est 
int\'egrable sur $\R$ et $\dps\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}_0 = \sqrt{2\pi}$.

\item[2.2.1.]
$g_n$ est continue sur $\R$, paire et 
$g_n(t) \eg\limits_{+\infty}O\left(\frac{1}{t^2}\right)$ 
donc $g_n \in \mathcal{I}(\R, \C)$.

\item[2.2.2.1.]
En int\'egrant par parties dans $I_n$, 
$$
I_n = \lim_{A \to +\infty}\left\{
\left[\frac{\e^{-t^2/2}t^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^A + 
\frac{1}{2n+1}\int_0^At\e^{-t^2/2}t^{2n+1}dt\right\} = 
\frac{I_{n+1}}{2n+1}
$$

\item[2.2.2.2.]
On en d\'eduit par r\'ecurrence que, $\forall n \in \N$, 
$$
\frac{I_n}{(2n)!}=\frac{I_0}{2^nn!}
$$

\item[2.2.3.]
On sait que $\forall x \in \R, \sum \dps\frac{x^n}{n!}$ est convergente de somme 
\'egale \`a $\e^x$. On en d\'eduit que $\forall x \in \R, 
\sum\dps\frac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!}$ est convergente de somme \'egale \`a 
$\e^{-\frac{x^2}{2}}$. En particulier cette s\'erie enti\`ere a un rayon de 
convergence \'egal \`a $+\infty$.

\item[2.3.]
Si $x \in \R, t \mapsto \e^{-t^2/2}$ est continue sur $\R$ et 
$|\e^{-t^2/2}\cos xt| \le \e^{-t^2/2}$ qui est int\'egrable sur $\R$ donc 
$t \mapsto \e^{-t^2/2}\cos xt$ est int\'egrable sur $\R$.

\item[2.4.]
Par parit\'e de $\mathcal{H}_0$, $\forall x \in \R$, 
$$
\hat{\mathcal{H}_0}(x) = 
2\int_0^{+\infty}\mathcal{H}_0(t)\cos xt dt = 
2\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}
\e^{-t^2/2}(-1)^n\frac{x^{2n}t^{2n}}{(2n)!}\right)dt
$$
$x$ \'etant fix\'e, posons $f_n(t)=\dps\e^{-t^2/2}(-1)^n\frac{x^{2n}t^{2n}}{(2n)!}$; 
alors $f_n$ est int\'egrable sur $\R^+$ et 
$$
N_1(f_n)=\int_{\R^+}|f_n|= \frac{x^{2n}}{(2n)!}I_n = \frac{x^{2n}I_0}{2^nn!}
$$
La s\'erie $\sum N_1(f_n)$ est convergente, or $\sum f_n$ converge simplement 
sur $\R^+$ et $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}f_n$ est continue sur $\R^+$ donc 
$$
\int_0^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t)dt=
\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt
$$
soit 
$$
\hat{\mathcal{H}_0}(x)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}
\e^{-t^2/2}(-1)^n\frac{x^{2n}t^{2n}}{(2n)!}dt=
2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}I_n
$$

\item[2.5.]
D'o\`u $\dps\hat{\mathcal{H}_0}(x)=2\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}I_0}{2^nn!} 
=2I_0\e^{-x^2/2}=\sqrt{2\pi}\e^{-x^2/2}$

\item[2.6.]
$(x,t) \mapsto \e^{-t^2/2}\e^{-ixt}$ est continue sur $\R^2$ et domin\'ee par 
$\qp_1(t)=\e^{-t^2/2}$ qui est continue int\'egrable sur $\R$

$\forall (x,t) \in \R^2, \dps\frac{\partial}{\partial x}(\e^{-t^2/2}\e^{-ixt})$ 
existe et vaut $-it\e^{-t^2/2}\e^{-ixt}$

$(x,t) \mapsto -it\e^{-t^2/2}\e^{-ixt}$ est continue sur $\R^2$ et domin\'ee 
par $\qp_2(t)=|t|\e^{-t^2/2}$ qui est continue int\'egrable sur $\R$.

En vertu du th\'eor\`eme de d\'erivation pour les int\'egrales d\'ependant d'un 
param\`etre, on en d\'eduit que $\qp$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et 
$\forall x \in \R, \qp'(x)=\dps\int_{-\infty}^{+\infty}-it\e^{-t^2/2}\e^{-ixt}dt$

\item[2.7.]
En int\'egrant par parties, 
$$
\qp' (x)=\lim_{A\to +\infty}\left\{
\left[i\e^{-ixt}\e^{-t^2/2}\right]_{-A}^{A}
- \int_{-A}^{A}x\e^{-ixt}\e^{-t^2/2}dt
\right\} = -x\qp (x)
$$

\item[2.8.]
$(\e^{x^2/2}\qp (x))'=\e^{x^2/2}[\qp' (x)+x\qp (x)]=0$ d'o\`u $\qp(x)=k\e^{-x^2/2}$

Or $\qp (0)=2I_0=\sqrt{2\pi}$ d'o\`u $\forall x \in \R, \qp(x)=\sqrt{2\pi}\e^{-x^2/2}$.

\item[2.9.]
$\hat{\mathcal{H}_0}= \ql_0 \mathcal{H}_0$ avec $\ql_0=\sqrt{2\pi}$
 
\end{itemize}

\section*{\centerline{Troisi\`eme partie.}}

\begin{itemize}

\item[3.1.]
$\mathcal{H}_1(t)=2t\e^{-t^2/2}$; $\mathcal{H}_2(t)=(4t^2-2)\e^{-t^2/2}$

\item[3.2.]
Si $n \ge 1$, $G^{(n+1)}(t)=(-2tG(t))^{(n)}=-2tG^{(n)}(t)-2nG^{(n-1)}(t)$ d'apr\`es 
la formule de Leibniz.

D'o\`u
$$
H_{n+1}(t)=2tH_n(t)-2nH_{n-1}(t)\mathrm{\ et\ }
\mathcal{H}_{n+1}(t)=2t\mathcal{H}_n(t)-2n\mathcal{H}_{n-1}(t)
$$

\item[3.3.1.]
$H'_n(t)=(-1)^n[2tG^{(n)}(t)+G^{(n+1)}(t)]\e^{t^2}=2tH_n(t)-H_{n+1}(t)$

\item[3.3.2.]
On en d\'eduit : $H'_n(t)=2nH_{n-1}(t)$

\item[3.3.3.]
$\mathcal{H}'_n(t)=\e^{-t^2/2}[-tH_n(t)+H'_n(t)]=
-t\mathcal{H}_n(t)+2n\mathcal{H}_{n-1}(t)$

\end{itemize}

\section*{\centerline{Quatri\`eme partie.}}

\begin{itemize}

\item[4.1.]
R\'esulte du fait que $\mathcal{H}_n$ est continue sur $\R$ et que 
$\mathcal{H}_n(t) \eg\limits_{t \to +\infty} O\left(\frac{1}{t^2}\right)$

\item[4.2.1.]
En int\'egrant par parties, 
$$
\hat{\mathcal{H}}_1(t)=\lim_{A\to +\infty}\left\{
\left[-2\e^{-ixt}\e^{-t^2/2}\right]_{-A}^A-
2ix\int_{-A}^A\e^{-ixt}\e^{-t^2/2}dt
\right\}
=-2ix\hat{\mathcal{H}}_0(x)
$$

\item[4.2.2.]
D'o\`u, $\hat{\mathcal{H}}_1(x)=\ql_1 \hat{\mathcal{H}}_1(x)$ avec $\ql_1=-i\ql_0$

\item[4.3.1.]
Par le th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre 
(\emph{cf.} 2.6.), on montre que $\hat{\mathcal{H}}_n$ est de classe 
$\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et que $\forall x \in \R$, 
$$
(\hat{\mathcal{H}}_n)'(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}-it\e^{-ixt}\mathcal{H}_n(t)dt
$$
d'o\`u
$$
\hat{\mathcal{H}}_{n+1}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\e^{-ixt}(2t
\mathcal{H}_n(t)-2n\mathcal{H}_{n-1}(t))dt = 
2i(\hat{\mathcal{H}}_n)'(x)-2n\hat{\mathcal{H}}_{n-1}(x)
$$

\item[4.3.2.]
Notons $\mathcal{P}(n)$ la propri\'et\'e : 
$$
\mathcal{F}(\mathcal{H}_n)=\ql_n\mathcal{H}_n 
\mathrm{\ avec\ }
\ql_n=(-i)^n\ql_0
$$
$\mathcal{P}(0)$ est vraie d'apr\`es 2.9. et $\mathcal{P}(1)$ est vraie 
d'apr\`es 4.2.2.

Supposons $\mathcal{P}(n-1)$ et $\mathcal{P}(n)$ vraies pour un $n \ge 1$

Alors 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{F}(\mathcal{H}_{n+1}) & \eg\limits_{4.3.1.} &
2i(\ql_n\mathcal{H}_n')-2n\ql_{n-1}\mathcal{H}_{n-1}\\
 & \eg\limits_{3.3.3., 3.2.} & 
i\ql_n(-\mathcal{H}_{n+1}+2n\mathcal{H}_{n-1})-2n\ql_{n-1}\mathcal{H}_{n-1}\\
 & = & (-i)^{n+1}\ql_0\mathcal{H}_{n+1}-2n\ql_0[(-i)^{n+1}+(-i)^{n-1}]\mathcal{H}_{n-1}\\
 & = & (-i)^{n+1}\ql_0\mathcal{H}_{n+1}
\end{eqnarray*}
ce qui \'etablit $\mathcal{P}(n+1)$ et ach\`eve la r\'ecurrence.

\end{itemize}




\end{document}