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\begin {document}
C.C.P. 97, Math.2, P.S.I.\\
Premi\`ere partie

1. Le th. de r\'eduction des endomorphismes sym\'etriques (d'un esp. euclidien) 
donne une base orthonormale diagonalisante. En permutant (\'eventuellement) les 
vecteurs on peut choisir la base directe, d'o\`u une matrice de passage $\Omega$ de 
d\'eterminant 1.

2.a $$B_{\theta}=\frac{1}{2}\pmatrix {  1-3\cos(2\theta)+2\sin(2\theta) &
			      4\cos(2\theta)+3\sin(2\theta)  \cr
			      4\cos(2\theta)+3\sin(2\theta)   &
	       		      1+3\cos(2\theta)-2\sin(2\theta) \cr} $$

2.b $\cos^2(2\theta)=\frac{1}{1+X^2}$ et $\cos(2\theta) >0$ (car 
$-\pi/2< 2\theta < +\pi/2$) d'o\`u $\cos(2\theta)=\frac{1}{\sqrt{1+X^2}}$

2.c $B$ est diagonale ssi $\tan(2\theta)=-\frac{4}{3}$ ce qui donne un et 
un seul $\theta$ dans $]-\pi/4,+\pi/4[$,
\[ \theta_0=-\frac{1}{2} Arctan (\frac{4}{3})~~. \] 

3.a $B=diag(-2,3)$

3.b $sp(A)=\{-2,3\}$, v.p. simples.

3.c On a  $B= ^t\Omega ~A~ \Omega$ avec $^t\Omega = (\Omega)^{-1}$ donc 
$A$ et $B$ sont semblables, $^tA A$ et $^tB B$ aussi. Comme deux matrices semblables
ont m\^eme trace et comme  $N(M)=\sqrt{tr( ^tM M ) }$ les calculs demand\'es 
donnent tous deux 0.\\

Deuxi\`eme partie

1. $b_{i,j}=\sum_{k,l} r_{i,k}~ s_{k,l}~ t_{l,j}$

2.a norme euclidienne standard (rendant la base canonique orthonormale)

2.b,c v\'erification et argument donn\'e au I.3.c

3.a$$\Omega=\bordermatrix{ &  &        & p &        & q &        &   \cr
			   & 1& \ldots & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \cr
		           &  & \ddots &   &        &   &        &   \cr
		         p & 0& \ldots & c & \ldots & -s& \ldots & 0 \cr
		           &  &        &   &  \ddots&   &        &   \cr
		         q & 0& \ldots & s & \ldots & c & \ldots & 0 \cr		
		     	   &  &        &   &        &   & \ddots &   \cr
		           & 0& \ldots & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 1 \cr }$$
avec $c:=\cos(\theta),~s:=\sin(\theta)$. Sur la diagonale en dehors des 
$c$ il n'y a que des 1, hors la diagonale en dehors des $s,- s$ 
il n'y a que des 0.

3.b Dans la base orthonormale $\beta_{p,q}:=(e_p,e_q,e_1,\ldots,e_{p-1},
e_{p+1},\ldots,e_{q-1},e_{q+1},\ldots,e_n)$ g admet pour matrice
\[ \Omega'=  Matr_{\beta_{p,q}}(g)=\pmatrix{R & 0 \cr
					0 & I_{n-2} \cr }  \]
avec $R=\pmatrix{ \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cr
		\sin(\theta) & \cos(\theta) \cr }$; un produit de 
matrices-blocs montre que $\Omega'$ est orthogonale Donc $g$ aussi, d'o\`u 
la r\'eponse aux deux premi\`eres questions. Et $ N(B) = N(A)$
d'apr\'es 2.c .
% Rq.  $g$ restreint \`a $G$ est une rotation de matrice $R$ (dans toute b.o.n. de $G$).

3.c $ Matr_{e_p,e_q} ({\tilde f})={\tilde A}$,
	$ Matr_{g(e_p),g(e_q)} ({\tilde f})={\tilde B}$;
on trouve ${\tilde B}= ^t{\tilde \Omega} {\tilde A} {\tilde \Omega}$, 
puis les \'egalit\'es qui suivent (${\tilde \Omega}$ est orthogonale).

3.d On suppose $a_{p,q} \neq 0$. On a $b_{p,q}=b_{q,p}=
 a_{p,q}\cos(2\theta) + \frac{a_{q,q}-a_{p,p}}{2} \sin(2\theta)$.
Ceci vaut 0 ssi  
$\theta = 
\frac{1}{2} Artan ( \frac{2 a_{p,q}}{a_{q,q}-a_{p,p}} )$ (resp. $=\pi/4$)
quand $a_{q,q}-a_{p,p} \neq 0 $
(resp. $= 0 $).

3.e juste une v\'erification

4. $\varphi_{p,q}(A)=A$ a lieu ssi ${\tilde A}$ diagonale i.e. $a_{p,q}=0$. 

5. On pose $e_i':=g(e_i)$, on sait $a_{i,j}=(f(e_j)|e_i)$, $b_{i,j}=(f(e_j')|e_i')$.
En utilisant II.1 on a 
$ b_{i,j} = \sum_{k,l} \omega_{k,i} a_{k,l} \omega_{l,j}$.

5.a Pour $i \notin \{p,q\}$ on a $e_i'=e_i$ et donc $b_{i,i}=a_{i,i}$. On 
en d\'eduit
\[ \sum_{i=1..n} (b_{i,i})^2 - (a_{i,i})^2 = 
\sum_{i \in \{p,q\}} (b_{i,i})^2 - (a_{i,i})^2
= N({\tilde B})^2 -( N({\tilde A})^2 - H({\tilde A}) )
= H({\tilde A})  \]

5.b si $j \notin \{p,q\},~~b_{p,j}= \cos(\theta) a_{p,j} + \sin(\theta) 
a_{q,j} .$


5.c si $j \notin \{p,q\},~~b_{q,j}= - \sin(\theta) a_{p,j} + \cos(\theta) 
a_{q,j} .$

5.d ici (comme au 5.a) $b_{i,j} = a_{i,j}$

5.e on utilise 3.d et les formules trigonom\'etriques
$ \cos(2 \theta)= \frac{1-t^2}{1+t^2},~~\sin(2 \theta)= \frac{2t}{1+t^2}$.

5.f,g,h alors $b_{p,p}=a_{p,p} + t a_{p,q}$,~~  $b_{q,q}=a_{q,q} - 
t a_{p,q}$,\\
  $b_{p,i}=(\frac{1}{1+t^2})(a_{p,i} + t a_{q,i})$,~~
 $b_{q,i}=(\frac{1}{1+t^2})(a_{q,i} - t a_{p,i})$.

5.i $t$ est la racine appartenant \`a $]-1,1]$ du trin\^ome 
$t^2-2\frac{a_{q,q}-a_{p,p}}{2}t-1=0$ (NB produit des racines=-1)\\

Troisi\`eme partie

1. $m(A)=2, e(A)=\{(2,3),(1,4),(3,4)\}, l(A)=1, c(A)=4.$

2.a on majore $|a_{i,j}|, i \neq j$ par le plus grand d'entre eux qui 
est $a_{p,q}~~(avec p=l(A), q=c(A)$).

2.b $H(A)=N(A)^2 - \sum_i a_{i,i}^2,~ H(B)=N(B)^2 - \sum_i b_{i,i}^2$ avec
 $B=\Psi(A)$. La diff\'erence donne $H({\tilde A})$, i.e. $2a_{p,q}^2$ 
d'apr\`es 5.a

2.c se d\'eduit des questions 2.a, 2.b avec $\rho=1-\frac{2}{n(n-1)}$.

3.a cf. II.3.b

3.b cf. II.4 (qui donne $a_{p,q}=0$) et le choix de $(p,q)$ qui donne
 $|a_{p,q}|=m(A)$.

3.c Comme $\rho \in [0,1[$ on a $\rho^k \rightarrow_{k \rightarrow \infty} 0$
et puisque le r\'esultat  2.c implique
$H(A_k) \leq \rho^k H(A)$ on en d\'eduit $\lim_{k \rightarrow \infty} H(A_k)=0$.

3.d D'apr\`es l'in\'egalit\'e admise 
\[ N(A_v - A_u) \leq \sum_{k=u..(v-1)} \sqrt{6H(A_k)} \leq \sqrt{6H(A)}
\sum_{k=u..(v-1)} (\sqrt{\rho})^k  \leq 
\sqrt{6H(A)} \frac{\rho^{u/2}}{1-\sqrt{\rho}}   \]
la suite $(A_k)$ v\'erifie donc le crit\`ere de Cauchy dans $(M_n,N)$. 
Comme cet e.v.n. est de dimension finie sur $R$ cette suite converge  (vers
un \'el\'ement $D$ de l'espace).

3.e l'application est polynomiale donc continue sur $M_n$ ( e.v.n. de 
dimension finie). Par continuit\'e $H(D)=0$ (cf. 3.c).
Donc $D$ est diagonale.

3.f chaque composante est polynomiale donc continue sur $M_n$. On a donc 
convergence coefficient par coefficient de $\chi_{A_k}$ vers $\chi_D$. 
Ceci implique $\chi_D=\chi_A$ (cf. 3.a) et donc le r\'esultat.

\end{document}
