%\input option_keys

\def\rmat{{\bf R}}

\def\d{\displaystyle}
\def\cad{c'est-{\`a}-dire \hskip 1 pt}

\def\trait#1{\medskip \centerline{\hbox to #1 cm{\hrulefill}}\medskip}

\def\encadre#1{\leavevmode\thinspace\hbox{\vrule\vtop{\vbox{
\hrule\kern1pt\hbox{\vphantom{/}\thinspace{#1}\thinspace}}
\kern1pt\hrule}\vrule}\thinspace}


\frenchspacing
\parskip=4pt plus 2pt minus 2pt
\baselineskip 14pt
\parindent=10pt
\hsize=170mm \vsize=260mm
\hoffset=0mm \voffset=-12mm
 


%______________________________________________%
\centerline{\bf CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES\ - \ 1997}
\centerline{\bf FILI\`ERE TSI}
\bigskip
\centerline{\bf MATH{\'E}MATIQUES 2}
%______________________________________________%

\trait{16}
%______________________________________________%
\medskip
%__________________________________________%

\centerline{\encadre{\bf I - PARTIE}}

\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 1 - }%______________________%
La matrice $A$ {\'e}tant inversible, les matrices ${}^tA$ et $B={}^tA \bullet A$ le sont {\'e}galement.
L'{\'e}quation $B \bullet X=Z$ admet l'unique solution $B^{-1} \bullet Z
= \big( {}^tA \bullet A \big)^{-1} \bullet ({}^tA \bullet Y)
= A^{-1} \bullet \big ( ({}^tA)^{-1} \bullet {}^tA \big) \bullet Y
= A^{-1} \bullet Y = X_0$.

On peut {\'e}galement remarquer :
\ $B \bullet X=Z \Longleftrightarrow ( {}^tA \bullet A) \bullet X = {}^tA \bullet Y$,
\cad encore :

\hskip-10pt
$B \bullet X=Z \Longleftrightarrow {}^tA \bullet (A \bullet X) = {}^tA
\bullet Y$,
\ \cad \ $B \bullet X=Z \Longleftrightarrow A \bullet X = Y$.


\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 2 - }%______________________%
Comme ${}^tB = {}^t\big( {}^tA \bullet A \big) = {}^tA \bullet A = B$,
la matrice $B$ est sym{\'e}trique r{\'e}elle.

Les valeurs propres de $B$ sont donc r{\'e}elles ; il y en a $k$, compt{\'e}es avec leur ordre de multiplicit{\'e}.

La matrice $B$ est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres et
les sous-espaces propres sont deux {\`a} deux orthogonaux.


\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 3 - }%______________________%
$< U , \, B \bullet U> = {}^tU \bullet (B \bullet U)
= {}^tU \bullet \big (({}^tA \bullet A) \bullet U \big)
= {}^t( A \bullet U) \bullet ( A \bullet U)
= < A \bullet U, \, A \bullet U >
= ||A \bullet U||^2 � 0$.

Soient $\lambda$ une valeur propre (donc r{\'e}elle) de $B$ et $U$ un vecteur propre associ{\'e} (donc
$U�0_{{\bf R}^k}$). L'{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente donne :
\ $< U , \, B \bullet U> = < U , \, \lambda U> = \lambda < U , \, U> = \lambda ||U||^2 � 0$,
avec $||U||^2 >0$ ; donc $\lambda � 0$.

Comme $B$ est inversible, $0$ n'appartient pas au spectre de $B : \ \lambda >0$.

\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 4 - a) }%______________________%
D'apr{\`e}s la question pr{\'e}c{\'e}dente, on a bien :
\ $||A \bullet V||^2 = < A \bullet V, \, A \bullet V > = < V , \, B \bullet V>$.

Soit ${\cal B} = (V_i)_{1�i�k}$ une base orthonormale de vecteurs propres de la matrice $B$,
associ{\'e}s respectivement aux $k$ valeurs propres r{\'e}elles (distinctes ou non) $\lambda_i, \ (1�i�k)$.

Soit $\d V = \sum_{i=1}^k \alpha_i V_i$ un vecteur unitaire de $\rmat^k$.
Notons que $\d 1 = ||V||^2 = \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2$.

Ainsi, $\d B \bullet V = \sum_{i=1}^k \alpha_i \, B \bullet V_i = \sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_i \, V_i$
\ et \ $\d < V , \, B \bullet V> = \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2 \lambda_i$.

Comme, pour tout $i, \ \lambda_{\rm mini} � \lambda_i � \lambda_{\rm maxi}$,
on a \ $\lambda_{\rm mini}(\alpha_i)^2 � \lambda_i (\alpha_i)^2 � \lambda_{\rm maxi} (\alpha_i)^2$ ;
en ajoutant les $k$ in{\'e}galit{\'e}s obtenues en faisant varier $i$ de $1$ {\`a} $k$, on obtient :

\quad
$\d \lambda_{\rm mini} \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2 � \sum_{i=1}^k \lambda_i (\alpha_i)^2
� \lambda_{\rm maxi} \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2$
\ \cad \ $\lambda_{\rm mini} � < V , \, B \bullet V> � \lambda_{\rm maxi}$ :

\qquad
$||A \bullet V||^2 = < A \bullet V, \, A \bullet V > = < V , \, B \bullet V>
\in [ \lambda_{\rm mini} , \lambda_{\rm maxi} ]$.

Si $U=0_{{\bf R}^k}, \ ||A \bullet U||^2 = < A \bullet U, \, A \bullet U > = < U , \, B \bullet U> = 0$ ;
\ sinon, avec $\d V = {1 \over ||U||} \, U$ unitaire, on a :

\qquad
$||A \bullet U||^2 = < A \bullet U, \, A \bullet U > = < U , \, B \bullet U>
= ||U||^2 < V , \, B \bullet V> \in \big[  ||U||^2 \lambda_{\rm mini} ,  ||U||^2 \lambda_{\rm maxi} \big]$.


\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 4 - b) }%______________________%
Avec les notations pr{\'e}c{\'e}dentes et compte tenu de $\d ||B \bullet V||^2 = \sum_{i=1}^k
(\alpha_i)^2 (\lambda_i)^2$, on a :

$\d (\lambda_{\rm mini})^2 \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2
� ||B \bullet V||^2
� (\lambda_{\rm maxi})^2 \sum_{i=1}^k (\alpha_i)^2$,
\ \cad \ $(\lambda_{\rm mini})^2 � ||B \bullet V||^2 � (\lambda_{\rm maxi})^2$,

\hskip-10pt
puis
\ $||B \bullet V|| \in [ \lambda_{\rm mini} , \lambda_{\rm maxi} ]$,
\ puisque les valeurs propres (et les normes) sont (strictement) positives.

Si $U=0_{{\bf R}^k}, \ ||B \bullet U|| = 0$ ;

\quad
sinon, avec $\d V = {1 \over ||U||} \, U$ unitaire, on a :
\ $||B \bullet U|| = ||U|| \, ||B \bullet V||
\in \big[  ||U|| \lambda_{\rm mini} ,  ||U|| \lambda_{\rm maxi} \big]$.


%______________________________________________________________
\null\eject
%______________________________________________________________


\null \hskip-1,3truecm
{\bf I - 5 - }%______________________%
Pour tout $U \in {\bf R}^k, \ E(U)�0$ ;

\hskip-10pt
comme $R(U) = B \bullet U-Z =  B \bullet (U-X_0),
\ R(X_0) = 0_{{\bf R}^k}$
\ et $E(X_0) = || R(X_0)||^2 = || 0_{{\bf R}^k}||^2 = 0$ ;

\hskip-10pt
si $U � X_0$, le r{\'e}sultat de la question {\bf I - 4 - b)} utilis{\'e} en $U-X_0 � {\bf
R}^k$ donne :

\quad
$E(U) = || R(U)||^2 = ||B \bullet (U-X_0) ||^2 � ||U - X_0 ||^2 (\lambda_{\rm mini})^2 >0$.

Ainsi $E$ admet $0$ pour minimum et ce minimum n'est atteint qu'en $U=X_0$.



\vskip1cm
%______________________________________________________________
\centerline{\encadre{\bf II - PARTIE}}
%______________________________________________________________


\null \hskip-1,3truecm
{\bf II - 1 - }%______________________%
Comme \ $R(X_i + \mu D_i) = B \bullet (X_i + \mu D_i)-Z
= B \bullet X_i + \mu B \bullet D_i -Z
= R(X_i) + \mu B \bullet D_i$, on a :

\hskip-10pt
$f_i(\mu) = E(X_i + \mu D_i) = ||R(X_i + \mu D_i)||^2
= ||R(X_i) + \mu B \bullet D_i||^2$
\quad \cad

\hskip-10pt
$f_i(\mu) = ||R(X_i)||^2 + 2\mu < R(X_i) , \, B \bullet D_i > + \mu^2 ||B \bullet D_i||^2
= E(X_i) + 2\alpha \, \mu + \beta \, \mu^2$,

\hskip-10pt
avec
\ $\d \alpha = < R (X_i) , \, B \bullet D_i >$
\ et \ $\d \beta = ||B \bullet D_i||^2 >0$
\ (car la matrice $B$ est inversible et $D_i � 0_{{\bf R}^k}$).

Le polyn{\^o}me du second degr{\'e} $f_i(\mu)$ s'{\'e}crivant :
\ $\d f_i(\mu) = \beta \Big( \mu + {\alpha \over \beta} \Big)^2 + E(X_i) - {\alpha^2 \over \beta}$
\ avec $\beta >0$,
il est minimal pour $\d \mu = \mu_i = - {\alpha \over \beta}
= - {< R (X_i) , \, B \bullet D_i > \over ||B \bullet D_i||^2}$
\ et la valeur minimale en est :

$\d f_i(\mu_i) = E(X_i) - {\alpha^2 \over \beta}
= E(X_i) - {\big( < R (X_i) , \, B \bullet D_i >\big)^2 \over ||B \bullet D_i||^2} \, \cdotp$



\null \hskip-1,3truecm
{\bf II - 2 - }%______________________%
Avec $D_i = R(X_i) � 0_{{\bf R}^k}$, on a :

\qquad
$< R (X_i) , \, B \bullet D_i > = < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i) >$
\ et \ $E(X_i) = ||R (X_i)||^2 = ||D_i||^2 >0$.

D'o{\`u} :
\ $\d f_i(\mu_i)
= E(X_i) - {\big( < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i) >\big)^2 \over ||B \bullet R (X_i)||^2}
= C_i \, E(X_i)$

\hskip-10pt
avec $\d C_i
= 1 - {\big( < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i) >\big)^2 \over E(X_i) \, ||B \bullet R (X_i)||^2}
= 1 - {\big( < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i) >\big)^2 \over ||R (X_i)||^2 \, ||B \bullet R (X_i)||^2} \,
\cdotp$

\medskip

En prenant $U = R (X_i) � 0_{{\bf R}^k}$, les r{\'e}sultats du {\bf I - 4} donnent :

\qquad
$0 � ||R (X_i)||^4  (\lambda_{\rm mini})^2 � \big( < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i)
>\big)^2 �  ||R (X_i)||^4  (\lambda_{\rm maxi})^2$

\qquad
et
\ $0 < ||R (X_i)||^2 (\lambda_{\rm mini})^2 � ||B \bullet R (X_i)||^2
� ||R (X_i)||^2 (\lambda_{\rm maxi})^2$.

On en d{\'e}duit :
\ $\d {||R (X_i)||^4 (\lambda_{\rm mini})^2 \over ||R (X_i)||^4 (\lambda_{\rm maxi})^2}
� {\big( < R (X_i) , \, B \bullet R (X_i) >\big)^2 \over ||R (X_i)||^2 \, ||B \bullet R (X_i)||^2}
� {||R (X_i)||^4 (\lambda_{\rm maxi})^2 \over ||R (X_i)||^4 (\lambda_{\rm mini})^2}$

\hskip-10pt
puis :
\quad $\d 1 - \Big( {\lambda_{\rm maxi} \over \lambda_{\rm mini}} \Big)^2
� C_i
� 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2$.

On peut donner un encadrement plus pr{\'e}cis ; comme $\forall \mu, \ f_i(\mu) = E(X_i + \mu D_i) �0,
\ f_i(\mu_i) = C_i \, E(X_i) �0$ ;
puis, $E(X_i) = ||D_i||^2 >0$ donne \ $C_i �0$.

En tout :
\ $\d 0 � C_i
� 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2
 < 1$ \ (car $0< \lambda_{\rm mini} � \lambda_{\rm maxi}$).


%______________________________________________________________
\null\vskip2cm\eject
%______________________________________________________________



\null \hskip-1,3truecm
{\bf II - 3 - }%______________________%
On a :
\ $0 � E(X_{i+1}) = E(X_i + \mu_i D_i) = f_i(\mu_i) = C_i \, E(X_i)$
avec $E(X_i) >0$ et $0 � C_i <1$ ; par cons{\'e}quent,  $E(X_{i+1}) < E(X_i)$ :
la suite $\big(E(X_i) \big)_{i�0}$ est strictement d{\'e}croissante et minor{\'e}e par 0 :
elle converge vers un r{\'e}el positif ou nul.

Comme \ $\d \forall i �1, \ 0 � E(X_{i+1}) = C_i \, E(X_i)
� \Big[ 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2 \Big] E(X_i)$,
un raisonnement par r{\'e}currence donne

\hskip-10pt
imm{\'e}diatement :
\ $\d  \forall i �1, \ 0 � E(X_i)
� \Big[ 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2 \Big]^{i-1} E(X_1)$.

\medskip

Comme $\d 0 � 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2 < 1,
\ \lim_{i \rightarrow +�} \Big[ 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2 \Big]^{i-1} =
0$.
\ On en d{\'e}duit : \ $\d \lim_{i \rightarrow +�} E(X_i) = 0$.

La fonction $E$ est une fonction continue de ${\bf R}^k$ dans ${\bf R}$, puisque polynomiale de degr{\'e} 2 en les
coordonn{\'e}es de $U$ sur une base orthonormale de ${\bf R}^k$.
Ainsi, $\d 0 = \lim_{i \rightarrow +�} E(X_i) = E \big( \lim_{i \rightarrow +�} X_i \big)$.

Alors, d'apr{\`e}s {\bf I - 5}, le minimum de $E$ n'{\'e}tant atteint qu'en $X_0$, n{\'e}cessairement
\ $\d \lim_{i \rightarrow +�} X_i = X_0$.

\null \hskip-1,3truecm
{\bf II - 4 - }%______________________%
Comme \ $\d  \forall i �1, \ 0 � E(X_i)
� \Big[ 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2 \Big]^{i-1} E(X_1)$,
plus le terme $\d 1- \Big( {\lambda_{\rm mini} \over \lambda_{\rm maxi}} \Big)^2$
est voisin de 0, autrement

\hskip-10pt
dit plus l'amplitude de l'intervalle
$[ \lambda_{\rm mini} , \lambda_{\rm maxi} ]$
est petite, plus la pr{\'e}cision est grande.


\vskip1cm
%______________________________________________________________
\centerline{\encadre{\bf III - PARTIE}}
%______________________________________________________________
\medskip

Avec MAPLE \ (et \ $with(linalg):$), on a par exemple ce qui suit.

\hskip1cm
$>multiply$
\qquad $\{$produit de deux matrices$\}$

\hskip1cm
$>minval \ \cdots$
\qquad $\{$plus petite valeur propre$\}$

\hskip1cm
$>maxval \ \cdots$
\qquad $\{$plus grande valeur propre$\}$



\null \hskip-1,3truecm
{\bf III - 1 - a) }%______________________%
\ $>A:=matrix(3,3,[4,0,1,0,4,-1,-2,1,8]);
\ Y:=matrix(3,1,[6,-6,13]);$

\null \hskip-1,3truecm
{\bf III - 1 - b) }%______________________%
\ $>B:=multiply(transpose(A),A);
\ Z:=multiply(transpose(A),Y);$



\null \hskip-1,3truecm
{\bf III - 2 - }%______________________%
\qquad $> X[1]:=matrix(3,1,[0,0,0]):$

\hskip1cm
$for \ i \ from \ 1 \ to \ 10$

\hskip1,6cm
$do$

\hskip 2cm
$D[i]:=evalm(multiply(B,X[i])-Z): \ C:= multiply(B,D[i]):$

\hskip 2cm
$mu[i]:=
evalf(-multiply(transpose(D[i]),C)[1,1]/multiply(transpose(C),C)[1,1]):$

\hskip 2cm
$X[i+1]:= evalm(X[i]+mu[i]*D[i]):$

\hskip1,6cm
$od;$


\null \hskip-1,3truecm
{\bf III - 3 - a) }%______________________%
\ $>q:=1-(minval(B)/maxval(B))^2;$



\null \hskip-1,3truecm
{\bf III - 3 - b) }%______________________%
\ $>n:=1+floor(-3*ln(10)/ln(q));$


\bigskip
\trait{3}

\centerline{Fin du corrig{\'e}}


%______________________________________________________________
%______________________________________________________________

\vskip0,5cm

\qquad
{\it D. Maillard} - $1^{\grave ere}$ ann{\'e}e TSI - Saint-Nazaire



\bye
