%         CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP - Maths I (4 heures) 
%
%                             CORRIGE
%
%       par Daniel GENOUD  Lyc{\'e}e La Martini{\`e}re-Monplaisir LYON
%
%  Probl{\`e}me int{\'e}ressant qui a le m{\'e}rite (et c'est rare !)
%  d'utiliser plusieurs th{\'e}or{\`e}mes du nouveau programme de MP.


% Mise en page en plain TeX

\magnification=1200
\hsize=180truemm        \vsize 250truemm   
\hoffset=-13truemm      \voffset=-16truemm
\parindent=0cm
\nopagenumbers

% Quelques macros

\def\N{{\bf N}}
\def\R{{\bf R}}

\def\F{{\cal F}}
\def\B{{\cal B}}
\def\E{{\cal E}}
\def\C{{\cal C}}

\def\num#1{\hskip-8mm{\bf#1}~}

\def\fbox#1{\leavevmode     % cadre      
             \hbox{\vrule\vtop{\vbox{\hrule\kern 3pt
             \hbox{\kern 3pt#1\kern 3pt}}\kern 2pt\hrule}\vrule}}               


\def\hautdepage#1{\headline={\vbox{~{#1} \hfill \fbox{\folio}\qquad
             \smallskip \hrule}}\bigskip}

\def\itg{\displaystyle \int_{\R^+}}
\def\Frac#1#2{\displaystyle {#1\over#2}}
\def\equiv_#1{\mathrel{\mathop{\kern 0pt\sim}\limits_{#1}}}

% D{\'e}but du corrig{\'e}

\hautdepage{\bf CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP.\qquad\rm Maths I}
\bigskip
\centerline{Corrig{\'e} de la composition de Math{\'e}matiques - I ~(4 heures)}
\bigskip


\bigskip



\centerline{{\bf Partie I}}\par
\bigskip

\num{I.1$^o$}
Il est imm{\'e}diat que $\E$ contient la fonction nulle et est stable
par combinaison lin{\'e}aire, donc $\E$ est un {\bf sous-espace vectoriel}
du $\R$-espace vectoriel $\C([0,+\infty[,\R)$.\par
\smallskip
Soit $f\in\B$. ~Alors il existe un r{\'e}el $M>0$ tel que $~\forall t\ge0,~
|f(t)|\le M$.\par
Ainsi $~\forall t\ge0,~~\Frac{|f(t)}{1+t^2}|\le \Frac{M}{1+t^2}=
O\Big(\Frac{1}{t^2}\Big)$, ce qui montre que $t\to \Frac{f(t)}{1+t^2}$
(d{\'e}j{\`a} continue) est en outre int{\'e}grable sur $\R^+$, donc $f\in \E$.
~~Donc ~\fbox{$\B\subset\E$.}



\num{I.2$^o$}
 $\gamma:t\longrightarrow  \sqrt t\,\sin(t)~$ est 
continue sur $\R^+$ et 
$~|\gamma(t)|\le\Frac{\sqrt t}{1+t^2}=O\Big(\Frac{1}{t^{3/2}}\Big)$
ce qui prouve que $\gamma$ est int{\'e}grable sur $\R^+$, donc $\gamma\in\E$.\par
\smallskip
Si $n\in\N$, ~alors $\gamma\big({\pi\over 2}+2\,n\,\pi\big)=
\sqrt{{\pi\over 2}+2\,n\,\pi}$ qui tend vers $+\infty$ quand $n\to+\infty$, ce qui montre
que \underbar{$\gamma$ n'est pas born{\'e}e sur $\R^+$}.\par
\smallskip
\underbar{Remarque} : \sl 
il est faux d'affirmer que $~\displaystyle\lim_{t\to+\infty}|\gamma(t)|=+\infty$.\par
\rm


\num{I.3$^o$}
Pour tout $x$ fix{\'e} dans $J=]-1,+\infty[$, ~$1+t^2+x>0$ et par suite
la fonction $\,t\to \Frac{f(t)}{1+t^2+x}~$
est continue sur $\R^+$.\par
Comme ~$\Frac{|f(t)|}{1+t^2+x}\equiv_{t\to+\infty}\Frac{|f(t)|}{1+t^2}~$ et que $f\in\E$,
le th{\'e}or{\`e}me des fonctions {\'e}quivalentes positives permet de conclure
{\`a} l'int{\'e}grabilit{\'e} sur $\R^+$ de la fonction $\,t\to \Frac{f(t)}{1+t^2+x}.$
\smallskip


\smallskip
\num{I.4$^o$}
$\,T :f\to T[f]\,$ est clairement une application  de $\E$ 
dans $\F$. 
~Sa {\bf lin{\'e}arit{\'e}} d{\'e}coule imm{\'e}diatement de la lin{\'e}arit{\'e} de l'int{\'e}gration :
~$\big(\,T[f+\lambda\,g](x)=T[f](x)+\lambda\,T[g](x)\,\big)$

\bigskip
\bigskip




\centerline{{\bf Partie II}}\par
\bigskip


\num{II.1$^o$}
On va utiliser le th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivation des int{\'e}grales impropres
d{\'e}pendant d'un param{\`e}tre : celui-ci fait intervenir notamment 
la fameuse "{\bf hypoth{\`e}se de domination}".\par
\smallskip
\quad$\bullet$ $\,g:(x,t)\longrightarrow \Frac{f(t)}{1+t^2+x}\,$ est 
continue sur $J\times\R^+$~~~(d'apr{\`e}s les th{\'e}or{\`e}mes g{\'e}n{\'e}raux).\par
\quad$\bullet$ $\,\Frac{\partial g}{\partial x}:(x,t)\longrightarrow 
\Frac{-f(t)}{(1+t^2+x)^2}\,$ est continue sur $J\times\R^+$.\par
\smallskip
\sl On a $~\forall\, x\in J,~\forall\,t>0,~\Frac{|f(t)|}{1+t^2+x}\le\Frac{|f(t)|}{t^2}$,
mais cette fonction dominante n'est pas int{\'e}grable en g{\'e}n{\'e}ral sur
$]0,+\infty[$ (probl{\`e}me en $0$).\par
C'est pourquoi nous allons chercher {\`a} satisfaire les hypoth{\`e}ses de domination locales
(c'est {\`a} dire sur tout compact $K$ inclus dans $J$) pour $g$ et 
$\Frac{\partial g}{\partial x}$.
\par
Il suffit en fait de se limiter {\`a} des segments $K=[a,b]\subset J~$ 
avec $~-1<a<b$.\par
\rm
\smallskip
\quad$\bullet$ $~\forall x\in[a,b],~\forall t\ge 0,~|g(x,t)|\le
 \Frac{|f(t)|}{1+t^2+a}\,$ not{\'e}e $\varphi_K^{(0)}(t)$ ~(ind{\'e}pendante de $x$.)\par
\quad$\bullet$ $~\forall x\in[a,b],~\forall t\ge 0,~
\big|\Frac{\partial g}{\partial x}(x,t)\big|\le
 \Frac{|f(t)|}{(1+t^2+a)^2}\,$ not{\'e}e $\varphi_K^{(1)}(t)$ ~(ind{\'e}pendante de $x$.)\par
 \smallskip
\quad$\bullet$ Les deux fonctions dominantes $\varphi_K^{(0)}$ et 
$\varphi_K^{(1)}$ sont {\bf continues} sur $\R^+$.\par

~~$\varphi_K^{(0)}$ est {\bf int{\'e}grable} sur $\R^+$ d'apr{\`e}s le {\bf I.3$^o$} et
il en est de m{\^e}me de $\varphi_K^{(1)}$ car
 $~\varphi_K^{(1)}(t)=o\big(\varphi_K^{(0)}(t)\big)$.\par
\smallskip
On vient donc de v{\'e}rifier toutes les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivation
sous le signe int{\'e}gral. On en d{\'e}duit que $T[f]$ est de classe $\C^1$
sur $J$ et que 
$$~\forall \,x\in J, ~
\big(T[f]\big)'(x)=\itg\Frac{\partial g}{\partial x}(x,t)\,dt=
-\itg\Frac{f(t)}{(1+t^2+x)^2}\,dt.~~~ ({\sl Formule~ de~ Leibniz})$$

\smallskip



\num{II.2$^o$.a)}
Nous allons appliquer l'extension aux fonctions de classe $\C^p$ 
du th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivation sous le signe int{\'e}gral.
Un r{\'e}currence facile permet de montrer que :
\par

\centerline{$\forall \,p\in\N,~\forall\,(x,t)\in J\times\R^+,~
\Frac{\partial^p g}{\partial x^p}(x,t)=
(-1)^p\,p!\,\Frac{f(t)}{(1+t^2+x)^{p+1}}$.}\par
\smallskip
Ainsi $\Frac{\partial^p g}{\partial x^p}$ est {\bf continue}
 sur $J\times\R^+$ et on a alors la {\bf domination} suivante :\par

\qquad$~\forall x\in[a,b],~\forall t\ge 0,~
\big|\Frac{\partial^p g}{\partial x^p}(x,t)\big|\le
 \Frac{|f(t)|}{(1+t^2+a)^{p+1}}\,$ not{\'e} $\varphi_K^{(p)}(t)$ 
~(ind{\'e}pendante de $x$.)\par
En remarquant que $\varphi_K^{(p)}$ est continue et int{\'e}grable sur $\R^+$
(car n{\'e}gligeable en $+\infty$ devant $\varphi_K^{(0)}$).\par
\smallskip
On en d{\'e}duit 
que, plus g{\'e}n{\'e}ralement, $T[f]$ est d{\'e}rivable {\`a} tout ordre $p$ 
sur $J$ et que :\par
\smallskip

\centerline{\fbox{
$\,\forall\,p\in\N,~\forall\, x\in J,~\big(T[f]\big)^{(p)}(x)=
\itg\Frac{\partial^p g}{\partial x^p}(x,t)\,dt=(-1)^p \,p!\,F_p(x).\,$}}
\smallskip

\num{II.2$^o$.b)} Pour $x=0$, on obtient
~\fbox{
$\,\forall\,p\in\N,~\big(T[f]\big)^{(p)}(0)=
(-1)^p \,p!\,I_p.\,$}

\smallskip

\num{II.3$^o$.a)}
Comme $1+t^2\ge 1$, alors $~\forall p\in\N,~(1+t^2)^{p+1}\ge 1+t^2$
et donc $\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)^{p+1}}\le
\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)}$.\par
Comme $f\in\E$, on en d{\'e}duit l'int{\'e}grablit{\'e} sur $\R^+$ de 
$t\to \Frac{|f(t)|}{(1+t^2)^{p+1}}$ et l'in{\'e}galit{\'e} :\par


\centerline{$\itg\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)^{p+1}}\,dt\le
\itg\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)}\,dt.$}

\medskip

\num{II.3$^o$.b)}
\sl Une premi{\`e}re id{\'e}e est d'appliquer l'in{\'e}galit{\'e} de Taylor-Lagrange {\`a} $T[f]$ sur
$[0,x]$ en exploitant le r{\'e}sultat du {\bf II.2$^o$.b)},
 mais il n'est pas facile alors de montrer que le majorant de Lagrange 
tend vers $0$ quand $n\to+\infty$.\par
\smallskip
\rm
\underbar{Premi{\`e}re m{\'e}thode} (exploitant une s{\'e}rie g{\'e}om{\'e}trique) :\par
\smallskip
Soit $x$ fix{\'e} dans $]-1,1[$. On remarque que 
$~\forall t\ge 0,~\left|\Frac{x}{1+t^2}\right|<1$.\par
$\matrix{\forall\,n\in\N,~\forall\,t\ge0,~\Frac{f(t)}{1+t^2+x} 
&=\Frac{f(t)}{1+t^2}
\,\Frac{1}{1+\Frac{x}{1+t^2}}=\Frac{f(t)}{1+t^2}\,
\displaystyle \sum_{p=0}^\infty(-1)^p\Big(\Frac{x}{1+t^2}\Big)^p \cr
&=\displaystyle \sum_{p=0}^n(-1)^p\,x^p\Frac{f(t)}{(1+t^2)^{p+1}}+
\sum_{p=n+1}^\infty(-1)^p\Frac{f(t)\,x^p}{(1+t^2)^{p+1}}.\cr}$ \par
\smallskip
Ainsi $~T[f](x)=\displaystyle \sum_{p=0}^n(-1)^p\,x^p\,I_p+
\itg\sum_{p=n+1}^\infty(-1)^p\Frac{f(t)\,x^p}{(1+t^2)^{p+1}}\,dt$.\par
~On pose $~I=\itg\Frac{|f(t)|}{1+t^2}\,dt$.

Il suffit alors de montrer que le dernier terme not{\'e} $R_n(x)$ tend vers $0$
quand $n\to+\infty$. \par
~En effet :
$~|R_n(x)|\le\itg\Frac{|f(t)|}{1+t^2}\,dt\,
\Big(\sum_{p=n+1}^\infty|x|^p\Big)=
I\,\Frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}\,
\longrightarrow0$. ~~C.Q.F.D.
\smallskip
\underbar{Deuxi{\`e}me m{\'e}thode} (utilisant un th{\'e}or{\`e}me d'{\'e}change s{\'e}rie-int{\'e}grale) :\par
\smallskip
Posons $u_p(t)=(-1)^p\Frac{f(t)}{(1+t^2)^{p+1}}\,x^p$ ~o{\`u} $x$ est fix{\'e} dans $]-1,1[$.\par
\smallskip
\quad $\bullet$
Chaque fonction $u_p$ est int{\'e}grable sur $\R^+$ (d'apr{\`e}s le {\bf II.3$^o$.a)})\par

\quad $\bullet$
la s{\'e}rie de fonctions $\sum u_p$ converge simplement sur $\R^+$
vers $~S_x:t\longrightarrow \Frac{f(t)}{1+t^2+x}$ \par
\qquad ~(d'apr{\`e}s un 
calcul effectu{\'e} {\`a} la m{\'e}thode pr{\'e}c{\'e}dente.)

\quad $\bullet$ $S_x$ est continue sur $\R^+$.

\quad $\bullet$ la s{\'e}rie $~\sum\itg |u_p|~$ est convergente car 
$~\itg|u_p|\le I\,|x|^p~$ avec $I=\itg\Frac{|f(t)|}{1+t^2}\,dt$.\par
\smallskip
On peut donc appliquer un th{\'e}or{\`e}me d'{\'e}change du cours et on en d{\'e}duit que
$S_x$ est int{\'e}grable sur $\R^+$ (ce qu'on savait d{\'e}j{\`a}) et que
~$\itg S_x=\itg\sum_{p=0}^\infty u_p=
\sum_{p=0}^\infty\itg u_p$, ~c'est-{\`a}-dire\par


\centerline{\fbox{~$T[f](x)=\displaystyle
\sum_{p=0}^\infty(-1)^p\,I_p\,x^p$~ pour $|x|<1$.}}

\smallskip


 \smallskip

\num{II.3$^o$.c)}
$T$ induit une application lin{\'e}aire $\overline T$ de $\E$ vers
 $\,\C^\infty(J,\R).$\par
\underbar{$\overline T$  n'est pas surjective}  car il existe des fonctions de classe
$\C^\infty$ sur $J$ qui ne sont pas d{\'e}veloppables en s{\'e}rie enti{\`e}re sur $]-1,1[$
comme par exemple $t\longrightarrow \Frac{1}{1+4\,t^2}$ seulement d{\'e}veloppable sur
$]-{1\over2},{1\over2}[$.\par





\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie III}}\par
\bigskip


\num{III.1$^o$}
On remarque que $\Phi$ est de classe $\C^1$ sur $\R^+$ 
comme {\'e}tant la primitive qui s'annule en $0$ de la fonction continue $t\longrightarrow 
\Frac{f(t)}{1+t^2}$.
\par
\num{III.1$^o$.a)}
En particulier $\Phi$ est continue sur $\R^+$ et {\`a} une limite finie en $+\infty$
({\'e}gale {\`a} $\,I_0=\itg\Frac{f(t)}{1+t^2}\,dt$).\par
 On sait qu'alors \underbar{$\Phi$ est born{\'e}e}
 sur $\R^+$.\par
\smallskip
Mieux : $~\forall\,t\ge0,~|\Phi(t)|\le\displaystyle \int_0^t\Frac{|f(u)|}{1+u^2}\,du
\le I=\itg\Frac{|f(u)|}{1+u^2}\,du$ ~(ind{\'e}pendant de $t$).




\num{III.1$^o$.b}
La fonction $\,\Psi_k:t\to\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+1}}\,$
est continue  sur $\R^+$, donc int{\'e}grable sur $[0,1]$.\par
$\forall\,t\ge 1,~|\Psi_k(t)|\le\Frac{I}{t^{2k+1}}$,
ce qui montre que $\Psi_k$ est  int{\'e}grable sur
 $[1,+\infty[$ et par suite sur $\R^+$.\par
\smallskip
Une int{\'e}gration par parties sur $[0,y]$ pour $y>0$ avec 
$u(t)=\Phi(t)$ et $v(t)=\Frac{-1}{2\,k}\,\Frac{1}{(1+t^2)^k}$
donne, sachant que $\Phi(0)=0$ :
$~\displaystyle \int_0^y\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+1}}\,dt=
\Frac{-1}{2\,k}\,\Frac{\Phi(y)}{(1+y^2)^k}+
\Frac{1}{2\,k}\,\int_0^y\Frac{f(t)}{(1+t^2)}\,\Frac{1}{(1+t^2)^k}\,dt$.\par
$\Phi$ {\'e}tant born{\'e}e, le premier terme tend ves $0$ quand
$y$ tend vers $+\infty$.

Donc \fbox{$
\itg\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+1}}\,dt=\Frac{I_k}{2\,k}$}
\medskip


\num{III.2$^o$}
Si $T[f]$ est la fonction nulle sur $J$, alors d'apr{\`e}s le {\bf II.3.b)}, 
$~\forall\,x\in]-1,1[,~
\displaystyle \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,k!\,I_k$,
d'o{\`u}  $~I_k=0$ pour tout $ k\in\N,$ (par unicit{\'e} de d{\'e}veloppement en 
s{\'e}rie enti{\`e}re de la fonction nulle).\par
\smallskip
On a aussi le fait que toutes les d{\'e}riv{\'e}es successives en $0$ de $T[f]$
sont nulles, d'o{\`u} la nullit{\'e} de tous les $I_k$ en utilisant cette 
fois le r{\'e}sultat du {\bf II.2.b)}.
\medskip


\num{III.3$^o$.a)}
 $\varphi$ est  d{\'e}j{\`a} continue sur $]0,1]$ 
comme compos{\'e}e de $\,\theta:u\longrightarrow \sqrt{\Frac{1-u}{u}}\,$ continue sur $]0,1]$
{\`a} valeurs dans $\R^+$ et de $\Phi$ continue sur $\R^+$.\par
Pour la continuit{\'e} en $0$, on remarque que 
$\displaystyle\lim_{u\to0} \theta(u)=+\infty$ et que
$\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\Phi(t)=I_0=0$ \par
(car $f\in\,$Ker$\,T$),
d'o{\`u} par composition de limites, $~\displaystyle\lim_{u\to0} \varphi(u)=0=\varphi(0)$.\par
\par
Ainsi ~\underbar{$\varphi$ est continue sur $[0,1]$}.\par
\smallskip
En utilisant les r{\'e}sultats des questions {\bf II.1.b)} et
 {\bf III.2},
on a $~\forall\, k\in\N,~\itg\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+2}}\,dt=0$.\par
\par
\smallskip
En effectuant dans l'int{\'e}grale simple 
$~\displaystyle\int_0^y\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+2}}\,dt\,$
le changement de variable  $u\to t=\sqrt{\Frac{1-u}{u}}$ d{\'e}croissant
 de classe $\C^1$ de $[\Frac{1}{1+y^2},1]$ sur $[0,y]$, on obtient 
d'abord ($u=\Frac{1}{1+t^2}$, 
 ~$du=\Frac{-2\,t\,dt}{(1+t^2)^2})$ : \par
$\displaystyle 2\,\int_0^y\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+2}}\,dt=
\int_{1/(1+y^2)}u^k\,\varphi(u)\,du$, ~d'o{\`u} l'on d{\'e}duit quand $y\to\infty$
(puisque les deux int{\'e}grales existent) :
~~\fbox{$\forall\, k\in\N,~\displaystyle \int_0^1\!u^k\,\varphi(u)\,du\,=0.$}

\smallskip

\num{III.3$^o$.b)}
On sait ({\bf th{\'e}or{\`e}me de Weierstrass}) que $\varphi$ continue sur $[0,1]$
est limite uniforme d'une suite $(P_n)_n$ de fonctions polynomiales.\par
$\varphi$ {\'e}tant born{\'e}e sur le segment $[0,1]$, il est facile de montrer que la suite
$(P_n\,\varphi)_n$ converge uniform{\'e}ment sur $[0,1]$ vers $\varphi^2$.
~On sait qu'alors $~\displaystyle \lim_{n\to+\infty}
\int_0^1 P_n(u)\,\varphi(u)\,du=
\int_0^1\varphi^2(u)\,du.$\par
Or $~\forall\,n\in\N,~\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_0^1 P_n(u)\,\varphi(u)\,du=0$.\par
On a donc $~\displaystyle \int_0^1\varphi^2(u)\,du=0~$
avec $\varphi^2$ \underbar{continue} et \underbar{positive} sur
 $[0,1]$. ~On sait que n{\'e}cessairement :\par

\centerline{\fbox{$\forall\,u\in[0,1],~~\varphi(u)=0.$}}\par

\smallskip


\num{III.4$^o$}
Ainsi $~\forall \,u\in]0,1], ~\varphi(u)=
\Phi\Big(\sqrt{\Frac{1-u}{u}}\Big)=0$, c'est-{\`a}-dire
$~\forall \,t\ge0, ~\Phi(t)=0$. \par
Or $\Phi$ est de classe $\C^1$ sur $\R^+$, donc en d{\'e}rivant, 
on obtient $~\forall \,t\ge0, ~\Phi'(t)=\Frac{f(t)}{1+t^2}=0$.\par
Donc $f$ est la fonction nulle.\par
\smallskip
On a donc montr{\'e} que si $T[f]=0$, alors $f=0$,
ce qui signifie que ~\fbox{$T$ est injective}.



\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie IV}}\par
\bigskip


\num{IV.1$^o$}
En int{\'e}grant par parties, on obtient 
$~\forall\,x>0,~\displaystyle \int_0^x\Frac{a\,\cos t}{a^2+t^2}\,dt=
\Frac{a\,\sin x}{a^2+x^2}+\int_0^x\Frac{2\,a\,t\sin t}{(a^+t^2)^2}\,dt$.\par
Or $~\Frac{2\,a\,t\sin t}{(a^+t^2)^2}=O\Big(\Frac{1}{t^3}\Big)$,~
ce qui montre que $t\to \Frac{2\,a\,t\sin t}{(a^+t^2)^2}~$ est int{\'e}grable sur $\R^+$.\par
En passant {\`a} la limite quand $x\to\infty$, on obtient
$~h(a)=2\,a\,\itg\Frac{t\,\sin t}{(1+t^2)^2}\,dt$.\par
Ainsi $~|h(a)|\le a\,\itg\Frac{2\,t}{(1+t^2)^2}\,dt=
\Big[\Frac{-a}{a^2+t^2}\Big]_{t=0}^{t\to\infty}=\Frac{1}{a}$.\par



\num{IV.2$^o$.a)}
~Le changement de variable affine croissant $u\to t=\Frac{u}{n}$
donne imm{\'e}diatement que pour tout $n\in\N^*$, on a :
~~\fbox{$h\Big(\Frac{1}{n}\Big)=
\itg\Frac{\cos\big({u\over n}\big)}{1+u^2}\,du.$}

\smallskip


\num{IV.2$^o$.b)}
On va appliquer le {\bf th{\'e}or{\`e}me de la convergence domin{\'e}e} :\par
Consid{\'e}rons la suite de fonctions $(h_n)$ d{\'e}finies sur $\R^+$ par
$~h_n(u)=\Frac{\cos\big({u\over n}\big)}{1+u^2}$.\par
\qquad$\bullet$ chaque fonction $h_n$ est continue sur $\R^+$.\par
\qquad$\bullet$ la suite $(h_n)$ converge simplement sur $\R^+$ vers
$~q:u\to \Frac{1}{1+u^2}$.\par
\qquad$\bullet$ chaque fonction $h_n$ est \underbar{domin{\'e}e} sur 
$\R^+$ par $q$.\par
\qquad$\bullet$ la fonction \underbar{dominante} $q$ est 
\underbar{int{\'e}grable} sur $\R^+$ ~(cf {\bf I.1$^o$})\par
\smallskip
On a donc toutes les hypoth{\`e}ses pour appliquer le th{\'e}or{\`e}me de la convergence domin{\'e}e :
on en  
d{\'e}duit que $~\displaystyle \lim_{n\to\infty}\itg h_n=\itg q$.
~Ainsi ~\fbox{$~\displaystyle \lim_{n\to\infty}h\big({1\over n}\big)=\itg
\Frac{du}{1+u^2}=\Frac{\pi}{2}$.}\par

\medskip

\num{IV.3$^o$}
On a vu au {\bf II.2.a} que $g=T[f]$ est de classe $\C^\infty$ sur $J$.\par
Il en r{\'e}sulte par composition que $h$ est de classe $\C^\infty$ sur $\R^+$.\par
On a : $~h'(a)=g(a^2-1)+2\,a^2\,g'(a^2-1)~$
et $~h''(a)=6\,a\,g'(a^2-1)+4\,a^3\,g'"(a^2-1)$.\par
\smallskip
On obtient $~h''(a)=\itg\left[\Frac{8\,a^3}{(a^2+t^2)^3}-
\Frac{6\,a}{(a^2+t^2)^2}\right]\,(\cos t)\,dt=
\itg\left[\Frac{a^3-6\,a\,t^2}{(a^2+t^2)^3}\right]\,(\cos t)\,dt$.

\par
\smallskip

Par ailleurs, ~$\Frac{\partial}{\partial a} \left[\Frac{a}{a^2+t^2}
\right]=
\Frac{t^2-a^2}{(a^2+t^2)^2}=(t^2-a^2)\,(a^2+t^2)^{-2}$,
~puis $\Frac{\partial^2}{\partial a^2} \left[\Frac{a}{a^2+t^2}\right]=
\Frac{a^3-6\,a\,t^2}{(a^2+t^2)^3}$.\par
$$h''(a)=\itg\left[\Frac{\partial^2}{\partial a^2}
\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)\right]\,(\cos t)\,dt.$$
\smallskip

\num{IV.4$^o$} On obtient facilement que
 pour $~(a,t)\ne(0,0)$,
$~\Frac{\partial^2}{\partial a^2}\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)
+\Frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)=0.$\par

\smallskip

\centerline{Ainsi $~~h''(a)=-\itg\left[\Frac{\partial^2}{\partial t^2}
\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)\right]\,(\cos t)\,dt.$}



\num{IV.5$^o$.a)}
A l'aide de deux int{\'e}grations  par parties  effectu{\'e}es 
d'abord sur $[0,x]$, on obtient successivement 
$~h''(a)=\itg\left[\Frac{\partial}{\partial t}
\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)\right]\,(\sin t)\,dt$,
~puis $~h''(a)=\itg\Frac{a\,\cos }{a^2+t^2}_,dt$.
~~Donc ~~\fbox{$h''(a)=h(a).$}

\medskip

\num{IV.5$^o$.b)}
$h(a)$ est donc de la forme $~\lambda\,e^a+\mu\,e^{-a}$.\par
D'apr{\`e}s {\bf IV.1}, $~\displaystyle \lim_{a\to+\infty} h(a)=0$,
~d'o{\`u} $\lambda=0$.
~~D'apr{\`e}s {\bf IV.2.b)}, $\mu=\Frac{\pi}{2}$.\par
Ainsi ~~\fbox{$\forall\, a>0,~~h(a)=\Frac{\pi}{2}e^{-a}.$}
~~Puis 
   ~\fbox{$g(x)=\Frac{\pi}{2}\Frac{{\rm exp}\big(-\sqrt{1+x}\big)}{\sqrt{1+x}}$.}

\medskip
\num{IV.6$^o$}
$\sqrt{1+x}=1+\Frac{x}{2}-\Frac{x^2}{8}+o(x^2)~$ et
$~\Frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\Frac{x}{2}+\Frac{3}{8}\,x^2+o(x^2)$.\par
\smallskip
On obtient alors ~\fbox{$g(x)=\Frac{\pi}{2\,e}\Big(1-x+
\Frac{7}{8}\,x^2+o(x^2)\Big)$.}




\medskip
\num{IV.7$^o$.b)}
~$\displaystyle \int_0^A
\Frac{t\,\sin t}{1+t^2}\,dt=\Frac{-A\,\cos A}{1+A^2}+\int_0^A
\Frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\,\cos t\,dt$.
~Or ~$\Frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\,\cos t=O\Big(\Frac{1}{t^2}\Big)$, d'o{\`u}
l'int{\'e}grabilit{\'e} sur $\R^+$.\par
\smallskip
Ainsi $~K'=\itg\Frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\,\cos t\,dt=
\itg\Frac{2-(1+t^2)}{(1+t^2)^2}\,\cos t\,dt=
2\,K_1-K_0$.
~~Donc ~\fbox{$K'=\Frac{\pi}{2\,e}$.}
\bigskip
\bigskip

$$*******************$$
\end
