%    CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP - Maths I (4 heures) - 
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%                             ENONCE
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% Mise en page en plain TeX

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\hoffset=-13truemm      \voffset=-16truemm
\parindent=0cm

% Quelques macros

\def\N{{\bf N}}
\def\R{{\bf R}}

\def\F{{\cal F}}
\def\B{{\cal B}}
\def\E{{\cal E}}
\def\C{{\cal C}}

\def\itg{\displaystyle \int_{\R^+}}
\def\Frac#1#2{\displaystyle {#1\over#2}}
\def\num#1{\hskip-8mm{\bf#1}~}

% D{\'e}but de l'{\'e}nonc{\'e}

\centerline{{\bf CONCOURS ECRIN 97- S{\'e}rie MP}}
\bigskip
\centerline{Composition de Math{\'e}matiques - I ~(4 heures)}
\bigskip


\centerline{{\bf L'usage des calculatrices est INTERDIT.}}
\bigskip

{\bf Notations}~~ On d{\'e}signe respectivement par : \par
\qquad$\bullet$
 $J$ l'intervalle $]-1,+\infty[$.\par
\qquad$\bullet$
$\F$ l'ensemble des applications de $J$ dans $\R$.\par


\qquad$\bullet$
$\B~$ l'ensemble des applications continues et born{\'e}es 
sur $\R^+=[0,+\infty[$, {\`a} valeurs r{\'e}elles. \par

\qquad$\bullet$
$\E~$ l'ensemble des applications $f$ continues sur $\R^+$, {\`a} valeurs r{\'e}elles, 
 et telles que la fonction \par
\hskip10mm $\,t\longrightarrow \Frac{f(t)}{1+t^2}~$ 
est int{\'e}grable sur $\R^+$. \par
\qquad$\bullet$
Si $f$ est une fonction int{\'e}grable sur un intervalle $I$, on note
$\,\displaystyle \int_I\!f~$ ou $\,\displaystyle \int_I\!f(t)\,dt~$
l'int{\'e}grale
\par\hskip10mm de $f$ sur $I$.
\par
\bigskip

{\bf Objet du probl{\`e}me}
\par
\bigskip

Dans la partie I, on d{\'e}finit une application lin{\'e}aire 
$~T:f\to  T[f]$ sur $\E$. \par
Dans la partie II, on  {\'e}tudie certaines propri{\'e}t{\'e}s des fonctions $T[f]$
li{\'e}es {\`a} la d{\'e}rivation. \par
Dans la partie III,  on {\'e}tudie l'injectivit{\'e} de $T$. \par
Dans la partie IV, on {\'e}tudie un cas particulier et on calcule 
certaines int{\'e}grales. \par

\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie I}}\par
\bigskip

\num{I.1$^o$}
Prouver que $\E$ est un $\R-$espace vectoriel contenant $\B$.\par



\num{I.2$^o$}
V{\'e}rifier que $~\gamma:t\longrightarrow  \sqrt t\sin(t)~$ est {\'e}l{\'e}ment de
 $\E$, mais n'appartient pas {\`a} $\B$ ? \par
\smallskip
\sl
On retiendra donc pour la suite du probl{\`e}me qu'un {\'e}l{\'e}ment $f\in\E$ 
n'est pas forc{\'e}ment de signe constant, ni born{\'e} sur $[0,+\infty[$. \par
\rm

\num{I.3$^o$}
Soit $f$ un {\'e}l{\'e}ment de $\E$. \par
Montrer que, pour tout $x\in J$, 
la fonction $\,t\to \Frac{f(t)}{1+t^2+x}~$
est int{\'e}grable sur $\R^+$.\par
\smallskip

\sl
Dans la suite, pour $f\in\E$, on note 
$T[f]$ la fonction {\`a} valeurs r{\'e}elles d{\'e}finie sur $J$ par :
$$\forall\, x\in J,~~T[f](x)=\itg\Frac{f(t)}{1+t^2+x}\,dt.$$
\rm

\smallskip
\num{I.4$^o$}
Montrer que $\,T :f\to T[f]\,$ est une application lin{\'e}aire de $\E$ 
dans $\F$. \par

\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie II}}\par
\bigskip

\sl
$f$ d{\'e}signe un {\'e}l{\'e}ment fix{\'e} de $\E$. \par
\rm
\num{II.1$^o$}
Prouver que la fonction $T[f]$ est de classe $\C^1$ sur $J$ et que
$$\forall\,x\in J,~\big(T[f]\big)'(x)=
-\itg\Frac{f(t)}{(1+t^2+x)^2}\,dt.\eqno (1)$$
\smallskip

\num{II.2$^o$.a)}
Prouver plus g{\'e}n{\'e}ralement que $T[f]$ est d{\'e}rivable {\`a} tout ordre $p$ 
sur $J$ et exprimer $\,\big(T[f]\big)^{(p)}(x)\,$ {\`a} l'aide de l'int{\'e}grale suivante :
$$F_p(x)=\itg\Frac{f(t)}{(1+t^2+x)^{p+1}}\,dt.$$
\num{II.2$^o$.b)} Qu'obtient-on pour $x=0$ ?\par

\bigskip
\sl Dans la suite on note, pour $p\in\N,~~I_p=
\itg\Frac{f(t)}{(1+t^2)^{p+1}}\,dt.$
\rm
\bigskip
\num{II.3$^o$.a)}
V{\'e}rifier que, pour tout $p\in\N$, on a :
$$\itg\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)^{p+1}}\,dt\le
\itg\Frac{|f(t)|}{(1+t^2)}\,dt.\eqno (2)$$

\num{II.3$^o$.b)}
Montrer que pour tout r{\'e}el $x$ dans l'intervalle $]-1,1[$, on a :
$$T[f](x)=\displaystyle\sum_{p=0}^\infty(-1)^p\,I_p\,x^p.\eqno(3)$$
 \smallskip

\num{II.3$^o$.c)}
On d{\'e}signe par $\,\C^\infty(J,\R)\,$ l'espace vectoriel des fonctions
d{\'e}finies et de classe $\C^\infty$ sur $J$, {\`a} valeurs r{\'e}elles. 
~L'application
$$\overline T:\matrix{\E&\longrightarrow &\C^\infty(J,\R)\cr
f &\longrightarrow &T[f]\cr}$$
est-elle surjective ?


\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie III}}\par
\bigskip


\num{III.1$^o$}
Soit $f$ un {\'e}l{\'e}ment de $\E$.
~On d{\'e}finit une fonction $\Phi$ sur $\R^+$ par
$$\forall\,t\in\R^+,~\Phi(t)=
\displaystyle \int_0^t\Frac{f(u)}{1+u^2}\,du.$$
 
\num{III.1$^o$.a)}
V{\'e}rifier que $\Phi$ est born{\'e}e sur $\R^+$.
\smallskip

\num{III.1$^o$.b}
Montrer que, pour tout $k\in\N^*$,
la fonction $\,t\to\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+1}}\,$
est int{\'e}grable sur $\R^+$ et que 
$$\itg\Frac{t\,\Phi(t)}{(1+t^2)^{k+1}}\,dt=\Frac{I_k}{2\,k}\eqno(4)$$
(o{\`u} $I_k$ a {\'e}t{\'e} d{\'e}fini dans la partie {\bf  II} apr{\`e}s la question
{\bf  II.2$^o$.})
\medskip
\sl
Dans la suite de cette partie, on suppose que $f\in{\rm Ker}\,T$,
c'est-{\`a}-dire que $\,f\in\E\,$
et $\,T[f]$ est la fonction nulle sur $J$.\par
\rm
\bigskip



\num{III.2$^o$}
Montrer que pour tout $ k\in\N,$ on a $~I_k=0$.
\medskip

\num{III.3$^o$}
On consid{\`e}re la fonction $\varphi:[0,1]\to\R$ d{\'e}finie par

$$\cases{\varphi(u)=\Phi\left(\sqrt{\Frac{1-u}{u}}\right)&si $\,u\in\,]0,1]$\cr
   \varphi(0)=0.&\cr}$$
 \par
\num{III.3$^o$.a)}
Montrer que $\varphi$ est  continue sur $[0,1]$ et que 
$$~\forall\, k\in\N,~\displaystyle \int_0^1\!u^k\,\varphi(u)\,du\,=0.
\eqno(5)$$ \par
\smallskip
\sl Ceci montre (ce qu'on ne demande pas de justifier) que pour tout polyn{\^o}me
$\,P\in\R[X]$, on a :
$$\displaystyle \int_0^1\!P(u)\,\varphi(u)\,du=0.\eqno(6)$$
\rm
\smallskip

\num{III.3$^o$.b)}
En d{\'e}duire que $~~\forall\,u\in[0,1],~~\varphi(u)=0.$
\smallskip


\num{III.4$^o$}
L'application $T$ est-elle injective ?



\bigskip
\bigskip



\centerline{{\bf Partie IV}}\par
\bigskip

\sl
Dans cette partie, on suppose que $f(t)=\cos(t)$. 
On remarque que $f\in\B$, donc $f\in\E$.\par
On note 
$~g=T[f]$ et pour $a>0$, on pose  
$$h(a)=a\,g(a^2-1)=\itg\Frac{a\,\cos t}{a^2+t^2}\,dt.$$ \par
\rm
\num{IV.1$^o$}
Etablir, {\`a} l'aide d'une int{\'e}gration par parties, 
que $~\forall\,a>0,~h(a)\le\Frac{1}{a}.$

\num{IV.2$^o$.a)}
V{\'e}rifier que, pour tout $n\in\N^*$, on a :
$$h\Big(\Frac{1}{n}\Big)=
\itg\Frac{\cos\big({u\over n}\big)}{1+u^2}\,du.\eqno(7)$$

\num{IV.2$^o$.b)}
En d{\'e}duire que $~\displaystyle \lim_{n\to+\infty}h\Big(\Frac{1}{n}\Big)=
\Frac{\pi}{2}.$

\smallskip
\num{IV.3$^o$}
D{\'e}montrer, en utilisant les expressions de $g'$ et $g''$ obtenue dans 
la partie {\bf II},
que $h''(a)$ existe pour $a>0$ 
et peut se mettre sous la forme
$$h''(a)=\itg\left[\Frac{\partial^2}{\partial a^2}
\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)\right]
\,(\cos t)\,dt.\eqno (8)$$
\smallskip

\num{IV.4$^o$}
Calculer pour $(a,t)\ne(0,0)$,
$$\Frac{\partial^2}{\partial a^2}\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right)
+\Frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\Frac{a}{a^2+t^2}\right).$$
\smallskip

\num{IV.5$^o$.a)}
A l'aide d'int{\'e}grations  par parties, exprimer $h''(a)$ en fonction de 
$h(a)$. \par
\smallskip

\num{IV.5$^o$.b)}
Montrer que $$\forall\, a>0,~~h(a)=\Frac{\pi}{2}e^{-a}\eqno(9)$$
 et en d{\'e}duire
 la valeur de  $g(x)=T[f](x)$.

\medskip
\num{IV.6$^o$}
D{\'e}terminer les coefficients du d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre 2 de
 $g(x)$au voisinage de $0$.

\medskip
\num{IV.7$^o$.a)}
En utilisant le r{\'e}sultat de la question {\bf II.3$^o$.b)},
 calculer la valeur 
des int{\'e}grales suivantes :

$$K_0=\itg\Frac{\cos t}{1+t^2}\,dt,\quad
K_1=\itg\Frac{\cos t}{(1+t^2)^2}\,dt,\quad
K_2=\itg\Frac{\cos t}{(1+t^2)^3}\,dt.$$
\medskip
\num{IV.7$^o$.b)}
Justifier l'existence de la limite ~$K'=
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\displaystyle \int_0^A
\Frac{t\,\sin t}{1+t^2}\,dt\right)~$ et d{\'e}terminer sa valeur.\par
\bigskip
\bigskip

$$*******************$$
\end
