%       CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP - Maths II (2 heures) - 
%
%                             CORRIGE
%
%       par Daniel GENOUD  Lyc{\'e}e La Martini{\`e}re-Monplaisir LYON
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% Mise en page en plain TeX

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% Quelques macros

\def\N{{\bf N}}
\def\R{{\bf R}}

\def\num#1{\hskip-8mm{\bf#1}~}
\def\ps#1#2{<\!#1\,,\,#2\!>}
\def\classe#1#2#3{{\cal C}^{#1}\big([{#2},{#3}],\R\big)}
\def\fbox#1{\leavevmode     % cadre      
             \hbox{\vrule\vtop{\vbox{\hrule\kern 3pt
             \hbox{\kern 3pt#1\kern 3pt}}\kern 2pt\hrule}\vrule}}               
\def\hautdepage#1{\headline={\vbox{~{#1} \hfill \fbox{\folio}\qquad
             \smallskip \hrule}}\bigskip}


% D{\'e}but du corrig{\'e}

\hautdepage{\bf CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP\qquad Maths II}
\smallskip
\centerline{Corrig{\'e} de la composition de Math{\'e}matiques - II ~(2 heures)}


\bigskip
\centerline{{\bf Partie I}}

\bigskip

\rm
\num{I.1$^o$}
 $u$ est \underbar{injective} car si $u(x)=0$, alors $\Phi(x)=\big(x,u(x)\big)=0$,
donc $x=0$ d'apr{\`e}s $(iii)$.\par
Il en r{\'e}sulte imm{\'e}diatement que l'{\'e}quation {\sl (I)}
a une solution \underbar{unique} $y_0$.
\par
\smallskip

\num{I.2$^o$}
$\Psi:(x,y)\to \Phi\big(u(x),y\big)$ est \underbar{lin{\'e}aire par rapport au $2^e$ vecteur},
~\underbar{sym{\'e}trique} d'apr{\`e}s $(i)$.\par
La forme quadratique associ{\'e}e {\`a} $\Psi$ est \underbar{positive}
d'apr{\'e}s $(ii)$ et \underbar{d{\'e}finie} d'apr{\'e}s $(iii)$.\par
Ainsi $\,\Psi=\ps{\,}{\,}\,$ est un \underbar{produit scalaire} sur $E$.\par

\smallskip



\num{I.3$^o$.a)}
L'identit{\'e} du parall{\`e}logramme 
$~\forall\,(a,b)\in E^2,~~2\,\big[\|a\|^2+\|b\|^2\big]=
\|a+b\|^2+\|a-b\|^2$ donne imm{\'e}diatement : 
$~\forall\,(x,x',x'')\in E^3,~~2\,\big[\|x'-x\|^2+\|x''-x\|^2\big]=
\|x'+x''-2\,x\|^2+\|x'-x''\|^2.$
\smallskip
Supposons que $z$ et $v$ soient deux pseudo-solutions dans $V$ de 
{\sl (I)}.\par
Ainsi $~\|z-y_0\|=\|v-y_0\|=\displaystyle\min_{y\in V}\|y-y_0\|~$ r{\'e}el not{\'e} $m$.\par
On a $~4\,m^2=2\,\big[\|z-y_0\|^2+\|v-y_0\|^2\big]=
\|z+v-2\,y_0\|^2+\|z-v\|^2=\|z-v\|^2+4\,\Big\|\displaystyle {z+v\over 2}-y_0\Big\|^2$.\par
Comme $\displaystyle {z+v\over 2}\in V$, alors $~4\,m^2\ge \|z-v\|^2+4\,m^2$, ~donc
$\,\|z-v\|^2\le0$, ~d'o{\`u} $z=v$.\par
On en d{\'e}duit donc \underbar{l'unicit{\'e}} (sous r{\'e}serve d'existence)
de pseudo-solution dans $V$ de {\sl (I)}.


\smallskip
\num{I.3$^o$.b)}
Supposons que $~z\in V~$ et $~(z-y_0)\in V^\bot$.
~Ainsi $~\forall \,v\in V,~\ps v{z-y_0}\,=0$.\par
Alors $~\forall\, y\in V,~\|y-y_0\|^2=\|(y-z)+(z-y_0)\|^2=
\|y-z\|^2+\|z-y_0\|^2+2\,\ps{y-z}{z-y_0}$.\par
Donc $~\|y-y_0\|^2=\|y-z\|^2+\|z-y_0\|^2~$ car $~y-z\in V$.
\par
Ceci montre que l'application $\,y\longrightarrow \|y-y_0\|^2\,$ admet un minimum absolu en $z$, 
autrement dit :\par
\centerline{\underbar{$z$ est pseudo-solution dans $V$ de {\sl (I)}.}}
\smallskip


\num{I.3$^o$.c)}
R{\'e}ciproquement, supposons que $z$ est une pseudo-solution dans
 $V$ de l'{\'e}quation {\sl (I)}.\par
$\forall\,\lambda\in\R,~\forall\,y\in V,~z+\lambda\,y\in V$, ~donc : \par

\centerline{$\|z-y_0\|^2\le\|z+\lambda\,y-y_0\|^2=
\|z-y_0\|^2+2\,\lambda\ps y{z-z_0}+\,\lambda^2\,\|y\|^2$.}\par
On a donc $~\forall\,\lambda\in\R,~\forall\,y\in V,
~2\,\lambda\ps y{z-z_0}+\,\lambda^2\,\|y\|^2\ge 0~~(1)$.\par
$~~\star$ si $y=0$, alors $\ps{y}{z-y_0}\,=0$.\par
$~~\star$ si $y\ne0$, alors l'in{\'e}galit{\'e} $(1)$ est v{\'e}rifi{\'e}e pout tout r{\'e}el $\lambda$ si
et seulement si le trin{\^o}me admet la racine double $0$,
ce qui impose $\ps{y}{z-y_0}\,=0$.\par
On obtient donc, dans tous les cas, $~\forall\,y\in V,~\ps{y}{z-y_0}=0$,
ce qui traduit que \underbar{$(z-y_0)\in V^\bot$}.\par

\smallskip
\num{I.4$^o$}
Si $V_n$ est un sous-espace vectoriel
de $E$ de dimension finie $n\ge 1$, alors $\,E=V_n\oplus V_n^\bot$.\par
Les 2 conditions $\,z\in V_n\,$ et $\,(z-y_0)\in V_n^\bot\,$
\underbar{caract{\'e}risent la projection orthogonale} $z_n$ de $y_0$ sur $V_n$.\par
Ainsi dans ce cas particulier, l'{\'e}quation {\sl (I)} admet
 une pseudo-solution et une seule $z_n$ dans $V_n$.\par
\smallskip




\num{I.4$^o$.b)}
Un {\'e}l{\'e}ment quelconque $x\in V_n$ se d{\'e}compose sous la forme :
$~x=\displaystyle \sum_{j=1}^nx_j\,e_j$.\par

$\eqalign{x=z_n \Leftrightarrow & ~x-y_0\in V_n^\bot {\rm ~~~d'apres~\bf I.3.b)}
~\Leftrightarrow ~ \forall\,i=1\ldots n,~\ps{e_i}{x-y_0}\,=0\cr
\Leftrightarrow &~ \forall\,i=1\ldots n,~\ps{e_i}{x}\,=\,\ps{e_i}{y_0}
~\Leftrightarrow  ~\forall\,i=1\ldots n,
~\ps{e_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^nx_j\,e_j}\,=\,\Phi\big(e_i,u(y_0)\big)\cr
~\Leftrightarrow & ~\forall\,i=1\ldots n,
~\displaystyle\sum_{j=1}^n\ps{e_i}{e_j}\,x_j\,=\,\Phi(e_i,b)
~\Leftrightarrow  ~M_n\,X=B\cr}$

\smallskip

\num{I.4$^o$.c)}
 $M_n$ est une matrice matrice \underbar{sym{\'e}trique d{\'e}finie positive} car
c'est la matrice du produit scalaire $\ps{\,}{\,}$ relativement 
{\`a} la base ${\cal B}_n$. On sait que son rang est {\'e}gal {\`a} $n$,
donc \underbar{$M_n$ est inversible}.\par
({\sl On retrouve ainsi l'existence et l'unicit{\'e} de la pseudo-solution 
$z_n$ comme solution d'un syst{\`e}me de Cramer.})

\bigskip
\bigskip
\centerline{{\bf Partie II}}


\bigskip


\num{II.1$^o$} 
Si $y$ est une solution de {\sl (II)}, alors $~y''=a\,y-b$. 
~Comme $a,~b,~y$ sont continues sur $[\alpha,\beta]$, l'{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente 
montre que $y$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $[\alpha,\beta]$.\par

\smallskip

\num{II.2$^o$} 
Dans cette question : $~\forall\,x\in[0,\pi],~y''(x)+y(x)=x$.\par
La solution g{\'e}n{\'e}rale de cette {\'e}quation diff{\'e}rentielle est :
$~y(x)=x+A\,\cos x+B\,\sin x$ ~$(A,B)\in\R^2$.\par

\smallskip
\num{II.2$^o$.a)} Si $~\lambda=\mu=0$, alors les conditions aux 
limites $y(0)=y(\pi)=0$
sont incompatibles.\par
 Il n'y a donc \underbar{pas de solution} pour le syst{\`e}me {\sl (II)}.\par

\smallskip
\num{II.2$^o$.b)} Si $~\lambda=0$ ~et~ $\mu=\pi$, alors les 
conditions aux limites $y(0)=0$ et $y(\pi)=\pi$ sont v{\'e}rifi{\'e}es avec $A=0$ et $B$ r{\'e}el quelconque.
Le syst{\`e}me {\sl (II)} a donc une \underbar{infinit{\'e} de solutions}.\par
\par
\medskip




\num{II.3$^o$.a)}
Soient $f$ et $g$ {\'e}l{\'e}ments de $E$.\par
$\Phi\big(u(f),g\big)=\displaystyle\int_0^1\big[-f''(x)+a(x)\,f(x)
\big]\,g(x)\,dx=
\int_0^1a(x)\,f(x)\,g(x)\,dx-\int_0^1f''(x)\,g(x)\,dx.$\par
Or $~\displaystyle \int_0^1f''(x)\,g(x)\,dx=f'(1)\,g(1)-f'(0)\,g(0)-
\int_0^1f'(x)\,g'(x)\,dx=-\int_0^1f'(x)\,g'(x)\,dx$ \par
car $~g(0)=g(1)=0~$ puisque $g\in E$.\par
\smallskip
On a donc ~\fbox{~$\Phi\big(u(f),g\big)=
\displaystyle\int_{[0,1]}(a\,f\,g+f'\,g')$.~}

\smallskip
- L'expression pr{\'e}c{\'e}dente est \underbar{sym{\'e}trique} en $f$ et $g$,
~donc $~\Phi\big(u(f),g\big)=\Phi\big(f,u(g)\big)~$ $~(i).$\par
- Comme $a\ge 0$, alors $~\Phi\big(u(f),f\big)=
\displaystyle\int_{[0,1]}(a\,f^2+f'^2)\ge 0$~~ $(ii)$.\par
- Si $\,\Phi\big(u(f),f\big)=0$, alors notamment $\displaystyle\int_{[0,1]}a\,f^2=0$. 
Puisque $a\,f^2$ est \underbar{continue et positive} sur $[0,1]$,
on sait que n{\'e}cessairement : $~\forall\,x\in[0,1],~a(x)\,f^2(x)=0$.
~Or $a(x)>0$ pour $x\in]0,1[$, donc $f(x)=0$ pour $x\in]0,1[$.
~En outre $f(0)=f(1)=0$ car $f\in E$ 
(ou parce que $f$ est continue sur $[0,1]$),
donc $f=0$, ce qui montre $(iii)$.\par
\underbar{En r{\'e}sum{\'e}} : $u$ v{\'e}rifie les propri{\'e}t{\'e}s ${\cal P}$.\par

\smallskip


\smallskip
\num{II.4$^o$.a)}  On obtient facilement 
~\fbox{$y_0(x)=1-\displaystyle{e^x+e^{1-x}\over 1+e}$.} 
\smallskip

\num{II.4$^o$.b)} 
Pour prouver que $\,{\cal B}_n=(e_1,\ldots,e_n)~$ est une base de $V_n$,
il suffit de montrer qu'elle est libre. Pour cela, comme aucune des $e_k$ n'est la fonction nulle,
on montre qu'elle est \underbar{orthogonale}
pour le produit scalaire induit par $\Phi$ sur $E$.
~En effet :\par
$2\,\Phi(e_i,e_j)=2\,\displaystyle\int_0^1\sin(i\,\pi\,x)\,\sin(j\,\pi\,x)\,dx=
\int_{-1}^1\sin(i\,\pi\,x)\,\sin(j\,\pi\,x)\,dx={1\over\pi}\,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(i\,t)\,\sin(j\,t)\,dt$\par
$=0$ si $i\ne j$ (bien connu avec les s{\'e}ries de Fourier !)



\smallskip
\num{II.4$^o$.c)} 
On explicite le syst{\`e}me $\,M_n\,X=B$ obtenu au  {\bf I.4$^o$.b)}.\par
Ici $~b_k=\Phi(e_k,\widetilde 1)=\displaystyle \int_0^1\sin(k\,\pi\,x)\,dx
={1-(-1)^k\over k\,\pi}=\cases{0 & si $k$ est pair\cr 
\displaystyle {2\over k\,\pi}   & si $k$ est impair.\cr}$\par

$m{i,j}=\displaystyle \int_0^1(e_i\,e_j+e'_i\,e'_j)={1\over 2\pi}\,
\int_{-\pi}^{\pi}\big[\sin(i\,t)\,\sin(j\,t)+i\,j\,\pi^2\,\cos(i\,t)\,\cos(j\,t)\big]\,dt$.\par

\smallskip

\centerline{$m_{i,j}=0$ si $i\ne j$ ~et~ $m_{i,i}=
\displaystyle {1+i^2\pi^2\over2}$.}\par
\smallskip
On a donc un \underbar{syst{\`e}me diagonal} o{\`u} la $i^e$ {\'e}quation est :
$~m_{i,i}\,x_i=b_i$.\par
\smallskip
En notant $m$ la partie enti{\`e}re de $\displaystyle {n-1\over2}$, on obtient :
~\fbox{$z_n(x)=\displaystyle {4\over\pi}\,\sum_{p=0}^m
{\sin\big((2\,p+1)\,\pi\,x\big)\over (2\,p+1)\,\big[1+(2\,p+1)^2\,\pi^2\big]}$.}

\smallskip
\num{II.4$^o$.d)} 
En notant $~u_p(x)=\displaystyle {\sin\big((2\,p+1)\,\pi\,x\big)
\over (2\,p+1)\,\big[1+(2\,p+1)^2\,\pi^2\big]}$,
on obtient $N_\infty(u_p)=O\Big(\displaystyle {1\over p^3}\Big)$, ce qui montre que la s{\'e}rie de 
fonctions $\sum u_p$ est normalement convergente, 
donc uniform{\'e}m{\'e}nt convergente sur $[0,1]$.\par
Il en r{\'e}sulte que la suite $(z_n)$ des sommes partielles de 
cette s{\'e}rie est \underbar{uniform{\'e}ment convergente} sur $[0,1]$.


\bigskip
\bigskip

\centerline{$$*******************$$}
\end
