%    CONCOURS ECRIN 97 - S{\'e}rie MP - Maths II (2 heures) - 
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%                             ENONCE
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% Mise en page en plain TeX

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% Quelques macros

\def\N{{\bf N}}
\def\R{{\bf R}}

\def\num#1{\hskip-8mm{\bf#1}~}
\def\ps#1#2{<\!#1\,,\,#2\!>}
\def\classe#1#2#3{{\cal C}^{#1}\big([{#2},{#3}],\R\big)}


% D{\'e}but de l'{\'e}nonc{\'e}

\centerline{{\bf CONCOURS ECRIN 97- S{\'e}rie MP}}
\smallskip
\centerline{Composition de Math{\'e}matiques - II ~(2 heures)}
\bigskip



\centerline{{\bf L'usage des calculatrices est INTERDIT.}}
\bigskip
\bigskip

{\bf Objet du Probl{\`e}me}\par
\medskip
L'objectif du probl{\`e}me est l'{\'e}tude d'une m{\'e}thode de 
r{\'e}solution approch{\'e}e de la solution d'une {\'e}quation diff{\'e}rentielle.\par
\smallskip
Dans la partie I, on met en place une m{\'e}thode d'approximation
 exploitant des r{\'e}sultats d'alg{\`e}bre lin{\'e}aire.\par
Dans la partie II, on applique cette m{\'e}thode {\`a} une {\'e}quation diff{\'e}rentielle
 lin{\'e}aire pour obtenir des solutions approch{\'e}es sous forme de polyn{\^o}mes
 trigonom{\'e}triques.\par

\bigskip
\bigskip
\centerline{{\bf Partie I}}

\bigskip

\rm
{\bf Description d'une m{\'e}thode d'approximation}
\bigskip

On suppose que $H$ est un espace pr{\'e}hilbertien r{\'e}el de dimension infinie 
dont le produit scalaire est not{\'e} 
$$\Phi : \matrix{H\times H&\to &\R\cr (x,y) &\to &\Phi(x,y).\cr}$$ 

$E$ d{\'e}signe un sous-espace vectoriel de $H$ et $u$ une application lin{\'e}aire de $E$ vers $H$ v{\'e}rifiant : \par
$\qquad ({\cal P})\qquad \cases{
\ \ (i)\quad\forall\, x\in E,~\forall\, y\in E,~ \Phi\big(x,u(y)\big)\, =
\,\Phi\big(u(x),y\Big) \cr
\ (ii)\quad\forall\, x\in E,~\Phi\big(x,{u(x)}\big)\,\ge0 \cr
(iii)\quad\forall\, x\in E,~\Big[\Phi\big( x,{u(x)}\big)\,=\,0
\Longrightarrow   x=0\Big]. \cr}$
\smallskip
\sl
On s'int{\'e}resse {\`a} l'{\'e}quation lin{\'e}aire : 
$$ (I) \quad u(y)=b$$

dans laquelle $b$ d{\'e}signe un {\'e}l{\'e}ment donn{\'e} de $H$ et $y$ un {\'e}l{\'e}ment
 inconnu de $E$.\par
\medskip
Dans tout le probl{\`e}me, on fait l'hypoth{\`e}se que 
l'{\'e}quation (I) admet au moins une solution dans $E$, not{\'e}e $y_0$.
On se propose donc d'approcher $y_0$ avec un {\'e}l{\'e}ment $z$
d'un sous-espace vectoriel $V$ de $E$.\par
\rm
\smallskip
\num{I.1$^o$}
D{\'e}montrer que l'application $u$ est injective et en d{\'e}duire que
$y_0$ est la seule solution dans $E$ de {\sl (I)}.\par
\smallskip

\num{I.2$^o$}
V{\'e}rifier que l'application 
$$(x,y)\longrightarrow \ps xy=\Phi\big(u(x),y\big)$$
est un produit scalaire  sur $E$.
\par On notera $\|.\|$ la norme associ{\'e}e {\`a} ce produit scalaire,  
d{\'e}finie sur $E$ par
~$\forall\,x\in E,~\| x\|=\sqrt{\ps xx}.$
\smallskip

\num{I.3$^o$}
Soit $V$ un sous espace vectoriel de $E$.
~~(On ne suppose pas que $V$ est de dimension finie)\par
\smallskip
\sl
On appelle solution approch{\'e}e dans $V$ de l'{\'e}quation  (I) ou encore 
pseudo-solution dans $V$ de  (I) tout {\'e}l{\'e}ment $z\in V$ tel que l'application
$$\matrix{V&\longrightarrow &\R\cr
y&\longrightarrow &\|y-y_0\|\cr}$$
 pr{\'e}sente un minimum absolu en $z$.
 ~En g{\'e}n{\'e}ral, l'existence d'un tel {\'e}l{\'e}ment n'est pas garantie.
\rm\par


\num{I.3$^o$.a)}
D{\'e}montrer l'{\'e}galit{\'e}, 
$$\forall\,(x,x',x'')\in E^3,~~2\,\Big[\|x'-x\|^2+\|x''-x\|^2\Big]=
\|x'+x''-2\,x\|^2+\|x'-x''\|^2.\eqno(1)$$
En d{\'e}duire, en raisonnant par l'absurde, que {\sl (I)}
 admet au plus une pseudo solution dans $V$.\par
\smallskip
\sl On note $V^\bot$ l'orthogonal de $V$ dans $E$ pour le produit
scalaire $\ps{\,}{\,}$.\rm

\smallskip
\num{I.3$^o$.b)}
\'Etablir que si $z$ v{\'e}rifie $~z\in V~$ et $~(z-y_0)\in V^\bot$,
alors $z$ est une pseudo-solution dans $V$ de l'{\'e}quation {\sl (I)}.
\smallskip

\num{I.3$^o$.c)}
R{\'e}ciproquement, montrer que si $z$ est une pseudo-solution dans $V$ de l'{\'e}quation {\sl (I)},
alors z v{\'e}rifie $~(z-y_0)\in V^\bot$.\par
(On pourra consid{\'e}rer les {\'e}l{\'e}ments de $V$ de la forme 
 $\,z+\lambda\,y\,$ o{\`u} $\lambda\in\R$ et $y\in V$.)\par

\smallskip
\num{I.4$^o$}
\sl
On suppose dans cette question que $V_n$ est un sous-espace vectoriel
de $E$ de dimension finie $n\ge 1$.\rm\par
\smallskip
\num{I.4$^o$.a)}
Montrer qu'alors l'{\'e}quation {\bf (I)} admet une pseudo-solution
et une seule dans $V_n$, not{\'e}e $z_n$.\par
\smallskip
\num{I.4$^o$.b)}
On suppose que ${\cal B}_n=(e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $V_n$.\par
Pour $x\in V_n$, on note $\,x_1,\ldots,x_n\,$ les coordonn{\'e}es de $x$ dans la base ${\cal B}_n$.\par
\'Etablir que $x$ est {\'e}gal {\`a} la pseudo-solution $z_n$ de {\sl I}
 si et seulement si
$(x_1,\ldots,x_n)$ est la solution dans $\R^n$ du syst{\`e}me lin{\'e}aire
qui s'{\'e}crit matriciellement : 
$$M_n\,X=B\eqno (2)$$
 o{\`u} $\,M_n=(m_{i,j})_{1\le i,j\le n}\,$ d{\'e}signe la matrice carr{\'e}e 
r{\'e}elle d'ordre $n$ de coefficients
$\,m_{i,j}=\ps{e_i}{e_j}$,
$$X=\pmatrix{x_1\cr
\vdots\cr x_n\cr} {\rm~~et~~}
 B=\pmatrix{\Phi(e_1,b)\cr\vdots\cr\Phi(e_n,b)\cr}.$$
\smallskip

\num{I.4$^o$.c)}
Justifier que $M_n$ est une matrice inversible.

\bigskip
\bigskip
\centerline{{\bf Partie II}}

\bigskip
{\bf R{\'e}solution approch{\'e}e d'une {\'e}quation diff{\'e}rentielle lin{\'e}aire}

\bigskip



$\alpha$ et $\beta$ d{\'e}signent deux r{\'e}els tels que $\,\alpha<\beta$.\par
Pour $p\in\N$, on note
$\,{\cal C}^p([\alpha,\beta])\,$ l'ensemble des applications 
de $[\alpha,\beta]$ dans $\R$ de classe ${\cal C}^p$ sur $[\alpha,\beta]$.\par
\smallskip
On cherche les fonctions $\,y :[\alpha,\beta]\to \R\,$
deux fois d{\'e}rivables sur  $[\alpha,\beta]$ et telles que :
$$(II)\cases{\forall\,x\in [\alpha,\beta],~-y''(x)+a(x)\,y(x)=b(x)&\cr
y(\alpha)=\lambda&\cr y(\beta)=\mu&\cr}$$
o{\`u} $a$ et $b$ sont deux applications continues
de $[\alpha,\beta]$ dans $\R$ et $\,\lambda,~\mu\,$ deux r{\'e}els.\par

\num{II.1$^o$} 
Justifier qu'en fait les solutions de {\sl (II)} 
 sont toutes de classe ${\cal C}^2$ sur $[\alpha,\beta]$.\par

\smallskip

\num{II.2$^o$} 
\sl
On se propose d'abord de montrer sur un exemple que
l'existence ou l'unicit{\'e} d'une solution du syst{\`e}me {\sl (II)} n'est pas assur{\'e}e.\par
\par
\smallskip
On suppose dans cette question seulement que $\alpha=0,~\beta=\pi$ et
$$\forall x\in[0,\pi],~~a(x)=-1{\rm ~~et~~}~b(x)=-x.$$

\rm
D{\'e}terminer l'ensemble des solutions de {\sl (II)} dans chacun des cas suivants :\par
\smallskip
\num{II.2$^o$.a)} $~\lambda=\mu=0$.\par
\smallskip
\num{II.2$^o$.b)} $~\lambda=0$ ~et~ $\mu=\pi$.\par
\medskip

\sl
On suppose dans la suite du probl{\`e}me que
 $\,\alpha=0,~\beta=1,~\lambda=\mu=0~$ et que de plus \par

\centerline{$\forall\, x\in]0,1[,~a(x)>0$.}
\rm\par
\smallskip


\num{II.3$^o$}
On note $H$ l'espace vectoriel $\classe 001$ \ et
 $E$ le sous-espace vectoriel de $H$ d{\'e}fini par
$$E=\{f\ ,\ f\in\classe 201~/~ f(0)=f(1)=0\}.$$\par

On munit $H$ du produit scalaire  usuel 
$$\Phi:(f,g)\longrightarrow \Phi(f,g)=
\displaystyle\int_0^1\!f(x)\,g(x)\,dx.$$\par
On note $u$ l'application lin{\'e}aire 
$$u:\matrix{ E&\longrightarrow &H\cr
f&\longrightarrow & -f''+a\, f.\cr}$$ 
\smallskip
\num{II.3$^o$.a)}
Pour $f$ et $g$ {\'e}l{\'e}ments de $E$,
exprimer $\Phi\big(u(f),g\big)$ {\`a} l'aide d'int{\'e}grales o{\`u} 
n'interviennent que les fonctions $\,a,\,f,\,f',\,g,\,g'$.\par

\smallskip
\num{II.3$^o$.b)}
Prouver que $u$ v{\'e}rifie les conditions $({\cal P})$ donn{\'e}es au
d{\'e}but de la partie {\bf I}. \par
\smallskip
\sl 
Ainsi, $y$ est solution du syst{\`e}me {\sl (II)}
si et seulement si $y$ est un {\'e}l{\'e}ment de $E$
 solution  de l'{\'e}quation {\sl (I)} : $u(y)=b$.\par
Conform{\'e}ment {\`a} l'hypoth{\`e}se faite au d{\'e}but du probl{\`e}me et 
aux r{\'e}sultats de la question {\bf I.1$^o$}, le syst{\`e}me {\sl (II)}
 admet une  et une seule solution $y_0$ dans $E$.
\rm
\bigskip

\num{II.4$^o$} ~{\bf Approximation par des fonctions trigonom{\'e}triques}
\par
\smallskip
\sl 
Dans cette question, on se place dans le cas particulier o{\`u}
$$\forall\,x\in E,~~a(x)=b(x)=1.$$
Le syst{\`e}me {\sl (II)} s'{\'e}crit donc
$$(II)~~\cases{\forall\,x\in [0,1],~-y''(x)+y(x)=1&\cr
y(0)=y(1)=0.&\cr}$$
\rm
\smallskip
\num{II.4$^o$.a)} 
Expliciter l'unique solution $y_0$ du syst{\`e}me {\sl (II)}.\par
\smallskip
Soit $n\in\N^*$.
Pour $k\in\{1,\ldots,n\},\ e_k$ d{\'e}signe l'{\'e}l{\'e}ment de $E$ d{\'e}fini par
$$\forall\, x\in[0,1],~e_k(x)=\sin(k\,\pi\,x).$$ \par
On note  $V_n$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendr{\'e} par
 $(e_1,\ldots,e_n)$. \par
\smallskip
\num{II.4$^o$.b)} 
Prouver que $\,{\cal B}_n=(e_1,\ldots,e_n)~$ est une base de $V_n$.
\smallskip
\num{II.4$^o$.c)} 
En utilisant la question {\bf I.4$^o$.b)}, d{\'e}terminer la pseudo-solution 
$z_n$ dans $V_n$ de l'{\'e}quation {\sl (I)} associ{\'e}e au syst{\`e}me {\sl (II)}.

\smallskip
\num{II.4$^o$.d)} 
La suite de fonctions $\,(z_n)_{n\in\N^*}\,$ converge-t-elle
 uniform{\'e}ment sur $[0,1]$ ?
\par
{\sl (On ne demande pas quelle est la limite de cette suite.)}\par



\bigskip

\smallskip

\centerline{$$*******************$$}
\end
