% Sujet scanne et traduit en TeX par Eric DETREZ
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\headline={\bf \hfill E.S.T.P. 1997 MP Math 1}
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\item{1)} a) Montrer que l'ensemble $T$ des matrices \`a \'el\'ements 
complexes triangulaires inf\'erieures (c'est-\`a-dire v\'erifiant 
$a_{i,j}=0$ d\`es que $i<j$) est muni d'une structure d'alg\`ebre pour les 
lois usuelles (pour v\'erifier certaines propri\'et\'es comme une 
associativit\'e ou une distributivit\'e, on \'evitera autant que possible 
des v\'erifications fastidieuses, au profit de raisonnements sans calculs).

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b) Montrer que si $A$ est une matrice inversible appartenant \`a $T$, son 
inverse $A^{-1}$ appartient \'egalement \`a cet ensemble. 
Quels sont les \'el\'ements inversibles de cette alg\`ebre ?

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c) Quelle est la nature du sous-ensemble $S$ de $T$ constitu\'e des matrices 
\`a \'el\'ements entiers (c'est-\`a-dire dans {\bf Z}) ? 
Examiner alors les questions analogues au b) concernant ce nouvel ensemble.

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\item{2)} Calculer l'exponentielle de la matrice r\'eelle
$$\pmatrix{1&1&29\cr  1&1&1\cr 1&1&1\cr}$$

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\item{3)} Soit $E$ l'\'equation en l'inconnue complexe $z$ d\'efinie par 
$z^3 + pz + q = 0$, o\^u $p$ et $q$ sont deux r\'eels. 
Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur $p$, $q$ et $s$, o\^u 
$s$ est un r\'eel non nul, pour que $E$ admette une racine non r\'eelle de 
partie r\'eelle $s$.


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\item{4)} a) R\'esoudre l'\'equation $(1 + iz)^5 = (1 - iz)^5$ dans le corps 
{\bf C} des nombres complexes.

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b) En d\'eduire les tangentes des nombres $\displaystyle {\pi \over 5}$
et $\displaystyle {2\pi \over 5}$ que l'on mettra sous la forme 
$\sqrt{p+q\sqrt n}$ o\^u $n$, $p$ et $q$ sont \'el\'ements de {\bf Z},
puis celle du nombre  $\displaystyle {\pi \over 10}$.

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\item{5)} Soient deux cercles de rayons distincts $R$ et $r$, 
respectivement centr\'es aux points de coordonn\'ees $(a,0)$ et $(-a,0)$ 
dans un rep\`ere orthonorm\'e.

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a) Montrer que les droites $D$ coupant ces deux cercles suivant des cordes 
de m\^eme longueur sont tangentes \`a une parabole $P$ dont on donnera 
l'\'equation.

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b)Est-ce que r\'eciproquement toutes les tangentes \`a $P$ r\'epondent 
\`a la question ?

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\penalty -3000
\item{6)} Soit $C$ l'ensemble des points de coordonn\'ees $(x, y)$ relatives
\`a un rep\`ere orthonorm\'e d'un plan euclidien qui v\'erifient 
l'\'egalit\'e $|z + z^2|=1$ o\^u  $z = x + iy$.

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a) D\'eterminer un polyn\^ome $P$ tel que $P(x, y) = 0$ soit une condition 
n\'ecessaire et suffisante pour que la relation ci-dessus soit v\'erifi\'ee.

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b) D\'eterminer le point $S$ de $C$ de coordonn\'ees $(a, 0)$ avec $a > 0$.

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c) D\'eterminer la valeur absolue du rayon de courbure en $S$ \`a $C$ 
(on pourra effectuer une translation des axes, \'etudier la limite du 
carr\'e de l'ordonn\'ee par la nouvelle abscisse d'un point mobile se 
rapprochant sur $C$ de $S$ et justifier l'int\'er\^et de ce calcul pour la 
d\'etermination du rayon).

\end



