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\def\q{\quad}%    
\def\barre{\vbox{\hrule height 2mm depth -0.3mm width .1mm}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\def\Frac#1#2{\dst{{#1}\over{#2}}}

\def\Sum{\displaystyle\sum}

\def\Lim{\displaystyle\lim}

\def\Int{\displaystyle\int}
\def\blt{\bullet}

\def\lb{\lbrack}
\def\rb{\rbrack}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\long\def\cadre#1{%

\hbox{
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\long\def \cadrec #1{
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\def \titre#1{\vskip 5mm plus 2mm minus 1mm
            \line{\hskip-1cm
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            }

%--------------------------------------------------------------mis en marge

% met les num{\'e}ros de questions dans la marges
% voir aussi "titre"dans la section "encadrement"

\def\question#1{\par \vskip 5mm  plus 2mm minus 3mm \hskip -1cm{\Large $\bullet$ #1\ }}
\def\squestion#1{\par \vskip 2mm plus 2mm \hskip -7mm{{\rm #1}}}   

%---------------------------------------------------symboles math{\'e}matiques
%fractions
\def\Frac#1#2{\displaystyle{#1\over #2}}



%fonctions:
\def\Ln{\mathop{\rm Ln}\nolimits}
\def\ln{\mathop{\rm ln}\nolimits}
\def\log{\mathop{\rm log}\nolimits}
\def\Log{\mathop{\rm Log}\nolimits}


\def\Ker{\mathop{\rm Ker \,}\nolimits}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\medskip
\centerline{ \vbox{\offinterlineskip\halign{\strut
\vrule width 1pt #&\enskip\hfil#\hfil\enskip&\vrule width 1pt #\cr
\noalign{\hrule height 1pt }
& ${\bf ESTP} \; {\bf 1 9 9 7}$  \qquad  {\bf  Math{\'e}matiques 2} &\cr
& 4 heures &\cr
\noalign{\hrule height 1pt }}} }




\cadre{\bf Sujet 1}%\\

\cadre{\bf1}%\\
Soit $(a_n)$ une suite telle que $a_n=\Int_0^1t^n\sqrt{1-t^2}dt$, $n\geq 0$.

$a_0={\displaystyle \int _{0}^{1}} \sqrt{1 - x^{2}}\,dx=
{\displaystyle \frac {1}{4}} \,\pi $

$\blt$ La suite $(a_n)$ est d{\'e}croissante car $ t\in [0,1]$.
 
$\blt$  $(a_n)\geq 0$.

$\blt$ La suite $(a_n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'$+\ift$.


Donc la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral  $(a_n)$ est une s{\'e}rie altern{\'e}e et 
d'apr{\`e}s le crit{\`e}re
 (sp{\'e}ciale) des s{\'e}ries altern{\'e}es on a la convergence de $\Sum {(-1)^n a_n}$.

\cadre{\bf 2}%\\

Montrons que $\Sum_{n\geq 0} {(-1)^n a_n}=\Frac{\qp}{2}-1$

$S_n=\Sum_{k=0}^{n-1} {(-1)^k a_k}
=\Sum_{k=0}^{n-1} {(-1)^k \Int_0^1t^k\sqrt{1-t^2}dt}
=\Int_0^1\Sum_{k=0}^{n-1} {(-1)^k t^k\sqrt{1-t^2}dt}\\
=\Int_0^1\sqrt{1-t^2}\Sum_{k=0}^{n-1}  {(-t)}^k dt
=\Int_0^1\sqrt{1-t^2}\Frac{1-(-t)^n}{1+t} dt
$.\\
On a :$ |\Frac{1-(-t)^k}{1+t}|\leq \Frac{2}{1+t}$ et $\Lim_{\ift}(-t)^n=0$
(Th. du cours.)
d'o{\`u}

$S=\Lim_{\ift}S_n= \Int_0^1\sqrt{\Frac{1-t}{1+t}}dt=\Frac{\qp}{2}-1$

\cadre{\bf 3}%\\

$a_n=\Int_0^1t^n\sqrt{1-t^2}dt
=\Frac{1}{-2}\Int_0^1t^{n-1}(-2t)\sqrt{1-t^2}dt\\
=\Frac{1}{-2}[t^{n-1}
\Frac{(1-t^2)^{1/2+1}}{3/2}]_0^1+
1/2\Int_0^1(n-1)t^{n-2}\sqrt{1-t^2)}(1-t^2)dt$

$a_n=\Frac{n-1}{2}\Int_0^1t^{n-2}\sqrt{1-t^2}dt-\Frac{n-1}{2}$

$(1+\Frac{n-1}{2})a_n=\Frac{n-1}{2}a_{n-2}$

$$a_n=\Frac{n-1}{n+2}a_{n-2}$$
d'o{\`u}
$$\qff(n)=\Frac{n-1}{n+2}$$

\cadre{\bf 4}%\\
$$\Frac{u_n}{u_{n-1}}=\Frac{n(n+1)(n+2)a_na_{n-1}}{(n-1)(n)(n+1)a_{n-1}a_{n-2}}$$

$$\Frac{n+2}{n-1} \Frac{a_n}{a_{n-2}}=
\Frac{n+2}{n-1}\Frac{n-1}{n+2}\Frac{a_{n-2}}{a_{n-2}}=1$$
donc la suite $(u_n)_n$ est bien une suite constante .

\cadre{\bf 5}%\\
On a $a_n$ est {\'e}quivalent {\`a} $a_{n-2}$ et la suite $(a_n)$ {\'e}tant d{\'e}croissante 
on a 
$a_n\leq a_{n-1} \leq a_{n-2}$ d' o{\`u} $a_n$ est {\'e}quivalent {\`a} $a_{n-1}$.

Donc $a_n$ est {\'e}quivalent {\`a} $\sqrt{\Frac{\qp}{2}\Frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$ donc 

{\'e}quivalent {\`a} $\Frac{\qp}{2}\Frac{1}{n^{3/2}}$ et alors la s{\'e}rie $\sum a_n$ est 
convergente.
$S_n=\Sum_{k=0}^{n-1} { a_k}
=\Sum_{k=0}^{n-1} { \Int_0^1t^k\sqrt{1-t^2}dt}
=\Int_0^1\Sum_{k=0}^{n-1} { t^k\sqrt{1-t^2}dt}
=\Int_0^1\sqrt{1-t^2}\Sum_{k=0}^{n-1}  {t}^k dt
=\Int_0^1\sqrt{1-t^2}\Frac{1-(t)^n}{1+t} dt$

On a :$ |\Frac{1-(t)^k}{1+t}|\leq \Frac{2}{1+t}$ et $\Lim_{\ift}(t)^n=0$
(Th. du cours.)
d'o{\`u}

$S=\Lim_{\ift}S_n= \Int_0^1\sqrt{\Frac{1+t}{1-t}}dt=\Frac{\qp}{2}+1$

\cadre{\bf Sujet 2}%\\ 

On a $x\in \R$  $f(x)=\Sum_{n\geq 1}\Frac{x^n}{n^2}$\\

\cadre{\bf 1}%\\
D'apr{\`e}s la r{\`e}gle de D'Alembert  le rayon de convergence {\'e}gal {\`a} 
$1=\Lim_{\ift}\Frac{\Frac{1}{(n+1)^2}}{\Frac{1}{n^2}}$

et les s{\'e}ries $\Sum_{n\geq 1}\Frac{1}{n^2}$  et 
$\Sum_{n\geq 0}\Frac{(-1)^n}{n^2}$ {\'e}tant convergentes (s{\'e}ries de Riemann).
d'o{\`u} $E=[-1,1]$.

\cadre{\bf 2}%\\
Comme on a une s{\'e}rie enti{\`e}re qui converge normalement dans tout seguement inclus
dans $]-1,1[$, on peut d{\'e}river terme {\`a} terme:
$f'(x)=\Sum_{n\geq 1}\Frac{x^{n-1}}{n}=-\Frac{ln(1-x)}{x}$ si $x\not= 0$  
et $f(0)=1$.

\cadre{\bf 3}%\\
$f(1)=\Frac{\qp^2}{6}$
d'o{\`u} $f(-1)=\Sum_{n\geq 1}\Frac{(-1)^n}{n^2}$

$f(1)=\Frac{\qp^2}{6}=
\Sum_{k\geq 1}\Frac{1}{(2k)^2}+\Sum_{k\geq 0}\Frac{1}{(2k+1)^2}=
\Frac{1}{4}\Frac{\qp^2}{6} +\Sum_{k\geq 0}\Frac{1}{(2k+1)^2}$

d'o{\`u} $\Sum_{k\geq 0}\Frac{1}{(2k+1)^2}=\Frac{3}{4}\Frac{\qp^2}{6}
=\Frac{\qp^2}{8}$

d'o{\`u}
$f(-1)=\Sum_{n\geq 1}\Frac{(-1)^n}{n^2}=\Frac{1}{4}\Frac{\qp^2}{6}-\Frac{\qp^2}{8}
=-\Frac{\qp^2}{12}$.

\cadre{\bf 4}%\\

La pente de la tangente en $1^-$ est $+\ift$ (tangente verticale).

La pente de la tangente en $-1^+$ est $ln2$ .

\cadre{\bf 5}%\\

$\qph(x)=f(x)+f(-\Frac{x}{1-x})$
Donc $x\in D$ ssi $-1\leq x\leq1$ et  $-1\leq -\Frac{x}{1-x})\leq 1$
d'o{\`u}
$D= [-1,\frac{1}{2}]$

Calcul de $\qph'(x)=(f(x)+f(-\Frac{x}{1-x}))'
=f'(x)-\Frac{1}{(1-x)^2}f'(-\frac{x}{(1-x)})=\Frac{x}{(1-x)}ln(1-x)$.


\cadre{\bf Sujet 3}%\\
Soit $f(x)=\Frac{1}{1+x+x^2}$.

\cadre{\bf 1}%\\
$$f(x)=\Frac{1}{1+x+x^2}=\Frac{2}{3}\Frac{i\sqrt{3}}{2x+1+i\sqrt{3}}
-\Frac{2}{3}\Frac{i\sqrt{3}}{2x+1-i\sqrt{3}}$$
$A=-\Frac{i\sqrt{3}}{3}$ , $ B=+\Frac{i\sqrt{3}}{3}$

\cadre{\bf 2}%\\
$$C_n=(-1)^{n+1}\Frac{i\sqrt{3}}{3}n!$$

\cadre{\bf 3}%\\

En r{\'e}duisant au m{\^e}me d{\'e}nominateur on obtient au num{\'e}rateur un polyn{\^o}me de degr{\'e}
$n$ car les termes en $n+1$ se simplifient et 
au d{\'e}nominateur $(1+x+x^2)^{n+1 }$.

\cadre{\bf Sujet 4}%\\
On a $z \in \C$ , $n \in \N^*$ et $D_n(z)=e^z-(1+\Frac{z}{n})^n$.

\cadre{\bf 1}%\\

On utilise le bin{\^o}me de Newton: 

$D_n(z)=e^z-(1+\Frac{z}{n})^n=
\Sum_{k=0}^{\ift}\Frac{z^k}{k!}-\Sum_{k=0}^{n} C{}_n^k\Frac{z^k}{n^k}
=\Sum_{k=0}^{n}(\Frac{1}{k!}-\Frac{C{}_n^k}{n^k})z^k+
\Sum_{p=n+1}^{\ift}\Frac{z^p}{p!}$

d'o{\`u} $a_k(n)=k!(\Frac{1}{k!}-\Frac{C{}_n^k}{n^k})=
1-\Frac{(n-1)!}{(n-k)!n^{k-1}}
=1-\Frac{(n-k+1)\ldots (n-1)}{n^{k-1}}$

On a bien $a_0(n)=0 $ , $a_1(n)=0 $ et $a_2(n)=\Frac{1}{n} $.(Calculs simples)

De m{\^e}me $a_3(n)=1-\Frac{(n-2)(n-1)}{n^{2}}=\Frac{3n-2}{n^2}$

\cadre{\bf 2}%\\
Par r{\'e}currence: 

$a_k(n)=(1-\Frac{(n-k+1)\ldots (n-1)}{n^{k-1}})\geq 0$

Pour la deuxi{\`e}mme in{\'e}galit{\'e} on peut utiliser l'in{\'e}galit{\'e} suivante et 
{\'e}viter la r{\'e}currence:

$$(1-\frac{1}{n})\ldots (1-\frac{k-1}{n})
\geq (1-\frac{1+2+\ldots k-1}{n})=\Frac{k(k-1)}{2n}$$

Ainsi

$a_k(n)=(1-\Frac{(n-k+1)\ldots (n-1)}{n^{k-1}})=(1-\Frac{(n-k+1)}{n}\ldots 
\Frac{(n-1)}{n})=(1-(1-\frac{(k-1)}{n})\ldots 
(1-\frac{1}{n})\leq 1-(1-\frac{k(k-1)}{2n})=\Frac{k(k-1)}{2n}$

d'o{\`u}   $a_k(n)\leq \Frac{k(k-1)}{2n}$.


\cadre{\bf 3}%\\

$D_n(z)=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{k!}a_k(n)z^k+
\Sum_{p=n+1}^{\ift}\Frac{z^p}{p!}$.

La convergence de la s{\'e}rie enti{\`e}re $\sum\Frac{z^n}{n!}$ entraine

$\fr \qe >0 \ex N \in \N^*$ tel que $|\Sum_{p=n+1}^{\ift}\Frac{z^p}{p!} |<\qe$

d'o{\`u} 

$|D_n(z)|\leq |\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{k!}\Frac{k(k-1)}{2n}  z^k|+\qe
\leq \Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k!}\Frac{k(k-1)}{2n}  |z|^k+\qe
\leq \Frac{|z|^2}{2n}\Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{(k-2)!}  |z|^{k-2}+\qe$

et $\qe $ {\'e}tant quelconque on a le r{\'e}sultat voulu:

$|D_n(z)|\leq \Frac{|z|^2}{2n}e^{|z|}$

\cadre{\bf 4}%\\

$K \subset \C$ {\'e}tant un compact il esiste une constante $M>0$ telle que:

$\fr z \in K $  

$|D_n(z)|\leq \Frac{|M|^2}{2n}e^{|M|}$ 
qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.














\cadre{\bf Sujet 5}%\\

$x\geq 0$  $F(x)=\Int_0^1\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}dt=\Int_0^1f(t,x)dt$

\cadre{\bf 1}%\\
Calcul de 
$I=\Int_0^1\sqrt{t^2+1}dt$

On pose $t=sh(u) $  d'o{\`u} $dt=ch(u)du$

$I=\Int_0^{Argsh(1)}ch(u)^2du=\Frac{1}{2}\Int_0^{Argsh(1)}(ch(2u)+1)du
=\Frac{1}{4}sh(2Argsh(1))+\Frac{Argsh(1)}{2}=
\Frac{1}{4}2\sqrt{2}+\Frac{ln(1+\sqrt{2}}{2}=
\Frac{\sqrt{2}}{2}+\Frac{ln(1+\sqrt{2}}{2}$.

\cadre{\bf 2}%\\

$F(x)-Ix=\Int_0^1{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}-\sqrt{t^2+1}}dt=
\Frac{t^3+x^2(t^2+1)-x^2(t^2+1)    }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^2+1} }
=\Frac{t^3 }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^2+1} }$

Si $g(t,x)=\Frac{t^3 }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^2+1} }$

on a 

$ \Frac{t^3 }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^2+1} }\leq \Frac{t^3}{\sqrt{t}}
\leq t^{\frac{5}{2}}$.
 
On peut alors passer {\`a} la limite (th. du cours)



 et on a le r{\'e}sultat demand{\'e}.

\cadre{\bf 3}%\\

D'apr{\`e}s la question pr{\'e}c{\'e}dente on a $Y=IX=\Frac{\sqrt{2}}{2}+
\Frac{ln(1+\sqrt{2}}{2}X$
est asymptote oblique {\`a} la courbe de $F$.

De m{\^e}me on a la fonction 
$x \rightarrow \Frac{ x(t^2+1) }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}  }$
est de classe $\cal{C}^1 $ sur $[0,1]$ (on peut faire une majoration simple)
et est int{\'e}grable sur $[0,1]$ on a

$F'(x)=\Int_0^1\Frac{ x(t^2+1) }{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}  }dt$ 
qui est positive sur 
$[0,1]$ d' o{\`u} la croissance de $F$ sur $[0,1]$.

\cadre{\bf 4}%\\

$r(x)=\Frac{1}{x}(F(x)-F(0))=
\Frac{1}{x}{\Int_0^1}(\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}-\sqrt{t^3})dt
=\Int_0^1\Frac{x(t^2+1)}{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)+\sqrt{t^3}}}dt
=x\Int_0^1\Frac{t^2+1}{(\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^3})}dt$

De m{\^e}me 

on a la fonction 
$x \rightarrow \Frac{t^2+1}{(\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^3})}$
est de classe $\cal{C}^1 $ sur $]0,1]$ on  majore par:
et est int{\'e}grable sur $[0,1]$ donc en faisant tendre $x$ vers $+\ift$ on a 
une limite nulle.

\cadre{\bf 5}%\\

$x^{-\frac{5}{3}}(F(x)-F_1(x))=
x^{-\frac{5}{3}}\Int_0^1(\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}-\sqrt{t^3+x^2})dt
=x^{-\frac{5}{3}}\Int_0^1\Frac{x^2t^2}{\sqrt{t^3+x^2(t^2+1)}+\sqrt{t^3+x^2}}dt$

on pose $t=ux^{\frac{2}{3}}$

$x^{-\frac{5}{3}}(F(x)-F_1(x))=
x^{-\frac{5}{3}} {\Int_0^{x^{-\frac{2}{3}}}
{\Frac{x^2u^2x^\frac{4}{3}x^\frac{2}{3}}
{\sqrt{u^3x^2+x^2(u^2x^{\frac{4}{3}}+1)}+\sqrt{u^2x^2+x^2}}}du}$


$={\Int_0^{x^{-\frac{2}{3}}}
{\Frac{x^{\frac{1}{3}}u^2}
{\sqrt{u^3+(u^2x^{\frac{4}{3}}+1)}+\sqrt{u^2+1}}}du} 
\leq \Frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$  qui tend vers z{\'e}ro quand $x $ tend vers z{\'e}ro.

$ F_1(x)-F(0)=\Int_0^1(\sqrt{t^3+x^2}-\sqrt{t^3})dt
=\Int_0^1(\Frac{x^2}{\sqrt{t^3+x^2}+\sqrt{t^3}})dt$

on pose $t=ux^{\frac{2}{3}}$

$ F_1(x)-F(0)=x^2{\Int_0^{x^{-\frac{2}{3}}}
{\Frac{x^{\frac{2}{3}}}
{\sqrt{u^3x^2+x^2}+\sqrt{u^3x^2}}}du} $

d'o{\`u}
$x^{-\frac{5}{3}}x^{\frac{2}{3}}x{\Int_0^{x^{-\frac{2}{3}}}
{\Frac{1}
{\sqrt{u^3+1}+\sqrt{u^3}}}du}= {\Int_0^{x^{-\frac{2}{3}}}
{\Frac{1}
{\sqrt{u^3+1}+\sqrt{u^3}}}du}$ qui tend vers ${\Int_0^{\ift}
{\Frac{1}
{\sqrt{u^3+1}+\sqrt{u^3}}}du}$ quand $x$ tend vers $0$.



 










\end{document}
