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\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=0cm

\def\R{I\hspace{-.70ex}R}
\def\C{C\hspace{-1.4ex}C}

\begin{document}

%
\begin{center}
\textbf{ENSAIT\\
Ecole Nationale Sup{\'e}rieure des Arts et Industries Textiles\\
Concours 1997, Premi{\`e}re {\'e}preuve de Math{\'e}matiques} \\
\textit{R{\'e}solution d'un syst{\`e}me diff{\'e}rentiel par deux m{\'e}thodes}
\end{center}
%
\begin{itemize}

%
\begin{center}
\textbf{I-}
\end{center}

\item[1.1]
Si $V$ est  vecteur  propre de $A$ associ{\'e} {\`a} la valeur propre 
$\mu$  alors $A.V=\mu.V$, donc $A^3.V=\mu^3.V$, donc \textbf{$V$ est 
vecteur  propre de $A^3$ associ{\'e}  {\`a} la valeur propre $\mu^3$}, et 
$(A-\lambda.I).V=(\mu-\lambda).V$, donc $V$ est 
vecteur  propre de $A-\lambda.I$ associ{\'e}  {\`a} la valeur propre $\mu-\lambda$, 
donc \textbf{$V$ est vecteur  propre de $(A-\lambda.I)^3$ associ{\'e}  {\`a} la valeur propre 
$(\mu-\lambda)^3$}.

\item[1.2.1]
Toute valeur propre de $A$ est  racine du polyn{\^o}me $(X-\lambda)^3$ qui  annule
 $A$, donc le  spectre de $A$  v{\'e}rifie $Sp_{\C}(A)=\{ \lambda \}$ puisqu'il est  non vide.
 La dimension de $E$ est 3 donc \textbf{$\lambda$ est la  seule valeur propre}  
(\textbf{r{\'e}elle} par  hypoth{\`e}se  en $1.1$), donc \textbf{triple}.
\item[] 
\textit{Remarque : Comme $A$ est une matrice carr{\'e}e r{\'e}elle d'ordre 3  (impair), 
$A$ admet au moins une valeur propre  r{\'e}elle, donc $\lambda$ est n{\'e}cessairement r{\'e}elle, 
ind{\'e}pendamment de l'hypoth{\`e}se  faite en $1.1$.}
\item[1.2.2]
R{\'e}ciproquement, si $A$ admet la seule valeur propre  $\lambda$ triple, r{\'e}elle, 
alors le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique $\chi_A(X)=det(A-X.I)$ de $A$, de degr{\'e} 3, est n{\'e}cessairement
$\chi_A(X)=-(X-\lambda)^3$, donc par le th{\'e}or{\`e}me de Cayley-Hamilton, 
$(A-\lambda.I)^3=(0)$.

%
\begin{center}
\textbf{II-}
\end{center}

\item[2.1]
$det(A-x.I)=
\displaystyle{\begin{array}{|ccc|}
k-a-x & -a &-a \\
b & k-x  &  b \\
a  &  a &  k+a-x 
\end{array}}
= \displaystyle{\begin{array}{|ccc|}
k-a-x & -a &-a \\
b & k-x  &  b \\
k-x & 0 &k-x 
\end{array}}
=\displaystyle{ \begin{array}{|ccc|}
k-x &-a &-a \\
0 & k-x  &  b \\
0  &  0 &  k-x 
\end{array}}
=(k-x)^3$ en effectuant successivement les op{\'e}rations {\'e}l{\'e}mentaires $L_3\leftarrow L_3+L_1$ puis 
$C_1\leftarrow C_1-C_3$, donc \textbf{le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $A$ est}
 \fbox{$\chi_A(x)=(k-x)^3$}.

\item[2.2]
$A-k.I=\displaystyle{
\left( 
\begin{array}{ccc}
-a & -a &-a \\
b & 0  &  b \\
a  &  a &  a 
\end{array}
\right) }$.\\
 On pose $v_1=e_1+y_1.e_2+z_1.e_3$,
$v_2=y_2.e_2+z_2.e_3$ et $v_3=y_3.e_2+z_3.e_3$.\\
 $A.v_1=k.v_1$ $\iff$ $(A-k.I).v_1=(0)$ 
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{rlll}
-a& -a.y_1 &-a.z_1 &=0\\
b &&+ b.z_1 &=0\\
a & + a.y_1& +  a.z_1&=0 
\end{array}
\right. }$
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{l}
z_1=-1\\
y_1=0 
\end{array}
\right. }$, donc on prend \fbox{$v_1=e_1-e_3$}.\\
 $A.v_2=a.v_1+k.v_2$ $\iff$ $(A-k.I).v_2=a.v_1$ 
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{rll}
 -a.y_2 &-a.z_2 &=a\\
& b.z_2 &=0\\
  a.y_2& +  a.z_2&=-a 
\end{array}
\right. }$
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{l}
z_2=0\\
y_2=-1 
\end{array}
\right. }$, donc on prend \fbox{$v_2=-e_2$}.\\
 $A.v_3=b.v_2+k.v_3$ $\iff$ $(A-k.I).v_3=b.v_2$ 
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{rll}
 -a.y_3 &-a.z_3 &=0\\
& b.z_3 &=-b\\
  a.y_3& +  a.z_3&= 0
\end{array}
\right. }$
$\iff$
 $\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{l}
z_3=-1\\
y_3=1
\end{array}
\right. }$, donc on prend \fbox{$v_3=e_2-e_3$}.\\

\textbf{La famille $B'=(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $E$} car 
le d{\'e}terminant de la matrice $Mat_{B}(v_1,v_2,v_3)$
 est $\displaystyle{\begin{array}{|ccc|}
1&0&  0\\ 0&-1&1 \\ -1& 0&-1
\end{array}}= 1$ non nul. Par construction de la famille $B'$, \textbf{$f$ admet pour 
matrice} $T=\displaystyle{
\left( 
\begin{array}{ccc}
k&a&0\\ 0&k&b \\ 0&0&k 
\end{array} \right) }$ \textbf{dans la base $B'$}.

\item[2.]
\textbf{La matrice de passage de $B$ {\`a} $B'$ est} 
$P=Mat_B(B')=\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
1&0&  0\\ 0&-1&1 \\ -1& 0&-1
\end{array} \right) }$. \\
On d{\'e}termine $P^{-1}$ par la relation 
$P^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{det(P)}{}^t com(P)}$.\\
 Comme $det(P)=1$ et $com(P)=\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
1&-1&-1 \\ 0&-1&0 \\ 0&-1&-1 
\end{array} \right) }$, on obtient
$P^{-1}=\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
1&0&0 \\ -1&-1&-1 \\ -1&0&-1 
\end{array} \right) }$. \\
Par les formules de changement de bases, on a \fbox{$T=P^{-1}.A.P$}.

%
\begin{center}
\textbf{III-}
\end{center}

\item[3.1]
Par les formules de changement de bases, on a \fbox{$U(t)=P.\Gamma(t)$}, 
donc, comme $A.P=P.T$, il vient 
$\displaystyle{\frac{dU(t)}{dt}=P.\frac{d\Gamma(t)}{dt}}
=A.U(t)+C_0+t.C_1=A.P.\Gamma(t)+C_0+t.C_1
=P.T.\Gamma(t)+C_0+t.C_1$, d'o{\`u}
\fbox{$\displaystyle{\frac{d\Gamma(t)}{dt}}=T.\Gamma(t)
+P^{-1}.(C_0+t.C_1)$}.

\item[3.2]
Par $3.1$, on a 
$\displaystyle{\left( \begin{array}{c}
\alpha'(t) \\ \beta '(t) \\ \gamma '(t)
\end{array} \right) }
=\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
k&a&0\\ 0&k&b \\ 0&0&k 
\end{array} \right) }.
\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
\alpha(t) \\ \beta (t) \\ \gamma (t)
\end{array} \right) }+
\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
1&0&0 \\ -1&-1&-1 \\ -1&0&-1 
\end{array} \right) }.
\displaystyle{ \left(
 \left( \begin{array}{ccc}
0 \\1 \\0
\end{array} \right) +t.
\left( \begin{array}{ccc}
-a  \\ 0 \\ a
\end{array} \right)  \right) }$, et on obtient le syst{\`e}me 
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{lr}
\alpha'(t)=k.\alpha (t)+a.\beta (t) -a.t &(1)\\
\beta '(t)=k.\beta (t)+b.\gamma (t)-1 & (2)\\
\gamma '(t)=k.\gamma (t) &(3)
\end{array} \right. }$.\\

On r{\'e}sout successivement $(3)$, $(2)$ et $(1)$: 
\begin{itemize}
\item
\fbox{$(3)  \iff \exists \gamma_0\in \R,\; \gamma(t)=\gamma_0.e^{k.t}$}.
\item
$(2) \iff \beta '(t)=k.\beta (t)+b.\gamma_0.e^{k.t}-1$. \\
Or $\beta '(t)=k.\beta (t) \iff \exists \beta_0\in \R,\; \beta (t)=\beta_0.e^{k.t}$, \\ 
une solution particuli{\`e}re de $\beta '(t)=k.\beta (t)-1$ est 
$\beta (t)=\displaystyle{\frac{1}{k}}$,\\
 et une solution particuli{\`e}re de $\beta '(t)=k.\beta (t)+b.\gamma_0.e^{k.t}$ est 
$\beta (t)=b.\gamma_0.t.e^{k.t}$
 car, en posant $\beta(t)=\lambda(t).e^{k.t}$, il vient
 $\lambda'(t)=b.\gamma_0$.\\
Ainsi \fbox{$(2)\iff \exists \beta_0\in \R,\; 
 \beta (t)=(\beta_0+b.\gamma_0.t).e^{k.t}+\displaystyle{\frac{1}{k}}$}.

\item
$(1) \iff \alpha '(t)=k.\alpha (t)+a.(\beta_0+b.\gamma_0.t).e^{k.t}+
\displaystyle{\frac{a}{k}}-a.t$. \\
Or $\alpha '(t)=k.\alpha (t) \iff \exists \alpha_0\in \R,\; \alpha (t)=\alpha_0.e^{k.t}$,\\    
une  solution particuli{\`e}re de
$\alpha '(t)=k.\alpha (t)+\displaystyle{\frac{a}{k}}-a.t$ est
$\alpha (t)=\displaystyle{\frac{a}{k}}.t$
car, en posant $\alpha (t) =\lambda.t+\mu$, on obtient 
$\lambda=k.(\lambda.t+\mu)+\displaystyle{\frac{a}{k}}-a.t$, d'o{\`u}
$\lambda=\displaystyle{\frac{a}{k}}$
 et $\mu=0$ conviennent,\\
 et une  solution particuli{\`e}re de
$\alpha '(t)=k.\alpha (t)+a.(\beta_0+b.\gamma_0.t).e^{k.t}$ est
$\alpha(t)=a.\beta_0.t+a.b.\gamma_0.\displaystyle{\frac{t^2}{2}}$ 
car, en posant $\alpha (t) =\lambda(t).e^{k.t}$, on obtient
$\lambda'(t)=a.(\beta_0+b.\gamma_0.t)$.\\
Ainsi \fbox{$(1)\iff \exists \alpha_0\in \R,\; 
\displaystyle{\alpha(t)=\left( \alpha_0+a.\beta_0.t+a.b.\gamma_0.\frac{t^2}{2}\right)
 .e^{k.t} +\frac{a}{k}.t}$}.
\end{itemize}

\item[3.3]
La solution  g{\'e}n{\'e}rale du syst{\`e}me $(S)$ est obtenue par 
$U(t)=P.\Gamma (t)$, soit  donc 
 $$\displaystyle{
\left\{ 
\begin{array}{lll}
x(t)&=\alpha (t)&=\left( \alpha_0+a.\beta_0.t+a.b.\gamma_0.\frac{t^2}{2}\right)
 .e^{k.t} +\frac{a}{k}.t\\
y(t)&=-\beta(t)+\gamma(t)&=(-\beta_0+\gamma_0-b.\gamma_0.t).e^{k.t}-\frac{1}{k}\\
z(t)&=-\alpha(t)-\gamma(t)&=\left( -\alpha_0-\gamma_0-a.\beta_0.t-a.b.\gamma_0.\frac{t^2}{2}\right)
 .e^{k.t} -\frac{a}{k}.t 
\end{array}
\right. }$$

%
\begin{center}
\textbf{IV-}
\end{center}

\item[4.1]
On a $A_0=A-k.I=
\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
-a&-a&-a  \\ b&0&b \\ a&a&a 
\end{array} \right) }$,  
 $A_0^2=\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc}
-a.b&0&-a.b  \\ 0&0&0 \\ a.b&0&a.b 
\end{array} \right) }$ et $A_0^3=(0)$.

\item[4.2]
Comme $A_0$ et $I$ commutent,  le bin{\^o}me de Newton entra{\^\i}ne, 
pour $n\geq 2$, $A^n=(A_0+k.I)^n=
\displaystyle{\sum_{j=0}^nC_n^j.A_0^j.(k.I)^{n-j}}$, donc 
$A^n=k^n.I+n.k^{n-1}.A_0+\displaystyle{\frac{n(n-1)}{2}.k^{n-2}.A_0^2}$
car on a $A_0^n=(0)$ pour tout $n\geq 3$, 
donc \fbox{$A^n=p(n,k).I+q(n,k).A_0+r(n,k).A_0^2$} avec
 \fbox{$p(n,k)=k^n$}, \fbox{$q(n,k)=n.k^{n-1}$} et \fbox{$r(n,k)=\displaystyle{\frac{n(n-1)}{2}}.k^{n-2}$}.

\item[4.3]
On peut tout  d'abord remarquer  que la relation $A^n=k^n.I+n.k^{n-1}.A_0+\displaystyle{\frac{n(n-1)}{2}.k^{n-2}.A_0^2}$
 est encore v{\'e}rifi{\'e}e pour $n\in \{ 0,1\}$.\\
 Ainsi, on obtient 
la somme partielle $S_N=
\displaystyle{\sum_{n=0}^N\frac{t^n}{n!}A^n}
=\displaystyle{\left( \sum_{n=0}^N\frac{(k.t)^n}{n!} \right) }.I+
\displaystyle{\left( \sum_{n=0}^N\frac{t^n.k^{n-1}.n}{n!} \right) }.A_0+
\displaystyle{\left( \sum_{n=0}^N\frac{t^n.k^{n-2}.n(n-1)}{2.(n!)} \right) }.A_0^2$
$=\displaystyle{\left( \sum_{n=0}^N\frac{(k.t)^n}{n!} \right) }.I+
\displaystyle{t.\left( \sum_{n'=0}^{N-1}\frac{(k.t)^{n'}}{n'!} \right) }.A_0+
\displaystyle{\frac{t^2}{2}.\left( \sum_{n''=0}^{N-2}\frac{(k.t)^{n''}}{n''!} \right) }.A_0^2$
 par les  changements de  variables  $n'=n-1$ et $n''=n-2$.\\
 On d{\'e}duit $e^{A.t}=
\displaystyle{\lim_{N\rightarrow \infty} S_N}=e^{k.t}.I+t.e^{k.t}.A_0+
\displaystyle{\frac{t^2}{2}}.e^{k.t}.A_0^2$, 
donc \fbox{$e^{A.t}=\lambda(k,t).I+ \mu(k,t).A_0+\nu(k,t).A_0^2$}  avec 
\fbox{$\lambda(k,t)= e^{t.k}$}, 
\fbox{$\mu(k,t)=t.e^{t.k}$} et 
\fbox{$\nu(k,t)=\displaystyle{\frac{t^2}{2}.e^{t.k}}$}.

\item[4.4]
\textit{Version PC et PSI :}\\
 Soient $(K_1,K_2,K_3)$ trois r{\'e}els. \\
Alors  $U(t)=e^{A.t}.K$
 v{\'e}rifie $\displaystyle{\frac{dU(t)}{dt}}=
\displaystyle{\left( \frac{\partial \lambda(k,t)}{\partial t}.I+
\partial \frac{\mu(k,t)}{\partial t}.A_0+
\partial \frac{\nu(k,t)}{\partial t}.A_0^2\right) }.K$, 
soit donc 
$\displaystyle{\frac{dU(t)}{dt}}= e^{t.k} \displaystyle{\left( k.I+(1+k.t).A_0+
\left( t+k.\frac{t^2}{2}\right) .A_0^2\right)  }.K$
 et $A.U(t)=(A_0+k.I).U(t)=(A_0+k.I).e^{A.t}.K
=(A_0+k.I).\displaystyle{\left( e^{k.t}.I+t.e^{k.t}.A_0+
\frac{t^2}{2}.e^{k.t}.A_0^2\right)} .K
=e^{k.t}\displaystyle{\left( A_0+k.I+t.A_0^2+k.t.A_0+
k.\frac{t^2}{2}.A_0^2 \right) } .K$. \\
On en d{\'e}duit 
 $\displaystyle{\frac{dU(t)}{dt}}=A.U(t)$, donc $U(t)=e^{A.t}.K$ \textbf{est solution 
de $(S_1)$ pour tout $(K_1,K_2,K_3)$ r{\'e}els}.\\
\textit{Version MP :}\\
On utilise $\displaystyle{\frac{d (e^{A.t})}{dt}}=A.e^{A.t}$

\item[4.5.1]
$A_0=A-k.I$ v{\'e}rifie  $A_0^3=(0)$, donc, comme $A$ et $I$ commutent, par le bin{\^o}me de Newton,
on obtient $(0)=(A-k.I)^3=A^3-3.k.A^2+3.k^2.A-k^3.I$, donc 
$A.(A^2-3.k.A+3.k^2.I)=k^3.I$, donc \textbf{$A$ est inversible d'inverse} 
$A^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{k^3}}(A^2-3.k.A+3.k^2.I)$.\\
\textit{Autres m{\'e}thodes pour montrer que $A$ est inversible, sans d{\'e}terminer 
$A^{-1}$ : } 
\begin{itemize}
\item
$T$ est inversible et semblable {\`a} $A$.
\item
$0$ n'est pas valeur propre de $A$.
\end{itemize}

\item[4.5.2]
On a $\displaystyle{\frac{dU_0(t)}{dt}}-A.U_0(t)=
-A^{-1}.C_1+(C_0+A^{-1}.C_1+t.C_1)
=C_0+t.C_1$, donc \textbf{$U_0(t)$ v{\'e}rifie le syst{\`e}me $(S)$}.\\

Comme $A^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{k^3}}(A^2-3.k.A+3.k^2.I)$ et 
$A=A_0+k.I$ alors 
$A^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{k^3}}(A_0^2+k^2.I+2.k.A_0-3.k.A_0-3.k^2.I
+3.k^2.I)$, 
donc \fbox{$A^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{k^3}}(A_0^2-k.A_0+k^2.I)$}.
Alors \\ 
$U_0(t)=-A^{-1}.(C_0+A^{-1}.C_1+t.C_1)
=-A^{-1}.
\displaystyle{\left( \begin{array}{c}
-\frac{a}{k}-t.a \\
1\\
\frac{a}{k}+t.a
\end{array} \right) } 
=-
\displaystyle{\frac{1}{k^3}. \left( \begin{array}{c}
k.a-a.k-t.a.k^2\\
k^2\\
-k.a+a.k+t.a.k^2
\end{array} \right) }$
donc $U_0(t)=
\displaystyle{\left( \begin{array}{c}
\frac{a}{k}.t\\
-\frac{1}{k}\\
-\frac{a}{k}.t
\end{array} \right) }$

\item[4.6]
Par analogie avec la  r{\'e}solution des {\'e}quations diff{\'e}rentielles lin{\'e}aires 
du premier ordre, la solution g{\'e}n{\'e}rale de $(S)$ est
\fbox{$U(t)=e^{A.t}.K+U_0(t)$}, soit donc 
 $$U(t)=
\displaystyle{\left( \begin{array}{c}
e^{k.t}.(K_1-a.t.(K_1+K_2+K_3)-a.b.\frac{t^2}{2}.(K_1+K_3))
+\frac{a}{k}.t\\
e^{k.t}.(K_2+b.(K_1+K_3))-\frac{1}{k}\\
e^{k.t}.(K_3+a.t.(K_1+K_2+K_3)+a.b.\frac{t^2}{2}.(K_1+K_3))
-\frac{a}{k}.t
\end{array} \right) }$$

\textit{Remarque : On v{\'e}rifie que l'on a la m{\^e}me solution qu'{\`a} la question 
$3.3$ puisque le syst{\`e}me suivant,  d'inconnues $(K_1,K_2,K_3)$, 
 est compatible :} 
$$\left\{ 
\begin{array}{rl}
K_1 &=\alpha_0 \\
-(K_1+K_2+K_3)&=\beta_0 \\
-(K_1+K_3) &=\gamma_0 \\
K_2&= -\beta_0+\gamma_0 \\
K_3&=-\alpha_0 -\gamma_0
\end{array}
\right. $$


\end{itemize}

\end{document}
