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\parindent=0pt

\headline={\bf \hfill E.N.S.A.I.T. 1997 Math 2}
\hbox{}
\vskip 2cm
\centerline{\bf Pr\'eliminaire}

\vskip 1cm

On a $\displaystyle 0\le \int_a^b \big(\lambda f(t)+g(t)\big)^2dt
=\lambda^2\int_a^b \big(f(t)\big)^2dt+2\lambda
\int_a^b f(t).g(t)\,dt+\int_a^b \big(g(t)\big)^2dt=A\lambda^2+B\lambda
+C$.

Le polyn\^ome $P=AX^2+BX+C$ est positif sur {\bf R} donc son
discriminant est n\'egatif : $B^2-4AC\le 0$ d'o\`u
$$\left|\int_a^b f(t).g(t)\,dt\right|=\sqrt{B \over 4}\le
\sqrt{AC}=\sqrt{\int_a^b \big(f(t)\big)^2dt}
\sqrt{\int_a^b \big(g(t)\big)^2dt}$$

\vskip 2cm

\centerline{\bf I \'Etude de la fonction $f$.}

\vskip 1cm

\item{1${}^o$)} Pour $0\le x\le y\le 2\pi$ et $0\le a\le b\le 2\pi$ on a 
$|x|\le 2\pi$ et $|b|\le 2\pi$ d'o\`u

$\big|f(x,y)-f(a,b)\big|=\big|2\pi(x-a)-x(y-b)-b(x-a)\big|
\le 6\pi\max\{|x-a|,|y-b|\}\le 6\pi\|(x,y)-(a,b)\|$.

On a la m\^eme in\'egalit\'e $\big|f(x,y)-f(a,b)\big|\le 6\pi\|(x,y)-(a,b)\|$ 
dans les autres cas.

Ainsi $f$ est $6\pi$-lipschitzienne donc continue.

\vskip 5mm

\item{2${}^o$)} Pour $x<x_0$ on a $\displaystyle {f(x,x_0)-f(x_0,x_0)
\over x-x_0}={x(2\pi-x_0)-x_0(2\pi-x_0) \over x-x_0}=2\pi-x_0$ et, 
pour $x>x_0$, 

$\displaystyle {f(x,x_0)-f(x_0,x_0) \over x-x_0}=
{x_0(2\pi-x)-x_0(2\pi-x_0) \over x-x_0}=-x_0$. 

Comme $2\pi-x_0\ne -x_0$
le taux d'accroissement $\displaystyle {f(x,x_0)-f(x_0,x_0)
\over x-x_0}$ ne peut avoir de limite en $x_0$ : $f$ n'admet pas de
d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x$ en $(x_0,x_0)$.

\vskip 5mm

\item{3${}^o$)} Les variations de $\varphi$ sont :
\def\tv{\vrule height 10pt depth 5pt width 0.3pt}%
$\vcenter{\offinterlineskip\halign{
#  &\ $#$\  &#  &\ $#$\ &\ $#$\  &\ $#$\        &\ $#$\  &\ $#$\ &#  \cr 
\noalign{\hrule}
\tv&y       &\tv&0      &        &x             &        &2\pi   &\tv\cr
\noalign{\hrule}
\tv&\varphi'&\tv&       &+       &0             &-       &       &\tv\cr
\noalign{\hrule}
\tv&        &\tv&       &        &x(2\pi-x)=m(x)&        &       &\tv\cr
\tv&\varphi &\tv&       &\nearrow&              &\searrow&       &\tv\cr
\tv&        &\tv&0      &        &              &        &0      &\tv\cr
\noalign{\hrule}
}}$
et celles de $m$ $\vcenter{\offinterlineskip\halign{
#  &\ $#$\  &#  &\ $#$\ &\ $#$\  &\ $#$\ &\ $#$\  &\ $#$\ &#  \cr 
\noalign{\hrule}
\tv&x       &\tv&0      &        &\pi    &        &2\pi   &\tv\cr
\noalign{\hrule}
\tv&m'      &\tv&       &+       &0      &-       &       &\tv\cr
\noalign{\hrule}
\tv&        &\tv&       &        &\pi^2  &        &       &\tv\cr
\tv&m(x)    &\tv&       &\nearrow&       &\searrow&       &\tv\cr
\tv&        &\tv&0      &        &       &        &0      &\tv\cr
\noalign{\hrule}
}}$

\vskip 2mm

Ainsi on a $0\le \varphi(y)=f(x,y)\le \pi^2$ pour tous $x$ et $y$ avec
$f(x,y)=0$ si et seulement si $x=0$, $x=2\pi$, $y=0$ ou $y=2\pi$ et
$f(x,y)=\pi^2$ si et seulement si $x=y=\pi$.

\vfill

\penalty -3000
\centerline{\bf II \'Etude d'un endomorphisme associ\'e \`a $f$.}

\vskip 1cm

\item{1${}^o$)} a) $E$ est le noyau de l'application lin\'eaire de 
${\cal C}^2\big([0;2\pi],{\bf R}\big)$ vers ${\bf R}^2$ qui \`a $f$
associe $\big(f(0),f(2\pi)\big)$ ; c'est donc un sous-espace de
${\cal C}^2\big([0;2\pi],{\bf R}\big)$.

\vskip 3mm

b) On a $N(\varphi)\ge 0$.

Si $N(\varphi)=0$ alors $\displaystyle \int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt=0$
or $\varphi^2$ est continue positive donc est nulle ; on en d\'eduit
$\varphi=0$.

$\displaystyle N(\lambda \varphi)=\sqrt{\int_0^{2\pi} \lambda^2
\varphi^2(t)\,dt}=\sqrt{\lambda^2\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt}=
|\lambda|\sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt}=|\lambda|N(\varphi)$.

$$\eqalign{N(\varphi+\psi)
&=\sqrt{\int_0^{2\pi} \big(\varphi(t)+\psi(t)\big)^2\,dt}
=\sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt+
2\int_0^{2\pi} \varphi(t)\psi(t)\,dt+
\int_0^{2\pi}\psi(t)\big)^2\,dt}\cr
&\le \sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt+
2\sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt}\sqrt{\int_0^{2\pi} \psi^2(t)\,dt}+
\int_0^{2\pi}\psi(t)\big)^2\,dt}\ \hbox{ (Cauchy-Schwarz)}\cr
&\le \sqrt{\left(\sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt}
+\sqrt{\int_0^{2\pi} \psi^2(t)\,dt}\right)^2}
=\sqrt{\int_0^{2\pi} \varphi^2(t)\,dt}+\sqrt{\int_0^{2\pi}\psi^2(t)\,dt}
=N(\varphi)+N(\psi)\cr
}$$

\vskip 5mm

\item{2${}^o$)} On a $\displaystyle \psi(x)
=2\pi\int_0^x y\varphi(y)\,dy
+2\pi x\int_x^{2\pi}\varphi(y)\,dy-x\int_0^{2\pi} y\varphi(y)\,dy$.

\vskip 3mm

a) L'application $\alpha$ : $\varphi\mapsto \psi$ est lin\'eaire.

Comme $\varphi$ est continue l'expression ci-dessus montre que $\psi$ est 
d\'erivable avec 

$\displaystyle \psi'(x)=2\pi x\varphi(x)
+2\pi \int_x^{2\pi}\varphi(y)\,dy-2\pi x \varphi(x)
-\int_0^{2\pi} y\varphi(y)\,dy=2\pi \int_x^{2\pi}\varphi(y)\,dy
-2\pi x \varphi(x)$ puis 
$\psi$ est de classe ${\cal C}^2$ avec $\psi"(x)=-2\pi \varphi(x)$.
Ainsi $\psi\in {\cal C}^2\big([0;2\pi],{\bf R}\big)$.

De plus $\displaystyle \psi(0)=\int_0^{2\pi} \varphi(y)f(0,y)=0$ et
$\displaystyle \psi(2\pi)=\int_0^{2\pi} \varphi(y)f(2\pi,y)=0$ donc
$\psi\in E$.


\vskip 3mm

b) Supposons $\alpha(\varphi)=\psi=0$ alors $-2\pi \varphi=\psi"=0$ donc 
$\varphi=0$. Ainsi $\ker(\alpha)=\{0\}$ donc $\alpha$ est injective.

\vskip 3mm
 
c) Si $\psi=\alpha(\varphi)$ alors $\psi"=-2\pi \varphi$ donc $\psi$ est
de classe ${\cal C}^4$. $\alpha$ ne peut donc \^etre surjective car $E$
contient des \'el\'ements qui ne sont pas de classe 
${\cal C}^4$\footnote{${}^{(1)}$}{Par exemple $\varphi(x)=0$ pour 
$x\in[0;\pi]$ et $\varphi(x)=\sin^3(x)$ pour $x\in[\pi;2\pi]$.}.

\vskip 5mm

\item{3${}^o$)} a) On a $\displaystyle \int_0^{2\pi} f^2(x,y)\,dx=
\int_0^y x^2(2\pi-y)^2\,dx+ y^2\int_y^{2\pi}(2\pi-x)^2\,dx=
{2\pi \over 3}y^2(2\pi-y)^2$ puis


$\displaystyle C={2\pi \over 3}\int_0^{2\pi} y^2(2\pi-y)^2\,dy=
{16 \pi^5 \over 15}$.

\vskip 3mm

b) On a $\displaystyle \big(\alpha(\varphi)(x)\big)^2=
\left(\int_0^{2\pi}\varphi(y)f(x,y)\,dy\right)^2
\le \int_0^{2\pi}\varphi^2(y)\,dy.\int_0^{2\pi}
f^2(x,y)\,dy=\big(N(\varphi)\big)^2\int_0^{2\pi}
f^2(x,y)\,dy$ en utilisant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz
d'o\`u 

$\displaystyle N\big(\alpha(\varphi)\big)=\sqrt{\int_0^{2\pi}
\big(\alpha(\varphi)(x)\big)^2dx}\le
N(\varphi)\sqrt{\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}
f^2(x,y)\,dy\right)dx}=N(\varphi)\sqrt{C}$ 

\vfill

\penalty-3000
\centerline{\bf III Quelques applications num\'eriques.}

\vskip 1cm

\item{1${}^o$)} $\varphi_0$ est affine par morceaux et continue car
$\varphi_0(0)=\varphi_0(2\pi)=0$ ; son graphe est "en dents de scie".

La p\'eriodicit\'e implique que $\varphi_0$ est paire si et seulement si sa 
restriction \`a $[-\pi;\pi]$ l'est c'est-\`a-dire si et seulement si 
$\forall x\in[0;\pi]\ \varphi_0(-x)=\varphi_0(x)$.

Or $\varphi_0(-x)=\varphi_0(2\pi-x)=f(2\pi-x,y_0)$ si $x\in[0;\pi]$ car
alors $2\pi-x\in[\pi;2\pi]\subset[0;2\pi]$.

Si $y_0\le\pi$ alors, en appliquant en $x=y_0$, on doit avoir
$f(2\pi-y_0,y_0)=y_0\big((2\pi-(2\pi-y_0)\big)=y_0^2=f(y_0,y_0)=
y_0(2\pi-y_0)$ donc $y_0=0$ ou $y_0=\pi$.

De m\^eme, si $y_0\ge \pi$, on a, en appliquant en $x=2\pi-y_0$,
$y_0=\pi$ ou $y_0=2\pi$.

Inversement si $y_0\in\{0,2\pi\}$ alors $\varphi_0=0$ donc est paire
et si $y_0=\pi$ alors $\varphi_0$ est paire (\'egale \`a $\pi x$ sur
$[0;\pi]$).

{\bf On suppose donc $y_0=\pi$ dans la suite}\footnote{${}^{(2)}$}{%
L'\'enonc\'e est impr\'ecis, il aurait du imposer, par exemple, 
$y_0\in]0;2\pi[$.}.

\vskip 5mm

\item{2${}^o$)} Comme $\varphi_0$ est paire on a $b_n(\varphi_0)=0$.

$\displaystyle a_0(\varphi_0)={1 \over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\varphi_0(t)\,dt={1 \over \pi}\int_{0}^{\pi}\varphi_0(t)\,dt
={1 \over \pi}\int_{0}^{\pi}\pi t\,dt={\pi^2 \over 2}$.

$\eqalign{a_n(\varphi_0)
&={1 \over \pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\varphi_0(t)\cos(nt)\,dt={2 \over \pi}\int_{0}^{\pi}\pi t\cos(nt)\,dt
=2\left[t{\sin(nt) \over n}\right]_{0}^{\pi}-
2\int_{0}^{\pi}{\sin(nt) \over n}dt\cr
&=-2\left[{-\cos(nt) \over n^2}\right]_{0}^{\pi}
={-2 \over n^2}\big(-(-1)^n+1\big)=\left\{
\matrix{0&\hbox{si $n$ est pair}\cr 
{-4 \over n^2}&\hbox{si $n$ est impair}\cr}\right.\cr}$

$\varphi_0$ est continue et de classe ${\cal C}^1$ par morceaux donc
sa s\'erie de Fourier converge (uniform\'ement)\footnote{${}^{(3)}$}{%
La convergence uniforme de la s\'erie se d\'eduit aussi de la
convergence absolue de la s\'erie des coefficients de Fourier.}
vers $\varphi_0$~:
$$ \forall t\in{\bf R}\quad \varphi_0(t)=
{\pi^2 \over 2}+\sum_{k=0}^{+\infty}{-4 \over
(2k+1)^2}\cos\big((2k+1)t\big)$$

\vskip 5mm

\item{3${}^o$)} En appliquant l'\'egalit\'e ci-dessus en 0 on obtient
$\displaystyle 0={\pi^2 \over 2}+\sum_{k=0}^{+\infty}{-4 \over (2k+1)^2}$
donc $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}{1 \over (2k+1)^2}=
{\pi^2 \over 8}$.

On a $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^2}=S
=\sum_{k=0}^{+\infty}{1 \over (2k+1)^2}+\sum_{k=1}^{+\infty}{1 \over (2k)^2}
={\pi^2 \over 8}+{1 \over 4}\sum_{k=1}^{+\infty}{1 \over k^2}
={\pi^2 \over 8}+{S \over 4}$ donc $\displaystyle S
=\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^2}
={4 \over 3}{\pi^2 \over 8}={\pi^2 \over 6}$.

\vskip 5mm

\item{4${}^o$)} On applique l'\'egalit\'e de Parseval :
$\displaystyle {1 \over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big|\varphi_0(t)\big|^2\,dt
=|a_0|^2+{1 \over 2}\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|^2+|b_n|^2$ or 
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\big(\varphi_0(t)\big)^2\,dt
=\int_{0}^{\pi} \pi^2t^2dt={\pi^5 \over 3}$ donc 
$\displaystyle {\pi^4 \over 3}={\pi^4 \over 4}+{1 \over 2}
\sum_{k=0}^{+\infty}\left({4 \over (2k+1)^2}\right)^2$ d'o\`u
$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}{1 \over (2k+1)^4}={\pi^4 \over 96}$
puis

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^4}=S'
=\sum_{k=0}^{+\infty}{1 \over (2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{+\infty}{1 \over (2k)^4}
={\pi^4 \over 96}+{S' \over 16}$ donc $\displaystyle S'
=\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^4}
={16 \over 15}{\pi^4 \over 96}={\pi^4 \over 90}$.





\end
