\input carnotps.mac
\input psfig.sty
\guillemets
\parindent=0pt
\leftskip=1cm
\rightskip=\leftskip

\centerline{\cadreombre\m=0mm{
\grise\g=80\m=3mm\w=\hsize{
\cr
\Gros\bf X-Cachan 1997, option PSI$^*$\cr\cr
\Gros\bf Composition de math{\'e}matiques\cr\cr
corrig{\'e} de M. Quercia ({\tt quercia\char 64 cal.enst.fr}) et G. Besson\cr}}}
\SV

\def\q#1{{\sv\goodbreak\hskip-\leftskip\bf Question #1.\par}}
\def\f#1/#2 {\dfrac{#1}{#2}}
\def\({\Bigl(}
\def\){\Bigr)}

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-1-a}
Prendre les logarithmes.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-1-b}
$r_n\overline{r_n} = \(1 + \f ta_n/n
                         + \f t\overline{a_n}/n
                         + \f t^2a_n\overline{a_n}/n^2 \)^n
                   = \(1 + \f tb_n/n \)^n$
avec $b_n = a_n + \overline{a_n} + ta_n\overline{a_n}/n \in \R$.
Donc $r_n\overline{r_n} \--n\to\infty-> e^{t(a+\overline a)}
= e^{2t\Re(a)}$. 
De m{\^e}me, $s_n\overline{s_n} \--n\to\infty-> e^{2t\Re(a)}$. 

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-1-c}
Pour $n$ assez grand (en fait pour $\left|\f ta_n/n \right| < 1$)
on peut prendre $\rho_n = \arctan\(\f t\Im(a_n)/n+\Re(a_n) \)$,

donc $n\rho_n\--n\to\infty-> t\Im(a)$.
De m{\^e}me, $n\theta_n\--n\to\infty-> -t\Im(a)$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-1-d}
Imm{\'e}diat.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-2-a}
Crit{\`e}re de d'Alembert sur les normes; la s{\'e}rie est donc absolument convergente.

\q{I-2-b}
$\|e^B\| \le e^{\|B\|}$ par in{\'e}galit{\'e} triangulaire.

$\|e^{-B}(I_N+B)\| = \left\| I_N + \dsum_{k=1}^\infty (-1)^k\f k-1/k! B^k\right\|
                   \le 1 + \dsum_{k=1}^\infty \f k-1/k! \|B\|^k
                   \le 1 + \dsum_{k=1}^\infty \f 2^k/k! \|B\|^k
                   = e^{2\|B\|}$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-2-c}
Par convergence uniforme sur tout compact (en $t$) de la s{\'e}rie des d{\'e}riv{\'e}es,
on peut d{\'e}river terme {\`a} terme.

La fonction d{\'e}finie par $f(t) = e^{(t-t_0)B}u_0$ est donc solution de (1) -- (2).

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-2-d}
Calcul imm{\'e}diat.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-3-a}
$G'(s) = -s\f T^2/n A^2e^{-sTA}\(I_N+s\f TA/n \)^{n-1}
       = -s\f T^2/n A^2e^{-sTA/n}\(e^{-sTA/n}\(I_N+s\f TA/n \)\)^{n-1}$
car les matrices commutent.

$\|G'(s)\| \le s\f T^2/n \|A\|^2\exp\(\f 2n-3/n sT\|A\|\)
           \le \f T^2\|A\|^2e^{2T\|A\|}/n $.

$\|R_n - e^{TA}\| = \|e^{TA}(G(1)-G(0))\|
                  \le e^{T\|A\|}\|G'\|_\infty
                  \le \f T^2\|A\|^2e^{3T\|A\|}/n $
donc $R_n \--n\to\infty-> e^{TA}$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{I-3-b}
Comme $t \le \f 1/2\|A\| $, on a $\|tA\| < 1$ et donc
$(I_N-tA)^{-1} = \dsum_{k=0}^\infty t^kA^k$.

On en d{\'e}duit
$\|(I_N-tA)^{-1}\| \le \dsum_{k=0}^\infty t^k\|A\|^k
                                = \f 1/1-t\|A\| $.
On pose $x = t\|A\|$ et il reste {\`a} d{\'e}montrer que
$\f 1/1-x \le e^{2x}$ pour $x\in{[0,\frac 12]}$ ce qui est imm{\'e}diat.
\sv
D'apr{\`e}s la relation~:
$$M^{-1} = \f1/\det(M) {}^t\text{com}(M),$$
chaque coefficient de $(I_N-tA)^{-1}$ est une fraction rationnelle en $t$
dont le d{\'e}nominateur est {\'e}gal {\`a} $\det(I_N-tA) \ne 0$ donc la fonction
$t\I->(I_N-tA)^{-1}$ est d{\'e}rivable sur $[0,1/2\|A\|]$. En d{\'e}rivant
l'{\'e}galit{\'e}~:
$$(I_N-tA)(I_N-tA)^{-1} = I_N,$$
on obtient successivement~:
$$\eqalign{
&-A(I_N-tA)^{-1} + (I_N-tA)\f\d/{\d t} \((I_N-tA)^{-1}\) = 0\cr
&\f\d/{\d t} \((I_N-tA)^{-1}\) = (I_N-tA)^{-1}A(I_N-tA)^{-1} = A(I_N-tA)^{-2}\cr
}$$
car $A$ et $I_N-tA$ commutent donc $A$ et $(I_N-tA)^{-1}$ commutent aussi.
\sv

On en d{\'e}duit $S_n \--n\to\infty-> e^{TA}$. Cette relation aurait aussi
pu {\^e}tre obtenue en changeant $T$ en $-T$ dans le calcul de
$\dlim_{n\to\infty} R_n$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-1}
{\'E}vident.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-2}
Soit $\varphi(t) = \alpha_0 + \beta_0\dint_{s=0}^t \alpha(s)\,\d s$~:
$\varphi'(t) \le \beta_0\varphi(t)$ soit~:
$\f \d/{\d t} (\varphi(t)e^{-\beta_0t}) \le 0$.
Donc $\varphi(t)e^{-\beta_0t} \le \varphi(0) = \alpha_0$ et
$\alpha(t) \le \varphi(t)$ d'o{\`u} le r{\'e}sultat (lemme de {\smc Gronwall}).

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-3}
$\|u(t) - \hat u(t)\| \le \|u_0 - \hat u_0\|
                      +   \dint_{s=0}^t K(\tau)\|u(s) - \hat u(s)\|\,\d s$
avec $K(\tau) = \sup\{k(\|u(t)\|), k(\|\hat u(t)\|), 0\le t \le \tau\}$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-4}
M{\^e}me principe.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-5}
Pour $t\in{\left[(j-1)\f T/n , j\f T/n \right]}$,
$u_n(t)$ est la fonction affine valant $x_{j-1}$ en $(j-1)\f T/n $
et $x_j$ en $j\f T/n $, soit~:
$$u_n(t) = x_{j-1} + \dint_{s=(j-1)T/n}^t f(x_{j-1})\,\d s.$$
On en d{\'e}duit~:
$$\eqalign{\left\|u_n(t) - x_{j-1} - \dint_{s=(j-1)T/n}^t f(u(s))\,\d s\right\|
&{}\le \dint_{s=(j-1)T/n}^t \|f(u_n(s)) - f(x_{j-1})\|\,\d s\cr
&{}\le k_n\dint_{s=(j-1)T/n}^t \|u_n(s) - x_{j-1}\|\,\d s\cr
&{}\le k_n\|x_j-x_{j-1}\|\dint_{s=(j-1)T/n}^t \(s\f n/T - (j-1)\)\,\d s\cr
&{}\le \f k_nM_nT/n \times \f 1/2 \(t-(j-1)\f T/n \).\cr
}$$

On additionne ces in{\'e}galit{\'e}s pour $j=1,\dots,n$ ce qui donne~:
$$\left\|u_n(t) - u_0 - \dint_{s=0}^t f(u(s))\,\d s\right\|
\le \f k_nM_nT/2n t.$$

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-6}
On a $\|x_0\| = \|u_0\| \le 1 + 2\|u_0\|$.
Supposons que $x_0,\dots, x_k$ v{\'e}rifient~:
$\|x_j\| \le 1 + 2\|u_0\|$.
Alors, pour $j\le k$, on a
$R_j \le R_{j-1} + \f 1+\|u_0\|/n $
donc 
$R_k \le R_{j-1} + k\f 1+\|u_0\|/n $.
%
Conclusion~: si $k<n$, on a $\|x_{k+1}\| \le 1 + 2\|u_0\|$, l'hypoth{\`e}se est
r{\'e}currente donc en fait $R_n \le 1 + 2\|u_0\|$.
$k_n$ et $M_n$ sont donc born{\'e}s ind{\'e}pendement de $n$ d'o{\`u} l'existence
de $C$.

D'apr{\`e}s {\bf II-4}, pour $n\le p$ on a
$\|u_n-u_p\|_\infty \le 2\varepsilon_n T e^{kT}\--n\to\infty-> 0$
donc la suite $(u_n)$ est uniform{\'e}ment de Cauchy et donc
converge uniform{\'e}ment vers une fonction $\app u {[0,T]} {\R^N}$ continue.
Par ailleurs, $f$ etant localement uniform{\'e}ment continue, $f\circ u_n$
converge uniform{\'e}ment vers $f\circ u$.

On peut donc passer {\`a} la limite dans l'in{\'e}galit{\'e}~:
$$\left\|u_n(t) - u_0 - \dint_{s=0}^T f(u_n(s))\,\d s\right\|
\le \varepsilon_n T$$
ce qui prouve que $u$ est solution de (1) -- (2).

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-7-a}
On a $T(u_0) \ge (1+\|u_0\|)/{\cal F}(1+2\|u_0\|) > 0$.
L'unicit{\'e} r{\'e}sulte de {\bf II-3}.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-7-b}
Si $T(u_0)$ est fini et $\|u(t)\|$ ne tend pas vers l'infini en $T(u_0)$
alors il existe une suite $(t_k)$ de r{\'e}els convergeant vers $T(u_0)$ telle
que la suite $(u(t_k))$ soit born{\'e}e.
D'apr{\`e}s (6), on peut prolonger $u$ sur $[t_k,t_k+T_k]$ o{\`u}
$$T_k = \f 1+\|u(t_k)\|/{\cal F}(1+2\|u(t_k)\|) > \delta > 0$$
avec $\delta$ ind{\'e}pendant de $k$ donc pour $k$ assez grand, on obtient
un prolongement de $u$ {\`a} droite de $T(u_0)$ ce qui est absurde.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-7-c}
L'hypoth{\`e}se donn{\'e}e emp{\^e}che $\|u(t)\|$ de tendre vers l'infini en un point
fini. On peut remarquer que la croissance de $L$ n'est pas n{\'e}cessaire.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{II-8}
Si $\|f(x)\| \le C_1\|x\| + C_2$ alors
$T \ge \f 1+\|u_0\|/C_1+C_2+2C_1\|u_0\|
   \ge \min\(\f 1/C_1+C_2 , \f 1/2C_1 \)$
donc en reprenant {\bf II-7-b}, on peut prolonger une solution jusqu'{\`a}
l'infini.
\sv
Si ${<}x,f(x){>} \le C_1\|x\|^2+ C_2$ on pose $v = \|u\|^2 ={} <u,u>$.
Donc $$v' = 2<u,u'>{} = 2<u,f(u)>{} \le 2C_1 v + 2C_2,$$ d'o{\`u}
$$v(t) \le v_0 + \dint_{s=0}^t (2C_1v(s) + 2C_2)\,\d s,$$ puis
$$v(t) \le -\f C_2/C_1 + \(v_0 + \f C_2/C_1 \)e^{2C_1 t}$$
d'apr{\`e}s le lemme de {\smc Gronwall} ce qui implique, d'apr{\`e}s {\bf II-7-c}
que $T(u_0) = +\infty$ (m{\^e}me si la fonction majorant $v(t)$ n'est pas croissante,
la conclusion demeure comme remarqu{\'e} pr{\'e}c{\'e}demment).

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-1}
Question "de cours".

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-2}
$0 \le \f 1/t d(u_0+tf(u_0),F)
   \le \f 1/t d(u_0+tf(u_0),u(t))
   = d\(f(u_0),\f u(t)-u_0/t \)
   \--t\to0^+-> 0$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-3}
Si $F$ est compact, la fonction $y  \I-> \|x-y\|$ admet un minimum sur
$F$ d'o{\`u} l'existence de $x_F$.
Si $F$ est ferm{\'e}, comme $d(x,F)$ est une borne inf{\'e}rieure, il existe une
suite $(y_n)$ d'{\'e}lements de $F$ telle que $\|x-y_n\| \--n\to\infty-> d(x,F)$
et cette suite est born{\'e}e car la suite $(\|x-y_n\|)$ l'est.
Quitte {\`a} extraire une sous-suite, on peut supposer que $(y_n)$ converge
vers un {\'e}l{\'e}ment $y$ de $F$ (car $F$ est ferm{\'e}) et par passage {\`a} la limite
on a $\|x-y\| = d(x,F)$ ce qui prouve encore l'existence de $x_F$.
\sv

Si $F$ est ferm{\'e} convexe, pour $y\in F$ on a~:
$$\eqalign{
\|x - (ty + (1-t)x_F)\|^2 - \|x-x_F\|^2
  &{}= t^2\|y-x_F\|^2 - 2t{<}y-x_F,x-x_F{>}\cr
  &{}= t\(t\|y-x_F\|^2 - 2{<}y-x_F,x-x_F{>}\).\cr}$$

Le terme entre parenth{\`e}ses est toujours positif pour $t\in{]0,1]}$ par
d{\'e}finition de $x_F$ donc sa limite pour $t$ tendant vers $0^+$ est positive
ou nulle, soit ${<}y-x_F,x-x_F{>} \le 0$.
\sv

R{\'e}ciproquement, soit $z\in F$ tel que ${<}y-z,x-z{>}\le 0$ pour tout $y\in F$.
En reprenant les calculs pr{\'e}c{\'e}dents avec $t=1$ on voit que
$\|x-y\|^2 \ge \|x-z\|^2 + \|y-z\|^2$ pour tout $y\in F$, donc $z$ r{\'e}alise la
distance minimum de $x$ {\`a} un point de $F$ et est le seul point de $F$ dans
ce cas, ce qui ach{\`e}ve la d{\'e}monstration.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-4}
Pour $x,y$ fix{\'e}s, l'ensemble des $p$ tels que ${<}p,y-x{>} \le 0$ est l'espace
entier si $y=x$ et un demi-espace ferm{\'e} sinon, en particulier c'est un
c{\^o}ne de sommet $0$ convexe et ferm{\'e}.
L'ensemble des $p$ v{\'e}rifiant ${<}p,y-x{>} \le 0$ pour tout $y\in F$ est donc
une intersection de c{\^o}nes de sommet $0$ convexes ferm{\'e}s~;
c'est un c{\^o}ne de sommet $0$ convexe ferm{\'e}.
\sv
Soit $F$, c{\^o}ne de sommet $0$ convexe ferm{\'e} v{\'e}rifiant $(7)$.
Pour $t>0$ on note $y(t)$ le projet{\'e} (d{\'e}fini {\`a} la question pr{\'e}c{\'e}dente)
sur $F$ de $u_0+tf(u_0)$ et on consid{\`e}re un {\'e}l{\'e}ment $p$ de $N(u_0)$~:
$$\left\|\f y(t)-u_0/t - f(u_0) \right\|
  = \f 1/t d(u_0+tf(u_0),F) \--t\to0^+-> 0$$
donc $\f y(t)-u_0/t \--t\to0^+-> f(u_0)$ et l'on sait que
${<}p,\f y(t)-u_0/t {>}\le 0$ d'o{\`u} par passage {\`a} la limite,
$${<}p,f(u_0){>} \le 0.$$

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-5}
D'apr{\`e}s l'in{\'e}galit{\'e} triangulaire, l'application $x\I->\|x-y\|$ est convexe
donc l'application $x\I->d(x,F)$ l'est aussi comme borne inf{\'e}rieure de
fonctions convexes.

On en d{\'e}duit que l'application
$\lambda\I->d(u_0+\lambda f(u_0),F)$ est aussi convexe et s'annule pour
$\lambda = 0$ donc la pente de la corde sur $[0,\lambda]$,
$\f 1/{\lambda} d(u_0+\lambda f(u_0),F)$ est une fonction
croissante de $\lambda$. En particulier elle admet une limite
$\ell\in {[-\infty,\infty[}$ en $0^+$ et $d(u_0+\lambda f(u_0),F) \ge 0$
donc $\ell \in {[0,+\infty[}$.
\sv

Ceci prouve que la famille $\(\f {u_0+\lambda f(u_0)-x_\lambda}/{\lambda} \)$
est born{\'e}e au voisinage de $0^+$ donc admet une valeur d'adh{\'e}rence, $p$.
Soit donc une suite $(\lambda_n)$ convergeant vers $0$ telle que
$\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} \--n\to\infty-> p$~:
\sv

On a alors $x_{\lambda_n} \--n\to\infty-> u_0$ et pour $y\in F$~:
${<}\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} , y-x_{\lambda_n}{>} \le 0$
d'o{\`u} par passage {\`a} la limite~:
${<}p,y-u_0{>} \le 0$ c'est {\`a} dire que $p\in N(u_0)$.
\sv

Mais alors ${<}p,f(u_0){>} \le 0$ et l'on a~:
$$\eqalign{\hskip3em&\hskip-7em
{<}\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} ,
 \f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} {>}
\cr
&{}=
  {<}\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} , f(u_0){>}
+ {<}\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} ,
    \f {u_0-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} {>}
\cr
&{}\le
  {<}\f {u_0+\lambda_n f(u_0)-x_{\lambda_n}}/{\lambda_n} , f(u_0){>}
  \--n\to\infty-> {<}p,f(u_0){>} \le 0.
\cr}$$
Comme le premier membre converge vers $\|p\|^2 = \ell^2$,
on obtient $\ell^2 \le 0$ donc $\ell = 0$ ce qu'il fallait d{\'e}montrer.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-6}
Avec les notations de l'{\'e}nonc{\'e},
$$\eqalign{
\f w_\lambda(t+h_n)-w_\lambda(t)/h_n
&{}= e^{-\gamma t}\f e^{-\gamma h_n}v(t+h_n)-v(t)/h_n - \lambda\cr
&{}= e^{-\gamma t}\(\f e^{-\gamma h_n}-1/h_n v(t+h_n)
                    +\f v(t+h_n)-v(t)/h_n \) - \lambda\cr
&\--n\to\infty-> -\gamma v(t)e^{-\gamma t}
                 + e^{-\gamma t}\dlim_{n\to\infty}\f v(t+h_n)-v(t)/h_n 
                 - \lambda \le -\lambda < 0.\cr}$$

Donc, {\`a} droite de tout $t\in{[0,T[}$, il existe des valeurs de $w_\lambda$
strictement inf{\'e}rieures {\`a} $w_\lambda(t)$.
Ceci implique que, pour tout $\alpha \in {[0,T[}$, le minimum de
$w_\lambda$ sur $[0,\alpha]$ est atteint en $\alpha$ et donc en particulier
que $w_\lambda(\alpha) \le w_\lambda(0)$ d'o{\`u}
$e^{-\gamma \alpha} v(\alpha) \le v(0) + \lambda\alpha$. Il reste {\`a} faire
tendre $\lambda$ vers $0^+$ {\`a} $\alpha$ fix{\'e} pour conclure.
  
%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-7}
On a~:
$$\eqalign{v(t+h)
&{}=   \|u(t+h)-x_{t+h}\|\cr
&{}\le \|u(t+h)-z_{t,h}\|\cr
&{}\le \|u(t+h)-u(t)-hf(u(t))\|
      +\|u(t)+hf(u(t))-x_t-hf(x_t)\|
      +\|x_t+hf(x_t)-z_{t,h}\|\cr
&{}\le h\left\|\f u(t+t)-u(t)/h -f(u(t))\right\|
      +\|u(t)-x_t\|
      +Kh\|u(t)-x_t\|
      +h\left\|\f x_t+hf(x_t)-z_{t,h}/h \right\|\cr}$$
o{\`u} $K$ r{\'e}sulte du caract{\`e}re localement lipchitzien de $f$.
Donc,
$$\f v(t+h)-v(t)/h
  \le \left\|\f u(t+h)-u(t)/h - f(u(t))\right\| + Kv(t)
     +\left\|\f x_t+hf(x_t)-z_{t,h}/h \right\|
  \--h=h_n\to0^+-> Kv(t).$$
D'apr{\`e}s {\bf III-6} on en d{\'e}duit $v=0$ et donc $u(t)\in F$.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-8-a}
$F = \{x\mid x\ge 0\}$ est un c{\^o}ne de sommet $0$ convexe et ferm{\'e}, donc
il suffit de v{\'e}rifier (9).
Pour $N=1$ et $u_0\in F$ on a $N(u_0) = \{0\}$ su $u_0 > 0$ et
$N(0) = \R^-$. (9) {\'e}quivaut donc {\`a}~:
$$\forall\ p\le 0,\ pf(0)\le 0,$$
ce qui {\'e}quivaut {\`a} $f(0) \ge 0$.
\sv

Pour $N=2$ et $u_0=(x_0,y_0)\in F$, on a~:
$$N(u_0) = \cases{
\{0\} &si $x_0 > 0$ et $y_0 > 0$\cr
\{(p,0)\mid p\le 0\} &si $x_0 = 0$ et $y_0 > 0$\cr
\{(0,q)\mid q\le 0\} &si $x_0 > 0$ et $y_0 = 0$\cr
\{(p,q)\mid p\le 0,\ q\le 0\} &si $x_0 = y_0 = 0$.\cr}$$

On en d{\'e}duit de m{\^e}me que pr{\'e}c{\'e}dement l'{\'e}quivalence entre (9) et les conditions
de l'{\'e}nonc{\'e}.

%-----------------------------------------------------------------------
\q{III-8-b}
Pour $N=1$, par unicit{\'e} de la solution du probl{\`e}me de Cauchy, la diff{\'e}rence
entre deux solutions distinctes ne s'annule pas donc, {\'e}tant continue, cette
diff{\'e}rence reste de signe constant.
L'ordre des conditions initiales est conserv{\'e}.
\sv

Pour $N=2$, s'il existe $u_0 = (x_0,y_0)$ tel que $\dd{f_2}x(u_0) < 0$,
soit $\hat u_0 = (x_0+\varepsilon,y_0)$ avec $\varepsilon > 0$ choisi de
sorte que $f_2(\hat u_0) < f_2(u_0)$.
Soient $u(t) = (x(t),y(t))$ et $\hat u(t) = (\hat x(t),\hat y(t))$ les
solutions de (1) associ{\'e}es~:
on a $\hat y'(0) < y'(0)$ et $\hat y(0) = y(0) = y_0$ donc pour $t>0$ proche
de $0$ on a $\hat y(t) < y(t)$, et donc l'ordre des conditions initiales
n'est pas conserv{\'e}.
Par sym{\'e}trie et par contraposition, on en d{\'e}duit que la conservation de
l'ordre des conditions initiales implique $\dd{f_2}x \ge 0$ et $\dd{f_1}y \ge 0$.
\sv

Si $\dd{f_2}x \ge 0$ et $\dd{f_1}y \ge 0$, soit $u_0 = (a_0,b_0) \in \R^2$
et $u(t) = (a(t),b(t))$ la solution de (1) -- (2).
On consid{\`e}re le syst{\`e}me diff{\'e}rentiel dans $\R^3$~:
$$\f {\d V}/{\d t} = (f(v(t)),1) = \tilde f(V(t))
\text{ avec }
V(t) = (v(t),t) = (x(t),y(t),t)$$
et l'ensemble~:
$$F = \{(x,y,t)\in \R^3\mid t\ge 0,\ x\ge a(t),\ y\ge b(t)\}.$$

$F$ est ferm{\'e} et on montre que $F$ est invariant {\`a} l'aide de la condition
{\bf III-7}.
Soit $V = (x,y,t)\in F$~: Si $V \in \interieur F$ on a
$d(V+h\tilde f(V),F) = 0$ pour $h$ suffisament petit et donc
$d(V+h\tilde f(V),F) = \o(h)$.
\sv
Si $x=a(t)$ et $y \ge b(t)$, comme $\dd{f_1}y \ge 0$, on a
$f_1(a(t),y) \ge f_1(a(t),b(t))$ et l'on est dans l'une des situations~:
\sv
\centerline{\psfig{file=M97XS-F.eps,height=4cm}}
\sv
Lorsque $y > b(t)$, on a $y + hf_2(a(t),y) > b(t+h)$ pour $h$ suffisament
petit et donc~:
$$\eqalign{
d(V+h\tilde f(V),F) &{}\le \max(a(t)+hf_1(a(t),y)-a(t+h),0)\cr
&{}\le \max(a(t)+hf_1(a(t),b(t))-a(t+h),0)\cr
&{}\le \|u(t)+hf(u(t)) - u(t+h)\|.\cr
}$$
Lorsque $y = b(t)$ on a directement~:
$$d(V+h\tilde f(V),F) \le \|u(t)+hf(u(t)) - u(t+h)\|$$
donc dans tous les cas $d(V+h\tilde f(V),F)$ est n{\'e}gligeable devant $h$.
\sv
Autre d{\'e}monstration~:
on consid{\`e}re le syst{\`e}me diff{\'e}rentiel dans $\R^4$~:
$$\f {\d V}/{\d t} = (f(u(t)),f(\hat u(t))) = \tilde f(V(t))
\text{ avec }
V(t) = (u(t),\hat u(t)) = (x(t),y(t),\hat x(t),\hat y(t))$$
et l'ensemble~:
$$F = \{(x,y,\hat x,\hat y)\in \R^4\mid x\le\hat x ,\ y\le\hat y\}.$$
$F$ est un c{\^o}ne de sommet $0$ convexe et ferm{\'e} et il s'agit encore de
montrer qu'il est invariant sous les conditions
$\dd{f_1}y\ge 0$, $\dd{f_2}x\ge 0$.
On peut alors utiliser la caract{\'e}risation (9).
Soit $V=(x,y,\hat x,\hat y)\in F$~:
\sv
-- si $V\in \interieur F$ alors $N(V) = \{0\}$ et il n'y a rien {\`a} d{\'e}montrer~;
\sv
-- si $x=\hat x$ et $y < \hat y$ alors $N(V) = \{(p,0,-p,0)\mid p\ge 0\}$
   et ${<}(p,0,-p,0),\tilde f(V){>} = p(f_1(x,y) - f_1(x,\hat y)) \le 0$
   car $p\ge 0$ et $f_1$ est croissante par rapport {\`a} $y$~;
\sv
-- si $x>\hat x$ et $y=\hat y$ alors $N(V) = \{(0,q,0,-q)\mid q\ge 0\}$
   et ${<}(0,q,0,-q),\tilde f(V){>} = q(f_2(x,y) - f_2(\hat x,y)) \le 0$
   car $q\ge 0$ et $f_2$ est croissante par rapport {\`a} $x$~;
\sv
-- si $x=\hat x$ et $y=\hat y$ alors $N(V) = \{(p,q,-p,-q)\mid p\ge 0,\ q\ge 0\}$
   et ${<}(p,q,-p,-q),f(V){>} = 0$.
\sv
Ceci ach{\`e}ve la d{\'e}monstration, le probl{\`e}me, et les r{\'e}dacteurs de ce corrig{\'e}.
\SV

\centerline{\vrule height 0.4pt width 4cm}

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\bye
