%CG97enon.tex 18 mars 97 12h05 version 23 avril 97 23h22
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\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: cg96enon.tex \hskip 3mm}
{\bf \'ENONC\'E du CONCOURS G\'EN\'ERAL 1997
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp{\'e} MP1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ }}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }   %Underfull hbox si  ce { m�me vide mais avec fonte} pas mis
                                    % en fait line demande une ligne compl{\`e}te : il faut hfill
{\bf LISTE DES T.I.P.E
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %{\^U}{\^U}{\^U}{\^U}{\^U}
\vskip-4mm
\hfill mardi 18 mars 1997  8h30-13h30 (salle 254-255)

\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp{\'e} MP1 carnot DIJON}}
\traitgras
\hfill\cadrefin{\bf EXERCICE I}\hfill{}

\lettrine{On } a plac{\'e} un jeton sur chaque sommet d'un polygone r{\'e}gulier
{\`a} 1997 cot{\'e}s. Sur chacun de ces jetons est inscrit un entier relatif,
la somme de ces entiers relatifs {\'e}tant {\'e}gale {\`a} 1. On choisit un sommet de
d{\'e}part et on parcourt le polygone dans le sens trigonom{\'e}trique en ramassant
les jetons au fur et {\`a} mesure tant que la somme des entiers inscrits sur les
jetons ramass{\'e}s est strictement positive.

Peut-on choisir le sommet de d{\'e}part de fa{\c c}on {\`a} ramasser tous les
jetons~? Si oui, combien y a-t-il de choix possibles~?
\trait
\hfill\cadrefin{\bf EXERCICE II}\hfill{}

\lettrine{Une} capsule spatiale a la forme du solide de
r{\'e}volution d{\'e}limit{\'e} par une sph{\`e}re de centre O, de rayon R, et un c{\^o}ne
de sommet O qui rencontre cette sph{\`e}re selon un cercle de rayon r.

Quel est le volume maximal d'un cylindre droit contenu dans cette
capsule, le cylindre et la capsule ayant le m{\^e}me axe de r{\'e}volution ?
\trait
\hfill\cadrefin{\bf EXERCICE III}\hfill{}

\lettrine{C} est un cube d'ar{\^e}te 1  et p est la projection orthogonale sur
un plan. Quelle est la valeur maximale de l'aire de p(C) ?
\vskip 3mm

\trait

\hfill\cadrefin{\bf EXERCICE IV}\hfill{}

\lettrine{{\`E}tant} donn{\'e} un triangle ABC, on note a,b,c les longueurs de ses cot{\'e}s et
m,n,p les longueurs de ses m{\'e}dianes. Pour tout r{\'e}el $\alpha$ strictement
positif, on d{\'e}finit le r{\'e}el $\lambda(\alpha)$ par la relation :
$a^\alpha+b^\alpha+c^\alpha=(\lambda(\alpha))^\alpha\big(m^\alpha+n^\alpha
+p^\alpha\big)$.

\hskip 1cm  {\tenbf (1)} Calculer $\lambda(2)$.

\hskip 1cm  {\tenbf (2)} Calculer la limite de $\lambda(\alpha)$
quand $\alpha$ tend vers 0.

\hskip 1cm  {\tenbf (3)} \`A quelle condition portant sur a,b,c
le r{\'e}el $\lambda(\alpha)$ est-il ind{\'e}pendant de $\alpha$ ?
\vskip 3mm

\trait
\hfill\cadrefin{\bf EXERCICE V}\hfill{}

\lettrine{Dans} le plan, soient A et B deux points distincts. Pour tout point
C ext{\'e}rieur {\`a} la droite (AB), on note G l'isobarycentre du triangle ABC et
I le centre de son cercle inscrit.

\hskip 1cm  {\tenbf (1)} Soit $\alpha$ un r{\'e}el tel que $0<\alpha<\pi$.
Quel est l'ensemble $\Gamma$ des points C tels que
$\big(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\big)=\alpha+2k\pi$, k {\'e}tant un entier ? Lorsque
C d{\'e}crit $\Gamma$, montrer que G et I d{\'e}crivent des arcs de cercle que l'on
pr{\'e}cisera.

\hskip 1cm  {\tenbf (2)} On suppose d{\'e}sormais que $\frac \pi 3 <\alpha <\pi$.
Comment doit-on choisir C dans $\Gamma$ pour que la distance GI soit minimale ?

\hskip 1cm  {\tenbf (3)} On note $f(\alpha)$ la distance minimale GI de la question
pr{\'e}c{\'e}dente. Expliciter $f(\alpha)$ en fonction de $a=AB$ et $\alpha$.
D{\'e}terminer la valeur maximale F de $(\alpha)$ lorsque $\alpha$
d{\'e}crit $\big]\frac \pi 3,\pi\big[$. {\it Donner enfin une valeur
num{\'e}rique approch{\'e}e F1 de ce maximum F sous la forme $F1=\mu a$.}



\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf CONCOURS G\'EN\'ERAL 1997}
\transforme{3 0 0 3}{\bf CONCOURS G\'EN\'ERAL 1997}

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\vfill\eject
\bye



