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%                 CENTRALE  MP1  1999
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%--------------------------------------------------------------------------
% AVERTISSEMENTS :
% 1 Lire sous PLAIN FRANCAIS ou PLAIN + BABEL sans inputer quoi que ce soit.
% 2 Toute remarque est bienvenue
% Luc Verschueren 8 rue du Prof. Picard 30000 N{\^\i}mes. 
%    ou bien :  Luc.Verschueren@wanadoo.fr
%    Amiti{\'e} {\`a} tous .
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\input psfig.sty
% Une figure est insérée à la fin du Problème  c'est le fichier : M99CM1F.eps
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MACROS DE PRESENTATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hsize=160mm           \vsize=255mm   \parindent=0mm 

\def\rm{\fam0\tenrm}                                   %fonte usuelle
\font\bla=cmti8                                        % petite italique
\font\Gbf=cmbxsl10  scaled\magstep1                    %fonte du grand titre
\font\gbf=cmbxsl10  scaled\magstephalf                 %fonte des titres

\def\ind{\hskip -7mm\relax}                           %titre en retrait dans la marge
\def\minind{\hskip -4mm\relax}                        %petit retrait dans la marge
\def\minib{\vskip 0.5 mm}                             %mini blanc vertical
\def\blanc{\vskip 1.5 mm}                             %petit blanc
\def\Blanc{\vskip 4mm plus 1mm minus 1mm}             %moyen blanc                   
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   titres des questions :     %%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\quest#1#2{\ind {\gbf \hbox{Question #1 :\quad #2}}\par\rm\blanc}
\def\ssquest#1{\minind {\bf #1}\quad}

\def\trait{\hrule height 0.5pt depth 0.5pt width 12cm}  %trait horizontal
                                                     
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   encadrements :     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                           % cadre proche  ( 2pt )
    \vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil#1\hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}
\def\Cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                            % cadre large ( 5pt )
    \vbox spread 5pt {\vfil\hbox spread 5pt{\hfil#1\hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}
\def\CCadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                            % cadre très large ( 10pt )
    \vbox spread 10pt {\vfil\hbox spread 10pt{\hfil#1\hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}

\def\resul #1#2{\raise -#1 mm \cadre {#2}}                   % avec alignement sur le texte  
\def\Resul #1#2{\raise -#1 mm \Cadre {#2}}                   % avec alignement sur le texte  
\def\RResul #1#2{\raise -#1 mm \CCadre {#2}}                 % avec alignement sur le texte  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Alphabet Grec  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\lll=\lambda \let\ttt=\theta \let\aaa=\alpha  \let\bbb=\beta
\let\ggg=\gamma \let\ddd=\delta \let\ooo=\omega  \let\mmm=\mu 
\let\fff=\varphi \let\ppp=\psi \let\rrr=\rho \let\eee=\varepsilon 
\let\ffff=\phi   \let\ccc=\chi \let\PPP=\Phi \let\PpP=\Psi 
\let\sss=\sigma
%\def\cccc{\hat \chi} \def\fffff{\hat \varphi}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Spécifiques matheux %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\R{\hbox{ I\hskip -0.17em R} }    \def\Z{\hbox{ Z\hskip -0.32em Z} }  
\def\N{\hbox{ I\hskip -0.15em N} }    \def\K{\hbox{ I\hskip -0.17em K} }  
\def\C{\hbox{ \ 1\hskip -0.60em C} }  \def\U{\hbox{ \ I\hskip -0.15em U} }
\def\Q{\hbox{ \ 1\hskip -0.60em Q} }  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% les mêmes en police d'indice
\def\nmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.17em N}}  \def\zmat{\sevenrm\hbox{ Z\hskip -0.32em Z}  }  \def\rmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.15em R}}  \def\qmat{\sevenrm\hbox{\ 1\hskip -0.60em Q}  }
\def\cmat{\sevenrm\hbox{ \ 1\hskip -0.60em C}  }  \def\kmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.17em K}  }  \def\umat{\sevenrm\hbox{\ I\hskip -0.15em U}  }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù

\def\ssl{\underbar}                                            %souligne du texte
\def\sslig#1{\underline{\vrule depth 4pt width 0pt #1}}      %souligne des maths

\def\conj{\overline}                                         %conjugu{\'e}
\def\vect#1{\overrightarrow{#1}}                            %vecteur avec fl{\`e}che

\def \frac#1#2{\mathchoice                                   %  fraction  selon le style math  
  {{\displaystyle#1\over\displaystyle#2}}{{\textstyle#1\over\textstyle#2}}{#1/#2}{#1/#2}} %

\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}                 %  fonctions non définies
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}

\def\M#1#2{{\cal M}_{#1}(#2)}                        %M2(R) matrices
\def\L#1#2{{\cal L}(#1)^{#2}}                        %L(R2) endomorphismes
\def\rpol{\R\lbrack  X \rbrack}                   %R[X]  polynômes
\def\rpoln#1{\R_{#1}\lbrack  X \rbrack}           %Rn[X]  polynômes

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Raccourcis   %%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\dps=\displaystyle           \let\scs=\scriptstyle
\let\txs=\textstyle
\def\ssi{si et seulement si }    \let\SSI=\Longleftrightarrow
\let\dou=\Rightarrow             \let\vers=\rightarrow
\let\qq=\forall                  \let\ex=\exists
\def\pol{polyn\^ome}             \let\til=\widetilde                           

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MACROS Perso            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\norm#1{\left\Vert #1 \right\Vert}                                    % norme double barre d'un vecteur              
\def\scal#1#2{ \langle #1\mid#2 \rangle}              % produit scalaire
\def \Det#1{\left|\matrix{#1}\right|}                          % determinant
\def \syst#1{ \left\{\, \matrix{#1}\right.}                    % système
%         exemple de syntaxe :  $\syst{{a=0}\cr {b=1}\cr {c=2}\cr}$\par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   superpositions     %%%%%%%%%%%%%%%%
\def\etage#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}      % pour écrire en dessous
\def\Etage#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}      % pour écrire au dessus
\def\eEtage#1#2#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}} % en dessous et au dessus
%       exemple de syntaxe   :   $\etage{inf}{x\in \N}$\par
% $\eEtage{\hbox to 15mm{\rightarrowfill}}{n\vers \infty}{\hbox{\sevenrm cvge unift}}$\par

\def\arc#1{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{\dps\frown}}}      % pour ce pb
%\def\Arc#1{ \buildrel {\frown}\over {#1}}                        % proposé par Vidiani

     
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Mise en page  UPS   %%%%%%%% 

\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%                                                         %%%
%%%%%%                    TITRE                                %%%
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\centerline{\Gbf  Centrale - Supelec  1999 \quad Premi\`{e}re \'{e}preuve de 
                 Math\'{e}matiques  Fili\`{e}re  M.P. }
\Blanc
\setbox10=\vbox{\hsize=98mm \it \quad Quelques outils pour la multir\'esolution \par
            \hfill { ( voir les ondelettes )   avec bien des calculs ... }}
\setbox11=\vbox{\hsize=60mm{\hfill{\bla  Luc Verschueren}}\par
                {\hfill{\bla  Lyc\'ee Daudet N\^\i mes}}}
\hbox{\box10\hfill\box11}
\blanc\trait\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                     Partie 1 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent{\gbf $\underline{\hbox{ Partie I  Les B-splines uniformes}}$}\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{I.A.1)}{Transform\'ee de Fourier}

\ssquest{a)}
$f$ est \`a support compact, donc il existe $[a,b]$ segment de $\R$ tel que $f(x)=0$ en dehors de $[a,b]$ .\par
La transform\'ee de Fourier de $f$ est alors une int\' egrale \`a param\`etre \ssl{sur un segment} et on peut assurer sa d\'erivabilit\'e sans domination , simplement en \'etudiant la fonction de deux variables qu'on int\`egre.\par
Soit $g$ d\'efinie par : $g(x,t)=f(t)e^{-i\, x\, t}$\quad $g$ est continue sur $\R\times [a,b]$ , admet des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a $x$, \`a tous les ordres : 
$\dps \frac{\partial^{n} g}{\partial x^{n}}\  (x,t)=(-it)^{n}\ f(t)\ e^{-i\, x\, t}$ 
elles m\^emes continues sur $\R\times [a,b]$ .\par                                       % 140
Par le th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales \`a param\`etre : 
\resul{1.2}{\ $\arc f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R$\ }\par
De plus les d\'eriv\'ees successives valent : 
$\dps {\arc f}^{(n)}(x)=\int^{b}_{a}(-it)^{n}\ f(t)\ e^{-i\, x\, t}\,dt 
              =\int^{+\infty}_{-\infty}(-it)^{n}\ f(t)\ e^{-i\, x\, t}\,dt$\par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\ssquest{b)}
Si $\arc f$ est constamment nulle , ses d\'eriv\'ees sont toutes nulles en $0$ : 
\resul{4}{\ $\dps \qq n \in \N \qquad \int^{+\infty}_{-\infty}t^{n}\ f(t)\,dt=0$\ }\par
De m\^eme, par combinaison lin\'eaire, pour tous les polyn\^omes : $\dps\qq P \in \R[X]\quad \int^{+\infty}_{-\infty}P(t)\, f(t)\,dt=0$\par                                % 150
\ssl{Thm de Weierstrass}: $f$ continue sur le segment $[a,b]$ , est limite 
uniforme d'une suite $(P_{n})_{n\in \!\nmat}$ de polyn\^omes\par
Puisque : $\int^{b}_{a} f(t)^{2}\, dt=\int^{b}_{a} f(t)\,P_{n}(t)\, dt 
        + \int^{b}_{a} f(t)(f(t)-P_{n}(t))\, dt=\int^{b}_{a} f(t)(f(t)-P_{n}(t))\, dt$\par
cette int\'egrale est major\'ee en valeur absolue par $(b-a).N_{\infty}(f).N_{\infty}(f-P_{n})$ \par 
en notant : $N_{\infty}(f)=\etage{sup}{t \in [a,b]}|f(t)|$\par
Le majorant tend vers $0$ par la convergence uniforme, donc : $\dps\int^{b}_{a} f(t)^{2}\, dt=0$ , ce qui assure avec la continuit\'e : \Resul{2}{\ $f=0$ constante sur $[a,b]$ donc sur $\R$\ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{I.A.2)}{Formule de Poisson}
\ssquest{a)}
$f$ est nulle hors de $[a,b]$ donc $f(x+n)=0$ pour $n>b-x$ et $n<a-x$ ,\par
ainsi :
\resul{4.5}{\ $\til f (x)=\sum\limits_{a-x\leq n \leq b-x} f(x+n)$\ }\quad
et la somme est en fait pour chaque $x$ \ssl{une somme finie}\par
Ainsi : $\qq x \in \R$ sur $]x-1,x+1[$ on a : $\til f (x)=\sum\limits_{a-x-1\leq n \leq b-x+1} f(x+n)$ \par
et c'est donc une \ssl{somme finie de fonctions continues}\qquad
\Resul{1.2}{\ $\til f$ est donc continue sur $\R$\ }\par
Il est clair que : $\til f (x+1)=\sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty} f(x+1+n)
             =\sum\limits_{p=-\infty }^{p=+\infty} f(x+p)=\til f (x)$ , 
donc que \resul{1.2}{\ $\til f$ est $1$-p\'eriodique \ }\par
\minib
Le $p^{\hbox{\sevenrm i\`eme}}$ coefficient de Fourier sous forme exponentielle de $\til f$ vaut : 
$\dps c_{p}(\til f)=\int_{0}^{1}e^{-2i\pi pt}\, \til f (t) \,dt$\par
Puisque la somme est en fait finie : \par
$\dps \int_{0}^{1}e^{-2i\pi pt}\, \til f (t) \,dt
=\int_{0}^{1}e^{-2i\pi pt}\, \sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t+n)\, dt
=\int_{0}^{1}e^{-2i\pi pt}\, \sum_{a \leq n}^{n\leq b+1}f(t+n)\, dt$\par
ainsi : $\dps c_{p}(\til f)=\sum_{a\leq n}^{n\leq b+1}\int_{0}^{1}e^{-2i\pi pt}\,f(t+n)\,dt$
\quad
Par changement de variable affine : $u=t+n$ :\par
chacune des int\'egrales de cette somme vaut : 
$\dps \int_{n}^{n+1}e^{-2i\pi pu}\,f(u)\,du$ puisque $e^{2i\pi pn}=1$\par
Ainsi $\dps c_{p}(\til f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{n}^{n+1}e^{-2i\pi pu}\,f(u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2i\pi pu}\,f(u)\,du={\arc f}(2p\pi)$\par
\qquad \resul{0} {\ $\qq p \in \N \qquad c_{p}(\til f)={\arc f}(2p\pi)$\ }
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)}
Si la s\'erie $\bigl(\sum {\arc f}(2n\pi)\bigr)$ est \ssl{absolument convergente} , la s\'erie trigonom\'etrique de fonctions de $x$ : $\bigl(\sum {\arc f}(2n\pi)e^{2i\pi nx}\bigr)$ \ssl{converge normalement} sur $\R$\par
La somme totale, notons la : $g$, d\'efinit donc une fonction \ssl{continue} sur $\R$ 
et $1$-p\'eriodique. Puisque la convergence est normale par la formule de r\'eciprocit\'e les coefficients de Fourier de $g$ sont les coefficients de la s\'erie trigonom\'etrique.\par
Ainsi $\til f$ et $g$ sont deux fonctions \ssl{continues}, $1$-p\'eriodiques et elles ont les m\^emes coefficients de Fourier. \par
On peut donc appliquer la \ssl{formule de Parseval} \`a la diff\'erence : $\til {f} -g$ : \par
$\dps \int_{0}^{1}|\til {f}-g|^{2}(t)\,dt=\sum_{-\infty}^{\infty}|c_{p}(\til {f}-g)|^{2}=0$\par
Puisque l'int\'egrale nulle d'une fonction positive et continue assure la nullit\'e de la fonction sur $[0,1]$ on a $\til {f}=g$ , et donc sur $\R$ par p\'eriodicit\'e :  
\quad\resul{8}{\ $\dps \qq x \in \R \qquad \til f (x)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(2n\pi)\,e^{2in\pi x}\ $}\par
\blanc                                                                                  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{I.B.1)}{Construction des Splines}
\ssquest{a)}$N_{m}$ est le produit de convolution de $N_{1}$ et de $N_{m-1}$. Ainsi : 
$N_{2}=N_{1}\ast N_{1}$\par
Concr\`etement , par le changement de variable affine : $u=x-t$ : 
$N_{2}(x)=\int_{0}^{1}N_{1}(x-t)\,dt=\int_{x-1}^{x}N_{1}(u)\,du$\par
Ainsi , si $[x-1,x]\cap[0,1]=\emptyset$ ou est r\'eduit \`a un point : $N_{2}(x)=0$ 
sur $]-\infty,0] \cup [2,+\infty[$\par
Pour $x\in [0,1]$ : $N_{2}(x)=\int_{0}^{x}1\,dt=x$\par
Pour $x\in [1,2]$ : $N_{2}(x)=\int_{x-1}^{1}1\,dt=2-x$\par
D'o\`u la fonction $N_{2}$ \ssl{continue et affine par morceaux}
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)}Pour un raisonnement par \ssl{r\'ecurrence} :\par
Appelons : $({\cal P}_{m})$ la conjonction des propri\'et\'es :\par
\hskip 1cm $\bullet$ $N_{m}$ est nulle hors de $]0,m[$\par
\hskip 1cm $\bullet$ $N_{m}$ est une fonction strictement positive sur $]0,m[$\par
\hskip 1cm $\bullet$ $N_{m}$ est une fonction de classe $C^{m-1}$ par morceaux sur $\R$\par
\hskip 1cm $\bullet$ Les restrictions de $N_{m}$ aux intervalle $]k,k+1[$ o\`u $k \in \N \quad 0\leq k\leq m-1$ sont dans $\rpoln{m-1}$\par
\ssl{Initialisation} : on vient de voir que $({\cal P}_{2})$ est vraie \par
Notons que $({\cal P}_{1})$  est "presque" vraie \`a la nuance que $N_{1}$ est nulle hors de $[0,1[$\par
\ssl{H\'er\'edit\'e} : par le changement de variable affine : $u=x-t$ : 
$\dps N_{m+1}(x)=\int_{x-1}^{x}N_{m}(u)\,du$ , donc en supposant $({\cal P}_{m})$ vraie :\par
$\bullet$ $N_{m+1}$ est nulle hors de $]0,m+1[$ car on int\`egre la fonction nulle 
sur $[x-1,x]$\par
$\bullet$ $N_{m+1}$ est strictement positive sur $]0,m+1[$ car alors 
$]x-1,x[\cap]0,m[$ est un intervalle de longueur non nulle o\`u l'on int\`egre une fonction strictement positive\par
$\bullet$ En int\'egrant une fonction $C^{m-1}$ par morceaux sur $\R$ ses primitives sont $C^{m}$ par morceaux sur $\R$ \par
$\bullet$ Quand $x\in ]k,k+1[$ pour $k$ entier entre $0$ et $m$ , $x-1$ est dans $]k-1,k[$ et les deux primitives de \pol s\  de $\rpoln{m-1}$ sont deux \pol s\  de $\rpoln{m}$\par
Ainsi :  $({\cal P}_{m+1})$ \ssl{ est aussi vraie} \par
On assure ainsi les r\'esultats demand\'es  pour tout $m\geq 2$ , on les savait d\'ej\`a pour $m=1$\par
\minib
De m\^eme avec :$\dps N_{m+1}(x)=\int_{x-1}^{x}N_{m}(u)\,du$ , et sachant que 
$N_{2}$ est continue sur $\R$ , par r\'ecurrence : \par
\qquad\CCadre{\ $\qq m\leq 2 \qquad N_{m}$ est de classe $C^{m-2}$\ }
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c)}De nouveau par \ssl{r\'ecurrence} :\par
\ssl{Initialisation}: pour $m=2$ la propri\'et\'e est assur\'ee :
$\dps\qq x \in \R \qquad N_{1}\Bigl(\frac 12+x\Bigr)=N_{1}\Bigl(\frac 12-x\Bigr)$\par
\minib
\ssl{H\'er\'edit\'e} : pour $m \geq 2$ supposons la propri\'et\'e vraie \`a l'ordre $m$.
Soit $H$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :\par
\minib
$H(x)=N_{m+1}\Bigl(\frac {m+1}{2}+x\Bigr)-N_{m+1}\Bigl(\frac {m+1}{2}-x\Bigr)$\par
$m+1 \geq 3$ donc $H$ est au moins de classe $C^{1}$ sur $\R$ et avec 
    $\dps N_{m+1}(x)=\int_{x-1}^{x}N_{m}(u)\,du$ on obtient : 
$H'(x)=N_{m}\Bigl(\frac {m+1}{2}+x\Bigr)-N_{m}\Bigl(\frac {m+1}{2}+x-1\Bigr)
      +N_{m}\Bigl(\frac {m+1}{2}-x\Bigr)-N_{m}\Bigl(\frac {m+1}{2}-x-1\Bigr)$\par
$H'(x)=N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}+(x+\frac 12)\Bigr)-N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}+(x-\frac 12)\Bigr)
    +N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}-(x-\frac 12)\Bigr)-N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}-(x+\frac 12)\Bigr)$\par
Ce qui est nul sur $\R$ avec la sym\'etrie de $N_{m}$ en $x+\frac 12$ et en $x-\frac 12$\par
Donc $H$ est constante sur $\R$ et nulle en $x=0$ : \ssl{elle est constamment nulle}.\par
\minib
\qquad \Cadre{$\dps\qq m\in \N \quad m \geq 2\qquad \qq x \in \R \qquad N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}+x\Bigr)=N_{m}\Bigl(\frac {m}{2}-x\Bigr)$\ }
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill\eject                                                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{I.B.2)}{Equation d'echelle des Splines}
\ssquest{a)}Pour $m=2$ : ${\arc N}_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}N_{2}(u)\,e^{-itu}\,du
=\int_{0}^{2}N_{2}(u)\,e^{-itu}\,du=\int_{0}^{1}u\,e^{-itu}\,du+\int_{1}^{2}(2-u)\,e^{-itu}\,du$\par
On int\`egre par parties, pour $t \not = 0$ , les fonctions \'etant $C^{1}$ sur des segments :\par
$\dps{\arc N}_{2}(t)=\Bigl[\frac{u\,e^{-iut}}{-it}\Bigr]_{u=0}^{u=1}
                      -\int_{0}^{1}\frac{e^{-iut}}{-it}\,du
                    +\Bigl[\frac{(2-u)\,e^{-iut}}{-it}\Bigr]_{u=1}^{u=2}
                     -\int_{1}^{2}(-1)\,\frac{e^{-iut}}{-it}\,du$\par
Les termes int\'egr\'es s'annulent, et on re-int\`egre les exponentielles : \par
$\dps{\arc N}_{2}(t)=\frac{1}{it}\Bigl[\frac{e^{-iut}}{-it}\Bigr]_{u=0}^{u=1}
                    +\frac{1}{-it}\Bigl[\frac{e^{-iut}}{-it}\Bigr]_{u=1}^{u=2}$\par
$\dps{\arc N}_{2}(t)=\frac{1}{(it)^{2}}\Bigl[1-e^{-it}+e^{-2it}-e^{-it}\Bigr]$\qquad
\resul{3}{\ $\dps\qq t \not = 0 \quad {\arc N}_{2}(t)
                           =\Bigl(\frac{1-e^{-it}}{it}\Bigr)^{2}$\ }\par    % l 272
Cherchons \ssl{une relation de r\'ecurrence} :\par 
$\dps{\arc N}_{m+1}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}N_{m+1}(u)\,e^{-itu}\,du
=\int_{0}^{m+1}N_{m+1}(u)\,e^{-itu}\,du=\int_{0}^{m+1}e^{-itu}\,\Bigl(\int_{0}^{1}N_{m}(u-v)\,dv\Bigr)\,du$\par
C'est une int\'egrale double sur un pav\'e : $D=[0,m+1]\times[0,1]$ dans laquelle on peut effectuer un changement de variable : $\Phi\quad$ :$\quad(u,v)\vers(y=u-v\ ,\ v=v)$ qui est lin\'eaire de $\R^{2}$ dans $\R^{2}$ de matrice ( et jacobienne! ) :$\pmatrix{ 1&-1\cr 0&1\cr}$ 
C'est donc un $C^{1}$-diff\'eomorphisme , de Jacobien \'egal \`a $1$ , et qui transforme le pav\'e $D$ en un parall\'elogramme $\Delta$ d\'efini par :
$\syst{0&\leq&v&\leq&1\cr -v&\leq&y&\leq&m+1-v}$\par
Ainsi : $\dps{\arc N}_{m+1}(t)=
     \int_{0}^{1}\Bigl[\int_{-v}^{m+1-v}e^{-ity}\,N_{m}(y)\,dy\Bigr]e^{-itv}\,dv$\par
Or pour $v \in [0,1]$ : $N_{m}(y)=0$ sur $[-v,0]\cup [m,m+1-v]$\par
donc : $\dps{\arc N}_{m+1}(t)=
     \int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{m}e^{-ity}\,N_{m}(y)\,dy\Bigr]e^{-itv}\,dv
     =\int_{0}^{1}\Bigl[{\arc N}_{m}(t)\Bigr]e^{-itv}\,dv
     ={\arc N}_{m}(t)\int_{0}^{1}e^{-itv}\,dv$\par
\qquad\Cadre{\ $\qq t \not = 0 \quad \qq m \geq 2 \qquad \dps{\arc N}_{m+1}(t)=
            {\arc N}_{m}(t)\Bigl(\frac{1-e^{-it}}{it}\Bigr)$ et par r\'ecurrence :
            ${\arc N}_{m}(t)=\Bigl(\frac{1-e^{-it}}{it}\Bigr)^{m}$ \ }\par
\ssl{Enfin} : ${\arc N}_{m}$ est une fonction \ssl{continue} sur $\R$ donc : 
$\dps {\arc N}_{m}(0)=\lim_{t\vers 0}{\arc N}_{m}(t)
                     =\lim_{t\vers 0}\Bigl(\frac{1-e^{-it}}{it}\Bigr)^{m}=1 $\par
En effet : $\frac{1-e^{-it}}{it}=\frac{1}{it}\bigl[1-(1-it+O(t^2)\bigr]=1+O(t)$ 
            au voisinage de $t=0$.
\qquad\Resul{3.4}{\ $\qq m \geq 2 \ {\arc N}_{m}(0)=1$\ }\par 
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)} $\bullet$\quad Pour $m=1$ : $N_{1}(x-k)=1$ seulement pour $(x-k)\in [0,1[$ 
soit $k \in  [x,x+1[$ dans lequel il n'y a qu'un entier $k$. Les autres termes sont nuls, 
d'o\`u \ssl{la partition de l'unit\'e pour $m=1$}\par
$\bullet$\quad Pour $m\geq 2$ et $n \not = 0$ entier ${\arc N}_{m}(2n\pi)=0$
donc dans le terme de droite de la formule de Poisson, il ne reste qu'un terme, pour $n=0$\par
Ainsi la formule de Poisson devient : $\til N_{m}(x)=1$ et c'est (rappel : la somme est finie )
par changement d'indice $k=-n$ dans $\Z$ la partition de l'unit\'e.\par
\qquad\cadre{\ $\dps\qq m \geq 1 \quad \qq x \in \R \quad 
          \sum_{k=-\infty}^{\infty}N_{m}(x-k)=1$\ }\par
On peut en d\'eduire :\par
$\dps \int_{-\infty}^{\infty}N_{m-1}(x)\,dx
    =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{k}^{k+1}N_{m-1}(x)\,dx
    =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}N_{m-1}(y+k)\,dy
    =\sum_{k=-\infty}^{\infty}N_{m}(-k)=1$\par
sachant que ces sommes sont en fait finies ( et les int\'egrales sur des segments )\par
Mais en fait, on le savait d\'ej\`a : 
\resul{3}{\ $\dps\qq m \geq 2 \quad {\arc N}_{m}(0)=1=\int_{-\infty}^{\infty}N_{m-1}(x)\,dx$\ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c)} Le r\'esultat de la question {\gbf I.A.1)b)} , en utilisant la lin\'earit\'e ( claire ) de la transformation de Fourier, assure \ssl{l'injectivit\'e} de cette transformation, pour les fonctions continues \`a support compact.\par
$\bullet \quad$ Pour $m \geq 2$ : notons $K$ la fonction d\'efinie par le second membre de la relation demand\'ee.\par
C'est une fonction continue \`a support compact : $K \in E$. Sa transform\'ee de Fourier est la combinaison lin\'eaire des transform\'ee des fonctions : $x \vers N_{m}(2x-k)$\par
Celles-ci valent : $\dps \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixt}\,N_{m}(2t-k)\,dt
             =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ix({{y+k}\over 2})}\,N_{m}(y)\,\frac{1}{2\,}dy
             =\frac 12\,e^{-{{ikx}\over 2}}{\til N_{m}}\bigl(\frac x2\bigr)$\par      % l 320
apr\`es changement de variable affine $ y=2t-k$.\par
Donc pour $x \not = 0$ : $\dps {\arc K}(x)=\frac {2}{2^m}\Bigl[\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\frac{e^{-{{ikx}\over {2}}}}{2}\Bigr]\Bigl({{1-e^{-{ix}\over {2}}}\over{{ix}\over {2}}}\Bigr)^{m}
  =\Bigl(1+e^{-{ix}\over{2}}\Bigr)^{m}\Bigl({{1-e^{-{ix}\over{2}}}\over {ix}}\Bigr)^{m}$\par
Ainsi pour $x \not = 0$ : 
   $\dps {\arc K}(x)=\Bigl({{1-e^{-ix}}\over {ix}}\Bigr)^{m} ={\arc N}_{m}(x)$\par
Vue la continuit\'e : les deux transform\'ees sont \'egales sur $\R$ et donc :\par
\qquad \cadre{\ $\dps\qq m \geq 2 \quad \qq x \in \R \quad N_{m}(x)
     =\sum_{k=0}^{m}{2 \over {2^m}}C_{m}^{k}\,N_{m}(2x-k)$\ }\par
$\bullet \quad$ Pour $m=1$ , on v\'erifie directement que : $\qq x \in \R \quad
         N_{1}(x)=N_{1}(2x)+N_{1}(2x-1)$ \par
en distinguant les cas : 
$x \leq 0$ , $x \in [0,{1 \over 2}]$ , $x \in [{1 \over 2},1]$ et $x\geq 1$\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{I.B.3)}{Convergence de la suite des fonctions $(N_{m})_{m \in \nmat}$}
\ssquest{a)} Pour $m=1$ et $m=2$ on sait d\'ej\`a que la fonction $N_{m}$ est croissante sur 
$\dps \Bigl[0,{m \over 2}\Bigr]$.\par
Par \ssl{r\'ecurrence}: supposons que pour $m \geq 2$, $N_{m}$ est croissante sur 
$\dps \Bigl[0,{m \over 2}\Bigr]$.\par
Alors $N_{m+1}$ est de classe $C^{1}$ au moins sur $\R$ et 
$N_{m+1}'(x)=N_{m}(x)-N_{m}(x-1)$\par
Etudions le signe de cette d\'eriv\'ee selon les cas :\par  
$\bullet \quad$ sur $]0,1]$ : $N_{m}(x)>0$ et $N_{m}(x-1)=0$ avec {\bf I.B.1)b)}\par
$\bullet \quad$ sur $\dps \Bigl[1,{m \over 2}\Bigr]$ : $N_{m}(x)-N_{m}(x-1)>0$ par la croissance 
                  suppos\'ee\par
$\bullet \quad$ sur $\dps \Bigl[{m \over 2} ,{{m+1} \over 2} \Bigr]$ : 
   $\dps N_{m}(x)-N_{m}(x-1)
         =N_{m}\Bigl({m \over 2} +\bigl(x-{m \over 2} \bigr)\Bigr)-N_{m}(x-1)$\par
ce qui \'egale $N_{m}\Bigl({m \over 2} -\bigl(x-{m \over 2} \bigr)\Bigr)-N_{m}(x-1)
    =N_{m}(m-x)-N_{m}(x-1)$ par la relation de sym\'etrie.\par 
Or : $\dps (m-x)\in \Bigl[{{m-1}\over 2},{m \over 2}\Bigr]$ et 
         $\dps (x-1)\in \Bigl[{{m-2}\over 2},{{m-1} \over 2}\Bigr]$ et reste dans 
     $\dps \Bigl[0,{m \over 2}\Bigr]$
                      o\`u $N_{m}$ est croissante\par
Ainsi $N_{m+1}$ est strictement croissante sur $\dps \Bigl[0,{{m+1}\over 2}\Bigr]$ ce qui assure l'h\'er\'edit\'e de la r\'ecurrence.\par                                           % l 351
\qquad\Cadre{\ $\qq m \geq 1$, $N_{m}$ est croissante 
                 sur $\dps \Bigl[0,{m \over 2}\Bigr]$.\ }\par
Par sym\'etrie par rapport \`a la verticale $\dps x={m\over 2}$ , on a donc $N_{m}$ d\'ecroissante sur $\dps \Bigl[{m \over 2},m\Bigr]$ et :\par
 \qquad\Cadre{\ $N_{m}$ atteint son maximum en $\dps x={m \over 2}$\ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)} On admet la formule de r\'eciprocit\'e de Fourier\par
$\dps N_{m}\Bigl({m \over 2}\Bigr)
 ={1 \over {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\arc N}_{m}(x)\,e^{\scs {ixm} \over 2}\,dx
 ={1 \over {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}
         \Bigl({1-e^{-ix}\over {ix}}e^{\scs {ix}\over 2}\Bigr)^{m}\,dx 
 ={1 \over {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}
         \Bigl({{2 \sin({\scs {x}\over 2})}\over {x}}\Bigr)^{m}\,dx$\par 
Par changement de variable  $x=2t$ et parit\'e :
\resul{3.2}{\  $\dps N_{m}\Bigl({m \over 2}\Bigr)
     ={2 \over {\pi}}\int_{0}^{\infty}
         \Bigl({{\sin(t)}\over {t}}\Bigr)^{m}\,dt $\ }\par
\ssl{{\it Note}} : pour $m \geq 2$ la fonction $f_m$ d\'efinie par : $\dps t\vers \Bigl({{\sin(t)}\over {t}}\Bigr)^{m}$ est continue sur $]0,\infty[$, prolongeable par continuit\'e en $0$ avec la valeur $1$ , et majorable en valeur absolue par $\dps t \vers {1 \over {t^m}}$ , qui est une fonction de Riemann int\'egrable sur $[1,\infty[$\par
Sur $]0,1]$ , la suite de fonctions \ssl{continues} $(f_{m})_{m \in \nmat}$ est \ssl{domin\'ee} par la fonction constante \'egale \`a $1$ , bien s\^ur \ssl{int\'egrable} , la suite \ssl{converge simplement} vers la fonction constante nulle \par
( car $|\sin(t)|<|t|$ sur $]0,1]$ ), par le \ssl{th\'eor\`eme de convergence domin\'ee} : 
\resul{3.2}{\ $\dps \lim_{m\vers \infty}\int_{0}^{1}
         \Bigl({{\sin(t)}\over {t}}\Bigr)^{m}\,dt =0$\ }\par
Pour $m\geq 2$ , on majore : $\dps \qq t \in [1,\infty[ \quad |f_{m}(t)|\leq {1 \over {t^m}}$ donc $\dps \Bigl|\int_{1}^{\infty}
         \Bigl({{\sin(t)}\over {t}}\Bigr)^{m}\,dt \Bigr|
      \leq \int_{1}^{\infty}{1 \over {t^m}}\,dt ={1 \over {m-1}}$ ce qui tend vers $0$ quand $m \vers \infty$ : 
\resul{2.5}{\ $\dps \lim_{m\vers \infty}\int_{1}^{\infty}
         \Bigl({{\sin(t)}\over {t}}\Bigr)^{m}\,dt =0$\ }\par
On a donc assur\'e : \resul{3.2}{\ $\dps \lim_{m\vers \infty}N_{m}\Bigl({m \over 2}\Bigr) =0$\ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c)} $N_m$ est positive , et avec ses variations , on sait que : 
$\dps \sup_{x \in \!\rmat}|N_{m}(x)|=N_{m}\Bigl({m \over 2}\Bigr) $ . Le r\'esultat pr\'ec\'edent entraine \ssl{la convergence uniforme sur $\R$} de la suite $(N_{m})_{m \in \!\nmat}$ vers la \ssl{fonction constante nulle}.\par
\blanc
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                      partie 2
\vfill\eject                                                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\noindent{\gbf $\underline{\hbox{ Partie II - Equation d'\'echelle}}$}
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.A.1)}{Premi\`eres propri\'et\'es}
\ssquest{a)} $\ffff$ est dans $E$ donc \`a support fini inclus dans un segment $[a,b]$ et 
$\dps\int_{-\infty}^{\infty} \ffff(t)\,dt= \int_{a}^{b} \ffff(t)\,dt=1$\par
On peut int\'egrer la somme \ssl{finie} de l'\'equation d'\'echelle : 
 $\dps \sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\ffff(2x-k)$ sur $]-\infty,\infty[$ , et pour chaque int\'egrale : $\dps\int_{-\infty}^{\infty} \ffff(2t-k)\,dt
          ={\frac 12}\dps\int_{-\infty}^{\infty} \ffff(t)\,dt= {\frac 12}$\par
Ainsi en int\'egrant les deux termes de $E_{c}$ , on assure :                      % l 402
\resul{4.2}{\ $\dps \sum_{k \in \zmat}c_{k}=2$\ }\par
 \blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)} $\bullet\quad$ $\ffff$ est une fonction d'\'echelle donc : 
$\dps\int_{-\infty}^{\infty} \ffff(t-p)\,dt=\int_{-\infty}^{\infty} \ffff(t)\,dt=1$\par 
$\bullet\quad$ $\ffff$ v\'erifie $(E_{c})$ donc : 
$\dps \qq p \in \Z \quad \qq x \in \R \quad \ffff(x-p)
       =\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\ffff\bigl(2(x-p)-k\bigr)$\par
Si on note $\ppp$ la fonction $\ffff(.-p)$ , on a : 
$\dps  \qq x \in \R \quad \ppp(x)=\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\ppp\bigl(2x-(p+k)\bigr)$\par
Donc : \Resul{6.2}{\ \vbox{\hbox {$\ffff(.-p)$ est une fonction d'\'echelle pour la suite                          d\'efinie}\hbox {par $\qq k \in \Z \quad d_{k}=c_{k-p}$ translat\'ee de
                la suite $(c_k)_{k \in \zmat}$}}\ }\par 
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.A.2)}{La propri\'et\'e (O)}
Calculons :\par
$\dps \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}
   ={1 \over 4}\Bigl(\sum_{j \in \zmat}c_{j}\,e^{-ij\xi}\Bigr) 
               \Bigl(\sum_{k \in \zmat}c_{k}\,e^{ik\xi}\Bigr) 
   +{1 \over 4}\Bigl(\sum_{j \in \zmat}c_{j}\,e^{-ij(\xi+\pi)}\Bigr) 
               \Bigl(\sum_{k \in \zmat}c_{k}\,e^{ik(\xi+\pi)}\Bigr) $\par
$\dps \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}
  ={1 \over 4}\Bigl[\sum_{(j,k) \in \zmat^{2}}c_{j}c_{k}\,e^{i(k-j)\xi} 
               \Bigl(1+e^{i(k-j)\pi}\Bigr)\Bigr]$\par
Si $k-j$ est impair : $1+e^{i(k-j)\pi}=0$\par
Si $k-j$ est pair : $\ex k \in \Z \quad j=k-2p$ et $1+e^{i(k-j)\pi}=2$\par 
Ainsi $\dps \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}
   = {1 \over 2}\Bigl[\sum_{(k,p) \in \zmat^{2}}c_{k}c_{k-2p}\,e^{2ip\xi} \Bigr]
   = {1 \over 2}\sum_{p \in \zmat}\Bigl[\sum_{k \in \zmat}c_{k}c_{k-2p}\Bigr]\,e^{2ip\xi}$\par
Les sommes sont en fait \ssl{finies} et l'\'egalit\'e de deux polyn\^omes trigonom\'etriques  \'equivaut \`a l'\'egalit\'e entre \ssl{leurs coefficients} ( ce sont en un sens des s\'eries de Fourier qui convergent normalement ). Si on \'egale ce polyn\^ome au polyn\^ome constant \'egale \`a $1$ ,\par
on obtient : \Resul{8}{\ $\dps\Bigl( 
    \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}=1\Bigr)
\SSI \pmatrix{\hbox{pour}\ p=0&\ &\dps\sum_{k \in \zmat}c_{k}^{2}=2\cr
              \hbox{pour}\ p \not= 0&\ &\dps\sum_{k \in \zmat}c_{k}c_{k-2p}=0\cr}$\ }\par

\blanc  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.A.3)}{La famille des translat\'ees}
Chaque translat\'ee est en fait \ssl{nulle en dehors d'un} $[a+p,b+p]$ et les int\'egrales que nous allons consid\'erer sont des int\'egrales de fonctions continues sur des segments.
Si la famille des translat\'ees $\{\phi(.-p)\ |\ p\in \Z\ \}$ est orthonormale :\par
\minind
$\bullet\quad$ Pour $(k,j) \in \Z^{2}$ : $\dps \int_{-\infty}^{\infty}
    \ffff(t-k)\,\ffff(t-j)\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}\ffff(u)\,\ffff(u-(j-k))\,du$\par
\minind
$\bullet\quad$ Pour $k \not = j $ et $p=j-k$ , l'orthogonalit\'e entraine :\par
$\qq p \not =0$ : $\dps \int_{-\infty}^{\infty}\ffff(u)\,\ffff(u-p)\,du
   =\int_{-\infty}^{\infty} \Bigl(\sum_{k \in \zmat}c_{k}\,\ffff(2u-k)\Bigr)
         \Bigl(\sum_{j \in \zmat}c_{k}\,\ffff(2(u-p)-j)\Bigr)\,du = 0 $\par
Les sommes sont en fait \ssl{finies}. \par
Do\`u : 
$\dps\sum_{(k,j) \in \zmat^{2}}\Bigl( c_{k}c_{j} \int_{-\infty}^{\infty} \ffff(2u-k)
         \,\ffff(2(u-p)-j)\,du\Bigr)
     =\sum_{(k,j) \in \zmat^{2}}\Bigl({1 \over 2} c_{k}c_{j} \int_{-\infty}^{\infty} \ffff(t-k)
         \,\ffff(t-2p-j)\,dt\Bigr)= 0 $\par
Par l'orthogonalit\'e , chacune de ces int\'egrale vaut : $\dps\ddd_{k}^{j+2p}$ donc il ne reste dans cette somme que les termes tels que $j=k-2p$. Ainsi :
\resul{5.2}{\ $\qq p \not =0$ : $\dps \sum_{k \in \zmat} c_{k}c_{k-2p}=0$\  }\par
\minind
$\bullet\quad$ Pour $k=j$ , le m\^eme calcul assure :$\dps \int_{-\infty}^{\infty}
    \ffff(t-k)^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}\ffff(u)^{2}\,du
    ={1 \over 2}\sum_{k \in \zmat} c_{k}^{2}$\par
Enfin : \resul{4.2}{\ $\dps \sum_{k \in \zmat} c_{k}^{2}=1$\  } \qquad
            Ainsi : $(E_c)$ a la propri\'et\'e (O)\par
\minind
$\bullet\quad$ Pour la famille $c$ d\'efinie par 
          $\dps c_{k}=2^{1-m}C_{m}^{k}$ pour $k=0,1,\dots,m$ et nulle ailleurs , on a :\par
$\dps P_{c}(\xi) =\sum_{k=0}^{m}{1 \over {2^m}}C_{m}^{k}e^{-ik\xi}
              ={1 \over {2^m}}\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\Bigl(e^{-i\xi}\Bigr)^{k}$
Donc : \RResul{3.2}{\ $\dps P_{c}(\xi) ={1 \over {2^m}}\Bigl(1+e^{-i\xi}\Bigr)^{m}$ \ }\par
\minind
$\bullet\quad$ Dans ce cas :
$\dps \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}
  = {1 \over {4^m}}\Bigl[\Bigl( (1+e^{-i\xi}) (1+e^{+i\xi}) \Bigr)^{m}
         +\Bigl( (1+e^{-i(\xi+\pi)}) (1+e^{+i(\xi+\pi)}) \Bigr)^{m}\Bigr]$\par
$\dps \big|P_{c}\bigl(\xi\bigr)\big|^{2}+\big|P_{c}\bigl(\xi+\pi\bigr)\big|^{2}
  ={1 \over {4^m}}\Bigl[\Bigl( 2(1+\cos(\xi) \Bigr)^{m}
                   +\Bigl( 2(1-\cos(\xi) \Bigr)^{m}\Bigr] 
  ={1 \over {2^m}}\Bigl[(1+\cos(\xi))^{m}+(1-\cos(\xi))^{m}\Bigr] $\par
Vue la question pr\'ec\'edente, les \'equations d'\'echelle de ce type ayant la propri\'et\'e (O) sont celles pour lesquelles cette fonction est constamment \'egale \`a $1$.\par
Ce qui exige ( pour $\xi={\dps\pi \over 2} $ ) que \Resul{1.1}{\ $m=1$\ } , condition clairement suffisante.\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.B.1)}{Un produit infini}
\minind
$\bullet\quad$ Pour $\ffff \in E$ : $\dps \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi t}\,\ffff(t)\,dt
   =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi t}\,\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\ffff(2t-k)\,dt
   =\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi t}\,\ffff(2t-k)\,dt$\par
$\dps{\arc\ffff}(\xi)
             =\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i{\xi \over 2}(u+k) }
                 \,\ffff(u)\,{1 \over 2}du$\qquad
Avec le changement de variable : $u=2t-k$ \par
({\sevenrm les sommes \'etant finies  \dots })\par
D'o\`u : $\dps{\arc\ffff}(\xi)=
    {1 \over 2}\Bigl[\sum_{k \in \!\zmat}c_{k}\,e^{-i{\xi \over 2}k}\Bigr]
               \Bigl[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i{\xi \over 2}u}\,\ffff(u)\,du\Bigr]$
enfin : \Resul{3.5}{\ $\dps {\arc\ffff}(\xi)
          =P_{c}\,\left({\xi \over 2}\right)\,{\arc\ffff}\left({\xi\over 2}\right)$\ }\par
\minind
$\bullet\quad$ On r\'eit\`ere , et pour tout $n \in \!\N$ :
$\dps {\arc\ffff}(\xi)
          ={\arc\ffff}\left({\xi\over {2^n}}\right)\,
               \prod_{j=1}^{n}\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{j}}\right) $\par
Puisque ${\arc\ffff}$ est continue : ${\arc\ffff}\left({\xi\over {2^n}}\right)
    \etage{\longrightarrow}{n\vers\infty} {\arc\ffff}(0)=1$\par
Ainsi : \Resul{3.5}{\ $\dps {\arc\ffff}(\xi)
    =\lim_{n\vers \infty}\  \prod_{j=1}^{n}\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{j}}\right)  
    = \prod_{j=1}^{\infty}\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{j}}\right) $\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.B.2)}{Unicit\'e dans le cas des $N_m$}
\minind
$\bullet\quad$ Par r\'ecurrence : \ssl{Initialisation}  
$\dps P_{c}(\xi) ={1 \over {2^m}}\Bigl(1+e^{-i\xi}\Bigr)^{m}$ , et donc 
pour $\xi\not \in 4\pi\!\Z$ :\par
$\dps P_{c}\Bigl({\xi\over 2}\Bigr) 
          ={1 \over {2^m}}\Bigl(1+e^{-i{\scs \xi\over \scs 2}}\Bigr)^{m}
          =\Biggl[{{1-e^{-i\xi}}\over {2(1-e^{-i{\scs \xi\over \scs 2}})}}\Biggr]^{m}$. 
La propri\'et\'e est assur\'ee \Resul{1.8}{\ pour $n=1$\ }\par
\ssl{H\'er\'edit\'e} : supposons la propri\'et\'e vraie pour $n \geq 1$ .\par
Alors : $\dps \prod_{j=1}^{n+1}\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{j}}\right)
  =\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{n+1}}\right)
  \Biggl[{{1-e^{-i\xi}}\over {2^{n}(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n}}}})}}\Biggr]^{m}$\par
Pour $\xi\not \in 2^{n+2}\,\pi\!\Z$ :  
  $ \dps {1 \over {2^m}}\Bigl(1+e^{ -i{\scs\xi\over {\scs 2^{n+1}}}}\Bigr)^{m}
    \,\Biggl[{{1-e^{-i\xi}}\over {2^{n}(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n}}}})}}\Biggr]^{m}
 =\left[{{1-e^{-i{\scs \xi\over {\scs 2^n}}}}\over 
                   {2\Bigl(1-e^{ -i{\scs\xi\over {\scs 2^{n+1}}}}\Bigr)}}\right]^{m} 
   \,\left[{{1-e^{-i\xi}}\over 
         {2^{n}\Bigl(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n}}}}\Bigr)}} \right]^{m}$ \par
Ce qui se simplifie en : $\dps \left[{{1-e^{-i\xi}}\over 
         {2^{n+1}\Bigl(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n+1}}}}\Bigr)}} \right]^{m}$ \par
Donc par r\'ecurrence : \resul{7.5}{\ $\qq n \geq 1\quad \qq \xi \not \in 2^{n+1}\,\pi\!\Z
   \qquad \dps \prod_{j=1}^{n}\,P_{c}\,\left({\xi \over 2^{j}}\right)
   = \left[{{1-e^{-i\xi}}\over 
         {2^{n}\Bigl(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n}}}}\Bigr)}} \right]^{m}$\  }\par
\minind
$\bullet\quad$ Quand $n \vers \infty$ : 
  $\dps \lim_{n\vers \infty}2^{n}\Bigl(1-e^{ -i{\scs \xi\over {\scs 2^{n}}}}\Bigr)=i\xi$\par
donc si $\ffff$ v\'erifie l' \'equation d'\'echelle $(E_c)$ on a :
\resul{3.2}{ $\dps{\arc\ffff}(\xi)=\left[{{1-e^{-i\xi}}\over{i\ \xi}} \right]^{m}$\ } \par
et par injectivit\'e de la transformation de Fourier  sur $E$ : 
\Resul{2.2}{\ $\ffff=N_{m}$\ }\par
\blanc 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.C.1)}{Sur les nombres dyadiques}
L' \'enonc\'e se \ssl{restreint} dans cette partie \`a des \'equations d'\'echelle d'un type particulier o\`u  $c_{k}=0$ pour tous les $k<0$ et o\`u de plus : $P_{c}(\pi)=0$ donc 
\resul{4.2}{\ $\dps \sum_{k=0}^{m}(-1)^k\,c_{k}=0$\ }\par
Soit pour $n\in \!\N$ l'ensemble $D_n= \left\{\dps{k\over {2^n}}\Big|\ k \in \Z \right\}$\par
$D_0$ est $\Z$ et pour tout $x$ de $D_{n+1}$ , $\ffff(x)$ est une combinaison des $\ffff(2x-k)$ qui sont des images par $\ffff$ d'\'el\'ements de $D_n$. Par r\'ecurrence, la connaissance des images $\ffff(x)$ pour tous les $x\in \Z$ permet d'obtenir les images $\ffff(x)$ pour tous les $x\in D$  
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.C.2)}{Formulation lin\'eaire}
\ssquest{a)} Puisque $c_k=0$ pour $k$ en dehors de $[0,m]$ et puisqu'on cherche $\ffff$ nulle hors de $[0,m[$ , la relation d'\'echelle $\dps \ffff(x)=\sum_{k=0}^{m}c_{k}\,\ffff(2x-k)$ 
exprim\'ee en un $i\in \Z\ ,\  0\leq i \leq m-1$  fournit une relation lin\'eaire entre les 
$\ffff(j)$ pour $j\in \Z\ ,\  0\leq j \leq m-1$ :\par
Ainsi : $\ffff(0)=c_{0}\ffff(0)$ puis 
$\ffff(1)=c_{0}\ffff(2)+c_{1}\ffff(1)+c_{2}\ffff(0)$ \quad etc $\dots$ \par
$\dps \ffff(i)=\sum_{k=0}^{m}c_{k}\,\ffff(2i-k)$
\qquad En posant : $j=2i-k$ \quad 
\Resul{5}{\ Pour $0\leq i\leq m-1$ : $\dps \ffff(i)
     =\sum_{\scs 2i-m \leq j\leq 2i \atop \scs 0\leq j\leq m-1}c_{2i-j}\,\ffff(j) $\ }\par
\minib
L'ensemble de ces relations pour $i$ variant de $0$ \`a $m-1$ , fournit un syst\`eme lin\'eaire de $m$ \'equations \`a $m$ inconnues : $V=MV$ avec $\dps M=\Bigl(M_{i,j}\Bigr)_{0\leq i,j\leq m-1}$ \par
\minib
et \Resul{2.2}{\ Pour $0\leq i\leq m-1$ , $ 0\leq j\leq m-1 $ et $2i-m \leq j\leq 2i$ 
\quad $M_{i,j}=c_{2i-j}$ , pour les autres $M_{i,j}=0$  \ }\par        
\minib
Par exemple : pour $m=5$ on a 
$M=\pmatrix{c_0&0&0&0&0\cr c_2&c_1&c_0&0&0\cr c_4&c_3&c_2&c_1&c_0\cr 
          0&c_5&c_4&c_3&c_2\cr   0&0&0&c_5&c_4\cr}$\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)} On a vu : $\dps \sum_{k=0}^{m}(-1)^k\,c_{k}=0$ et on sait que 
    $\dps \sum_{k=0}^{m}c_{k}=2$ , donc les deux sommes des $c_k$ d'indices pairs et d'indices impairs sont \'egales , et \'egales \`a $1$  : 
\Resul{5}{\ $\dps \sum_{0 \leq 2k \leq m}c_{2k}=\sum_{1 \leq 2k+1 \leq m}c_{2k+1}=1 $\ }\par
Or dans une colonne de $M$ on a les $c_{2i-j}$ pour $j$ fix\'e et pour $k=2i-j$ parcourant les entiers de $0$ \`a $m$ . Selon $j$ on a une somme ou l'autre , mais les deux valent $1$ \par
\qquad\CCadre{\ La somme des termes de toutes les colonnes de $M$ vaut $1$\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c)} On en d\'eduit que $\det\Bigl( M-I_{m}\Bigr)=0$ en ajoutant toutes les lignes \`a la premi\`ere , on obtient une ligne de $0$. Donc \RResul{3.2}{\ $1$ est une valeur propre de $M$\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{d)} Le sous-espace propre de $M$ associ\'e \`a la valeur propre $1$ est de dimension : $\dim\bigl(E_{M}(1)\bigr) \geq 1$, il existe des solutions non nulles de $V=MV$. Chacune d'entre elles d\'efinit une fonction $\ffff$ qui v\'erifie $E_c$ sur les entiers de $[0,m-1]$. Pour $x \in \Z$ , en prenant $\ffff(x)=0$ en dehors de $[0,m-1]$, on a 
$(\ x<0\ )\dou (\ 2x-k<0\ )$ et $(\ x \geq m\ )\dou (\ 2x-k\geq m\ )$. Ainsi cette fonction $\ffff\not = 0$ v\'erifie $E_c$ sur $\Z$.\par
Avec $(E_c)$, \`a partir des $\ffff(x)$ o\`u $x \in \Z=D_0$, on peut prolonger $\ffff$ sur $D$ comme assur\'e en {\bf II.C.1)}\par
Il existe des solutions de $(E_c)$ sur $D$, non nulles mais s'annulant sur $D \setminus [0,m[$.\par 
Ces solutions forment \RResul{3}{\ un espace vectoriel  priv\'e du vecteur nul\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.C.3)}{Retour sur les $N_m$}
\ssquest{a)} Pour $\underline{m=2}$ on sait que $N_{2}^{\,(0)}(1)=1$ donc : 
\resul{1.2}{\ $N_{2}^{\,(0)}(1)>0$\ }\par
Pour $\sslig{m \geq 2}$ on a vu \resul{1.5}{\ $N_{m+1}^{(0)}(1)>0$\ } , \'etudions les d\'eriv\'ees successives par r\'ecurrence.\par
$\dps N_{m+1}(x)=\int_{x-1}^{x}N_{m}(u)\,du$ , et donc $N_{m+1}$ est de classe $C^{m-1}$ \par
et pour tout $k$ de $1,\dots,m-1$ : 
$\dps N_{m+1}^{\,(k)}(x)= N_{m}^{\,(k-1)}(x)-N_{m}^{\,(k-1)}(x-1)$ \par
en $x=1$ cela donne :
$\dps N_{m+1}^{\,(k)}(1)= N_{m}^{\,(k-1)}(1)-N_{m}^{\,(k-1)}(0)$ , or ce dernier terme est nul par continuit\'e \`a gauche des d\'eriv\'ees en $0$ ( rappel : $N_m=0$ sur $]-\infty,0]$ et $k-1\leq m-2$ )\par
D'o\`u, pour tout $k$ de $1,\dots,m-1$  : $\dps N_{m+1}^{\,(k)}(1)= N_{m}^{\,(k-1)}(1)$ , \par
et ainsi par r\'ecurrence : \Resul{2.2}{\ $\qq m\geq 2\quad \qq k\in \N \quad 0\leq k\leq m-2 
                 \qquad N_{m}^{(k)}(1)>0$\ } 
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b)} \ssl{Cas g\'en\'eral} , pour $\ffff$ solution d'une \'equation d'\'echelle et d\'erivable sur $\!\R$ , en d\'erivant $(E_c)$ on a : \par
$\dps\qq x \in \R \quad 
                 \ffff'(x)=\sum_{k\in\!\zmat}2\,c_k\,\ffff'(2x-k)$ , 
donc $\ffff'$ v\'erifie une  \'equation d'\'echelle pour la suite                                        $\dps\bigl(2c_k\bigr)_{k\in\!\zmat}$\par
\ssl{Cas restreint de cette partie} {\bf II.C.} A l'\'equation d'\'echelle $(E_{2c})$ est associ\'ee la matrice $2\,M$ et si l'on note $V'$ le vecteur colonne de coefficients :
$\ffff'(0),\ffff'(1),\dots,\ffff'(m-1)$, il v\'erifie : \Resul{0.9}{\ $V'=2\,M\,V'$\ }\par 
\ssl{Pour les } $\sslig{N_m\quad m\geq 2}$ et la suite $c$ de {\bf II.B.2)} , on a assur\'e $N_m$ de classe $C^{m-2}$ ,\par
on peut donc appliquer notre id\'ee 
\Resul{1.5}{$m-1$ fois de $k=0$ \`a $k=m-2$} , et par d\'erivations successives,\par
avec 
$V^{k}=\Bigl(N_m^{\,(k)} (0),N_m^{\,(k)} (1),\dots,N_m^{\,(k)} (m-1)\Bigr)$, on a un \ssl{vecteur propre} ( non nul avec $N_{m}^{\,(k)}(1)>0$ )\par
associ\'e \`a la valeur propre : 
            \resul{3.2}{\ $\dps \lll_{k}={1 \over 2^{k}}$\ }\par
Enfin : la trace de $M$ vaut 
   $\dps \sum_{i=0}^{m-1}M_{i,i}=\sum_{i=0}^{m-1}c_{i}=2-c_{m}=2-2^{1-m}$\par
On conna\^\i t $m-1$ valeurs propres et la trace nous fournit la derni\`ere ( dans $\C$ ) :\par
  $\dps\lll_{m-1}=$tr$\dps (M)-\sum_{k=0}^{m-2}\lll_{k}
                            =$tr$\dps(M)-\sum_{k=0}^{m-2}{1 \over {2^{k}}} 
     =2-2^{1-m}-\left[{{1-{1 \over 2}^{m-1}}\over{1-{1 \over 2}}}\right]
     =2-\Bigl({1 \over 2}\Bigr)^{m-1}-\Bigl(2-\Bigl({1 \over 2}\Bigr)^{m-2}\Bigr)$\par
Donc $\dps\lll_{m-1}={1 \over {2^{m-1}}}$ est dyadique et : 
\Resul{4.5}{\ sp$\dps \bigl(M\bigr)
                =\left\{{1 \over 2^{k}}\ |\ k=0,1,\dots,m-1\right\}$\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c)} Puisque $M$ de dimension $m$, admet $m$ valeurs propres \ssl{distinctes} , elle est diagonalisable ( dans $\R$ ) et ses \ssl{sous-espaces propres sont de dimension 1}\qquad  
\resul{1.7}{\ dim$\bigl(E_{M}(1)\bigr)=1$\ } .\par
Si $\ffff$ est une solution de l'\'equation d'\'echelle $\bigl(E_c\bigr)$ le vecteur $V$ associ\'e est dans $E_{M}(1)$ \par
donc colin\'eaire \`a $V_{0}$ : 
     \Resul{1.2}{\ $\ex \lll \in \R \quad V=\lll\,V_{0}$ \ }\par
Puisqu'elles sont nulles hors de $[0,m[$ , $\ffff$ et $\lll\,N_{m}$ sont \'egales sur $\Z$ , avec {\bf II.C.1)} elles sont \'egales sur $D$ , si on les suppose \ssl{continues} et qu'on admet que $D$ est \ssl{dense} dans $\R$ : 
     \Resul{1.2}{\ $\ex \lll \in \R \quad \ffff=\lll\,N_{m}$ \ }\par
{\bf Si l'on ajoute la condition} : $\dps \int_{-\infty}^{\infty}\ffff(t)\,dt=1$ alors $\lll=1$ et :\par
\qquad\Cadre{\ $N_m$ est la seule fonction d'\'echelle pour $c$, continue et nulle hors de $[0,m[$\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.D.1)}{Construction par it\'eration}
Selon une id\'ee classique de la m\'ethode des approximations successives ( ou m\'ethode de Picard ) pour trouver des solutions d'une \'equation du type $X=\Phi(X)$ , on construit une suite r\'ecurrente avec :\par
\qquad $X_{0}$ donn\'e et $\qq n \in \N \quad X_{n+1}=\Phi(X_n)$\par
Reste \`a assurer la convergence d'une telle suite.\par
Pour $\ffff_{0}=\chi_{[0,1[}$ et $c_{0}=c_{1}=1$ , les autres \'etant nuls , on a :\par
\qquad $\ffff_{1}(x)=\ffff_{0}(2x)-\ffff_{0}(2x-1)$ et on retrouve : 
   $\qq x \in \R \quad \ffff_{1}(x)=\ffff_{0}(x)$ , \par
en distinguant $x>0$ , $0\leq x <{1\over 2}$ , ${1 \over 2} \leq x<1$ et $1 \leq x$\par
Dans ce cas : \resul{2.2}{\ La suite $\bigl(\ffff_n\bigr)_{n\in\nmat}$ est constante\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.D.2)}{En cas de convergence pour la norme $\Vert\backslash\Vert$}
$\ffff_{0}$ est dans $F$ , et par r\'ecurrence , 
\resul{1.2}{\ $\qq n \in \N \quad \ffff_{n} \in F$\ }\par
Soit $\ppp$ d\'efinie par : 
\resul{5.2}{\ $\dps\qq x \in \R \quad \ppp(x)=\sum_{k \in \,\zmat}c_{k}\, \ffff(2x-k)$\ }\par
$\ppp$ est \ssl{continue} sur $\R$ ( combinaison lin\'eaire \ssl{finie} ) et l'\'enonc\'e suppose ( implicitement ) que la fonction $\ffff-\ffff_n$ est de carr\'e int\'egrable sur $\R$ , il en est donc de m\^eme pour chacune des $x\vers \ffff(2x-k)-\ffff_n(2x-k)$ \par
et :
\qquad $\dps\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\ffff(2x-k)-\ffff_{n}(2x-k)\Bigr)^{2}\,dx
      ={1 \over 2}\norm{\ffff-\ffff_{n}}^{2}$\par
donc $\ppp-\ffff_{n+1}$ est \ssl{de carr\'e int\'egrable} sur $\R$  et : \par 
$\dps\norm{\ppp-\ffff_{n+1}}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(
  \sum_{k \in \,\zmat}c_{k}\,[\ffff(2x-k)-\ffff_{n}(2x-k)]\Bigr)^{2}\,dx\right)^{1 \over 2}$\par
$\dps\norm{\ppp-\ffff_{n+1}}
         =\norm{\sum_{k \in \,\zmat}c_{k}\,[\ffff(2x-k)-\ffff_{n}(2x-k)]\Bigr)} 
        \leq  {1 \over {\sqrt {2}}}\,\norm{\ffff-\ffff_{n}}\Bigl[\sum_{k \in \,\zmat}\,|c_{k}|\Bigr]$\par
Par diff\'erence $\ppp-\ffff$ est \ssl{de carr\'e int\'egrable} sur $\R$  et 
$\norm{\ppp-\ffff}\leq \norm{\ppp-\ffff_{n+1}}+\norm{\ffff_{n+1}-\ffff}$\par
Les deux tendent vers $0$ quand $n \vers \infty$ donc 
                  \resul{1.2}{\ $\norm{\ppp-\ffff}=0$\ }\par
Les deux fonctions \'etant continues sur $\R$ 
\qquad\Resul{1.7}{\ $\ffff=\ppp$\ et donc : $\ffff$ v\'erifie l'\'equation d'\'echelle $(E_c)$\ }\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.D.3)}{$\ffff$ reste \`a support compact}
Le support de $\ffff_0$ est $[0,1]$ et soit \Resul{1.2}{$m\geq 1$} tel que 
     \Resul{1.2}{\ $c_k=0$ en dehors de $[-m,m]$\ }\par
\minib
$\Bigl((2x-k) \in [a,b]\Bigr)\  \SSI \ 
   \Bigl(x\in \bigl[{ {a+k}\over 2},{ {b+k}\over 2}\bigr]\Bigr)$ 
donc si Supp($\ffff_n) \subset [a,b]$ alors Supp($\ffff_{n+1}) 
           \subset \bigl[{ {a-m}\over 2},{ {b+m}\over 2}\bigr]$\par
Ainsi : Supp($\ffff_1) \subset \bigl[{{-m}\over 2},{{1+m}\over 2}\bigr] $ , 
          Supp($\ffff_2) \subset \bigl[{{-3m}\over 4},{{ 1+3m}\over { 4}}\bigr] $ , 
          Supp($\ffff_3) \subset \bigl[{{-7m}\over 8},{{1+7m}\over 8}\bigr] $ ,\par 
et par r\'ecurrence : 
    Supp($\ffff_n) \subset \Bigl[{{\txs -(2^{n}-1)m}\over {\txs 2^n}}
                                        ,{{\txs 1+(2^{n}-1)m}\over {\txs 2^n}}\Bigr] $ \par
\minib
\qquad\Cadre{\ Tous les supports des $\ffff_n$ sont inclus dans $[-m,m]$\ }\par
Donc : $\dps\int_{-\infty}^{-m}\ffff^2(t)\,dt+ \int_{m}^{\infty}\ffff^2(t)\,dt
         = \int_{-\infty}^{-m}\Bigl(\ffff(t)-\ffff_n(t)\Bigr)^2\,dt
                       + \int_{m}^{\infty}\Bigl(\ffff(t)-\ffff_n(t)\Bigr)^2\,dt
          \leq \norm{\ffff -\ffff_n}^2$\par
ce qui tend vers $0$ quand $n \vers \infty$ , ainsi les deux int\'egrales sont nulles \par
et par continuit\'e : \Resul{1.5}{\ $\ffff=0$ sur $]-\infty,-m[$ et sur $]m,\infty[$\ }\par 
 \blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{II.D.4)}{L'orthonormalit\'e se conserve}
La question pr\'ec\'edente r\`egle les \ssl{probl\`emes d'int\'egrabilit\'e} de $\ffff$ et de ses translat\'ees. Comme utilis\'e de multiples fois dans ce probl\`eme : les fonctions sont maintenant \ssl{continues , \`a support compact}\par
\minib
Par r\'ecurrence : \par
\ssl{Initialisation} : $\scal{\ffff_{0}}{\ffff_{0}(.-p)}
   =\dps\int_{-\infty}^{\infty}\ffff_{0}(t)\ffff_{0}(t-p)\,dt
   =\int_{0}^{1}\ffff_{0}(t-p)\,dt$\par
\qquad Or $\ffff_{0}(.-p)=\chi_{[p,p+1[}$ donc 
         \Resul{1.2}{\ $\dps\scal{\ffff_{0}}{\ffff_{0}(.-p)}=\ddd_{0,p}$\ }\par
\minib
\ssl{H\'er\'edit\'e} : Supposons la propri\'et\'e vraie pour $n\in \N$ et $\qq p \in \Z$\par
Alors : $\scal{\ffff_{n+1}}{\ffff_{n+1}(.-p)}
   =\dps\int_{-\infty}^{\infty}\ffff_{n+1}(t)\ffff_{n+1}(t-p)\,dt
   =\dps\int_{-\infty}^{\infty}\Bigr[\sum_{(k,j) \in \,\zmat^2}
           c_{k}\ffff_{n}(2t-k)c_{j}\ffff_{n}(2t-j-p)\Bigl]\,dt $\par
donc : $\dps\scal{\ffff_{n+1}}{\ffff_{n+1}(.-p)}
   =\sum_{(k,j) \in \,\zmat^2}\Bigl[c_{k}c_{j}\,
     \int_{-\infty}^{\infty}\ffff_{n}(2t-k)\ffff_{n}(2t-2p-j)\,dt\Bigr]$\par
\qquad $\dps\scal{\ffff_{n+1}}{\ffff_{n+1}(.-p)}
        =\sum_{(k,j) \in \,\zmat^2}\Bigl[c_{k}c_{j}\,{1 \over 2}
                 \int_{-\infty}^{\infty}\ffff_{n}(u)\ffff_{n}(u-2p-j+k)\,du\Bigr]$\par
\qquad $\dps\scal{\ffff_{n+1}}{\ffff_{n+1}(.-p)}
   ={1 \over 2}\sum_{(k,j) \in \,\zmat^2}\bigl[c_{k}c_{j}\,\ddd_{0,2p+j-k}\bigr]
   ={1 \over 2}\sum_{k \in \,\zmat}c_{k}c_{k-2p}$\par
\qquad $\dps\scal{\ffff_{n+1}}{\ffff_{n+1}(.-p)}=\ddd_{0,p}$\par
\minib
Ainsi : \Resul{1.7}{\ $\qq n \in \N \quad \qq p \in \Z \qquad
                     \dps\scal{\ffff_{n}}{\ffff_{n}(.-p)}=\ddd_{0,p}$\ }\par
\minib
En g\'en\'eral : $|\scal{\ffff}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp_{n}}|
   = |\scal{\ffff}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp}
                           +\scal{\ffff_{n}}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp_{n}}|$\par
est donc major\'e par : $|\scal{\ffff}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp}|
                           +|\scal{\ffff_{n}}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp_{n}}|$\par
Avec l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz : 
   $|\scal{\ffff}{\ppp}-\scal{\ffff_{n}}{\ppp_{n}}|
     \leq \norm{\ppp}\norm{\ffff-\ffff_n}+\norm{\ffff_n}\norm{\ppp-\ppp_n}$\par
Pour $\ppp$ et $\ppp_n$ translat\'ees de $\ffff$ et $\ffff_n$ : $\norm{\ppp-\ppp_n}\vers 0$ et la suite $(\ffff_n)_{n \in \nmat}$ converge dans $\bigl(F,\Vert\bigr)$ donc est born\'ee.\par
Nous assurons ainsi : $\dps\scal{\ffff}{\ppp}
          =\lim_{n \vers \infty}\Bigl(\scal{\ffff_{n}}{\ppp_{n}}\Bigr)=\ddd_{0,p}$\par
\minib
\qquad \Cadre{\ La famille $\{\ \ffff(.-p)\ |\ p \in \Z\ \}$ est 
   donc orthonormale dans $\bigl(E,\Vert\bigr)$ \ }\par
\blanc 
\cadre{\hbox{\psfig{file=M99CM1F.eps,height=105mm,width=120mm,angle=270}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  F %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   F I N  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  I %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  N %%
