\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undefined
\else\count0=\numerodepage\fi

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\centerline{\bf Centrale  PC math I 1999}

\medskip 
\centerline{\underbar{Titre}~: {\sl Nombres de Bernoulli et formule sommatoire d'Euler Mac-Laurin}}
\medskip\centerline{\underbar{\bf Attention}~: une faute de frappe \`a la question II.B.4) -- lire
$e^x-1$ et non $e^{x-1}$...}
\medskip
\line{\hrulefill}
\bigskip

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\centerline{\underbar{\sl Partie I -- Nombres de Bernoulli}}

\bigskip\noindent {\bf I.A -- Suite des polyn\^omes de Bernoulli}

\medskip\noindent I.A.1) L'existence et l'unicit\'e des polyn\^omes $B_n$ s'obtient imm\'ediatement par
r\'ecurrence~: pour $B_{n-1}$ donn\'e, la relation
$B'_n=nB_{n-1}$ fixe $B_n$ \`a une constante pr\`es dont la valeur est d\'etermin\'ee en
\'ecrivant $\int_0^1B_n(t)dt=0$

\smallskip\noindent I.A.2) On utilise la m\^eme technique pour prouver que $B_n$ est un polyn\^ome unitaire de
degr\'e $n$.

Programme Maple permettant d'\'evaluer les polyn\^omes $B_1$, $B_2$,
$B_3$ (il n'y aurait que peu de choses \`a changer pour le rendre r\'ecursif)~:

\smallskip
$>$ {$\tt B[0]:=1:for\ n\ to\ 3\ do\ B[n]:=int(n*B[n-1],x)-int(int(n*B[n-1],x),x=0..1);od;$}
$$\displaylines{B_1 := x - {1\over2}\cr B_2 := x^{2} - x + {1\over6}\cr  B_3 := x^{3} - {3\over2} x^2 + {1\over2}
x\cr}
$$

\smallskip\noindent I.A.3) Les polyn\^omes $C_n$ v\'erifient les relations du I.A.1) d\'efinissant de mani\`ere
unique les polyn\^omes $B_n$, d'o\`u l'\'egalit\'e.

\bigskip\noindent {\bf I.B -- Nombres de Bernoulli}

\medskip\noindent I.B.1) Les premi\`eres \'egalit\'es sont \'evidentes. Pour $n\ge2$ on
\'ecrit~:
$$B_n(1)-B_n(0)=\int_0^1B'_n(t)dt=n\int_0^1B_{n-1}(t)dt=0
$$

I.B.2) Pour $p\ge1$~: 
$B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=C_{2p+1}(1)=-B_{2p+1}(0)\Longrightarrow  B_{2p+1}(0)=0$

\bigskip
\centerline{\underbar{\sl Partie II -- Fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes de Bernoulli}}

\bigskip\noindent {\bf II.A --}

\medskip La fonction $u$ se prolonge par continuit\'e en $0$ en posant $u(0)=1$.  La fonction obtenue ne s'annule
pas sur $\bf R$ et la fonction $1/u$ d\'efinie  pour $x\ne 0$ par $1/u(x)={e^x-1\over x}$ est DSE sur $\bf R$ donc
$C^\infty$ sur
$\bf R$. Finalement la fonction prolong\'ee $u$ est $C^\infty$ sur
$\bf R$ comme inverse partout d\'efini d'une fonction $C^\infty$ sur
$\bf R$.

Enfin la fonction $\phi$ d\'efinie par $\phi(x,t)=u(x)e^{tx}$ est de classe 
$C^\infty$ sur ${\bf R}^2$ comme produit de fonctions de classe 
$C^\infty$ sur ${\bf R}^2$.

\bigskip\noindent {\bf II.B --}

\medskip\noindent II.B.1) On trouve~:
$$\phi(x,t) = 1 + (t - {1\over2} )x + ({1\over2} t^{2} + {1\over12} -  {1\over2} t)x^{2} + ({1\over6} t^{3} +
{1\over12} t -  {1\over4} t^{2})x^{3} + o(x^{3})
$$

II.B.2) ${\partial\over\partial t}\phi(x,t)= {x^2 e^{t x}\over e^x - 1}=x\phi(x,t)$

d'o\`u pour $n\ge 1$~: ${\partial\over\partial t}{\partial^n\over\partial x^n}\phi(x,t)= {\partial^n\over\partial
x^n}{\partial\over\partial t}\phi(x,t)= x{\partial^n\over\partial x^n}\phi(x,t)+n{\partial^{n-1}\over\partial
x^{n-1}}\phi(x,t)$ (Leibniz)

\smallskip\noindent II.B.3) $a_0(t)=\phi(0,t)=1$ et la relation pr\'ec\'edente donne pour
$n\ge1$~:
$a'_n=na_{n-1}$.

De plus pour $x\ne0$~: $\int_0^1\phi(x,t)dt={x e^{t x}\over e^x - 1}\int_0^1e^{t x}dt=1$, r\'esultat encore valable
pour $x=0$ car $\phi(0,t)=1$.

La fonction $(x,t)\rightarrow \phi(x,t)$ \'etant $C^\infty$ sur ${\bf R}\times[0,1]$, la fonction $x\rightarrow
\int_0^1\phi(x,t)dt$ est alors $C^\infty$ sur ${\bf R}$ avec~:
$$\forall x\in{\bf R}\ \forall n\ge 1\quad {d^n\over d x^n}\int_0^1\phi(x,t)dt=
\int_0^1{\partial^n\over\partial x^n}\phi(x,t)dt
$$ d'o\`u pour $x=0$~: $\forall n\ge 1\quad 0=\int_0^1 a_n(t)dt$

On en d\'eduit par r\'ecurrence que la fonction $a_n$ est polyn\^omiale pour tout
$n\in{\bf N}$. Comme de plus ces polyn\^omes v\'erifient les relations du I.A.1), on obtient l'\'egalit\'e~:
$a_n=B_n$.

\smallskip\noindent II.B.4) ${e^x-1\over x}\phi(x,t)=e^{tx}=\sum\limits_{k=0}^n{t^k\over k!}x^k +o(x^n)$

mais aussi ${e^x-1\over x}\phi(x,t)=\bigl(\sum\limits_{k=0}^n{x^k\over (k+1)!}
+o(x^n)\bigr)\bigl(\sum\limits_{k=0}^n{B_k(t)\over k!}x^k+o(x^n)\bigr)=
\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k(t)x^k+o(x^n)$

avec $\alpha_k(t)=\sum\limits_{h=0}^k{1\over (k-h+1)!}{B_h(t)\over h!}= {1\over
(k+1)!}\sum\limits_{h=0}^kC_{k+1}^hB_h(t)$

d'o\`u, en identifiant les coefficients du DL~:
$\forall0\le k\le n\ t^k={1\over k+1}\sum\limits_{h=0}^kC_{k+1}^hB_h(t)$ et par suite pour $n\ge1$~:
$$B_n(t)=t^n -{1\over n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n+1}^kB_k(t)
$$

\medskip\noindent {\bf II.C --}

\medskip En faisant $t=0$ on obtient finalement~:
$$b_0=1\hbox{ et }\forall n\ge 1\ b_n=-{1\over n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n+1}^kb_k
$$

Programme Maple permettant d'\'evaluer $b_{10}$~:
\smallskip
$>$ $\tt b[0]:=1:for\ n\ to\ 10\ do\ b[n]:=-1/(n+1)*sum(binomial(n+1,k)*b[k],k=0..n-1);od;$

On trouve $b_{10}=5/66$

\centerline{\underbar{\sl Partie III -- Formule d'Euler Mac-Laurin}}

\bigskip\noindent {\bf III.A --}

\medskip\noindent III.A.1) Par parties :
$$\eqalign{R_0&=\int_0^1f(t)B_0(t)dt=\int_0^1f(t)B'_1(t)dt=[f(t)B_1(t)]_0^1- {1\over2}\int_0^1f'(t)B'_2(t)dt\cr
&={f(0)+f(1)\over 2}-{1\over2}[f'(t)B_2(t)]_0^1+R_1={f(0)+f(1)\over 2}-{1\over2}[f'(1)-f'(0)]+R_1\cr}$$


et pour $k\ge1$~: 

$$\eqalign{R_k&=\int_0^1{f^{(2k)}(t)B_{2k}(t)\over (2k)!}dt={1\over
(2k+1)!}\int_0^1f^{(2k)}(t)B'_{2k+1}(t)dt=-{1\over (2k+1)!}\int_0^1f^{(2k+1)}(t)B_{2k+1}(t)dt\cr &= -{1\over
(2k+2)!}\int_0^1f^{(2k+1)}(t)B'_{2k+2}(t)dt= -{b_{2k+2}\over (2k+2)!}[f^{(2k+1)}(1)-f^{(2k+1)}(0)]+R_{k+1}\cr}$$

\noindent III.A.2) On obtient alors imm\'ediatement par r\'ecurrence~:
$$R_0=\int_0^1f(t)dt={f(0)+f(1)\over 2}-\sum\limits_{j=1}^p{b_{2j}\over (2j)!}[f^{(2j-1)}(1)-f^{(2j-1)}(0)]+R_p
$$

\medskip\noindent {\bf III.B --}

\medskip\noindent III.B.1) On \'ecrit $\int_a^bg^{(2p)}(u)B_{2p}(<{u-a\over
h}>)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int_{a_k}^{a_{k+1}}g^{(2p)}(u)B_{2p}(<{u-a\over h}>)$

et la fonction $u\rightarrow <{u-a\over h}>$ \'etant p\'eriodique de p\'eriode $h$~:
$$\forall u\in[a_k,a_{k+1}[\ <{u-a\over h}>=<{u-a_k\over h}>= {u-a_k\over h}
$$ d'o\`u le r\'esultat.

\smallskip\noindent III.B.2) $r_{p,n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}h^{2p}\int_{a_k}^{a_{k+1}}
{g^{(2p)}(u)B_{2p}({u-a_k\over h})\over(2p)!}du$ et le changement de variable
$t={u-a_k\over h}$ dans l'int\'egrale sur $[a_k,a_{k+1}]$ donne~:
$$h^{2p}\int_{a_k}^{a_{k+1}}{g^{(2p)}(u)B_{2p}({u-a_k\over h})\over(2p)!}du=h\int_0^1{f^{(2p)}(t)B_{2p}(t)\over
(2p)!}dt=hR_p
$$ o\`u l'on a pos\'e $f(t)=g(a_k+ht)$.

En appliquant alors la relation du III.A.2) \`a chacune de ces int\'egrales, on obtient le r\'esultat cherch\'e~:
$$\eqalign{r_{0,n}=\int_a^bg(t)dt&=h\sum\limits_{k=0}^{n-1}{g(a_k)+g(a_{k+1})\over 2}-
h\sum\limits_{j=1}^p{b_{2j}\over(2j)!}h^{2j-1}
\sum\limits_{k=0}^{n-1}[g^{(2j-1)}(a_{k+1})-g^{(2j-1)}(a_k)]+r_{p,n}\cr 
&=h\Bigl[{g(a)+g(b)\over2}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}g(a_k)\Bigr]-
\sum\limits_{j=1}^p{b_{2j}\over(2j)!}h^{2j}[g^{(2j-1)}(b)-g^{(2j-1)}(a)]+r_{p,n}\cr}
$$

\medskip
\centerline{\underbar{\sl Partie IV -- Application}}

\bigskip\noindent {\bf IV.A --}

\medskip Ecrivons, comme cela est sugg\'er\'e dans l'\'enonc\'e, la formule d'Euler Mac-Laurin obtenue au III.B.2)
pour la fonction $g:t\rightarrow e^{it^\alpha}$ sur le segment $[1,n+1]$. $g$ \'etant de classe $C^\infty$ sur
${\bf R}^*_+$, on aura pour tout $p\ge 1$~:
$$\int_1^{n+1}g(t)dt=S_n+{e^{i(n+1)^\alpha}-e^i\over
2}-\sum\limits_{j=1}^p{b_{2j}\over(2j)!}[g^{(2j-1)}(n+1)-g^{(2j-1)}(1)]+r_{p,n}
$$  avec $r_{p,n}=\int_1^{n+1}g^{(2p)}(u)B_{2p}(<u-1>)du$

\bigskip\noindent {\bf IV.B --}

\medskip\noindent IV.B.1) Par parties~:
$I_n=\int_1^{n^\alpha}e^{ix}x^{{1\over
\alpha}-1}dx=-ie^{in^\alpha}n^{1-\alpha}+ie^i+i({1\over \alpha}-1)
\int_1^{n^\alpha}e^{ix}x^{{1\over \alpha}-2}dx$

et $J_n=\int_1^{n^\alpha}e^{ix}x^{{1\over \alpha}-2}dx=  -ie^{in^\alpha}n^{1-2\alpha}+ie^i+i({1\over \alpha}-2)
\int_1^{n^\alpha}e^{ix}x^{{1\over \alpha}-3}dx$

avec $\Bigl|({1\over \alpha}-2) \int_1^{n^\alpha}e^{ix}x^{{1\over
\alpha}-3}dx\Bigr|\le|{1\over \alpha}-2|\int_1^{n^\alpha}x^{{1\over
\alpha}-3}dx=|n^{1-2\alpha}-1|$ (attention au signe de ${1\over \alpha}-2$ !)

par suite, dans tous les cas, $J_n=o(n^{1-\alpha})$ car $1-2\alpha<1-\alpha$. et donc $I_n\sim
-ie^{in^\alpha}n^{1-\alpha}$ lorsque $n\longrightarrow+\infty$.

\smallskip\noindent IV.B.2) On change de variable dans l'int\'egrale en posant
$x=t^\alpha$ et on trouve~:
$$\int_1^ne^{it^\alpha}dt={1\over\alpha}I_n\sim -{i\over\alpha}e^{in^\alpha}n^{1-\alpha}
$$

\bigskip\noindent {\bf IV.C --}

\medskip D\'emontrons le r\'esultat par r\'ecurrence. 

$|g(t)|=1$ et $g'(t)=i\alpha t^{\alpha-1}g(t)\Longrightarrow |g'(t)|=\alpha t^{\alpha-1}$, on voit donc
imm\'ediatement que le r\'esultat est assur\'e aux  rangs
$j=0$ et $j=1$ (on demande en fait de le d\'emontrer seulement pour $j\ge1$). 

Si on suppose que $g^{(k)}(n)=O(n^{k(\alpha-1)})$ pour $0\le k\le j-1$, on a (Leibniz)~:
$$g^{(j)}(t)=\bigl(g'(t)\bigr)^{(j-1)}=i\alpha
\bigl(t^{\alpha-1}g(t)\bigr)^{(j-1)}=i\alpha\sum\limits_{p=0}^{j-1} C_{j-1}^p(\alpha -1)(\cdots
)(\alpha-j+p+1)t^{\alpha-j+p}g^{(p)}(t)
$$ et on obtient~:
$n^{\alpha-j+p}g^{(p)}(n)=O(n^{(p+1)(\alpha-1)})=O(n^{j(\alpha-1)})$ pour $0\le p\le j-1$.

Donc $g^{(j)}(n)=O(n^{j(\alpha-1)})$, c'est le r\'esultat au rang
$j$.

\bigskip\noindent {\bf IV.D --}

\medskip\noindent IV.D.1) En utilisant la m\'ethode pr\'ec\'edente, on obtient plus g\'en\'eralement~:
$$\forall j\in{\bf N}\ g^{(j)}(t)=O(t^{j(\alpha-1)})\hbox{ lorsque }t\longrightarrow +\infty
$$

Or $\Bigl|\int_1^{n+1}g^{(2p)}(t)B_{2p}(<t-1>)dt\Bigr|\le M_{2p}\int_1^{n+1}|g^{(2p)}(t)|dt$ et en choisissant $p$
tel que $2p(\alpha-1)\le-2$, ce qui est toujours possible car
$\alpha-1<0$, l'int\'egrale
$\int_1^{+\infty}|g^{(2p)}(t)|dt$ devient convergente~: la fonction
$t\rightarrow g^{(2p)}(t)=O(1/t^2)$ en $+\infty$ est int\'egrable sur $[1,+\infty[$. Par suite~:
$$\Bigl|\int_1^{n+1}g^{(2p)}(t)B_{2p}(<t-1>)dt\Bigr|\le M_{2p}\int_1^{+\infty}|g^{(2p)}(t)|dt
$$ d'o\`u le r\'esultat.

\smallskip\noindent IV.D.2) On reprend l'\'egalit\'e obtenue au IV.A pour cette valeur de
$p$~:
$$S_n=\int_1^{n+1}g(t)dt-{e^{i(n+1)^\alpha}-e^i\over
2}+\sum\limits_{j=1}^p{b_{2j}\over(2j)!}[g^{(2j-1)}(n+1)-g^{(2j-1)}(1)]-r_{p,n}
$$ avec $r_{p,n}=\int_1^{n+1}g^{(2p)}(t)B_{2p}(<t-1>)dt$

En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents, on voit que dans cette somme tous les termes sont n\'egligeables devant
le premier et donc~:
$$S_n\sim\int_1^{n+1}g(t)dt\sim -{i\over\alpha}e^{i(n+1)^\alpha}(n+1)^{1-\alpha}
$$ 

De plus $(n+1)^{1-\alpha}\sim n^\alpha$ et
$e^{i(n+1)^\alpha}=e^{in^\alpha(1+{1\over n})^\alpha}= e^{in^\alpha}e^{i\alpha n^{\alpha-1}+o(n^{\alpha-1})}\sim
e^{in^\alpha}$, on obtient finalement~:
$$S_n\sim-{i\over\alpha}e^{in^\alpha}n^{1-\alpha}
$$

\medskip  
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\bye