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\begin{document}


\title{\fbox{\textbf{CENTRALE II PC 99}}}



\begin{center}
\fbox{\textbf{EPREUVE II CENTRALE PC 99\newline }}
\end{center}

{\Large Partie I :}

\begin{enumerate}
\item [I.A-]$\sum_{k=0}^{n}B_{n}^{k}\left(  x\right)  =\sum_{k=0}^{n}C_{n}%
^{k}x^{k}\left(  1-x\right)  ^{n-k},$ on reconna\^{i}t la formule du
bin\^{o}me de Newton ;\newline \fbox{$\sum_{k=0}^{n}B_{n}^{k}\left(  x\right)
=\left(  x+\left(  1-x\right)  \right)  ^{n}=1$}\newline $\left(  1-x\right)
B_{n-1}^{k}\left(  x\right)  +xB_{n-1}^{k-1}\left(  x\right)  =C_{n-1}%
^{k}x^{k}\left(  1-x\right)  ^{n-k}+C_{n-1}^{k-1}x^{k}\left(  1-x\right)
^{n-k},$ donc avec la formule de Pascal : $C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}=C_{n}%
^{k},$ il vient directement : \fbox{$B_{n}^{k}\left(  x\right)  =\left(
1-x\right)  B_{n-1}^{k}\left(  x\right)  +xB_{n-1}^{k-1}\left(  x\right)  $}

\item[I.B-] $\sum_{k=i}^{n}C_{k}^{i}B_{n}^{k}\left(  x\right)  =\sum_{k=i}%
^{n}C_{k}^{i}C_{n}^{k}x^{k}\left(  1-x\right)  ^{n-k},$ mais $C_{k}^{i}%
C_{n}^{k}=\frac{n!}{i!\left(  n-i\right)  !}\frac{\left(  n-i\right)
!}{\left(  k-i\right)  !\left(  n-k\right)  !}=C_{n}^{i}C_{n-i}^{k-i}$ ; on
effectue alors un changement d'indice $\left(  k^{\prime}=k-i\right)  $ dans
la somme :\newline $\sum_{k=i}^{n}C_{k}^{i}B_{n}^{k}\left(  x\right)
=\sum_{k=0}^{n-i}C_{n}^{i}x^{i}C_{n-i}^{k}x^{k}\left(  1-x\right)
^{n-k}=C_{n}^{i}x^{i}\left(  x+\left(  1-x\right)  \right)  ^{n-i}$ (en
utilisant de nouveau la formule du bin\^{o}me). Finalement : \fbox{$\sum
_{k=i}^{n}C_{k}^{i}B_{n}^{k}\left(  x\right)  =C_{n}^{i}x^{i}$}

\item[I.C-] D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, pour tout $i\in\left[
\!\left[  0,n\right]  \!\right]  ,$ $x^{i}=\sum_{k=i}^{n}\frac{C_{k}^{i}%
}{C_{n}^{i}}B_{n}^{k}\left(  x\right)  ,$ donc pour tout $i\in\left[
\!\left[  0,n\right]  \!\right]  ,$ $x^{i}\in\operatorname*{Vect}\left(
B_{n}^{0},...,B_{n}^{n}\right)  ,$ ce qui montre que la famille $\left(
B_{n}^{0},...,B_{n}^{n}\right)  $ est g\'{e}n\'{e}ratrice de $\mathbb{R}%
_{n}[X].$ De plus, $\left(  B_{n}^{0},...,B_{n}^{n}\right)  $ poss\`{e}de
$n+1$ vecteurs, c'est-\`{a}-dire autant que la dimension de $\mathbb{R}%
_{n}[X],$ donc \fbox{$\left(  B_{n}^{0},...,B_{n}^{n}\right)  $ est une base
de $\mathbb{R}_{n}[X]$}

\item[I.D-] $\frac{d}{dx}\left(  B_{n}^{k}\left(  x\right)  \right)  =\frac
{d}{dx}\left(  C_{n}^{k}x^{k}\left(  1-x\right)  ^{n-k}\right)  =kC_{n}%
^{k}x^{k-1}\left(  1-x\right)  ^{n-1-\left(  k-1\right)  }-\left(  n-k\right)
C_{n}^{k}x^{k}\left(  1-x\right)  ^{n-1-k},$ et puisque $kC_{n}^{k}%
=nC_{n-1}^{k-1}$ et $\left(  n-k\right)  C_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k},$ on obtient :
\fbox{$\frac{d}{dx}\left(  B_{n}^{k}\left(  x\right)  \right)  =n\left(
B_{n-1}^{k-1}\left(  x\right)  -B_{n-1}^{k}\left(  x\right)  \right)  $%
}\newline On en d\'{e}duit : $B_{n}^{k}\left(  x\right)  -B_{n}^{k}\left(
0\right)  =n\int_{0}^{x}B_{n-1}^{k-1}\left(  t\right)  dt-n\int_{0}^{x}%
B_{n-1}^{k}\left(  t\right)  dt.$ Sommons alors ces \'{e}galit\'{e}s pour $k$
entre $1$ et $i$ :\newline $\sum_{k=1}^{i}\left(  B_{n}^{k}\left(  x\right)
-B_{n}^{k}\left(  0\right)  \right)  =n\sum_{k=1}^{i}\left(  \int_{0}%
^{x}B_{n-1}^{k-1}\left(  t\right)  dt-\int_{0}^{x}B_{n-1}^{k}\left(  t\right)
dt\right)  \overset{\text{cascade}}{=}n\left(  \int_{0}^{x}B_{n-1}^{0}\left(
t\right)  dt-\int_{0}^{x}B_{n-1}^{i}\left(  t\right)  dt\right)  .$ Or pour
tout $k\geqslant1,$ $B_{n}^{k}\left(  0\right)  =0,$ et $B_{n-1}^{0}\left(
t\right)  =\left(  1-t\right)  ^{n-1},$ donc\newline $\int_{0}^{x}B_{n-1}%
^{i}\left(  t\right)  dt=\int_{0}^{x}\left(  1-t\right)  ^{n-1}dt-\frac{1}%
{n}\sum_{k=1}^{i}B_{n}^{k}\left(  x\right)  =-\frac{1}{n}\left(  \left(
1-x\right)  ^{n}-1\right)  -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{i}B_{n}^{k}\left(
x\right)  ,$ en \'{e}crivant alors $1=\sum_{k=0}^{n}B_{n}^{k}\left(  x\right)
,$ il vient :\newline $\int_{0}^{x}B_{n-1}^{i}\left(  t\right)  dt=\frac{1}%
{n}\left(  -B_{n}^{0}\left(  x\right)  +\sum_{k=0}^{n}B_{n}^{k}\left(
x\right)  \right)  -\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{i}B_{n}^{k}\left(  x\right)
=\sum_{k=i+1}^{n}\frac{1}{n}B_{n}^{k}\left(  x\right)  ,$ On a finalement
obtenu la d\'{e}composition cherch\'{e}e :\newline \fbox{$\int_{0}^{x}%
B_{n}^{i}\left(  t\right)  dt=\sum_{k=i+1}^{n+1}\frac{1}{n+1}B_{n+1}%
^{k}\left(  x\right)  $}
\end{enumerate}

{\Large Partie II :}

\begin{enumerate}
\item [II.A-]Par d\'{e}finition, $C_{0}\left(  t\right)  =\left(  1-t\right)
B_{0}+tB_{1}=\left(  1-t\right)  ^{2}A_{0}+2t\left(  1-t\right)  A_{1}%
+t^{2}A_{2}$ ; on a donc :\newline \fbox{$C_{0}\left(  t\right)  =B_{2}%
^{0}\left(  t\right)  A_{0}+B_{2}^{1}\left(  t\right)  A_{1}+B_{2}^{2}\left(
t\right)  A_{2}$}\newline En utilisant alors le r\'{e}sultat de la
premi\`{e}re question, on en d\'{e}duit :\newline $C_{0}\left(  t\right)
=\left(  1-B_{2}^{1}\left(  t\right)  -B_{2}^{2}\left(  t\right)  \right)
A_{0}+B_{2}^{1}\left(  t\right)  A_{1}+B_{2}^{2}\left(  t\right)  A_{2}%
=A_{0}+\left(  2t-2t^{2}\right)  \overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\left(
t^{2}\right)  \overrightarrow{A_{0}A_{2}},$ ce qu'on met sous la forme :
$C_{0}\left(  t\right)  =A_{0}+t\left(  2\overrightarrow{A_{0}A_{1}}\right)
+t^{2}\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)
.$\newline La courbe ainsi d\'{e}crite est une parabole si et seulement Ö les
vecteurs $2\overrightarrow{A_{0}A_{1}}$ et $\overrightarrow{A_{1}A_{0}%
}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$ forment une famille libre, donc si et seulement
si les vecteurs $\overrightarrow{A_{0}A_{1}}$ et $\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$
forment une famille libre.\newline On conclut que \fbox{$C_{0}$ d\'{e}crit une
parabole si et seulement si $A_{0},A_{1},A_{2}$ sont non align\'{e}s}%
\newline Soit la parabole param\'{e}tr\'{e}e par $M:t\mapsto
A+t\overrightarrow{V}+t^{2}\overrightarrow{W}$ (donc $\left(  \overrightarrow
{V,}\overrightarrow{W}\right)  $ libre). D\'{e}finissons $B$ par
$\overrightarrow{AB}=\frac{\overrightarrow{V}}{2},$ puis $C$ par
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{W}+\frac{\overrightarrow{V}}{2}.$ Par
libert\'{e} de $\left(  \overrightarrow{V,}\overrightarrow{W}\right)  ,$ les
points $A,B$ et $C$ ne sont pas align\'{e}s.\newline $M\left(  t\right)
=A+t\left(  2\overrightarrow{AB}\right)  +t^{2}\left(  \overrightarrow
{BA}+\overrightarrow{BC}\right)  =B_{2}^{0}\left(  t\right)  A+B_{2}%
^{1}\left(  t\right)  B+B_{2}^{2}\left(  t\right)  C,$ et donc la parabole est
g\'{e}n\'{e}r\'{e}e par le proc\'{e}d\'{e} de barycentration d\'{e}crit
pr\'{e}c\'{e}demment \`{a} partir des points $A,B,C.$ Donc \newline
\fbox{toute parabole peut \^{e}tre g\'{e}n\'{e}r\'{e}e par le proc\'{e}d\'{e}
d\'{e}crit}

\item[II.B-] Imm\'{e}diat : $C_{0}\left(  0\right)  =A_{0}+0.\left(
2\overrightarrow{A_{0}A_{1}}\right)  +0^{2}\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}%
}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  =A_{0},$ donc \fbox{$A_{0}\in
\mathcal{P}$}.\newline De m\^{e}me $c_{0}\left(  1\right)  =A_{0}+1.\left(
2\overrightarrow{A_{0}A_{1}}\right)  +1^{2}\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}%
}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  =A_{0}+\overrightarrow{A_{0}A_{1}%
}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=A_{2},$ donc \fbox{$A_{2}\in\mathcal{P}$%
}.\newline $\frac{d}{dt}\left(  C_{0}\left(  t\right)  \right)  =2\left(
\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+t\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}}%
+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  \right)  ,$ en particulier :
\newline \fbox{la tangente en $A_{0}$ est donc la droite $\left(  A_{0}%
A_{1}\right)  ,$ et celle en $A_{2}$ la droite $\left(  A_{1}A_{2}\right)  $%
}\newline De plus : $\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+t\left(  \overrightarrow
{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  =\left(  1-t\right)
\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+t\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=\left[  \left(
1-t\right)  A_{1}+tA_{2}\right]  -\left[  \left(  1-t\right)  A_{0}%
+tA_{1}\right]  ,$ d'o\`{u} \fbox{en $C_{0}\left(  t\right)  $ la tangente est
la droite $\left(  B_{0}B_{1}\right)  $}
%\[%
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%}%
%%EndExpansion
%\]

\centerline{\psfig{file=m99cp2f.eps,height=3in}}

\item[II.C-] $B_{0}$ est le barycentre du syst\`{e}me pond\'{e}r\'{e}
$\left\{  \left(  A_{0},1-t\right)  ,\left(  A_{1},t\right)  \right\}  $ donc
$\left(  1-t\right)  \overrightarrow{B_{0}A_{0}}+t\overrightarrow{B_{0}A_{1}%
}=\overrightarrow{0}$ et par suite $\frac{\overline{A_{0}B_{0}}}%
{\overline{B_{0}A_{1}}}=\frac{t}{\left(  1-t\right)  }$ ; de m\^{e}me $B_{1}$
est le barycentre du syst\`{e}me pond\'{e}r\'{e} $\left\{  \left(
A_{1},1-t\right)  ,\left(  A_{2},t\right)  \right\}  $ donc $\frac
{\overline{A_{1}B_{1}}}{\overline{B_{1}A_{2}}}=\frac{t}{\left(  1-t\right)
},$ et enfin $C_{0}$ est le barycentre du syst\`{e}me pond\'{e}r\'{e}
$\left\{  \left(  B_{0},1-t\right)  ,\left(  B_{1},t\right)  \right\}  $ donc
$\frac{\overline{B_{0}C_{0}}}{\overline{C_{0}B_{1}}}=\frac{t}{\left(
1-t\right)  },$ d'o\`{u} finalement :
\[
\fbox{$\frac{\overline{A_0B_0}}{\overline{B_0A_1}}=\frac{\overline{A_1B_1}%
}{\overline{B_1A_2}}=\frac{\overline{B_0C_0}}{\overline{C_0B_1}}$}
\]

\item[II.D-] $B_{0}\left(  \frac{1}{2}\right)  $ est le milieu de $\left[
A_{0}A_{1}\right]  ,$ $B_{1}\left(  \frac{1}{2}\right)  $ celui de $\left[
A_{1}A_{2}\right]  $ et $C$ celui de $\left[  B_{0}\left(  \frac{1}{2}\right)
B_{1}\left(  \frac{1}{2}\right)  \right]  $. Ainsi l'homoth\'{e}tie
$h_{A_{1}\frac{1}{2}}$ de centre $A_{1}$ et de rapport $\frac{1}{2}$
transforme $A_{0}$ en $B_{0}\left(  \frac{1}{2}\right)  ,$ $A_{2}$ en
$B_{1}\left(  \frac{1}{2}\right)  $ donc le milieu de $\left[  A_{0}%
A_{2}\right]  $ en le milieu de $\left[  B_{0}\left(  \frac{1}{2}\right)
B_{1}\left(  \frac{1}{2}\right)  \right]  $ (conservation du barycentre par
une application affine) ; c'est-\`{a}-dire $h_{A_{1}\frac{1}{2}}\left(
A_{1}^{\prime}\right)  =C,$ et donc \fbox{$A_{1}A_{1}^{\prime}$ et $C$ sont
align\'{e}s}\newline $\overrightarrow{C_{0}\left(  t\right)  C_{0}\left(
1-t\right)  }=2\left(  \left(  1-t\right)  -t\right)  \overrightarrow
{A_{0}A_{1}}+\left(  \left(  1-t\right)  ^{2}-t^{2}\right)  \left(
\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{1}A_{0}}\right)  $ ; (ceci en
reprenant la d\'{e}finition alg\'{e}brique de $C_{0}\left(  t\right)  )$ donc
$\overrightarrow{C_{0}\left(  t\right)  C_{0}\left(  1-t\right)  }=2\left(
1-2t\right)  \overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\left(  1-2t\right)  \left(
\overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  ,$ ce qui
donne en organisant les termes : $\overrightarrow{C_{0}\left(  t\right)
C_{0}\left(  1-t\right)  }=\left(  1-2t\right)  \left(  \overrightarrow
{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  =\left(  1-2t\right)
\overrightarrow{A_{0}A_{2}},$ cette expression prouve que \newline \fbox{les
vecteurs $\overrightarrow{C_{0}\left(  t\right)  C_{0}\left(  1-t\right)  }$
et $\overrightarrow{A_{0}A_{2}}$ sont colin\'{e}aires.\newline }\newline Le
r\'{e}sultat demand\'{e} est la g\'{e}n\'{e}ralisation de l'alignement des
points $A_{1},A_{1}^{\prime}$ et $C$ ; prouvons-le alg\`{e}briquement
:\newline $\frac{1}{2}\left(  C_{0}\left(  t\right)  +C_{0}\left(  1-t\right)
\right)  =A_{0}+\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\frac{t^{2}+\left(  1-t\right)
^{2}}{2}\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}%
}\right)  $ ; or $\overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}%
}=2\overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}}$ par d\'{e}finition de $A_{1}^{\prime
}.$ Donc $\frac{1}{2}\left(  C_{0}\left(  t\right)  +C_{0}\left(  1-t\right)
\right)  =A_{1}+\left(  t^{2}+\left(  1-t\right)  ^{2}\right)  \overrightarrow
{A_{1}A_{1}^{\prime}},$ ce qui prouve que \newline \fbox{le milieu de $\left[
C_{0}\left(  t\right)  C_{0}\left(  1-t\right)  \right]  $ appartient \`{a} la
droite $\left(  A_{1}A_{1}^{\prime}\right)  $}\newline L'intersection d'une
droite et d'une parabole est soit vide, soit r\'{e}duite \`{a} un singleton,
soit l'ensemble de deux points. Soit $C_{0}\left(  t\right)  $ un point de la
parabole $\mathcal{P},$ et $\mathcal{D}$ la droite passant par $C_{0}\left(
t\right)  $ et parall\`{e}le \`{a} $\left(  A_{0}A_{2}\right)  .$ Alors on a
vu pr\'{e}c\'{e}demment que pour tout $t\in\mathbb{R},$ $C_{0}\left(
1-t\right)  \in\mathcal{D},$ donc si $\mathcal{C}$ est une corde parall\`{e}le
\`{a} $\left(  A_{0}A_{2}\right)  $ elle est n\'{e}cessairement de la forme
$\left[  C_{0}\left(  t\right)  C_{0}\left(  1-t\right)  \right]  .$ La
r\'{e}ciproque a \'{e}t\'{e} prouv\'{e}e pr\'{e}c\'{e}demment, d'o\`{u} le
lieu $\Lambda$ cherch\'{e} est l'ensemble des points $\left\{  A_{1}+\left(
t^{2}+\left(  1-t\right)  ^{2}\right)  \overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}%
}\;;\;t\in\mathbb{R}\right\}  $ ; une br\`{e}ve \'{e}tude de la fonction
$t\mapsto t^{2}+\left(  1-t\right)  ^{2}$ nous convaint alors que
$\Lambda=\left\{  A_{1}+\lambda\overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}}%
\;;\;t\in\left[  \frac{1}{2},\infty\right[  \right\}  .$\newline On peut donc
conclure que \fbox{le lieu cherch\'{e} est la demi-droite $[CA_{1}^{\prime})$}

\item[II.E-] $B_{0}^{\prime}-B_{0}=\frac{A_{0}+C_{0}}{2}-B_{0}=A_{0}+t\left(
A_{1}-A_{0}\right)  +\frac{t^{2}}{2}\left(  \underset{2\overrightarrow
{A_{1}A_{1}^{\prime}}}{\underbrace{\overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow
{A_{1}A_{2}}}}\right)  -\left(  1-t\right)  A_{0}-tA_{1}=t^{2}\left(
A_{1}^{\prime}-A_{1}\right)  $ d'o\`{u} $\overrightarrow{B_{0}B_{0}^{\prime}%
}=t^{2}\overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}}$ et par suite \fbox{les droites
$\left(  B_{0}B_{0}^{\prime}\right)  $ et $\left(  A_{1}A_{1}^{\prime}\right)
$ sont parall\`{e}les}\newline le sommet $S$ de la parabole $\mathcal{P}$ est
caract\'{e}ris\'{e} par $S=C_{0}\left(  t\right)  $ avec $t$ tel que la
tangente \`{a} $\mathcal{P}$ en $C_{0}\left(  t\right)  \;$( ici $\left(
B_{0}B_{1}\right)  $) soit orthogonale \`{a} l'axe, (ici $\left(  A_{1}%
A_{1}^{\prime}\right)  $).\newline Avec les donn\'{e}es num\'{e}riques
propos\'{e}es, $\overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}}$ a pour coordonn\'{e}es :
$\left(  \frac{1}{2},-1,1\right)  ,$ et $\overrightarrow{B_{0}B_{1}}$ a pour
coordonn\'{e}es :$\left(  -\left(  1-t\right)  ,1-t-t,2t\right)  .$ D'o\`{u}
$C_{0}\left(  t\right)  $ est le sommet si et seulement si $-\frac{1}%
{2}\left(  1-t\right)  -\left(  1-2t\right)  +2t=0,$ d'o\`{u} \fbox{$S=C_{0}%
\left(  \frac{1}{3}\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{4}{9}\\
\frac{4}{9}\\
\frac{2}{9}%
\end{array}
\right)  $}

\item[II.F-] Par d\'{e}finition de $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2},$
$M\left(  t\right)  =A_{0}+2t\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+t^{2}\left(
\overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  $ et $N\left(
u\right)  =A_{1}+2u\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+u^{2}\left(  \overrightarrow
{A_{2}A_{1}}+\overrightarrow{A_{2}A_{0}}\right)  $ d'o\`{u} $M\left(
t\right)  =N\left(  u\right)  $ si et seulement si $\overrightarrow{A_{0}%
A_{1}}+2u\overrightarrow{A_{1}A_{2}}-2t\overrightarrow{A_{0}A_{1}}%
+u^{2}\left(  \overrightarrow{A_{2}A_{1}}+\overrightarrow{A_{2}A_{0}}\right)
-t^{2}\left(  \overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)
=0,$ ce qui s'\'{e}crit encore :\newline $\left(  1-2t+t^{2}-u^{2}\right)
\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\left(  2u-2u^{2}-t^{2}\right)  \overrightarrow
{A_{1}A_{2}}=\overrightarrow{0}.$ Mais de plus la famille $\left(
\overrightarrow{A_{0}A_{1}},\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  $ est libre
donc l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente \'{e}quivaut au syst\`{e}me
$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left(  1-t\right)  ^{2}=u^{2}\\
t^{2}=2u\left(  1-u\right)
\end{array}
\right.  .$\newline Ce syst\`{e}me se r\'{e}sout en $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
u=1-t\\
t\left(  2-3t\right)  =0
\end{array}
\right.  $ ou $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
u=t-1\\
3u^{2}+1=0
\end{array}
\right.  .$ D'o\`{u} l'on trouve deux couples $\left(  u,t\right)  $ solutions
: $\left(  0,1\right)  $ et $\left(  \frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)
.$\newline On en d\'{e}duit que \fbox{les paraboles $\mathcal{P}_{1}$ et
$\mathcal{P}_{2}$ sont s\'{e}cantes en $M\left(  0\right)  =A_{0}$ et en
$M\left(  \frac{2}{3}\right)  $}\newline Or $M\left(  \frac{2}{3}\right)
=A_{0}+\frac{4}{3}\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\frac{4}{9}\left(
\overrightarrow{A_{1}A_{0}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right)  ,$ donc$\overrightarrow{A_{0}M\left(  \frac{2}{3}\right)  }=\frac{8}{9}%
\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=\frac{4}%
{3}\left(  \frac{2}{3}\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\frac{1}{3}\overrightarrow
{A_{1}A_{2}}\right)  =\frac{4}{9}\left(  \overrightarrow{A_{0}A_{1}%
}+\overrightarrow{A_{0}A_{2}}\right)  ,$ cette \'{e}galit\'{e} vectorielle
prouve que $M\left(  \frac{2}{3}\right)  $ est un point de la m\'{e}diane
issue de $A_{0}$ dans le triangle $A_{0}A_{1}A_{2}.$\newline Ainsi,
\fbox{$\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ se coupent sur la m\'{e}diane
issue de $A_{0}$ dans le triangle $A_{0}A_{1}A_{2}.$}
\end{enumerate}

{\Large Partie III :}

\begin{enumerate}
\item [III.A-]Soit la propri\'{e}t\'{e} pour $p$ entier naturel inf\'{e}rieur
ou \'{e}gal \`{a} $n$ : ``$A_{i}^{p}\left(  t\right)  =\sum_{k=0}^{p}B_{p}%
^{k}\left(  t\right)  A_{k+i}$ pour tout entier $i$ tel que $p+i\leqslant n."$\newline

\begin{itemize}
\item  Au rang $p=0$ : $A_{i}^{0}\left(  t\right)  =A_{i}$ et $\sum_{k=0}%
^{0}B_{p}^{k}\left(  t\right)  A_{k+i}=B_{0}^{0}\left(  t\right)  A_{i}=A_{i}$
pour tout $i\in\left[  \!\left[  0,n\right]  \!\right]  ,$ donc la
propri\'{e}t\'{e} est v\'{e}rifi\'{e}e.

\item  hypoth\`{e}se de r\'{e}currence : la propri\'{e}t\'{e} est
v\'{e}rifi\'{e}e au rang $p$ avec $p\leqslant n-1$ ;\newline soit $i\in\left[
\!\left[  0,n-\left(  p+1\right)  \right]  \!\right]  ,$ alors $A_{i}%
^{p+1}\left(  t\right)  =\sum_{k=0}^{p}B_{p}^{k}\left(  t\right)  \left(
1-t\right)  A_{k+i}+\sum_{k=0}^{p}B_{p}^{k}\left(  t\right)  tA_{k+i+1}$ on
effectue un changement d'indice dans la deuxi\`{e}me somme :\newline
$A_{i}^{p+1}\left(  t\right)  =\sum_{k=0}^{p}B_{p}^{k}\left(  t\right)
\left(  1-t\right)  A_{k+i}+\sum_{k=0}^{p-1}B_{p}^{k-1}\left(  t\right)
tA_{k+i}$\newline $=\sum_{k=1}^{p-1}\left(  \underset{=B_{p+1}^{k}\left(
t\right)  }{\underbrace{\left(  1-t\right)  B_{p}^{k}\left(  t\right)
+tB_{p}^{k-1}\left(  t\right)  }}\right)  A_{k+i}+\underset{=B_{p+1}%
^{0}\left(  t\right)  }{\underbrace{\left(  1-t\right)  B_{p}^{0}\left(
t\right)  }}A_{k}+\underset{B_{p+1}^{p+1}\left(  t\right)  }{\underbrace
{tB_{p}^{p}\left(  t\right)  }}A_{p+i+1}.$ D'o\`{u} finalement, $A_{i}%
^{p+1}\left(  t\right)  =\sum_{k=0}^{p+1}B_{p+1}^{k}\left(  t\right)
A_{k+i},$ ce qui ach\`{e}ve la r\'{e}currence.\newline On en d\'{e}duit en
particulier : \fbox{$A_{0}^{n}\left(  t\right)  =\sum_{j=0}^{n}B_{n}%
^{j}\left(  t\right)  A_{j}$}\newline Et donc \fbox{$A_{0}=A_{0}^{n}\left(
0\right)  \in\mathcal{C}$} et \fbox{$A_{n}=A_{0}^{n}\left(  1\right)
\in\mathcal{C}$}
\end{itemize}

\item[III.B-] $\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{n}\left(  t\right)  \right)
=\sum_{j=0}^{n}\underset{=n\left(  B_{n-1}^{j-1}\left(  t\right)  -B_{n-1}%
^{j}\left(  t\right)  \right)  }{\underbrace{\left(  B_{n}^{j}\right)
^{\prime}\left(  t\right)  }A_{j}}=n\left(  \sum_{j=0}^{n}A_{j}B_{n-1}%
^{j-1}\left(  t\right)  -\sum_{j=0}^{n}B_{n-1}^{j}\left(  t\right)
A_{j}\right)  .$ On proc\`{e}de \`{a} un changement d'indice dans la
premi\`{e}re somme :\newline $\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{n}\left(  t\right)
\right)  =n\left(  \sum_{j=0}^{n-1}A_{j+1}B_{n-1}^{j}\left(  t\right)
-\sum_{j=0}^{n}A_{j}B_{n-1}^{j}\left(  t\right)  \right)  =n\sum_{j=0}%
^{n-1}\Delta_{j}B_{n-1}^{j}\left(  t\right)  $ (on utilise ici les conventions
faites pour la nullit\'{e} de $B_{n-1}^{-1}$ et de $B_{n-1}^{n}$). \newline On
a donc obtenu : \fbox{$\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{n}\left(  t\right)  \right)
=n\sum_{j=0}^{n-1}\Delta_{j}B_{n-1}^{j}\left(  t\right)  $}\newline On
obtiendrait de m\^{e}me : \fbox{$\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left(  A_{0}^{n}\left(
t\right)  \right)  =n\left(  n-1\right)  \sum_{j=0}^{n-2}\Delta_{j}^{2}%
B_{n-2}^{j}\left(  t\right)  $} avec $\Delta_{j}^{2}=A_{j+2}-2A_{j+1}+A_{j},$
puis $\frac{d^{3}}{dt^{3}}\left(  A_{0}^{n}\left(  t\right)  \right)
=n\left(  n-1\right)  \left(  n-2\right)  \sum_{j=0}^{n-3}\left(  \Delta
_{j+1}^{2}-\Delta_{j}^{2}\right)  B_{n-3}^{j}\left(  t\right)  $ soit
:\newline \fbox{$\frac{d^{3}}{dt^{3}}\left(  A_{0}^{n}\left(  t\right)
\right)  =n\left(  n-1\right)  \left(  n-2\right)  \sum_{j=0}^{n-3}\left(
A_{j+3}-3A_{j+2}+3A_{j+1}-A_{j}\right)  B_{n-3}^{j}\left(  t\right)  $%
}\newline On trouve en particulier que le \fbox{vecteur tangent en $A_{0}$ est
$n\overrightarrow{A_{0}A_{1}}$ et en $A_{n}$ c'est $n\overrightarrow
{A_{n-1}A_{n}}$}

\item[III.C-] pour tout $t\in\mathbb{R},\quad A_{0}^{n}\left(  t\right)
=\sum_{j=0}^{n}B_{n}^{j}\left(  t\right)  A_{j}$ est un barycentre des points
$A_{j},$ puisque $\sum_{j=0}^{n}B_{n}^{j}\left(  t\right)  =1.$ Or si les
points $A_{j}$ sont dans un m\^{e}me sous-espace affine $\mathcal{F}$ alors
leurs barycentres y sont aussi (propri\'{e}t\'{e} fondamentale des
sous-espaces affines) donc $\left(  \forall t\in\mathbb{R}\right)  \quad
A_{0}^{n}\left(  t\right)  \in\mathcal{F}.$\newline En particulier, si les
points $A_{j}$ sont align\'{e}s, alors la courbe $\mathcal{C}$ est une partie
de la droite $\left(  A_{0}A_{n}\right)  ,$ et si les points $A_{j}$ sont
coplanaires, alors la courbe $\mathcal{C}$ est plane.\newline R\'{e}%
ciproquement, s'il existe un vecteur $\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow
{0}$ et une fonction r\'{e}elle $f$ tels que $\left(  \forall t\in
\mathbb{R}\right)  \quad\sum_{j=1}^{n}B_{n}^{j}\left(  t\right)
\overrightarrow{A_{0}A_{j}}=f\left(  t\right)  \overrightarrow{u},$ alors
$\left(  \forall t\in\mathbb{R}\right)  \quad\sum_{j=1}^{n}C_{n}^{j}%
t^{j}\left(  1-t\right)  ^{n-j}\overrightarrow{A_{0}A_{j}}=f\left(  t\right)
\overrightarrow{u}\quad\left(  \ast\right)  $ d'o\`{u}\newline $\left(
\forall t\in\mathbb{R}^{\ast}\right)  \quad\sum_{j=1}^{n}C_{n}^{j}%
t^{j-1}\left(  1-t\right)  ^{n-j}\overrightarrow{A_{0}A_{j}}=\frac{f\left(
t\right)  }{t}\overrightarrow{u},$ et en passant \`{a} la limite lorsque
$t\rightarrow0,$ il vient : $n\overrightarrow{A_{0}A_{1}}=\left[
\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{f\left(  t\right)  }{t}\right]
\overrightarrow{u},$ donc $\overrightarrow{A_{0}A_{1}}\in\operatorname*{Vect}%
\overrightarrow{u}.$\newline Supposons que l'on a d\'{e}montr\'{e} pour
$j=1,...,k$ : $\overrightarrow{A_{0}A_{j}}\in\operatorname*{Vect}%
\overrightarrow{u}$ avec $k\leqslant n-1.$\newline Alors d'apr\`{e}s $\left(
\ast\right)  \;$il existe une fonction $f_{k}$ r\'{e}elle telle que : $\left(
\forall t\in\mathbb{R}\right)  \;\sum_{j=k}^{n}C_{n}^{j}t^{j-k}\left(
1-t\right)  ^{n-j}\overrightarrow{A_{0}A_{j}}=\frac{f_{k}\left(  t\right)
}{t^{k}}\overrightarrow{u},$ d'o\`{u} en passant de nouveau \`{a} la limite en
$t\rightarrow0,$ on obtient $\overrightarrow{A_{0}A_{k}}\in
\operatorname*{Vect}\overrightarrow{u},$ ce qui ach\`{e}ve la r\'{e}currence.
D'o\`{u} pour tout $j\in\left[  \!\left[  1,n\right]  \!\right]  ,$
$\overrightarrow{A_{0}A_{j}}\in\operatorname*{Vect}\overrightarrow{u},$ ce qui
prouve que les points $A_{j}$ sont align\'{e}s.\newline On proc\`{e}de de
m\^{e}me pour prouver que si la courbe $\mathcal{C}$ est plane, alors les
points $A_{j}$ sont coplanaires.\newline On peut \'{e}noncer :\newline
\underline{La courbe de B\'{e}zier est port\'{e}e par une droite si et
seulement si les $A_{j}$ sont align\'{e}s,} \newline \underline{elle est plane
si et seulement si les $A_{j}$ sont coplanaires}.

\item[III.D-1)] $A_{0}^{3}\left(  t\right)  =\sum_{j=0}^{3}B_{3}^{j}\left(
t\right)  A_{j}$ d\'{e}crit une parabole passant par $A_{0}$ et $A_{3}$ si et
seulement si il existe un point $E$ tel que : $\left(  \forall t\in
\mathbb{R}\right)  \;A_{0}^{3}\left(  t\right)  =B_{2}^{0}\left(  t\right)
A_{0}+B_{2}^{1}\left(  t\right)  E+B_{2}^{2}\left(  t\right)  A_{3}$ (ceci est
justifi\'{e} par les r\'{e}sultats de II.A-).\newline Donc $\mathcal{C}$ est
une parabole si et seulement si \newline $\left(  \forall t\in\mathbb{R}%
\right)  \;B_{2}^{0}\left(  t\right)  A_{0}+B_{2}^{1}\left(  t\right)
E+B_{2}^{2}\left(  t\right)  A_{3}=\sum_{j=0}^{3}B_{3}^{j}\left(  t\right)
A_{j}$\newline $\Leftrightarrow\left(  \forall t\in\mathbb{R}\right)
\;\left(  B_{3}^{0}\left(  t\right)  -B_{2}^{0}\left(  t\right)  \right)
A_{0}+\left(  B_{3}^{3}\left(  t\right)  -B_{2}^{2}\left(  t\right)  \right)
A_{3}=B_{2}^{1}\left(  t\right)  E-B_{3}^{1}\left(  t\right)  A_{1}-B_{3}%
^{2}\left(  t\right)  A_{2}$\newline $\overset{\text{en simplifiant par
}t\left(  1-t\right)  }{\Longleftrightarrow}\left(  \forall t\in
\mathbb{R}\right)  \;\left(  t-1\right)  A_{0}+tA_{3}=E-\left(  1-t\right)
A_{1}-tA_{2}$\newline $\Longleftrightarrow\left(  \forall t\in\mathbb{R}%
\right)  \quad E_{1}=\left(  A_{1}-A_{0}\right)  +t\left(  \left(  A_{3}%
-A_{2}\right)  -\left(  A_{1}-A_{0}\right)  \right)  \Longleftrightarrow
A_{1}-A_{0}=A_{3}-A_{2}.$\newline Ainsi, \fbox{$\mathcal{C}$ est une parabole
si et seulement si $A_{0}A_{1}A_{3}A_{2}$ est un parall\`{e}logramme}

\item[III.D-2)] Explicitons $\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{3}\left(  t\right)
\right)  $ :\newline $\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{3}\left(  t\right)  \right)
=3\sum_{j=0}^{2}\Delta_{j}B_{2}^{j}\left(  t\right)  =3\left(  B_{2}%
^{0}\left(  t\right)  \overrightarrow{A_{0}A_{1}}+3B_{2}^{1}\left(  t\right)
\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+3B_{2}^{2}\left(  t\right)  \overrightarrow
{A_{2}A_{3}}\right)  $\newline Comme la famille $\left(  \overrightarrow
{A_{0}A_{1}},\overrightarrow{A_{1}A_{2}},\overrightarrow{A_{2}A_{3}}\right)  $
est libre (d'apr\`{e}s l'hypoth\`{e}se les points $A_{j}$ sont non
coplanaires) \newline $\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{3}\left(  t\right)  \right)
=\overrightarrow{0}$ si et seulement si $B_{2}^{0}\left(  t\right)  =B_{2}%
^{1}\left(  t\right)  =B_{2}^{2}\left(  t\right)  =0,$ mais $B_{2}^{0}$ et
$B_{2}^{2}$ n'ont pas de racine commune, donc $\left(  \forall t\in
\mathbb{R}\right)  \;\frac{d}{dt}\left(  A_{0}^{3}\left(  t\right)  \right)
\neq\overrightarrow{0},$ autrement dit :\newline \fbox{La courbe de B\'{e}zier
est r\'{e}guli\`{e}re}
\end{enumerate}

{\Large Partie IV :}

\begin{enumerate}
\item [IV.A-]$\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur tout intervalle
$\left]  \frac{i-1}{k},\frac{i}{k}\right[  .$ D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me
du prolongement $\mathcal{C}^{1},$ $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$
sur $\left[  0,1\right]  $ si et seulement si pour tout $i\in\left[  \!\left[
1,k\right]  \!\right]  ,$ $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}}M\left(  t\right)
=\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}M\left(  t\right)
\\
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}}\frac{dM}{dt}\left(
t\right)  =\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac
{dM}{dt}\left(  t\right)
\end{array}
\right.  $ et d'appliquer le th\'{e}or\`{e}me du prolongement $\mathcal{C}%
^{1}.$ \newline Or $\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}%
}M\left(  t\right)  =M_{i}\left(  \frac{i}{k}\right)  =A_{in}$ et
$\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}M\left(  t\right)
=M_{i+1}\left(  \frac{i}{k}\right)  =A_{in}$ donc le premier point est
toujours v\'{e}rifi\'{e}, \newline $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}}\frac{dM}{dt}\left(
t\right)  =k\frac{dM_{i}}{dt}\left(  1\right)  =kn\overrightarrow
{A_{ni-1}A_{ni}}\\
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac{dM}{dt}\left(
t\right)  =k\frac{dM_{i+1}}{dt}\left(  0\right)  =kn\overrightarrow
{A_{ni}A_{ni+1}}%
\end{array}
\right.  $ d'apr\`{e}s III.B-\newline Donc $\lim\limits_{t\rightarrow\left(
\frac{i}{k}\right)  ^{-}}\frac{dM}{dt}\left(  t\right)  =\lim
\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac{dM}{dt}\left(
t\right)  $ si et seulement si $\overrightarrow{A_{ni-1}A_{ni}}%
=\overrightarrow{A_{ni}A_{ni+1}}.$ Et on peut conclure : \newline
\fbox{$\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ si et seulement si $A_{ni}$ est
le milieu de $\left[  A_{ni-1}A_{ni+1}\right]  $}

\item[IV.B-] De m\^{e}me, $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ si et
seulement si elle est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et v\'{e}rifie pour tout
$i\in\left[  \!\left[  1,k\right]  \!\right]  ,$ $\lim\limits_{t\rightarrow
\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}}\frac{d^{2}M}{dt^{2}}\left(  t\right)
=\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac{d^{2}%
M}{dt^{2}}\left(  t\right)  .$ \newline Or d'apr\`{e}s III.B, $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}}\frac{d^{2}M}%
{dt^{2}}\left(  t\right)  =k^{2}\frac{d^{2}M_{i}}{dt^{2}}\left(  1\right)
=k^{2}n\left(  n-1\right)  \Delta_{in+n-2}^{2}\\
\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac{d^{2}M}%
{dt^{2}}\left(  t\right)  =k^{2}\frac{d^{2}M_{i}}{dt^{2}}\left(  0\right)
=k^{2}n\left(  n-1\right)  \Delta_{\left(  i+1\right)  n}^{2}%
\end{array}
\right.  ,$ donc $\lim\limits_{t\rightarrow\left(  \frac{i}{k}\right)  ^{-}%
}\frac{d^{2}M}{dt^{2}}\left(  t\right)  =\lim\limits_{t\rightarrow\left(
\frac{i}{k}\right)  ^{+}}\frac{d^{2}M}{dt^{2}}\left(  t\right)  $ si et
seulement si $\Delta_{in+n-2}^{2}=\Delta_{in+n}^{2}$ soit $A_{\left(
i+1\right)  n}-2A_{\left(  i+1\right)  n-1}=A_{\left(  i+1\right)
n+2}-2A_{\left(  i+1\right)  n+1}+A_{\left(  i+1\right)  n}.$ D'o\`{u} on peut
finalement conclure : \newline \fbox{$\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$
si et seulement si $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{ni}\;\text{est le milieu de }\left[  A_{ni-1}A_{ni+1}\right] \\
2\overrightarrow{A_{in-1}A_{in+1}}=\overrightarrow{A_{in-2}A_{in+2}}%
\end{array}
\right.  $}

\item[IV.C-1)] Si $\Gamma$ est une courbe de degr\'{e} au plus deux, de classe
$\mathcal{C}^{1},$ de vecteur d\'{e}riv\'{e} $\overrightarrow{V_{1}}$ en
$A_{0},$ alors $\Gamma_{1}$ est la courbe de B\'{e}zier $\left[  A_{0}%
,A_{1},A_{2}\right]  $ avec $2\overrightarrow{A_{0}A_{1}}=\overrightarrow
{V_{1}},$ ce qui d\'{e}finit $A_{1}$ de mani\`{e}re unique.

Puis $\Gamma_{1},...,\Gamma_{i}$ \'{e}tant d\'{e}finies de mani\`{e}re unique,
le caract\`{e}re $\mathcal{C}^{1}$ de $\Gamma$ impose $\overrightarrow
{A_{2i-1}A_{2i+1}}=2\overrightarrow{A_{2i-1}A_{2i}}$ ce qui d\'{e}finit de
mani\`{e}re unique la courbe $\Gamma_{i+1}=\left[  A_{2i},A_{2i+1}%
,A_{2i+2}\right]  \ $\newline Ainsi $\Gamma$ est la r\'{e}union de courbes de
B\'{e}zier $\Gamma_{i}$ de degr\'{e} au plus $2,$ d\'{e}finies de mani\`{e}re
unique. D'o\`{u} l'unicit\'{e} de $\Gamma.$\newline R\'{e}ciproquement, les
courbes $\Gamma_{i}$ pr\'{e}c\'{e}demment d\'{e}finies permettent de
construire une courbe $\Gamma$ de degr\'{e} au plus deux et de classe
$\mathcal{C}^{1},$ d'apr\`{e}s IV.A poss\'{e}dant pour vecteur d\'{e}riv\'{e}
en $A_{0},$ le vecteur $\overrightarrow{V_{1}}.$ D'o\`{u} \newline \fbox{il
existe une unique courbe $\Gamma$ de degr\'{e} $\leqslant2$ (par morceaux)
telle que $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\overrightarrow{V_{1}}\text{ est le vecteur d\'{e}riv\'{e} en }A_{0}\\
\Gamma\text{ est de classe }\mathcal{C}^{1}%
\end{array}
\right.  $}

\item[IV.C-2)] On proc\`{e}de comme pr\'{e}c\'{e}demment : \newline Si
$\Gamma$ existe, elle est r\'{e}union des courbes de B\'{e}zier $\Gamma
_{i}\ ,$ avec

\begin{itemize}
\item $\Gamma_{1}=\left[  A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right]  $ telle que

\begin{itemize}
\item  le point $A_{1}$ est d\'{e}fini par $3\overrightarrow{A_{0}A_{1}%
}=\overrightarrow{V_{1}}$

\item  le point $A_{2}$ est d\'{e}fini par $6\left(  A_{2}-2A_{1}%
+A_{0}\right)  =\overrightarrow{V_{2}}$
\end{itemize}

\item  Et ensuite le caract\`{e}re $\mathcal{C}^{2}$ de $\Gamma$ impose
$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{ni}\;\text{est le milieu de }\left[  A_{ni-1}A_{ni+1}\right] \\
2\overrightarrow{A_{in-1}A_{in+1}}=\overrightarrow{A_{in-2}A_{in+2}}%
\end{array}
\right.  $ ce qui permet de construire par r\'{e}currence la courbe de
B\'{e}zier $\Gamma_{i}$ de mani\`{e}re unique.\newline R\'{e}ciproquement, la
courbe r\'{e}union des $\Gamma_{i}$ d\'{e}finis pr\'{e}c\'{e}demment par
r\'{e}currence convient.\newline \fbox{Il existe une unique courbe $\Gamma$ de
classe $\mathcal{C}^{2}$ de degr\'{e} $\leqslant3$ et de vecteurs
d\'{e}riv\'{e}s 1$^{\text{\`{e}re}}$ et 2$^{\text{nde}}$ $\overrightarrow
{V_{0}}$ et $\overrightarrow{V_{1}}$}
\end{itemize}

\item[IV.D-1)] Une courbe $\Gamma$ r\'{e}union de courbes de B\'{e}zier
$\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ d'extr\'{e}mit\'{e}s respectives $A_{0},$ $A_{3}$
et $A_{3},$ $A_{6}$ a pour vecteur d\'{e}riv\'{e} $\overrightarrow{V_{0}}$ et
$\overrightarrow{V_{2}}$ en $A_{0}$ et $A_{6}$ si et seulement si $\Gamma
_{1}=\left[  A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right]  $ et $\Gamma_{2}=\left[
A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\right]  $ avec $3\overrightarrow{A_{0}A_{1}%
}=\overrightarrow{V_{0}}$ et $3\overrightarrow{A_{5}A_{6}}=\overrightarrow
{V_{2}}$ ; les points $A_{1}$ et $A_{5}$ sont donc impos\'{e}s par ces
vecteurs d\'{e}riv\'{e}s. \newline Ensuite cette m\^{e}me courbe $\Gamma$ est
de classe $\mathcal{C}^{2}$ si et seulement si elle v\'{e}rifie 1) $A_{3}$ est
le milieu de $\left[  A_{2}A_{4}\right]  $ et 2) $2\overrightarrow{A_{2}A_{4}%
}=\overrightarrow{A_{1}A_{5}}$ (d'apr\`{e}s IV.B) donc si et seulement si
$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\overrightarrow{A_{2}A_{4}}=2\overrightarrow{A_{2}A_{3}}\\
4\overrightarrow{A_{2}A_{4}}=\overrightarrow{A_{1}A_{5}}%
\end{array}
\right.  $ ce qui d\'{e}finit les polygones de contr\^{o}le de $\Gamma_{1}$ et
de $\Gamma_{2}$ de fa\c{c}on unique.\newline D'o\`{u} de nouveau
\fbox{l'existence d'une unique courbe convenable.}

\item[IV.D-2)] La condition $\mathcal{C}^{2}$ et nullit\'{e} des vecteurs
d\'{e}riv\'{e}s secondes en $A_{0}$ et $A_{3}$ s'\'{e}crit $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{3}-A_{2}=A_{4}-A_{3}\\
2\left(  A_{4}-A_{2}\right)  =A_{5}-A_{1}\\
A_{2}-2A_{1}+A_{0}=0\\
A_{6}-2A_{5}+A_{4}=0
\end{array}
\right.  .$ Ce syst\`{e}me lin\'{e}aire se transforme en $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{1}-2A_{2}+2A_{4}-A_{5}=0\\
-2A_{1}+A_{2}=-A_{0}\\
A_{2}+A_{4}=2A_{3}\\
A_{4}-2A_{5}=-A_{6}%
\end{array}
\right.  $ et se r\'{e}sout en $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{1}=\frac{7}{12}A_{0}+\frac{1}{2}A_{3}-\frac{1}{12}A_{6}\\
A_{2}=\frac{1}{6}A_{0}+A_{3}-\frac{1}{6}A_{6}\\
A_{4}=-\frac{1}{6}A_{0}+A_{3}+\frac{1}{6}A_{6}\\
A_{5}=-\frac{1}{12}A_{0}+\frac{1}{2}A_{3}+\frac{7}{12}A_{6}%
\end{array}
\right.  $\newline . Il poss\`{e}de donc une unique solution, ce qui prouve
\fbox{l'existence et l'unicit\'{e} de la courbe recherch\'{e}e}

\item[IV.E-1)] Cette fois les conditions se traduisent par le syst\`{e}me
$\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{3}-A_{2}=A_{4}-A_{3}\\
2\left(  A_{4}-A_{2}\right)  =A_{5}-A_{1}\\
A_{6}-A_{5}=A_{7}-A_{6}\\
2\left(  A_{7}-A_{5}\right)  =A_{8}-A_{4}\\
A_{2}-2A_{1}+A_{0}=0\\
A_{9}-2A_{8}+A_{7}=0
\end{array}
\right.  $ syst\`{e}me en $A_{1},A_{2},A_{4},A_{5},A_{7},A_{8}$ \'{e}quivalent
\`{a} $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{1}-2A_{2}+2A_{4}-A_{5}=0\\
-2A_{1}+A_{2}=-A_{0}\\
A_{2}+A_{4}=2A_{3}\\
A_{4}-2A_{5}+2A_{7}-A_{8}=0\\
A_{7}-2A_{8}=-A_{9}\\
A_{5}+A_{7}=2A_{6}%
\end{array}
\right.  $ qui se r\'{e}sout en \newline $\allowbreak\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
A_{1}=\frac{26}{45}A_{0}+\frac{8}{15}A_{3}+\frac{1}{45}A_{9}-\frac{2}{15}%
A_{6}\\
A_{2}=\frac{7}{45}A_{0}+\frac{16}{15}A_{3}+\frac{2}{45}A_{9}-\frac{4}{15}%
A_{6}\\
A_{4}=-\frac{7}{45}A_{0}+\frac{14}{15}A_{3}-\frac{2}{45}A_{9}+\frac{4}%
{15}A_{6}\\
A_{5}=-\frac{2}{45}A_{0}+\frac{4}{15}A_{3}-\frac{7}{45}A_{9}+\frac{14}%
{15}A_{6}\\
A_{7}=\frac{2}{45}A_{0}-\frac{4}{15}A_{3}+\frac{7}{45}A_{9}+\frac{16}{15}%
A_{6}\\
A_{8}=\frac{1}{45}A_{0}-\frac{2}{15}A_{3}+\frac{26}{45}A_{9}+\frac{8}{15}A_{6}%
\end{array}
\right.  .$\newline Dans ce cas encore, \fbox{il existe une unique courbe
$\Gamma$ v\'{e}rifiant les conditions impos\'{e}es}

\item[IV.E-2)] Avec le produit scalaire euclidien canonique, on a\newline
$\left\|  N^{\prime\prime}\right\|  ^{2}=\left\|  M^{\prime\prime}+\left(
N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime}\right)  \right\|  ^{2}=\left\|
M^{\prime\prime}\right\|  ^{2}+\left\|  N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime
}\right\|  ^{2}+2\left\langle M^{\prime\prime},N^{\prime\prime}-M^{\prime
\prime}\right\rangle .$\newline Ce qui entra\^{i}ne par lin\'{e}arit\'{e} de
l'int\'{e}grale :\newline \fbox{$\int_{0}^{1}\left\|  N^{\prime\prime
}\right\|  ^{2}du=\int_{0}^{1}\left\|  M^{\prime\prime}\right\|  ^{2}%
du+\int_{0}^{1}\left\|  N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime}\right\|
^{2}du+2\int_{0}^{1}\left\langle M^{\prime\prime},N^{\prime\prime}%
-M^{\prime\prime}\right\rangle du.$\newline }\newline Mais $\left\langle
M^{\prime\prime},N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime}\right\rangle =\frac{d}%
{du}\left(  \left\langle M^{\prime\prime},N^{\prime}-M^{\prime}\right\rangle
\right)  -\left\langle M^{\prime\prime\prime},N^{\prime}-M^{\prime
}\right\rangle ,$ d'o\`{u}
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\left\langle M^{\prime\prime},N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime
}\right\rangle du  &  =\underset{=0\text{ car }M^{\prime\prime}\left(
0\right)  =M^{\prime\prime}\left(  1\right)  =0}{\underbrace{\left[
\left\langle M^{\prime\prime},N^{\prime}-M^{\prime}\right\rangle \right]
_{0}^{1}}}-\int_{0}^{1}\left\langle M^{\prime\prime\prime},N^{\prime
}-M^{\prime}\right\rangle du\\
&  \overset{\text{on recommence}}{=}-\left[  \left\langle M^{\prime
\prime\prime},N-M\right\rangle \right]  _{0}^{1}+\int_{0}^{1}\underset{%
\begin{array}
[c]{c}%
=0\text{ }\\
\text{{\small car} }{\small M}\text{{\small d\'{e}crit} {\small une courbe de
degr\'{e}} }{\small 3}\text{{\small au plus}}%
\end{array}
}{\langle\underbrace{M^{\left(  4\right)  }},N-M\rangle}du
\end{align*}
Par suite, $\int_{0}^{1}\left\|  N^{\prime\prime}\right\|  ^{2}du$ est minimum
lorsque $\int_{0}^{1}\left\|  N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime}\right\|
^{2}du$ est minimum. Et ce terme est minimum $0,$ \fbox{atteint par la courbe
$\Gamma$ param\'{e}tr\'{e}e par $M$}$.$
\end{enumerate}
\end{document}
