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\begin{document}
\title{\fbox{\textbf{CENTRALE II PC 99}}}
\begin{center}
\bigskip{\LARGE Concours Centrale - Supelec 1999\bigskip\ \newline }\hfill
Epreuve : MATHEMATIQUES II \hfill Fili\`{e}re PC\hfill
\end{center}
\bigskip
Tout le probl\`{e}me se passe dans $\mathbb{E}_{3},$ espace affine euclidien
de dimension $3.$ Le choix, fait une fois pour toutes, d'une origine $O$
permet d'identifier le point $A$ et le vecteur $\overrightarrow{OA}$ (\`{a}
partir de la partie II) et l'\'{e}criture $A=tB+\left( 1-t\right) C$
correspond donc \`{a} $\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OB}+\left(
1-t\right) \overrightarrow{OC}.$\newline Dans tout le probl\`{e}me, $n$
d\'{e}signe un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2.$ On appelle courbes
polynomiales de degr\'{e} $n$ les courbes qui admettent une repr\'{e}sentation
du type :
\[
t\mapsto M\left( t\right) =A_{0}+tA_{1}+t^{2}A_{2}+\cdots+t^{n}A_{n}%
\]
L'objectif du probl\`{e}me est d'\'{e}tudier un proc\'{e}d\'{e} de
g\'{e}n\'{e}ration de ces courbes \`{a} partir d'une ligne polygonale
appel\'{e} polygone de contr\^{o}le (courbes de B\'{e}zier). Ce proc\'{e}%
d\'{e} est tr\`{e}s utilis\'{e} en informatique graphique, l'op\'{e}rateur
choisissant le polygone de contr\^{o}le et l'ordinateur calculant la courbe.
\begin{center}
\textit{Partie }$I$
\end{center}
On consid\`{e}re l'espace vectoriel $\mathbb{R}_{n}[X]$ des polyn\^{o}mes
\`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a}
$n.$\newline On note $B_{n}^{k}$ les polyn\^{o}mes d\'{e}finis par :
\begin{align*}
B_{n}^{k}\left( x\right) & =C_{n}^{k}x^{k}\left( 1-x\right) ^{n-k}%
\quad(k=0,1...,n)\\
B_{n}^{k} & =0\text{ si }k\geqslant n+1\text{ et, par convention, si }k<0
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item [\textbf{I.A-}]Montrer que $\sum_{k=0}^{n}B_{n}^{k}\left( x\right) =1,
$ et que pour tout $k\quad\left( k=0,1,...,n\right) $ on a
\[
B_{n}^{k}\left( x\right) =\left( 1-x\right) B_{n-1}^{k}\left( x\right)
+xB_{n-1}^{k-1}\left( x\right)
\]
\item[\textbf{I.B-}] Soit $i$ un entier $\left( 0\leqslant i\leqslant
n\right) .$ Montrer que : $C_{n}^{i}x^{i}=\sum_{k=i}^{n}C_{k}^{i}B_{n}^{k}.$
\item[\textbf{I.C-}] Montrer que les polyn\^{o}mes $B_{n}^{k}$ $\left(
k=0,1,...,n\right) $ forment une base de $\mathbb{R}_{n}[X].$
\item[\textbf{I.D-}] Etablir la formule pour $k=0,1,...,n$ :
\[
\frac{d}{dx}B_{n}^{k}\left( x\right) =n\left( B_{n-1}^{k-1}\left(
x\right) -B_{n-1}^{k}\left( x\right) \right)
\]
et en d\'{e}duire la d\'{e}composition du polyn\^{o}me $\int_{0}^{x}B_{n}%
^{i}\left( t\right) dt$ sur la base form\'{e}e par les polyn\^{o}mes
\newline $B_{n+1}^{k}\left( x\right) \;\left( k=0,1,...,n+1\right) .$
\end{enumerate}
\begin{center}
\textit{Partie II}
\end{center}
On rappelle que les paraboles sont les courbes dont une repr\'{e}sentation
param\'{e}trique est donn\'{e}e par :
\[
t\mapsto M\left( t\right) =A+t\overrightarrow{V}+t^{2}\overrightarrow{W}
\]
o\`{u} $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$ sont deux vecteurs
ind\'{e}pendants.\newline L'axe d'une telle parabole $\mathcal{P}$ admet
$\overrightarrow{W}$ comme vecteur directeur et passe par le sommet $S$ Þ
$\mathcal{P}$ caract\'{e}ris\'{e} par la propri\'{e}t\'{e} suivante : la
tangente en $S$ \`{a} $\mathcal{P}$ est perpendiculaire \`{a} $\overrightarrow
{W}.$
\begin{enumerate}
\item [\textbf{II.A-}]Soient trois points $A_{0},A_{1},A_{2}$ distincts. On
d\'{e}finit $B_{0}$ barycentre des points $A_{0}$ et $A_{1}$ affect\'{e}s des
coefficients $\left( 1-t\right) $ et $t$ : $B_{0}=\left( 1-t\right)
A_{0}+tA_{1}.$\newline De m\^{e}me, on d\'{e}finit : \newline $B_{1}$
barycentre de $A_{1}$ et $A_{2}$ affect\'{e}s des coefficients $\left(
1-t\right) $ et $t$ \newline $C_{0}$ barycentre de $B_{0}$ et $B_{1}$
affect\'{e}s des coefficients $\left( 1-t\right) $ et $t$ \newline Exprimer
$C_{0}\left( t\right) $ au moyen des polyn\^{o}mes $B_{2}^{k}$ $\left(
t\right) \;\left( k=0,1,2\right) $ et des points $A_{0},A_{1},A_{2}$ et
montrer que la courbe d\'{e}crite par le point $C_{0}\left( t\right) $ est
une parabole $\mathcal{P}$ si et seulement si les trois points $A_{0}%
,A_{1},A_{2}$ ne sont pas align\'{e}s. Montrer que toute parabole peut
\^{e}tre g\'{e}n\'{e}r\'{e}e par un tel proc\'{e}d\'{e}.
\item[\textbf{II.B-}] Montrer que la parabole $\mathcal{P}$ passe par les
points $A_{0}$ et $A_{2}.$ Quels sont les vecteurs tangents \`{a}
$\mathcal{P}$ en $A_{0}$ et $A_{2}$ ? Reconna\^{i}tre la tangente au point
$C_{0}\left( t\right) .$\newline \textit{Exemple : }L'espace \'{e}tant muni
d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, d'origine $O,$ repr\'{e}senter soigneusement
sur une m\^{e}me figure les paraboles obtenues dans les trois cas suivants :
\begin{align*}
& A_{0}\left( 1,0,0\right) \quad;\quad A_{1}\left( 0,2,0\right)
\quad;\quad A_{2}\left( 3,0,0\right) \\
& A_{0}\left( 1,0,0\right) \quad;\quad A_{1}\left( 1,1,0\right)
\quad;\quad A_{2}\left( 3,0,0\right) \\
& A_{0}\left( 1,0,0\right) \quad;\quad A_{1}\left( 4,2,0\right)
\quad;\quad A_{2}\left( 3,0,0\right)
\end{align*}
On ne tracera que les arcs de parabole compris entre $A_{0}$ et $A_{2}.$ Ceci
justifie la notion de polygone de contr\^{o}le : en modifiant le polygone,
l'op\'{e}rateur contr\^{o}le la forme de la courbe trac\'{e}e par
l'ordinateur. \newline nous utilisons maintenant cette repr\'{e}sentation pour
obtenir quelques propri\'{e}t\'{e}s des paraboles.
\item[\textbf{II.C-}] Que peut-on dire des rapports
\[
\frac{\overline{A_{0}B_{0}}}{\overline{B_{0}A_{1}}},\;\frac{\overline
{A_{1}B_{1}}}{\overline{B_{1}A_{2}}},\;\frac{\overline{B_{0}C_{0}}}%
{\overline{C_{0}B_{1}}}
\]
\item[\textbf{II.D-}] On appelle $A_{1}^{\prime}$ le milieu de $\left[
A_{0}A_{2}\right] $ et $C$ le point $C_{0}\left( \frac{1}{2}\right)
.$\newline Montrer que les points $A_{1},A_{1}^{\prime}$ et $C$ sont
align\'{e}s.\newline Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{C_{0}\left(
t\right) C_{0}\left( 1-t\right) }$ et $\overrightarrow{A_{0}A_{2}}$ sont
colin\'{e}aires et que le milieu de $\left[ C_{0}\left( t\right)
C_{0}\left( 1-t\right) \right] $ appartient \`{a} la droite $\left(
A_{1}A_{1}^{\prime}\right) .$ Quel est le lieu du milieu des cordes
parall\`{e}les \`{a} $\left( A_{0}A_{2}\right) $ ?
\item[\textbf{II.E-}] Soit $B_{0}^{\prime}$ le milieu de $\left[ A_{0}%
C_{0}\right] .$ Montrer que les droites $\left( B_{0}B_{0}^{\prime}\right)
$ et $\left( A_{1}A_{1}^{\prime}\right) $ sont parall\`{e}les.\newline
\textit{Application} : L'espace \'{e}tant rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re
orthonorm\'{e} $Oxyz,$ les points $A_{0},A_{1},A_{2}$ ont pour coordonn\'{e}es
$A_{0}\left( 1,0,0\right) \quad;\quad A_{1}\left( 0,1,0\right) \quad;\quad
A_{2}\left( 0,0,2\right) .$ Trouver les coordonn\'{e}es du sommet de la
parabole de polygone de contr\^{o}le $\left[ A_{0}A_{1}A_{2}\right] .$
\item[\textbf{II.F-}] Les points $A_{0},A_{1},A_{2}$ \'{e}tant non
align\'{e}s, on consid\`{e}re les paraboles $\mathcal{P}_{1},$ d\'{e}finie par
le polygone de contr\^{o}le $\left[ A_{0}A_{1}A_{2}\right] ,$ de point
courant $M\left( t\right) ,$ et $\mathcal{P}_{2},$ d\'{e}finie par le
polygone $\left[ A_{1}A_{2}A_{0}\right] $ de point courant $N\left(
u\right) ,$ param\'{e}tr\'{e}es par le proc\'{e}d\'{e} d\'{e}crit en
\textbf{II.A. }Montrer qu'il existe deux valeurs du couple $\left(
t,u\right) $ pour lesquelles $M\left( t\right) =N\left( u\right) $ et que
$\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ se coupent sur la m\'{e}diane issue de
$A_{0}$ dans le triangle $\left[ A_{0}A_{1}A_{2}\right] .$
\end{enumerate}
\begin{center}
\textit{Partie III}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item [\textbf{III.A-}]On consid\`{e}re une suite de $\left( n+1\right) $
points distincts $A_{0},A_{1},...,A_{n},$ et on pose $A_{i}^{0}=A_{i}$ pour
$0\leqslant i\leqslant n$ (les $A_{i}^{0}$ pouvant \^{e}tre consid\'{e}%
r\'{e}es comme des fonctions constantes).\newline pour $k=1,2,...,n,$ on
construit de proche en proche les suites finies de fonctions $\left(
A_{i}^{k}\right) _{0\leqslant i\leqslant n-k}$ donn\'{e}es par :
\[
\left( \forall t\in\left[ 0,1\right] \right) \;A_{i}^{k}\left( t\right)
=\left( 1-t\right) A_{i}^{k-1}\left( t\right) +tA_{i+1}^{k-1}\left(
t\right) \text{ (algorithme de De Casteljau)}
\]
Montrer que : $A_{0}^{n}\left( t\right) =\sum_{j=0}^{n}A_{j}B_{n}^{j}\left(
t\right) $ et que la courbe $\mathcal{C}$ (courbe de B\'{e}zier de polygone
de contr\^{o}le $\left[ A_{0}A_{1}...A_{n}\right] $ d\'{e}finie par
$t\mapsto A_{0}^{n}\left( t\right) $ passe par les points $A_{0}$ et $A_{n}.$
\item[\textbf{III.B-}] Exprimer la d\'{e}riv\'{e}e premi\`{e}re
(respectivement la d\'{e}riv\'{e}e seconde) de $A_{0}^{n}\left( t\right) $
au moyen des vecteurs $\Delta_{i}=A_{i+1}-A_{i}$ (respectivement $\Delta
_{i}^{2}=A_{i+2}-2A_{i+1}+A_{i}$). Que trouverait-on pour la d\'{e}riv\'{e}e
troisi\`{e}me ? Que sont les vecteurs tangents en $A_{0}$ et $A_{n}$ ?
\item[\textbf{III.C-}] Montrer que si les points $\left( A_{i}\right)
_{0\leqslant i\leqslant n}$ sont align\'{e}s, alors $\mathcal{C}$ est
port\'{e}e par une droite. R\'{e}ciproque ? Montrer que si les points $\left(
A_{i}\right) _{0\leqslant i\leqslant n}$ sont coplanaires, alors $\mathcal{C}
$ est une courbe plane. R\'{e}ciproque ?
\item[\textbf{III.D-}] Soit $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ quatre points distincts.
\begin{enumerate}
\item [III.D.1)]Donner une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour que la
courbe de B\'{e}zier soit une parabole.
\item[III.D.2)] On suppose que les quatre points ne sont pas coplanaires. la
courbe obtenue peut-elle avoir des points singuliers~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textit{Partie IV}
\end{center}
Dans cette partie, on appelle courbe de B\'{e}zier de polygone de contr\^{o}le
$\left[ A_{0}A_{1}...A_{n}\right] $ l'application :
\[
t\in\left[ 0,1\right] \mapsto M\left( t\right) =\sum_{k=0}^{n}A_{k}%
B_{n}^{k}\left( t\right) \text{ (on se limite \`{a} l'arc d'extr\'{e}%
mit\'{e}s }A_{0}\text{ et }A_{n}\text{)}
\]
Soit $k$ un entier strictement positif et $kn+1$ points not\'{e}s $A_{0}%
,A_{1},...,A_{kn}.$\newline On consid\`{e}re les courbes de B\'{e}zier
:\newline $\Gamma_{1}$ de polygone $\left[ A_{0}A_{1}...A_{n}\right] $ de
point courant $M_{1}\left( t\right) $\newline $\Gamma_{2}$ de polygone
$\left[ A_{n}A_{n+1}...A_{2n}\right] $ de point courant $M_{2}\left(
t\right) $\newline $\Gamma_{k}$ de polygone $\left[ A_{\left( k-1\right)
n}A_{\left( k-1\right) n+1}...A_{kn}\right] $ de point courant
$M_{k}\left( t\right) $\newline Soit $\Gamma$ la courbe, r\'{e}union des
courbes $\Gamma_{i},$ param\'{e}tr\'{e}e par :
\[
u\in\left[ 0,1\right] \mapsto M\left( u\right) =M_{i}\left(
ku-i+1\right) \;\text{pour }u\in\left[ \frac{i-1}{k},\frac{i}{k}\right]
\]
\begin{enumerate}
\item [\textbf{IV.A-}]Montrer que pour que la courbe $\Gamma$ soit de classe
$\mathcal{C}^{1}$ il faut et il suffit que \newline $A_{ni}$ soit le milieu de
$\left[ A_{ni-1},A_{ni+1}\right] \;\left( 1\leqslant i\leqslant k-1\right) $
\item[\textbf{IV.B-}] Montrer qu'une condition n\'{e}cessaire et suffisante
(portant sur les points $A_{j}$) pour que la courbe soit de classe
$\mathcal{C}^{2}$ est :
\[
2\overrightarrow{A_{ni-1}A_{ni+1}}=\overrightarrow{A_{ni-2}A_{ni+2}}%
\quad\left( 1\leqslant i\leqslant k-1\right) \text{ et }A_{ni}\text{ milieu
de }\left[ A_{ni-1}A_{ni+1}\right]
\]
\item[\textbf{IV.C-}] Soit $A_{0},A_{n},A_{2n},...,A_{kn}$ une suite de points
distincts et une suite de courbes de B\'{e}zier $\Gamma_{i}\;\left(
1\leqslant i\leqslant k\right) $ d'origine $A_{n\left( i-1\right) }$
d'extr\'{e}mit\'{e} $A_{ni}.$ Soit $\Gamma$ la courbe r\'{e}union des courbes
$\Gamma_{i},$ param\'{e}tr\'{e}e comme pr\'{e}c\'{e}demment.
\begin{enumerate}
\item [IV.C.1)]On suppose ici que $n=2$ et on donne un vecteur
$\overrightarrow{V_{1}}.$ Montrer qu'il existe une et une seule courbe
$\Gamma,$ de degr\'{e} $2$ au plus, qui soit de classe $\mathcal{C}^{1}$ et
dont le vecteur d\'{e}riv\'{e} en $A_{0}$ soit $\overrightarrow{V_{1}}.$
\item[IV.C.2)] On suppose ici que $n=3$ et on donne deux vecteurs
$\overrightarrow{V_{1}}$ et $\overrightarrow{V_{2}}.$ Montrer qu'il existe une
et une seule courbe $\Gamma,$ de degr\'{e} $3$ au plus, qui soit de classe
$\mathcal{C}^{2}$ et dont les vecteurs d\'{e}riv\'{e}s premi\`{e}re et seconde
au point $A_{0}$ soient respectivement $\overrightarrow{V_{1}}$ et
$\overrightarrow{V_{2}}$
\end{enumerate}
\item[\textbf{IV.D-}] On se limite maintenant \`{a} trois points distincts
$A_{0},A_{3},A_{6}.$
\begin{enumerate}
\item [IV.D.1)]Soit $\overrightarrow{V_{0}}$ et $\overrightarrow{V_{2}}$ deux
vecteurs. Montrer qu'il existe une seule courbe $\Gamma,$ de degr\'{e} $3$ au
plus, qui soit de classe $\mathcal{C}^{2}$ et qui admette $\overrightarrow
{V_{0}}$ et $\overrightarrow{V_{2}}$ comme vecteurs d\'{e}riv\'{e}s aux points
$A_{0}$ et $A_{6}.$
\item[IV.D.2)] Montrer qu'il existe une seule courbe $\Gamma,$ de degr\'{e}
$3$ au plus, qui soit de classe $\mathcal{C}^{2}$ et dont les vecteurs
d\'{e}riv\'{e}s secondes soient nuls en $A_{0}$ et $A_{6}.$
\end{enumerate}
\item[\textbf{IV.E-}] On donne quatre points distincts $A_{0},A_{3}%
,A_{6},A_{9}.$
\begin{enumerate}
\item [IV.E.1)]Montrer qu'il existe une seule courbe $\Gamma,$ de degr\'{e}
$3$ au plus, qui soit de classe $\mathcal{C}^{2}$ et dont les vecteurs
d\'{e}riv\'{e}s secondes soient nuls en $A_{0}$ et $A_{9}.$ Soit $u\in\left[
0,1\right] \mapsto M\left( u\right) $ sa repr\'{e}sentation param\'{e}trique.
\item[IV.E.2)] Soit $\mathcal{C}$ une courbe quelconque de classe
$\mathcal{C}^{2}$ d\'{e}finie par :
\[
u\in\left[ 0,1\right] \mapsto N\left( u\right) ,\text{ v\'{e}rifiant
}N\left( u\right) =A_{0},\;N\left( \frac{1}{3}\right) =A_{3},\;N\left(
\frac{2}{3}\right) =A_{6},\;N\left( 1\right) =A_{9}
\]
On propose de d\'{e}montrer que le minimum de l'int\'{e}grale $\int_{0}%
^{1}\left\| N^{\prime\prime}\left( u\right) \right\| ^{2}du$ est atteint
par la courbe $\Gamma,$ d\'{e}finie au \textbf{IV.E.1.} Montrer que :
\[
\int_{0}^{1}\left\| N^{\prime\prime}\right\| ^{2}du=\int_{0}^{1}\left\|
M^{\prime\prime}\right\| ^{2}du+\int_{0}^{1}\left\| N^{\prime\prime
}-M^{\prime\prime}\right\| ^{2}du+2\int_{0}^{1}\left( M^{\prime\prime
}|N^{\prime\prime}-M^{\prime\prime}\right) du
\]
Conclure en int\'{e}grant par parties la derni\`{e}re de ces int\'{e}grales.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{Le petit coin de la culture : }Au d\'{e}but des ann\'{e}es 60, P.
B\'{e}zier et P. De Casteljau, alors ing\'{e}nieurs chez Renault et
Citro\"{e}n, d\'{e}velopp\`{e}rent, ind\'{e}pendamment l'un de l'autre, ces
proc\'{e}d\'{e}s de g\'{e}n\'{e}ration de courbes et de surfaces pour obtenir
une m\'{e}thode de num\'{e}risation des formes des pi\`{e}ces utilis\'{e}es
dans l'industrie automobile. Depuis, cela n'a cess\'{e} de se d\'{e}velopper...
\begin{center}
\hrulefill
$\bullet\bullet\bullet\mathbf{FIN}\bullet\bullet\bullet$
\hrulefill
\end{center}
\end{document}