% PSI* Fermat 98/99
% Concours 99
%
% Contr\^{o}le pour UPS
%
% Corrig\'{e}
%
\documentclass{amsart}
%
\def\trans#1{\mbox{$\,{}^t\!#1$}}
\def\trace#1{\mbox{Tr\! $#1$}}
\def\bip#1{\mbox{$\overrightarrow {\strut#1}\!$}}
\def\tend#1#2{\mbox{$\, \xrightarrow[#1]{}\, #2$}}
%
\begin{document}
%
\input upsnum.sty
%
   \begin{center}
          - Bourse de corrig\'{e}s UPS - \\[1ex]
       \framebox{
       \parbox{\textwidth}{
        \hfill \textsl{\textsf{\textbf{Concours Centrale - Sup\'{e}lec 1999}}}
        \vspace{1ex}\hfill\break
         \textsf{\textbf{
                {\large\ \'{E}preuve~: }{\huge\ MATH\'{E}MATIQUES II}}
        } \hfill
         \textsf{\textbf{
                {\large Fili\`{e}re}{\huge\ PSI\ }}
                }
                }
                }
                 \\[1ex]
%
      \textit{- Corrig\'{e} par J. Blanchard (Lyc\'{e}e Fermat, Toulouse) -}
       \vspace{1.5ex}
    \end{center}
%
\bigskip

\bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie I -}}}

\bigskip
%
\begin{enumerate}
\item [{\bf I.A -}]
%
\medskip\item [I.A.1)] $G(u,v) = \begin{vmatrix}
                        u\cdot u & u\cdot v \\ v\cdot u & v\cdot v
                    \end{vmatrix}= \|u\|^2\|v\|^2 - (u\cdot v)^2$ est positif ou nul d'apr\`{e}s l'in\'{e}galit\'{e} de {\em Schwarz}.

\medskip\item [I.A.2)] Posons~: $B=(e_1,\,e_2),\ u=u_1e_1+u_2e_2,\ v=v_1e_1+v_2e_2$. On v\'{e}rifie alors~: %
        $$
              \trans M_B(u,v) \times M_B(u,v)= %
                \begin{bmatrix} u_1 &  u_2 \\ v_1 & v_2\end{bmatrix}
                \times
                \begin{bmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{bmatrix}=
                \begin{bmatrix} u_1^2 + u_2^2 &  u_1 v_1 + u_2 v_2 \\ v_1 u_1  + v_2 u_2 & v_1^2 + v_2^2 \end{bmatrix} =
                \begin{bmatrix} u\cdot u &  u\cdot v \\ v\cdot u &  v\cdot v  \end{bmatrix} =
                {\rm Gram}(u,v)
        $$
        Le r\'{e}sultat demand\'{e} en d\'{e}coule en prenant les d\'{e}terminants.
%
\medskip\item [I.A.3)] $G(u,v) = 0 \iff \det_B(u,v)=0 \iff (u,\, v) \text{ li\'{e}}$
%
\medskip\item [{\bf I.B -}]
%
\medskip\item [I.B.l)] ${\rm Gram}(u,v,w) = \begin{bmatrix}
                                \|u\|^2 & 0& 0 \\
                                0 & \|v\|^2 & 0 \\
                                0& 0 & \|w\|^2
                             \end{bmatrix}$
                     et donc~: \quad $G(u,v,w)= \|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2$
%
\medskip\item [I.B.2)] ${\rm Gram}(u,v,w) =
                                \begin{bmatrix}
                                        u\cdot u & u\cdot v &   0 \\
                                        v\cdot u & v\cdot v &   0 \\
                                         0       &  0       &  w\cdot w
                                \end{bmatrix} =
                               \left[ \begin{array}{c|c}
                                        {\rm Gram}(u,v) &
                                        \begin{matrix}
                                                0 \\ 0
                                        \end{matrix}\\
                                        \hline \phantom {\Big|}
                                        \begin{matrix}
                                                0 & 0
                                        \end{matrix} & \|w\|^2
                               \end{array} \right]$
                     et donc~: \quad $G(u,v,w)= \|w\|^2\, G(u,v)$
%
\medskip\item [{\bf I.C -}]
%
\medskip\item [I.C.1)] Soit $P$ un plan vectoriel contenant $u$ et $v$, et %
                        $D$ le suppl\'{e}mentaire orthogonal de $P$~: $E=P\, \overset{\bot} \oplus\, D$. %
                        Utilisons alors la d\'{e}compososition de $w$ associ\'{e}e \`{a} cette somme directe orthogonale~:
                                $$
                                        w = \underset{\in\, P} t + \underset{\in\, D}n
                                $$
                        Les vecteurs $t$ et $n$ obtenus r\'{e}pondent \`{a} la question.

                Dans ces conditions on a, compte tenu des diff\'{e}rentes orthogonalit\'{e}s\,\footnotemark\,:
                \begin{eqnarray*}
                        G(u,v,w)& = & \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & u\cdot (t+n) \\
                                v\cdot u & v\cdot v & v\cdot (t+n) \\
                                (t+n)\cdot u & (t+n)\cdot v & (t+n)\cdot (t+n)
                        \end{vmatrix} \\
                        & = &
                        \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & u\cdot t  \\
                                v\cdot u & v\cdot v & v\cdot t \\
                                t\cdot u & t\cdot v & t\cdot t + n \cdot n
                        \end{vmatrix} \\
                        & = &
                        \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & u\cdot t \\
                                v\cdot u & v\cdot v & v\cdot t \\
                                t\cdot u & t\cdot v & t\cdot t
                        \end{vmatrix} +
                        \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & 0 \\
                                v\cdot u & v\cdot v & 0 \\
                                t\cdot u & t\cdot v & n \cdot n
                        \end{vmatrix} =
                G(u,v,t) + G(u,v,n)
                \end{eqnarray*}
                car deux d\'{e}veloppements par rapport \`{a} la troisi\`{e}me colonne montrent que~:
                $$
                        \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & 0 \\
                                v\cdot u & v\cdot v & 0 \\
                                t\cdot u & t\cdot v & n \cdot n
                        \end{vmatrix} =
                        \|n\|^2\, \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v \\
                                v\cdot u & v\cdot v
                        \end{vmatrix} =
                        \begin{vmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & 0 \\
                                v\cdot u & v\cdot v & 0 \\
                                0 & 0 & n \cdot n
                        \end{vmatrix}
                        = G(u,v,n)
                        $$
%
\footnotetext{\ En fait ce qui suit tient si l'on sait que $t$ est orthogonal \`{a} $u$ et $v$, ce qui est %
                effectivement assur\'{e} par la solution pr\'{e}c\'{e}dente, mais ne d\'{e}coule pas des ``conditions'' impos\'{e}es %
                par l'\'{e}nonc\'{e}.}
%
\medskip\item [I.C.2)]\quad Appelons $\Gamma_u(u,v,w),\, \Gamma_v(u,v,w),\, \Gamma_w(u,v,w),$ les trois colonnes de
                        ${\rm Gram(u,v,w)}$ et explicitons, pour un triplet $(x,\, y,\, z)$ de r\'{e}els donn\'{e} %
                                la combinaison lin\'{e}aire~:
        $$
                x\, \Gamma_u(u,v,w) + y\, \Gamma_v(u,v,w) + z\, \Gamma_w(u,v,w) =
                \begin{bmatrix} u\cdot(xu+yv+zw) \\ v\cdot(xu+yv+zw) \\ w\cdot(xu+yv+zw)\end{bmatrix}
        $$
        La conclusion demand\'{e}e en d\'{e}coule puisque l'on sait que le d\'{e}terminant $G(u,v,w)$ est nul si et seulement si il existe une combinaison lin\'{e}aire non triviale %
        de ses colonnes qui est \textit{nulle}.
%
\medskip\item [I.C.3)]
        \quad Montrons l'\'{e}quivalence entre $(u,\,v,\,w) \text{ li\'{e}e}$ et la condition a) pr\'{e}c\'{e}dente~:
        \begin{itemize}
                \item Si $(u,\,v,\,w)$ est li\'{e}, il existe $(x,\, y,\,z)$ triplet non nul de r\'{e}els tels que %
                        $xu+yv+zw=0$. Ce vecteur est bien orthogonal aux trois vecteurs $u,\, v,\, w$.
                \item Si, pour  $(x,\, y,\,z)$ triplet non nul de r\'{e}els, $xu+yv+zw$ est orthogonal aux trois vecteurs $u,\, v,\, w$, on a~:
                $$
                                                \|xu+yv+zw\|^2 =
                                                x\, u\cdot (xu+yv+zw) + y\, v\cdot (xu+yv+zw) + z\, w\cdot (xu+yv+zw) = 0
                $$
                et donc~: \quad $xu+yv+zw=0$~: \quad $(u,\,v,\,w)$ est li\'{e}.
        \end{itemize}
%
\medskip\item [I.C.4)] \quad La conclusion d\'{e}coule du r\'{e}sultat de I.C.1) qui s'\'{e}crit maintenant~:
                        $$
                                G(u,v,w) = \underbrace{G(u,v,t)}_{\substack{\displaystyle =
                                        0\\\displaystyle \text{ \vphantom{\Big|}d'apr\`{e}s I.C.3)}}} +\quad G(u,v,n)\ =\ %
                                        \underbrace {\|n\|^2}_{\displaystyle \geq 0}
                                        \underbrace {G(u,v)}_{\substack{{\displaystyle \geq 0}\\\displaystyle \text{ \vphantom{\Big|}d'apr\`{e}s I.A.1)}}}
                        $$
%
%\medskip
\item [{\bf I.D -}]
\medskip\item [I.D.1)]\quad On sait que pour $B,\, B'$ bases de $E$ on a~: %
                        \quad $\det_{B'}(\cdot) = \det_B(\cdot) \times \det_{B'}(B)$.\\ %
                       Si de plus $B$ et $B'$ sont orthonorm\'{e}es, alors $M_{B'}(B)$ est orthogonale et donc %
                                $\det_{B'}(B) = \det (M_{B'}(B)) = \pm 1$ \\
                       Il en r\'{e}sulte bien~: \quad $|\det_{B'}(\cdot)| = |\det_B(\cdot)|$
%
\medskip\item [I.D.2)]\quad Posons $w=t+ n$ avec $t\in\, P$ et $n=(n_1\cdot w)n_1$. Le r\'{e}sultat d\'{e}coule de~:
                $$
                \begin{cases}
                        \ G(u,v,w) \overset{I.C.1)} = 0 +G(u,v,n) \overset{I.B.2)}= \|n\|^2\, G(u,v)= (n_1\cdot w)^2\,G(u,v)\\
                        \ \\
                        \ [\,\det_B(u,v,w)\,]^2=\left| \begin{array}{c|c}
                                        M_B(u,v) &
                                        \begin{matrix}
                                                \mathtt{x} \\ \mathtt{x}
                                        \end{matrix}\\
                                        \hline \phantom {\Big|}
                                        \begin{matrix}
                                                0 & 0
                                        \end{matrix} & n_1\cdot w
                               \end{array} \right|^2 %
                               = [\,(n_1\cdot w)\, det_B(u,v)\,]^2\overset{I.A.2)}=(n_1\cdot w)^2\,G(u,v)
                \end{cases}
                $$
%
\medskip\item [{\bf I.E -}]
%
\medskip\item [I.E.l)]\quad On a~:
                \begin{itemize}
                \item d'une part~: \quad  $\det_B(u,v,u\wedge v)=(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)=\|u\wedge v\|^2$%
                                                \quad (c'est le premier des \textbf{Rappels})
                \item d'autre part~:

                \quad $\big[\det_B(u,v,u\wedge v)\big]^2 \overset{\text{ I.D.2) }}=G(u,v,u\wedge v) %
                                        \overset{\text{ I.B.2) }}= \|u\wedge v\|^2 \, G(u,v) $
                \end{itemize}
\hspace{2ex}
                Il en r\'{e}sulte que~: \quad $\|u \wedge v\|^4 = \|u\wedge v\|^2 \, G(u,v)$
\begin{itemize}
        \item [--] Si $u \wedge v\neq 0$, on peut simplifier l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente par $\|u\wedge v\|^2\neq 0$ et obtenir ainsi~:
                \quad $\|u \wedge v\|^2 = G(u,v)$ %
        \item [--] Si $u \wedge v = 0$, le syst\`{e}me $(u,\,v)$ est \textit{li\'{e}} et l'on sait que $G(u,v)=0$ (cf I.A.3)~: %
                        l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e est encore vraie.
\end{itemize}
%
\medskip\item [I.E.2)]
D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e :
$$\|a \wedge b\|^2 = G(p(a),p(b))+ G(q(a),q(b))+ G(r(a),r(b))$$
s'\'{e}crit aussi :
$$ \| a \wedge b \|^2 = \| p(a) \wedge p(b) \|^2 + \| q(a) \wedge q(b) \|^2
+ \| r(a) \wedge r(b) \|^2 $$ %
Or les vecteurs $p(a) \wedge p(b),\ q(a) \wedge q(b),\ r(a) \wedge r(b)$ sont orthogonaux 2 \`{a} 2 puisque $p(a) \wedge p(b)$ est orthogonal \`{a} $P_1$ %
(\'{e}ventuellement nul), et que de m\^{e}me $q(a) \wedge q(b)$ est orthogonal \`{a} $P_2$ (\'{e}ventuellement nul). \\
%
Pour prouver l'\'{e}galit\'{e} ci-dessus il suffit donc (via Pythagore) d'\'{e}tablir que~: %
$$
a \wedge b  =  p(a) \wedge p(b)  +  q(a) \wedge q(b)  + r(a) \wedge r(b)
$$
\`{A} cet effet, consid\'{e}rons trois vecteurs \textit{non nuls} $n_1,\ n_2,\, n_3$ respectivement normaux \`{a} $P_1,\ P_2,\, P_3$. %
                        Orthogonaux deux \`{a} deux, ils forment un syst\`{e}me libre donc une \textit{base} de $E$.
                         %
                        Renommons $p_1,\ ,p_2,\, p_3$ les projections orthogonales sur les trois plans $P_1,\ P_2,\, P_3$, et %
                        posons~:
                                $$
                                    \varphi(a,b)  = a \wedge b  -  p_1(a) \wedge p_1(b)  -  p_2(a) \wedge p_2(b)
                            - p_3(a) \wedge p_3(b)
                               $$
                        Il est clair que $\varphi$ ainsi d\'{e}fini est \textit{bilin\'{e}aire}. %
                        Pour v\'{e}rifier qu'elle est %
                        \textit{nulle} il suffit donc de v\'{e}rifier qu'elle s'annule sur tous les couples $(n_j,n_k)$. %
                        Comme $\varphi(a,b)=0$ lorsque $a=b$ ($\varphi$ est \textit{altern\'{e}e}) il suffit de faire cette %
                        v\'{e}rification pour $j\neq k$. Observons que~: %
                                $p_i(n_j)= \begin{cases} 0 & \text{ si } i=j \\
                                                              n_j & \text{ si } i\not= j
                                \end{cases}$ et calculons~:
%
                        $$
                        \varphi(n_j,n_k) = n_j\wedge n_k-\sum\limits_{i=1 }^{3} p_i(n_j) \wedge p_i(n_k) =
                                \ n_j\wedge n_k- \overbrace{0 \wedge n_k}^{i=j}
                                            - \overbrace{n_j \wedge 0}^{i=k}
                                            - \overbrace{n_j \wedge n_k}^{i\neq j,\,i\neq k} = 0
                        $$
\begin{flushright}
\textbf{\it cqfd}
\end{flushright}
%
\end{enumerate}
%
\vfill\eject
% \bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie II -}}}
\bigskip
%
\begin{enumerate}
\medskip\item [{\bf II.A -}]
\medskip\item [II.A. 1)] \quad $g_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{n} u_{k,i}u_{k,j}$
%
\medskip\item [II.A.2)] \quad Comme $\trans {A}=[u'_{i,j}]$ avec $u'_{i,j}=u_{j,i}$, l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente s'\'{e}crit~:
                        $$
                                g_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{n} u_{k,i}u_{k,j} = %
                                        \big(\trans {A}\big)_{i,k}
                                                \big(A\big)_{k,j} = \big(\trans {A} A\big)_{i,j}
                        $$
                        en vertu de la r\`{e}gle de formation du produit matriciel. \hfill\texttt{cqfd}
%
\medskip\item [II.A.3)]\quad $G(u_1,\ldots,u_n)=\det [\,{\rm Gram}(u_1,\ldots,u_n)\,] = \det {\trans A A}=(\det A)^2 \geq 0$ ; % \hfill\break
                de plus~: \hfill\break
                $G(u_1,\ldots,u_n)\neq 0 \ \iff\ \det A=\det_B(u_1,\ldots,u_n) \neq 0 \ \iff\ (u_1,\ldots,u_n) \text{ libre}$
%
\item [{\bf II.B -}]
%
\medskip\item [II.B.1)]\quad C'est le th\'{e}or\`{e}me de diagonalisation des matrices sym\'{e}triques.
%
\medskip\item [II.B.2)]\quad L'expression du produit scalaire dans une base quelconque ne figurant pas explicitement %
                au programme\,\footnotemark\, calculons~:
                \begin{eqnarray*}
                        D_{i,j} = v_i\cdot v_j = \Big(\sum\limits_{k=1}^{n} p_{k,i}u_k\Big)\cdot
                                                \Big(\sum\limits_{h=1}^{n} p_{h,j}u_h\Big)& = &%
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n} p_{k,i}p_{h,j}\, u_k\cdot u_h \\
                                                & = &
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n}
                                                \big(\trans P\big)_{i,k}
                                                 \big(G_1\big)_{k,h}
                                                 \big(P\big)_{h,j} = \big(\trans P G_1 P\big)_{i,j}%
                \end{eqnarray*}
%
\footnotetext{\ Si je me trompe, dites-le moi !}
%
                Ainsi, pour $i\neq j$, les produits scalaires $v_i\cdot v_j$ sont \textit{nuls}~: la base %
                $(v_1,\ldots,v_n)$ est bien orthogonale pour le produit scalaire $(x,y) \mapsto x\cdot y$.\hfill\break
%
                Par ailleurs, le \textit{m\^{e}me} calcul que le pr\'{e}c\'{e}dent appliqu\'{e} \`{a} $I_n$, matrice de Gram de %
                $(u_1,\ldots,u_n)$, \underline{pour le produit scalaire {\boldmath$f_1$}}~:
                        \begin{eqnarray*}
                                f_1(v_i,v_j) = f_1\Big(\sum\limits_{k=1}^{n} p_{k,i}u_k,
                                                \sum\limits_{h=1}^{n} p_{h,j}u_h\Big) & = &%
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n} p_{k,i}p_{h,j}\, f_1(u_k,u_h) \\
                                                & = &
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n}
                                                \big(\trans P\big)_{i,k}
                                                 \big(I_n\big)_{k,h}
                                                 \big(P\big)_{h,j} = \big(\trans P I_n P\big)_{i,j}%
                        \end{eqnarray*}
                montre que, toujours pour ce produit scalaire {\boldmath $f_1$} la matrice de Gram de $(v_1,\ldots,v_n)$ est~: \quad %
                $\trans P I_n P = I_n$, ce qui signifie bien que cette base est \textit{orthonormale} pour {\boldmath$f_1$}.
%
\medskip\item [II.B.3)]\quad Par d\'{e}finition on a~: \quad $D_{i,i}=v_i\cdot v_i =\|v_i\|^2 >0$ \quad puisque $v_i\neq 0$.
%
\medskip\item [{\bf II.C -}]
%
\medskip\item [II.C.1)]\quad Ce sont, encore et toujours, les \textit{m\^{e}mes} calculs ! %
                Appelons $S=[s_{i,j}]$ la matrice de passage de la base $u$ \`{a} la base $u'$ %
                (d\'{e}finie donc par $u'_j=\sum\limits_{i=1}^{n} s_{i,j}u_i$). %
        Les \'{e}galit\'{e}s de changement de base pour {\boldmath{$f_1$}}~:
%
        \begin{eqnarray*}
        \delta_{i,j} = f_1(u'_i,u'_j) = f_1\Big(\sum\limits_{k=1}^{n} s_{k,i}u_k,\sum\limits_{h=1}^{n} s_{h,j}u_h\Big)
                                        & = & %
                                        \sum\limits_{k,\, h=1}^{n} s_{k,i}s_{h,j}\, f_1(u_k,u_h) \\
                                        & = & %
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n}
                                                \big(\trans S\big)_{i,k}
                                                 \delta_{k,h}
                                                 \big(S\big)_{h,j} = \big(\trans SI_n S\big)_{i,j} =
                                                 \big(\trans S S\big)_{i,j}%
        \end{eqnarray*}
%
        prouvent que $\trans S S=I_n$~: la matrice $S$ est \textit{orthogonale}. %
        Les \'{e}galit\'{e}s de changement de base pour le produit scalaire ``initial''~:
        \begin{eqnarray*}
        (G_2)_{i,j} = u'_i\cdot u'_j = \Big(\sum\limits_{k=1}^{n} s_{k,i}u_k\Big)\cdot
                                                \Big(\sum\limits_{h=1}^{n} s_{h,j}u_h\Big)& = &%
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n} s_{k,i}s_{h,j}\, u_k\cdot u_h \\
                                                & = &
                                                \sum\limits_{k,\, h=1}^{n}
                                                \big(\trans S\big)_{i,k}
                                                 \big(G_1\big)_{k,h}
                                                 \big(S\big)_{h,j} = \big(\trans S G_1 S\big)_{i,j}%
        \end{eqnarray*}
        quant \`{a} elles, d\'{e}montrent que~: \quad $G_2 = \trans S G_1 S$
%
\medskip\item [II.C.2)]\quad On v\'{e}rifie d'une part, gr\^{a}ce aux propri\'{e}t\'{e}s du d\'{e}terminant~:
%
 $$               \det G_2 = \det(\trans S G_1 S) = \det \trans S \times \det G_1 \times  \det S \\
                 = \det G_1  \times  \det (\trans S S) = \det G_1 \times \det I_n = \det G_1
 $$
 d'autre part, gr\^{a}ce aux propri\'{e}t\'{e}s de la trace~:
 \begin{eqnarray*}
           \sum\limits_{i=1}^{n}\,\|u'_i\|^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}\, (G_2)_{i,i} = \trace G_2 = %
                \trace {(\trans S G_1 S)}& = & \trace {(G_1 S\trans S) } \\
                &=& \trace {(G_1 I_n)} = \trace { G_1 }%
        = \sum\limits_{i=1}^{n}\, (G_1)_{i,i} = \sum\limits_{i=1}^{n}\,\|u_i\|^2
 \end{eqnarray*}
%
%\vfill\eject
%\medskip
\item [{\bf II.D -}]
%
\medskip\item [II.D.1)]\quad Appelons $(i^*,j^*)$ la base duale de la base $(i,j)$. %\hfill\break
                \begin{itemize}
                \item [--] Pour $u\in\, E$ fix\'{e}, l'\'{e}galit\'{e}~: \quad
                $f_1(u,\cdot)=\dfrac{x}{a^2}i^* + \dfrac{y}{b^2}j^*$\quad  montre que $f_1$ est lin\'{e}aire par rapport \`{a} sa %
                deuxi\`{e}me variable.
                \item [--] Par ailleurs il est clair que, pour tout $(u,v)$, $f_1(u,v)=f_1(v,u)$~: $f_1$ est donc sym\'{e}tique %
                et, du coup, lin\'{e}aire par rapport \`{a} sa premi\`{e}re variable. % \hfill\break
                Finalement, $f_1$ est bien \textit{bilin\'{e}aire sym\'{e}trique}. % \hfill\break
                \item [--] Enfin, si $u$ de coordonn\'{e}es $(x,y)$ est \textit{non nul}, alors %
                $f_1(u,u)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}>0$ puisque $(x,y)\neq(0,0)$ ; %
                $f_1$ est \textit{d\'{e}finie positive}~: c'est un \textit{produit scalaire} sur $E$.
                \end{itemize}
%
\medskip\item [II.D.2)]\quad Dans le rep\`{e}re $(O,i,j)$, la courbe $\mathcal C$ est d'\'{e}quation $F(x,y) =0$ o\`{u} %
                        $F(x,y)= \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}-1$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2$. \hfill\break
                        Au point $M$ de $\mathcal C$, , de coordonn\'{e}es $(x,y)$, le \textit{gradient} de $F$~: %
                        $\bip N = ({\rm grad}\; F)(x,y) = 2\big(\dfrac{x}{a^2},\dfrac{y}{a^2}\big)$ %
                        \'{e}tant \textit{non nul} (on aurait sinon $F(x,y)=-1$) %
                        \textit{oriente la normale} \`{a} $\mathcal C$ en $M$. Or $\bip {OM'}$ est parall\`{e}le \`{a} la tangente %
                        \`{a} $\mathcal C$ en $M$, donc v\'{e}rifie $\bip{OM'} \cdot \bip N =0$, ce qui s'\'{e}crit~:
                                        $\dfrac{xx'}{a^2}+ \dfrac{yy'}{b^2}=0$ ou encore~:
                                $f_1(\bip{OM},\bip{OM'}) = 0$.
%
\medskip\item [II.D.3)]\quad En plus de l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente~: $f_1(\bip{OM},\bip{OM'}) = 0$, %
        on dispose des \'{e}galit\'{e}s $f_1(\bip{OM},\bip{OM}) = 1$ et $f_1(\bip{OM'},\bip{OM'}) = 1$, qui traduisent %
        l'appartenance des points $M$ et $M'$ \`{a} la courbe $\mathcal C$. La base %
        $(\bip{OM},\bip{OM})$ est donc $f_1$-orthonormale. \hfill\break
%
        Or on peut v\'{e}rifier facilement par ailleurs qu'une autre base $f_1$-orthonormale est %
        $(I,J)$, o\`{u} $I$ et $J$ sont respectivement de coordonn\'{e}es $(a,0)$ et $(0,b)$. %
        On peut alors appliquer le II.C.2) et donc affirmer que~: %
        \begin{itemize}
        \item [$\ast$]
        $OM^2+{OM'}^2=\|\bip{0M}\|^2 + \|\bip {OM'}\, \|^2 = \|I\|^2 + \|J\|^2 = a^2 +b^2$ %
        \item [$\ast$]
        $G(\bip{0M},\bip{0M'}\,)=G(I,J)= \begin{vmatrix}
                                        \ I^2 & I\cdot J \\
                                        J\cdot I & J^2
                                        \end{vmatrix} =
                                        \begin{vmatrix}
                                        a^2 & 0\phantom{^2} \\
                                        0\phantom{^2}   & b^2
                                        \end{vmatrix} = a^2b^2$
        \end{itemize}
%
\end{enumerate}
%
\bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie III -}}}
%
\bigskip
\begin{enumerate}
%
\item [{\bf III.A -}]
%
\medskip\item [III.A.1)]\quad Cherchant $x_F$ sous la forme~: \quad $x_F=\sum\limits_{j=1}^{p} \lambda_j e_j$ \quad qui traduit %
                        l'appartenance de $x_F$ \`{a} $F$, on d\'{e}termine les $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ par les conditions~: %
                        \quad $x-x_F\; \bot\; e_i$ soit~:
                        $$
                                e_i \cdot x_F = e_i\cdot x \qquad (1\!\leq\! i \!\leq\! p)
                        $$
                        qui traduisent l'orthogonalit\'{e} %
                        de $x-x_F$ et $F$. On est donc conduit au syst\`{e}me~:
                                $$
                                \begin{cases}
                                       \ \dotfill \\
                                       \ \sum\limits_{j=1}^{p} (e_i\cdot e_j)\;  \lambda_j = e_i \cdot x \\
                                       \ \dotfill
                                \end{cases}
                                \qquad (1\leq i \leq p)
                                $$
                        Ce syst\`{e}me carr\'{e} est de Cramer ; en effet son d\'{e}terminant~:
                        \quad
                        $\begin{vmatrix}
                               e_i\cdot e_j
                        \end{vmatrix}_{1\leq i,\,j\leq p} = G(e_1,\ldots,e_p)$ est $>0$ puisque %
                        $(e_1,\ldots,e_p)$ est libre, cf II.A.3)\hfill\break
%
                        La solution, unique, est donn\'{e}e par les formules de Cramer~:
                                $$ \lambda_{\displaystyle\mathbf{k}} = \dfrac{\begin{vmatrix}
                                                          \ldots  & \ldots & \mathbf{e_1\cdot x} & \ldots \\
                                                            & (e_i\cdot e_j) & \mathbf{\vdots} & \\
                                                           & & \mathbf{\vdots} & \\
                                                            \ldots & \ldots & \mathbf{e_p\cdot x} & \ldots
                                                \end{vmatrix} }
                                {G(e_1,\ldots,e_p)}
                                \qquad \text{o\`{u} la colonne explicit\'{e}e (en caract\`{e}res {\bf gras}) est la $\mathbf k$-\`{e}me}
                                $$
%
%\medskip
\item [III.A.2)]\quad C'est du cours\,\footnotemark\, ! Pour tout $y\in\, F\setminus \{x_F\}$, on a, par Pythagore~: %
                $$
                \|x-y\|^2 = \|\underbrace{x-x_F}_{\in\, F^\bot} + \underbrace{x_F-y}_{\in\, F}\|^2 =
                \|x-x_F\|^2 + \underbrace{\|x_F-y\|^2}_{\displaystyle >0} \ > \ \|x-x_F\|^2
                $$
                Ainsi~: \quad $\|x-x_F\| =\inf\limits_{y\in\, F} \|x-y\| \overset{\text{d\'{e}f}}= d(x,F)$\quad  %
                cette distance \'{e}tant en fait \textit{atteinte}, en %
                $x_F$, et seulement en ce point. \'{E}non\c{c}ons~: \quad
                $$
                        d(x,F) = \|x-x_F\|
                $$
                Compte tenu de~: %\quad
                $$
                        \|x-x_F\|^2 = (x-x_F)\cdot (x-x_F) = %
                        x \cdot (x-x_F) - \underbrace{\phantom( x_F\phantom)}_{\in\, F^{\phantom\bot}} \cdot
                                        \underbrace{(x-x_F)}_{\in\, F^\bot}$$
                on a aussi le r\'{e}sultat, utile pour la question suivante~:
                        $$
                        d(x,F)^2 = x\cdot (x-x_F)
                $$
%
\footnotetext{\ ... si le r\'{e}sultat attendu est simplement celui donn\'{e} ici (!?)}
%
\medskip\item [III.A.3)] \quad Calculons le d\'{e}terminant $G(x,e_1,\ldots,e_p)$ en retranchant \`{a} la colonne %
                        $\Gamma_0$ la combinaison lin\'{e}aire $\lambda_1\Gamma_1 + \cdots + \lambda_p\Gamma_p$, o\`{u} les coefficients %
                        $(\lambda_j)$ sont ceux d\'{e}termin\'{e}s en III.A.1) ; %
                        il vient, en utilisant la bilin\'{e}arit\'{e} du produit scalaire~:
                \begin{eqnarray*}
                        \begin{vmatrix}
                                x\cdot x\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & x\cdot e_1 & \ldots & x\cdot e_p \\
                                e_1\cdot x\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & e_1\cdot e_1 & \ldots & e_1\cdot e_p \\
                                \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
                                e_p\cdot x\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & e_p\cdot e_1 & \ldots & e_p\cdot e_p
                        \end{vmatrix}
%
                &= &
                \begin{vmatrix}
                x\cdot \big(x-\sum\limits_{j=1}^{p}\lambda_j e_j\big) & x\cdot e_1 & \ldots & x\cdot e_p \\
                e_1\cdot \big(x-\sum\limits_{j=1}^{p}\lambda_j e_j\big) & e_1\cdot e_1 & \ldots & e_1\cdot e_p \\
                        \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
                e_p\cdot \big(x-\sum\limits_{j=1}^{p}\lambda_j e_j\big) & e_p\cdot e_1 & \ldots & e_p\cdot e_p
                \end{vmatrix} \\
                & =&
                \begin{vmatrix}
                                x\cdot (x-x_F)\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & x\cdot e_1 & \ldots & x\cdot e_p \\
                                e_1\cdot (x-x_F)\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & e_1\cdot e_1 & \ldots & e_1\cdot e_p \\
                                \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
                                e_p\cdot (x-x_F)\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & e_p\cdot e_1 & \ldots & e_p\cdot e_p
                \end{vmatrix} \\
                & =&
                \begin{vmatrix}
                                x\cdot (x-x_F)\vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}} & x\cdot e_1 & \ldots & x\cdot e_p \\
                                 \mathbf 0 \vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}}& e_1\cdot e_1 & \ldots & e_1\cdot e_p \\
                                \multicolumn{4}{c}{\dotfill} \\
                                \mathbf 0 \vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}}& e_p\cdot e_1 & \ldots & e_p\cdot e_p
                \end{vmatrix}
                 =
                x\cdot (x-x_F) \,
                        \begin{vmatrix}
                                e_1\cdot e_1 \vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}}& \ldots & e_1\cdot e_p \\
                                \multicolumn{3}{c}{\dotfill} \\
                                e_p\cdot e_1 \vphantom{\sum\limits_{j=1}^{p}}& \ldots & e_p\cdot e_p
                        \end{vmatrix} \\
%
                \end{eqnarray*}
                ce qui s'\'{e}crit, compte tenu de la remarque de la question pr\'{e}c\'{e}dente~:
                $$
                        G(x,e_1,\ldots,e_p) = d(x,F)^2 \times G(e_1,\ldots,e_p) %
                        \qquad \text{ soit~: \quad}
                        d(x,F) =  \,\sqrt{\dfrac{G(x,e_1,\ldots,e_p)}{G(e_1,\ldots,e_p)} }
                $$
%
%\medskip
\item [{\bf III.B -}]
%
\medskip\item [III.B.1)] \quad Il s'agit de montrer que $(p_{\lambda_1},\,\ldots,\,p_{\lambda_n})$ est un syst\`{e}me %
                        \textit{libre} de $E$. \`{A} cet effet, on a, en supposant que $(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n)$ est \textit{non nul} %
                        et en posant $k=\min \{i\ /\ \alpha_i\neq 0 \}$~: \quad  %
                        $$
                        (\alpha_1 p_{\lambda_1}+\cdots+\alpha_n p_{\lambda_n})(t)= %
                        \alpha_1 t^{\lambda_1}+\cdots+\alpha_n t^{\lambda_n}\overset{t\to 0}\sim  \alpha_k t^{\lambda_k}
                        $$
%
                        ce qui prouve que $\alpha_1 p_{\lambda_1}+\cdots+\alpha_n p_{\lambda_n}\neq 0$%
%
\medskip\item [III.B.2)]\quad  On a clairement~: \quad $u_n^k=\inf \big\{\|p_k-f\|^2\ /\ f\in\, E_n \big\}$\quad %
        et donc, d'apr\`{e}s III.A.3)~: $$
                                        u_n^k= \dfrac{G(p_k,p_{\lambda_1},\ldots,p_{\lambda_n})}
                                                        {G(p_{\lambda_1},\ldots,p_{\lambda_n}) }
                                    $$
%
%\medskip
        \item [{\bf III.C -}]
\medskip\item [III.C.2)] \quad
                $\dfrac{(X-a_1)\ldots(X-a_{p-1})}{(X+b_1)\ldots(X+b_p)} = %
                  \underbrace{0}_{\text{car\ }\deg F<0}\ +
                  \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{p} \dfrac {\beta_j}{X+b_j}$ \quad avec :
                  $$
                        \beta_j = \Big[F(X)\times (X+b_j)\Big](-b_j) = %
                                \dfrac{\prod\limits_{1\leq i\leq p-1}(-b_j-a_i)}
                                        {\prod\limits_{\substack{1\leq i\leq p\\i\neq j}}(-b_j+b_i)}
                                = \dfrac{\prod\limits_{1\leq i\leq p-1}(b_j+a_i)}
                                        {\prod\limits_{\substack{1\leq i\leq p\\i\neq j}}(b_j-b_i)}
                  $$
%
\medskip\item [III.C.2)]\quad
On obtient, en d\'{e}veloppant $D$ par rapport \`{a} la derni\`{e}re colonne, sur laquelle tous les \'{e}l\'{e}ments autres que le $p$-i\`{e}me sont nuls~:

        \quad $D=F(a_p)\,C(a_1,\ldots,a_{p-1},b_1,\ldots,b_{p-1})$

Rempla\c{c}ons la derni\`{e}re colonne $\Gamma_p$ de $D$ par $\Gamma_p-\sum\limits_{i=1}^{p-1} \beta_i \Gamma_i$ %
o\`{u} les scalaires $(\beta_i)_{1 \leq i \leq p}$, calcul\'{e}s pr\'{e}c\'{e}demment, v\'{e}rifient~: %
        \quad $F(X) = \sum\limits_{j=1}^{p}\dfrac{\beta_j}{X+b_j}$

Il vient, compte tenu de $F(a_i) - \sum\limits_{j=1}^{p}\dfrac{\beta_j}{a_i+b_j}=\dfrac{\beta_p}{a_i+b_p}$~:
$$
        D = \begin{vmatrix}
                        \dfrac{1}{a_1+b_1} & \ldots & \dfrac{1}{a_1+b_{p-1}}&  \dfrac{\beta_p}{a_1+b_p} \\
                        \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
                        \dfrac{1}{a_p+b_1} & \ldots & \dfrac{1}{a_p+b_{p-1}}& \dfrac{\beta_p}{a_p+b_p}
                \end{vmatrix} =
          \beta_p \,C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p)
$$
Enfin, compte tenu de la d\'{e}termination des coefficients $\beta_j$ faite en III.C.1) et en particulier de la valeur de $\beta_p$, %
il vient bien~:
$$ F(a_p)\,C(a_1,\ldots,a_{p-1},b_1,\ldots,b_{p-1})= %
        \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_i+b_p)}{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(b_p-b_i)}%
        \,C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p)
$$
%
\medskip\item [III.C.3)]\quad
        Le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}dent permet d'\'{e}tablir la formule de r\'{e}currence~:
        $$
                        C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p) =
                                C(a_1,\ldots,a_{p-1},b_1,\ldots,b_{p-1}) \times
                                \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(b_p-b_i)}{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_i+b_p)}
                                \times
                                \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_p-a_i)}{\prod\limits_{j=1}^{p}(a_p+b_j)}%
        $$
        qui permet de v\'{e}rifier la formule propos\'{e}e par r\'{e}currence~:
        \begin{itemize}
                \item Pour $p=1$ elle s'\'{e}crit~: \quad
                $C(a_1,b_1)=%
                \dfrac{\prod\limits_{(i,j)\in\, \emptyset} (a_j-a_i)\prod\limits_{(i,j)\in\, \emptyset} (b_j-b_i)}
                {\prod\limits_{1\leq i,\,j\leq 1} (a_i+b_j)}=\dfrac{1}{a_1+b_1}$ \quad ce qui est bien le r\'{e}sultat attendu, %
                puisque
                $C(a_1,b_1)=\begin{vmatrix}
                        \dfrac{1}{a_1+b_1}
                \end{vmatrix}$ est un d\'{e}terminant $(1,1)$.
                \item Supposons-la vraie \`{a} l'ordre $p\!-\!1\ (p\geq 2)$ ; alors\,\footnotemark\,~:
                        \begin{eqnarray*}
                                C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p) & = &
                        \dfrac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq p-1} (a_j-a_i)\prod\limits_{1\leq i<j\leq p-1} (b_j-b_i)}
                {\prod\limits_{1\leq i,\,j\leq p-1} (a_i+b_j)}
                        \times
                        \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(b_p-b_i)}{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_i+b_p)}
                        \times
                        \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_p-a_i)}{\prod\limits_{j=1}^{p}(a_p+b_j)} \\
                        & = &
                        \dfrac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq p} (a_j-a_i)\prod\limits_{1\leq i<j\leq p} (b_j-b_i)}
                {\prod\limits_{1\leq i,\,j\leq p} (a_i+b_j)}
                        \end{eqnarray*}
%
\footnotetext{\ Le temps et la place manquent pour des dessins (indispensables ?) des ensembles des couples-indices de sommation (carr\'{e}s, triangles...) %
               }
%
        \end{itemize}
%
\medskip\item [{\bf III.D -}]
%
\medskip\item [III.D.1)] \quad Compte tenu de \quad
        $p_{\lambda_i}\cdot p_{\lambda_j} = \displaystyle\int_{0}^{1} t^{\lambda_i+\lambda_j}\,dt =
        \dfrac{1}{\lambda_i+\lambda_j+1} =\dfrac{1}{\mu_i+\mu_j}$
        \quad %
        la formule du III.B.2) s'explicite sous la forme\,\footnotemark\,~:
                $$
                        u_n^k=\dfrac{C(\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_p,\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_p)}
                                        {C(\mu_1,\ldots,\mu_p,\mu_1,\ldots,\mu_p) }
                $$
%
\footnotetext{\ Il s'agissait donc de ``\textit{deux} d\'{e}terminant\textit{s} du type pr\'{e}c\'{e}dent'' !}
%
\medskip\item [III.D.2)]\quad Utilisant le r\'{e}sultat\,\footnotemark\, du III.C.3), il vient~:
                \begin{eqnarray*}
                        u_n^k & = & \dfrac{\Big[\displaystyle\prod\limits_{0\leq i,j\leq p} (\mu_j-\mu_i)\Big]^2}
                                        {\displaystyle\prod\limits_{0\leq i,j\leq p} (\mu_j+\mu_i)}
                                \times
                                \dfrac{\displaystyle\prod\limits_{1\leq i,j\leq p} (\mu_j+\mu_i)}
                                        {\Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq i,j\leq p} (\mu_j-\mu_i)\Big]^2} \\
                                & = &
                                \dfrac{\Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq j\leq p} (\mu_j-\mu_0)\Big]^2 }
                                        {\Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq i \leq p} (\mu_0+\mu_i)\Big]
                                        \times
                                        \Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq j \leq p} (\mu_j+\mu_0)\Big]
                                        \times
                                        (\mu_0+\mu_0) } \\
                        & =&
                        \dfrac{\Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq j\leq p} (\mu_j-\mu_0)\Big]^2 }
                                        {(2\mu_0)\, \Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq j \leq p} (\mu_0+\mu_j)\Big]^2}
                         =
                        \dfrac{\Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq j\leq p} (\lambda_j-k)\Big]^2 }
                                        {(2k+1)\, \Big[\displaystyle\prod\limits_{1\leq i \leq p} (1+k+\lambda_j)\Big]^2} \\
                       & = &
                        \dfrac{1}{2k+1} \prod\limits_{1\leq j \leq p } \Big( \dfrac{\lambda_j-k}{1+k+\lambda_j} \Big)^2
                        = \dfrac{1}{2k+1} \prod\limits_{1\leq j \leq p } \Big( 1- \dfrac{2k+1}{1+k+\lambda_j} \Big)^2
                \end{eqnarray*}
%
\footnotetext{\ On peut aussi utiliser, en l'adaptant, la \textit{formule de r\'{e}currence} \'{e}voqu\'{e}e au d\'{e}but du III.C.3)}
%
\medskip\item [{\bf III.E -}]

\medskip\item [III.E.1)]\quad Le r\'{e}sultat demand\'{e} d\'{e}coule de~: \quad $\lim\limits_{i\to +\infty} \big(1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\big)=1$
%
\medskip\item [III.E.2)]\quad Le terme g\'{e}n\'{e}ral de la s\'{e}rie %
                        $\sum\limits_{i\geq N }\, \ln\Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big)$, bien d\'{e}fini d'apr\`{e}s %
                        la question pr\'{e}c\'{e}dente, v\'{e}rifie~:
                                 $$
                                        \ln\Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big) %
                                                \overset{j\to +\infty}\sim -\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}
                                                \overset{j\to +\infty}\sim -(2k + 1)\times\dfrac{1}{\lambda_i}
                                 $$
                        terme g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie (n\'{e}gative) divergente par hypoth\`{e}se. %\hfill\break
                        On en d\'{e}duit~:
                        $$
                                \sum\limits_{i=N}^{n}\ln \Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big)
                                \tend {n\to +\infty} -\infty
                        $$
                        ce qui permet d'\'{e}crire, \`{a} partir du rang $N$~:
                        $$
                                u_n^k=\dfrac{1}{2k+1}\displaystyle\prod\limits_{1\leq i < N} \Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big)
                                \times {\rm exp}\Big\{
                                                \displaystyle \sum\limits_{i=N}^{n}\ln \Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big)
                                        \Big\}%
                                \tend {n\to +\infty} 0
                        $$
%
\medskip\item [III.E.3)]\quad  Pour $\varepsilon >0$, on peut, d'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de, trouver $n$ tel que $u_n^k < \varepsilon^2$. Or~:
                $$
                        u_n^k = \Big\| p_k- \pi_{E_n}(p_k) \Big\|^2\,, \qquad \text{o\`{u} $\pi_{E_n}(p_k)$ est le projet\'{e} orthogonal %
                        de $p_k$ sur $E_n$}
                $$
                $\pi_{E_n}(p_k)$ \'{e}tant par d\'{e}finition combinaison lin\'{e}aire des $\big(p_{\lambda_i}\big)_{1\leq i \leq n}$, on a bien~:
                $$
                   \exists\, a_1,\,\ldots,\, a_n \quad  /\quad       \Big\| p_k - \sum\limits_{i=1}^{n}\, a_i p_{\lambda_i}\Big\| \leq \varepsilon
                $$
%
\medskip\item [III.E.4)]\quad Soit $f\in\, E$. Observons d'abord que le r\'{e}sultat demand\'{e} sera prouv\'{e} si l'on \'{e}tablit que pour tout %
                $\varepsilon>0$ il existe $Q_\varepsilon\in\, \bigcup\limits_{n\geq 1} E_n$ v\'{e}rifiant~: %
                $\|f-Q_\varepsilon\|\leq \varepsilon$. \hfill\break
                En effet en appliquant cette propri\'{e}t\'{e} \`{a} une suite $(\varepsilon_n)$ tendant vers 0 on obtiendra une suite %
                $\big( Q_{\varepsilon_n}\big)$ v\'{e}rifiant~: \quad %
                $\|f-Q_{\varepsilon_n}\|\leq \epsilon_n$ \quad et donc~: %

                \quad $\lim\limits_{n\to +\infty} Q_{\varepsilon_n}\overset {\|\,\cdot\,\|}=f$\hfill\break
                Soit donc $\varepsilon>0$. Le th\'{e}or\`{e}me de Weierstrass garantit l'existence d'un polyn\^{o}me $P$ v\'{e}rifiant~: %
                        $$ \|f-P\|_\infty=\sup\limits_{t\in\, [0\;1]} |f(t)-P(t)| \leq \varepsilon/2$$
                Or une majoration \'{e}vidente montre que, pour tout \'{e}l\'{e}ment $g$ de $E$~:
                $$
                        \|g\|= \Big\{ \displaystyle\int_{0}^{1} |g|^2 \Big\}^{1/2} \leq \big\{ \|g\|^2\big\}^{1/2}= \|g\|_\infty
                $$
                On a ainsi, \textit{a fortiori}~:\quad $\|f-P\| \leq \varepsilon/2$\hfill\break
                \'{E}crivons enfin $P=\sum\limits_{k=0}^{K} \alpha_k p_k$ et posons %
                        $\alpha=\sum\limits_{k=0}^{K}|\alpha_k|$. %
                Pour chaque $k$ on peut trouver, en vertu de III.E.3), $q_k \in\, \bigcup\limits_{n\geq 1} E_n$ v\'{e}rifiant~:
                $$
                        \|p_k-q_k\| \leq \dfrac{\varepsilon/2}{\alpha+1}
                $$
                On a alors, en posant $Q=\sum\limits_{k=0}^{K} \alpha_k q_k$~:
                $$
                        \|P-Q\| = \|\sum\limits_{k=0}^{K} \alpha_k(p_k-q_k)\| \leq
                                \sum\limits_{k=0}^{K} |\alpha_k|\|p_k-q_k)\| \leq
                                \dfrac{\varepsilon/2}{\alpha+1} \sum\limits_{k=0}^{K} |\alpha_k| = %
                                \varepsilon/2 \times \dfrac{\alpha }{\alpha+1 } < \varepsilon/2
                $$
                et l'on v\'{e}rifie bien, en fin de compte~:
                        $$
                                \|f-Q\| = \|f-P+P-Q\| \leq \|f-P\|+\|P-Q\|\leq \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon
                        $$
        \end{enumerate}
%\vspace{2ex}
\hrulefill
\begin{center}
$\bullet\bullet\bullet\textbf{ FIN }\bullet\bullet\bullet$
\end{center}
\hrulefill
%
\end{document}
