% PSI* Fermat 98/99
% Concours 99
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% Controle pour UPS
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% enonce
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%          AVERTISSEMENT !          %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%       La typographie, l'indentation, etc... de l'enonce original n'ont pas ete totalement respectees...       %
%                                                                                                               %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}{\S}%%%%%
%
\documentclass{amsart}
%
\def\trans#1{\mbox{$\,{}^t\!#1$}}
\def\ds{\displaystyle}
\def\bip#1{\mbox{$\overrightarrow {\strut#1}\!$}}
\def\tend#1#2{\mbox{$\, \xrightarrow[#1]{}\, #2$}}
\def\intff#1#2{\mbox{$[ #1 \ #2 ] $}}
\def\intof#1#2{\mbox{$] #1 \ #2 ] $}}
%
\begin{document}
%
\input upsnum.sty
%
   \begin{center}
          - Bourse de corrig\'{e}s UPS - \\[1ex]
       \framebox{
       \parbox{\textwidth}{
        \hfill \textsl{\textsf{\textbf{Concours Centrale - Sup\'{e}lec 1999}}}
        \vspace{1ex}\hfill\break
         \textsf{\textbf{
                {\large\ \'{E}preuve : }{\huge\ MATH\'{E}MATIQUES II}}
        } \hfill
         \textsf{\textbf{
                {\large Fili\`{e}re}{\huge\ PSI\ }}
                }
                }
                }
                 \\[1ex]
%
       \textbf{\textit{- \'{E}nonc\'{e} -}}
%      \textit{- recopi\'{e} par J. Blanchard (Lyc\'{e}e Fermat, Toulouse) -}
       \vspace{1.5ex}
    \end{center}
%
%\bigskip
%
Dans tout le probl\`{e}me,  $E$ d\'{e}signe un espace vectoriel r\'{e}el muni d'un produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs $u$  et $v$  est not\'{e} $u\cdot v$, la norme $\|u\|$.
De plus, dans les parties I et Il,  $E$ d\'{e}signe un espace eudidien de dimension $n\ (n\geq 2)$.\hfill\break
%

\bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie I -}}}
\bigskip
%
\begin{enumerate}
\item [{\bf I.A -}] Soient $u$ et $v$ deux vecteurs quelconques de $E$. On note ${\rm Gram}(u,v)$ la matrice d\'{e}finie par~:

$\qquad {\rm Gram}(u,v) = \begin{bmatrix}
                        u\cdot u & u\cdot v \\ v\cdot u & v\cdot v
                    \end{bmatrix}$
                    \quad et\quad
                    $G(u,v)=\det[\,{\rm Gram}(u,v)\,]$

\medskip\item [I.A.1)] \quad Montrer que~:   $G(u,v)\geq 0$.
\medskip\item [I.A.2)] \quad On note $P$ un sous-espace vectoriel de dimension 2 de $E$ contenant $u$ et $v$  %
                et $B$ une base orthonormale de $P$. V\'{e}rifier que~: $G(u,v) = [\,\det_B(u,v)\,]^2$
\medskip\item [I.A.3)] \quad \`{A} quelle condition a-t-on $G(u,v) = 0$ ?
\bigskip
%
\item [{\bf I.B -}] Dans toute la suite de la partie I, \textbf{\boldmath{$n$} est \'{e}gal \`{a} 3 et \boldmath{$E$} est orient\'{e}}. %
        Si $u,\, v,\, w$ sont trois vecteurs quelconques de  $E$ , on note ${\rm Gram}(u,v,w)$ %
        la matrice d\'{e}finie par~:

        \qquad
        ${\rm Gram}(u,v,w) = \begin{bmatrix}
                                u\cdot u & u\cdot v & u\cdot w \\
                                v\cdot u & v\cdot v & v\cdot w \\
                                w\cdot u & w\cdot v & w\cdot w
                             \end{bmatrix}$
                     \quad et\quad
                    $G(u,v,w)=\det[\,{\rm Gram}(u,v,w)\,]$
\medskip\item [I.B.l)] \quad Calculer $G(u,v,w)$ si $u,\, v,\, w$ sont trois vecteurs deux \`{a} deux orthogonaux.
\medskip\item [I.B.2)] \quad On suppose $w$  orthogonal \`{a} $u$  et $v$. %
                        Exprimer $G(u,v,w)$ en fonction de $G(u,v)$.
%
\medskip\item [{\bf I.C -}]
%
\medskip\item [I.C.1)]\quad   $u,\, v,\, w$ sont trois vecteurs quelconques de $E$. Montrer %
                qu'il existe $t$ et $n$, vecteurs de $E$, v\'{e}rifiant~:

                $\qquad w = t + n,\ u\cdot n = v\cdot n = 0,\ (u,v,t) \text{ li\'{e}e}.$

                Montrer que, dans ces conditions, on a ~:\quad $G(u,v,w) = G(u,v,t) + G(u,v,n)$
%
\medskip\item [I.C.2)]\quad Montrer que les deux propositions suivantes sont \'{e}quivalentes~:
        \begin{itemize}
                \item [a)] \quad Il existe un triplet $(x, y, z)$ de r\'{e}els diff\'{e}rent de $(0,0,0)$ tel que $x u + y v + z w$ %
                        soit orthogonal \`{a} $u$, $v$ et $w$.

                \item [b)] \quad      $G(u,v,w) = 0$
        \end{itemize}
\medskip\item [I.C.3)] \quad  En d\'{e}duire que~:   $G(u,v,w) = 0 \iff (u, v, w) \text{ li\'{e}e}$
\medskip\item [I.C.4)] \quad Montrer que $G(u,v,w)$ est un r\'{e}el positif.

\medskip\item [{\bf I.D -}]
\medskip\item [I.D.1)]\quad $u,\, v,\, w$ sont trois vecteurs de $E$ et $B$  une base orthonormale de $E$. %
        Montrer que le r\'{e}el $|\det_B(u,v,w)|$ ne d\'{e}pend pas du choix de $B$.
%
\medskip\item [I.D.2)]\quad Soit $P$  un plan de  $E$ contenant $u$  et $v$  et $n_1$ un vecteur unitaire %
                orthogonal \`{a} $P$. On d\'{e}signe par $B_1$ une base orthonorm\'{e}e de $P$  et on note %
                $B = B_1 \cup \{n_1\}$. En utilisant ces deux bases, montrer que $G(u,v,w) = [\,\det_B(u,v,w)\,]^2$

\medskip\item [{\bf I.E -}] Pour $u,\, v$ vecteurs quelconques de $E$, $u \wedge v$ d\'{e}signe le produit vectoriel %
                        de $u$ par $v$.
\end{enumerate}
%
{\bf Rappels}
\begin{itemize}
        \item  Si $B$  est une base orthonorm\'{e}e directe de $E$, pour tout \'{e}l\'{e}ment $y$ de $E$ on a %
                $det_B(u,v,y) = (u\wedge v)\cdot y$.
        \item   $P$  et $P'$, deux plans de $E$ de vecteurs normaux respectifs $n$ et $n'$ ($n$ et $n'$ non %
                nuls) sont dits orthogonaux si $n\cdot n'= 0$.
\end{itemize}
%
\begin{enumerate}
%
\medskip\item [I.E.l)]\quad Montrer que $\|u \wedge v\|^2 = G(u,v)$
\medskip\item [I.E.2)] \quad   Soient $P_1,\,P_2$ et $P_3$ des plans de $E$ orthogonaux deux \`{a} deux et %
                        $p,\, q,\, r$ les projections orthogonales sur ces trois plans. Montrer que~:

                $\qquad V(a,b) \in\, E^2,\quad  \|a \wedge b\|^2 = G(p(a),p(b))+ G(q(a),q(b))+ G(r(a),r(b))$
%
\end{enumerate}
%
\bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie II -}}}
\bigskip
%
Soient $u,\, \ldots,\,u_n$ $n$ vecteurs de $E$. Pour tout $i$, tout $j$, entiers de $\big[\!|1,\,n|\!\big]$, on note %
        $g_{i,j}=u_i\cdot u_j$

On note ${\rm Gram}(u_1,\,\ldots,\, u_n)$ la matrice d'\'{e}l\'{e}ment g\'{e}n\'{e}ral $g_{i,j}$ et le d\'{e}terminant de cette matrice %
est not\'{e}

        $\qquad G(u_1,\ldots,u_n) = \det {[\,{\rm Gram}(u_1,\ldots,u_n)\,]}$
%
\begin{enumerate}
\medskip\item [{\bf II.A -}]  Soit $B = (e_1,\,\ldots,\, e_n)$ une base orthonorm\'{e}e de $E$. On pose,
                        pour tout entier $j$ de $\big[\!|1,\,n|\!\big]$

        $\qquad u_j = \sum\limits_{k=1}^{n}\,u_{k,j}e_k$

\medskip\item [II.A. 1)] \quad Exprimer, pour tout $i$, tout $j$, $g_{i,j}$ en fonction des coordonn\'{e}es des vecteurs %
                        $u_1,\,\ldots,\,u_n$ dans la base $B$.
%
\medskip\item [II.A.2)] \quad Soit $A = (u_{i,j})$, $A$ \'{e}l\'{e}ment de $M_n(\mathbb R)$. Montrer que

        $\qquad {\rm Gram}(u_1,\ldots,u_n) = \trans {A} A$

\medskip\item [II.A.3)]\quad En d\'{e}duire que $G(u_1,\ldots,u_n)$ est un r\'{e}el positif. Montrer que

        $\qquad G(u_1,\ldots,u_n)\neq 0 \iff (u_1,\,\ldots,\,u_n) \text{ libre}$
%
\item [{\bf II.B -}] On munit $E$ d'un autre produit scalaire not\'{e} $f_1$. Soit $(u_1,\,\ldots,\,u_n)$ %
                        \textbf{une base orthonormale pour \boldmath{$f_1$}} et %
                        $G_1 = {\rm Gram}(u_1,\ldots,u_n)$.
%
\medskip\item [II.B.1)]\quad Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$, \'{e}l\'{e}ment de $M_n(\mathbb R)$, et
                        une matrice $P$  orthogonale telles que ~: \quad $ D = \trans P G_1 P$.
%
\medskip\item [II.B.2)]\quad  Soit $(v_1,\ldots,v_n)$ la famille de vecteurs de $E$ de matrice $P$ dans la base %
                                $(u_1,\, \ldots,\,u_n)$. Montrer que ~: \quad $ {\rm Gram}(v_1,\ldots,v_n)= D$.

                En d\'{e}duire que $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base orthogonale pour le produit scalaire
                $(x,y) \mapsto x\cdot y$ et orthonormale pour $f_1$.
%
\medskip\item [II.B.3)]\quad Montrer que tous les \'{e}l\'{e}ments diagonaux de $D$ sont strictement positifs.
%
\medskip\item [{\bf II.C -}] Soit $(u_1,\, \ldots,\,u_n),\ (u'_1,\, \ldots,\,u'_n)$ %
                        \textbf{deux bases orthonormales pour \boldmath{$f_1$}}.
%
\medskip\item [II.C.1)]\quad Montrer qu'il existe $S$, matrice orthogonale, telle que :

                \qquad $G_2 = \trans S G_1 S$ %
                        avec $G_1 = {\rm Gram}(u_1,\ldots,u_n)$ et  $G_2 = {\rm Gram}(u'_1,\ldots,u'_n)$.
%
\medskip\item [II.C.2)]\quad Montrer que~:\quad  $\det(G_1) = \det(G_2)$ et que %
                                \quad $\sum\limits_{i=1}^{n}\,\|u_i\|^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}\,\|u'_i\|^2$.
%
\medskip\item [{\bf II.D -}] $\mathcal E$, d\'{e}signe ici un espace affine euclidien de dimension 2 %
                                et  $E$ l'espace vectoriel associ\'{e}. %
                                $(O;\, i,j)$ est un rep\`{e}re orthonorm\'{e} de ce plan. On consid\`{e}re deux nombres %
                                r\'{e}els strictement positifs a et b et on d\'{e}finit la courbe $\mathcal C$  d'\'{e}quation :

                        $\qquad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, \quad o\`{u} $x$  et $y$ d\'{e}signent les coordonn\'{e}es %
                        dans le rep\`{e}re $(O\,;\, i,j)$.
%
\medskip\item [II.D.1)]\quad Pour $u$ et $v$, vecteurs de $E$, de coordonn\'{e}es $(x,y)$ et $(x',y')$ dans la base
        $(i j)$ on note

        $\qquad f_1(u,v) = \dfrac{x x' }{a^2 } + \dfrac{y y' }{b^2 }$

Montrer qu'on d\'{e}finit ainsi un nouveau produit scalaire dans $E$.

\medskip\item [II.D.2)]\quad Soit $M$  un point quelconque de $\mathcal C$  et $T$  la tangente \`{a} $\mathcal C$
        en $M$. Soit $\mathcal D$ la droite passant par $O$ et parall\`{e}le \`{a} $T$  et $M'$ un \'{e}l\'{e}ment de %
        $\mathcal C \cup \mathcal D$.

        Montrer que $f_1(\bip{OM},\bip{OM'}) = 0$.

\medskip\item [II.D.3)]\quad Montrer que $0M^2 + {OM'}^2 = a^2 + b^2$ et que $G(\bip{OM},\bip{OM'})=a^2 b^2$.
%
\end{enumerate}
%
\bigskip
\centerline{\textbf{\textit{\Large Partie III -}}}

%
\bigskip
Dans toute la suite  $E$ n'est plus forc\'{e}ment de dimension finie. Si $u_1,\,\ldots,\, u_r$ sont
$r$ vecteurs de $E$, on note, comme dans la Partie II, $G(u_1,\ldots,u_r)$ le d\'{e}terminant
de la matrice de $M_r(\mathbb R)$ de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_i\cdot u_j$ (G est un d\'{e}terminant de {\em Gram}).
\begin{enumerate}
%
\item [{\bf III.A -}] Soit $(e_1,\, \ldots,\, e_p)$ une famille libre de $p$ vecteurs de $E$ %
        et $F = {\rm Vect}(e_1,\ldots,e_p)$. Pour tout $x$  \'{e}l\'{e}ment de $E$, on note $x_F$ le projet\'{e} orthogonal de $x$
        sur $F$ et $x^\bot$ le vecteur tel que~:\quad  $x = x_F + x^\bot$.
%
\medskip\item [III.A.1)]\quad Exprimer $x_F$ en fonction des vecteurs  $e_1,\,\ldots,\,e_p$.
%
\medskip\item [III.A.2)]\quad Exprimer simplement le r\'{e}el $d(x,\,F)$ d\'{e}fini par

                $\qquad d(x,F) = inf \big\{ \|x-f\|\ ;\ f\in\, F \big\}$
%
\medskip\item [III.A.3)] \quad Montrer que

                        $\qquad d(x,F) = \,\sqrt{\dfrac{G(x,e_1,\ldots,e_p)}{G(e_1,\ldots,e_p)}}$

\medskip\item [{\bf III.B -}] Dans toute la suite du probl\`{e}me, $E$ d\'{e}signe l'ensemble des applications
                continues de \intff 0 1\ dans $\mathbb R$, muni du produit scalaire

                $\qquad f.g = \ds\int_{0}^{1} f(t)g(t)\, dt.$

Pour $\lambda$ r\'{e}el strictement positif, on note $p_\lambda$ l'\'{e}l\'{e}ment de $E$ d\'{e}fini par~:
                        $\qquad \forall t \in\, \intof 0 1,\quad  p_\lambda(t) = t^\lambda,\ p_\lambda(0) = 0$.

Soit $(\lambda_j)_{j\geq 1}$  une suite strictement croissante de r\'{e}els strictement positifs v\'{e}rifiant~:

                $\qquad \lim\limits_{j\to+\infty}\lambda_j= +\infty \quad \text{et}%
                \quad \sum\limits_{j\geq 1} \, \dfrac{1}{\lambda_j} \text{ est une s\'{e}rie divergente}$
%


\medskip\item [III.B.1)] \quad Pour $n$  entier non nul, on note $E_n = {\rm Vect}(p_{\lambda_1},\ldots,p_{\lambda_n})$. %
                        V\'{e}rifier que $E_n$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n$.
%
\medskip\item [III.B.2)]\quad  Soit $k$ un entier fix\'{e} pour toute la suite du probl\`{e}me.

Pour $n$  entier non nul, on note~:

         $\qquad u_n^k = \inf \Bigg\{ \ds\int_{0}^{1} \Big( t^k-\sum\limits_{i=1}^{n}a_i t^{\lambda_i}\Big)^2\,dt\ ; %
                        \ (a_1,\ldots,a_n)\in\, \mathbb R^n \Bigg\}$

En interpr\'{e}tant $u_n^k$ comme le carr\'{e} d'une distance d'un vecteur \`{a} un sous-espace vectoriel de $E$, %
exprimer $u_n^k$ en fonction de d\'{e}terminants de {\em Gram}.
%
\medskip\item [{\bf III.C -}] Soit $p$ un entier non nul, $(a_1,\, \ldots,\, a_p,\,b_1,\, \ldots,\, b_p)$ %
                        des r\'{e}els strictement positifs tels que, pour tout $i$, pour tout $j$, %
                        $i \neq j \Rightarrow b_i\neq b_j$

Le but de cette question est de calculer le d\'{e}terminant de la matrice de $M_p(\mathbb R)$ de terme g\'{e}n\'{e}ral %
        $\Big( \dfrac{1}{a_i+b_j} \Big)$.

Ce d\'{e}terminant sera not\'{e} $C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p)$.

\medskip\item [III.C.2)] \quad Soit $F(X) = \dfrac{(X-a_1)\ldots(X-a_{p-1})}{(X+b_1)\ldots(X+b_p)}$. %
                Expliciter la d\'{e}composition en \'{e}l\'{e}ments simples de $F$.
%
\medskip\item [III.C.2)]\quad  On note $D$ le d\'{e}terminant d'ordre $p$~:

                $\qquad D = \begin{vmatrix}
                        \dfrac{1}{a_1+b_1} & \ldots & \dfrac{1}{a_1+b_{p-1}}& F(a_1) \\
                        \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
                        \dfrac{1}{a_p+b_1} & \ldots & \dfrac{1}{a_p+b_{p-1}}& F(a_p)
                \end{vmatrix}$

\vspace{1ex}
Montrer, \`{a} l'aide de III.C.1, et en calculant $D$ par deux m\'{e}thodes diff\'{e}rentes que~:

$\qquad F(a_p)\,C(a_1,\ldots,a_{p-1},b_1,\ldots,b_{p-1})= %
        \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(a_i+b_p)}{\prod\limits_{i=1}^{p-1}(b_p-b_i)}%
        \,C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p)$
%
\medskip\item [III.C.3)]\quad  En d\'{e}duire~:

        $\qquad C(a_1,\ldots,a_p,b_1,\ldots,b_p)=%
                \dfrac{\prod\limits_{1\leq i<j\leq p} (a_j-a_i)\prod\limits_{1\leq i<j\leq p} (b_j-b_i)}
                {\prod\limits_{1\leq i,\,j\leq p} (a_i+b_j)}$
%
\medskip\item [{\bf III.D -}]
%
\medskip\item [III.D.1)] \quad En notant $\lambda_0 = k$ et, pour $i$ entier \'{e}l\'{e}ment de $\big[\!|0,\,n|\!\big]$, %
                        $\mu_i=\lambda_i+\dfrac{1}{2}$, exprimer $u_n^k$ \`{a} l'aide d'un d\'{e}terminant du type pr\'{e}c\'{e}dent.
%
\medskip\item [III.D.2)]\quad  En d\'{e}duire~:

$\qquad u_n^k = \dfrac{1}{1+2k}\, \prod\limits_{i=1}^{n}\, \Big( 1-\dfrac{2k+1}{1+\lambda_i+k}\Big)^2$
%
\medskip\item [{\bf III.E -}]On suppose que~:   \quad $\forall i\geq1,\ k \neq \lambda_i$.

\medskip\item [III.E.1)]\quad  Montrer qu'il existe un entier non nul $N$  tel que~:

        $\qquad \forall i \geq N,\quad 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k} >0$
%
\medskip\item [III.E.2)]\quad Quelle est la nature de la s\'{e}rie %
                        $\sum\limits_{i\geq N }\, \ln\Big( 1-\dfrac{2k + 1}{1+\lambda_i+k}\Big)$ ?

                En d\'{e}duire que $u_n^k \tend{n\to \infty} 0$
%
\medskip\item [III.E.3)]\quad  D\'{e}montrer que

        $\qquad \forall\varepsilon > 0,\ \exists n \in\, \mathbb N^*,\ %
                \exists (a_1,\,\ldots,\,a_n)\in\, \mathbb R^n\quad /\quad %
                \Bigg\| p_k - \sum\limits_{i=1}^{n}\, a_i p_{\lambda_i}\Bigg\| \leq \varepsilon $
%
\medskip\item [III.E.4)]\quad En d\'{e}duire, \`{a} l'aide du th\'{e}or\`{e}me d'approximation de Weierstrass, que %
                        toute fonction $f$ de $E$ est limite d'une suite d'\'{e}l\'{e}ments de $\bigcup\limits_{n\geq 1} E_n$.
\end{enumerate}
\vspace{2ex}
\hrulefill
\begin{center}
$\bullet\bullet\bullet\textbf{ FIN }\bullet\bullet\bullet$
\end{center}
\hrulefill
%
\end{document}
