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\begin{document}


\begin{center}
{\Large Concours Centrale - Sup\'{e}lec 1999}

\'{E}preuve : MATH\'{E}MATIQUES I - Fili\`{e}re TSI

\medskip
\end{center}

Le but de ce probl\`{e}me est l'\'{e}tude des solutions r\'{e}elles d'une
\'{e}quation diff\'{e}rentielle.

Les trois parties de ce probl\`{e}me sont dans une large mesure
ind\'{e}pendantes.

\medskip

\textbf{Notations}

Pour tout entier relatif $k,$ l'intervalle $\left] -\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi
\right[ $ est not\'{e} $I_{k}.$

On consid\`{e}re les \'{e}quations diff\'{e}rentielles lin\'{e}aires :

\[
(E_{0})\;\;\;\cos (x)(1+\cos ^{2}(x))\;y^{\prime }+\sin ^{3}(x)\;y=0 
\]

\[
(E_{1})\;\;\;\cos (x)(1+\cos ^{2}(x))\;y^{\prime }+\sin ^{3}(x)\;y=\sin
(x)\cos (x) 
\]

\medskip

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie I}
\end{center}

\textbf{1.A}

I.A.1) Montrer que les int\'{e}grales :

\[
\int\nolimits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{\sin ^{3}(t)}{\cos (t)(1+\cos
^{2}(t))}dt\;\text{et\ }\int\nolimits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\dfrac{\sin
^{3}(t)}{\cos (t)(1+\cos ^{2}(t))}dt 
\]
sont divergentes.

I.A.2) D\'{e}terminer l'ensemble de d\'{e}finition de la fonction :

\[
f:x\rightarrow f(x)=\int\nolimits_{0}^{x}\dfrac{\sin ^{3}(t)}{\cos
(t)(1+\cos ^{2}(t))}dt 
\]

\medskip

\textbf{1.B}

I.B.l) D\'{e}composer en \'{e}l\'{e}ments simples sur le corps des r\'{e}els
la fraction rationnelle :

\[
\dfrac{1-X}{X\left( 1+X\right) } 
\]

I.B.2) A l'aide d'un changement de variables, calculer $f(x)$ pour $x$
appartenant \`{a} $I_{0}.$

\medskip

\textbf{1.C.} R\'{e}soudre l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $(E_{0})$ sur
l'intervalle $I_{k}$ pour tout entier relatif $k.$

\medskip

\textbf{1.D}. Existe-t-il des solutions de $(E_{0})$ de classe $C^{1}$ sur $%
\Bbb{R}$ ?

\medskip

\textbf{1.E}. Exprimer les solutions de $(E_{1})$ sur $I_{0}$ \`{a} l'aide
des fonctions $F_{\lambda }$ d\'{e}finies sur $\left] 0,+\infty \right[ $
par :

$F_{\lambda }(u)=\dfrac{u}{1+u^{2}}\ln \left( \dfrac{u}{\lambda }\right) $
o\`{u} $\lambda $ est un r\'{e}el strictement positif.

\medskip

\textbf{1.F.} L'\'{e}quation $(E_{1})$ admet-elle des solutions de classe $%
C^{1}$ sur $\Bbb{R}$ ?

\medskip

\textbf{1.G.} On consid\`{e}re la courbe $\Gamma _{\lambda }$ d'\'{e}quation 
$y=F_{\lambda }(x)$.

1.G.l) Construire la courbe $\Gamma _{2}$.

1.G.2) Soit $a$ un nombre r\'{e}el strictement positif et diff\'{e}rent de $%
1 $. Montrer que les tangentes $D_{\lambda }$ au point d'abscisse $a$ des
courbes $\Gamma _{\lambda }$ sont concourantes en un point not\'{e} $M(a)$.

1.G.3) Construire le lieu des points $M(a)$ quand $a$ varie.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie II - \'{E}tude d'une courbe int\'{e}grale de }$(E)$

\medskip
\end{center}

Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\left[ -1,1\right] $ par $h(1)=h(-1)=0$
et pour tout $x$ appartenant \`{a} $\left] -1,1\right[ $ :

\[
h(x)=\exp \left( \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right) 
\]

\textbf{2.A.} Montrer que la fonction $h$ est de classe $C^{\infty }$ sur $%
\left[ -1,1\right] $ (on pourra faire une d\'{e}monstration par
r\'{e}currence).

\medskip

\textbf{2.B.}

2.B.l) \'{E}tudier le signe de $h^{\prime \prime }(x)$, pour $x$ appartenant
\`{a} $\left[ -1,1\right] $ et en d\'{e}duire que $\forall x\in \left[
-1,1\right] ,$ $\left| h^{\prime }(x)\right| <1$.

2.B.2) \'{E}tudier les variations de $h$ sur $\left[ -1,1\right] .$

2.B.3) Montrer qu'il existe un et un seul r\'{e}el $L$ appartenant \`{a} $%
\left[ -1,1\right] $ tel que $h(L)=L$. On pose $\alpha =\arccos (L)$.

\medskip

\textbf{2.C.} \'{E}tudier la suite d\'{e}finie par : $u_{0}\in \left[
0,1\right] $ et pour tout $n\in \Bbb{N},$ $u_{n+1}=h(u_{n}).$ Montrer que
cette suite converge vers $L.$ Montrer que $L$ est compris entre les valeurs
de deux termes cons\'{e}cutifs de la suite.

\medskip

\textbf{2.D.} Donner un algorithme permettant de calculer pour un entier
donn\'{e} $p$ la valeur de $u_{p}.$

Application : si $u_{0}=0,$ donner une valeur approch\'{e}e de $u_{10}$ et $%
u_{11}$, puis justifier l'in\'{e}galit\'{e} $:$ 
\[
L-u_{10}\leq u_{11}-u_{10}. 
\]

En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s de $\alpha
. $

\medskip

\textbf{2.E.} On d\'{e}finit la fonction $g$ sur $I_{0}$ par $%
g(x)=F_{1}(\cos (x))$ (o\`{u} $F_{1}$ est d\'{e}finie \`{a} la question 1.E.)

2.E.1) V\'{e}rifier que $g^{\prime }(\alpha )=0.$

2.E.2) \'{E}tudier les variations de $g.$

2.E.3) Construire la repr\'{e}sentation graphique de $g$ en prenant comme
unit\'{e} $5$ centim\`{e}tres et pr\'{e}ciser les tangentes aux points
d'abscisse $0$ et $\dfrac{\pi }{2}.$

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie III - D\'{e}veloppement en s\'{e}rie de Fourier d'une
solution de }$(E_{0})$

\medskip
\end{center}

Soit $G$ la fonction d\'{e}finie sur $\Bbb{R}$ par : $G(x)=\dfrac{2\cos (x)}{%
1+\cos ^{2}(x)}.$

\medskip

\textbf{3.A.}

3.A.1) Montrer que $G$ est d\'{e}veloppable en s\'{e}rie de Fourier sur $%
\Bbb{R}.$

3.A.2) Prouver qu'il existe une suite $\left( \alpha _{n}\right) _{n\in \Bbb{%
N}}$ telle que :

\[
\forall x\in \Bbb{R},\;G(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\alpha _{n}\cos
(2n+1)x 
\]

(On ne demande pas de calculer les valeurs de $\alpha _{n}$).

\medskip

\textbf{3.B. }On consid\`{e}re la fraction rationnelle $:$

\[
H(x)=\dfrac{1+X}{X^{2}+6X+1} 
\]

3.B.1) Montrer que $G(t)=4e^{it}H(e^{2it}).$

3.B.2) D\'{e}composer $H(X)$ en \'{e}l\'{e}ments simples. On posera $c=3-2%
\sqrt{2}.$ Quelle est la valeur de $A$ pour laquelle :

\[
H(x)=A\left( \dfrac{1}{X+c}+\dfrac{1}{cX+1}\right) 
\]

\medskip

\textbf{3.C.} En d\'{e}duire, gr\^{a}ce \`{a} des d\'{e}veloppements en
s\'{e}rie enti\`{e}re par rapport \`{a} $X$ ou \`{a} $\dfrac{1}{X},$ le
d\'{e}veloppement en s\'{e}rie de Fourier de $G$ et la valeur des termes de
la suite $\left( \alpha _{n}\right) _{n\in \Bbb{N}}.$

\textbf{3.D.} Quel est le d\'{e}veloppement en s\'{e}rie de Fourier de la
fonction $G_{1},$ d\'{e}finie sur $\Bbb{R},$ par :

\[
G_{1}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln \left( \dfrac{\sqrt{2}+\sin (x)}{\sqrt{2}%
-\sin (x)}\right) 
\]

\medskip

\medskip

\begin{center}
$\Delta \Delta \Delta \Delta \Delta \Delta $
\end{center}

\end{document}
