%********************************************************************
%********         BANQUE FILIERE PT 99     MATH I-B          ********
%********               CORRIGE au format plain              ********
%********************************************************************
%proposé par Yves Saladin Spé PT LPO Coef-1 Trioncelle 97122 Bemawô
%toute remarque ou suggestion est bienvenue: mel yves.saladin@wanadoo.fr
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%****************************** Macros ******************************
%***** piquées de-ci, de-là , merci à leurs auteurs *****************

%Ensembles des réels et des entiers naturels
%Si vous ne disposez pas des fontes msbm (blackboard) de l'AMS
%changez quelques lignes plus bas \blackboardtrue en \blackboardfalse
\font\msbmx=msbm10
\font\msbmvii=msbm7
\newfam\fambb
\def\Bbb{\fam\fambb}
\textfont\fambb=\msbmx
\scriptfont\fambb=\msbmvii

\newif\ifblackboard
%\blackboardfalse
\blackboardtrue

\ifblackboard
\def\R{{\Bbb R}}
\def\N{{\Bbb N}}
\else
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\fi

%Cadres:
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}

%Numérotation des questions:
\def \q#1{\medskip\hskip1.4em{\bf #1)}}

%Abréviations
\let\dsp=\displaystyle
\let\ssi=\Leftrightarrow
\let\imp=\Rightarrow
\def\tendvers{\mathop{\hbox{\rightarrowfill}}\limits}
\def\eq{\mathop{\sim}\limits}

%Superposition de symboles
\def\build#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}

%Opérateurs
\def\Sum{\sum\limits}
\def\Lim{\lim\limits}
\def\dint{\dsp\int}

%Mise en page
\parindent 0pt
\hfuzz=6pt
\overfullrule=0pt


\input upsnum.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%************************    Corrigé    *****************************

\centerline {\bf Banque PT -- Math I-B}
\vskip 2cm plus 5mm minus 5mm
\centerline {\bf Partie I}
\q1
La s\'erie enti\`ere $\sum u_n x^n$ est g\'eom\'etrique
de raison 1; son rayon de convergence vaut 1.\par
$w_n\sim v_n={1\over n}$ et par application imm\'ediate de la
r\`egle de d'Alembert, (ou par int\'egration terme \`a terme de $\sum x^n$),
le rayon de convergence des s\'eries enti\`eres $\sum v_n x^n$ et $\sum w_n x^n$
est aussi \'egal \`a 1.
$$\boxit{3pt}{Les s\'eries enti\`eres $\sum u_n x^n,\ \sum v_n x^n\ \sum w_n x^n$ ont
pour rayon de convergence 1.}$$
$\sum u_n$ diverge, car son terme g\'en\'eral ne tend pas vers
0.\par
$\sum v_n$ est la s\'erie harmonique, divergente; compte-tenu de l'\'equivalence signal\'ee
plus haut et du fait qu'il s'agit de s\'eries \`a termes positifs, $\sum w_n$ diverge
\'egalement.
$$\boxit{3pt}{Les s\'eries $\sum u_n,\ \sum v_n,\ \sum w_n$ sont
divergentes.}$$
\q2
On a directement~:
$$\boxit{3pt}{$f(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}x^n=\dsp{x\over 1-x}$;\quad
$g(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}{x^n\over n}=-\ln(1-x)$.}$$
$w_n={n+2\over n(n+1)}={2\over n}-{1\over n+1}$ donc on peut
\'ecrire, pour $x\not= 0$~:\par
$h(x)=2\Sum_{n=1}^{+\infty}{x^n\over n}-{1\over x}\Sum_{n=1}^{+\infty}{x^{n+1}\over {n+1}}
=-2\ln(1-x)-{1\over x}\left(-\ln(1-x)-x\right)=1-\left(2-{1\over
x}\right)\ln(1-x)$.\par
$$\boxit{3pt}{$h(x)=\left\{\matrix{
1-\left(2-{1\over x}\right)\ln(1-x)&\hbox{si }x\not= 0;\cr
0\hfill& \hbox{sinon.}\hfill\cr}\right.$}$$
\q3
Toujours directement,
$$\boxit{3pt}{$\Lim_{1^-} f=+\infty$; idem pour $g$ et $h$.}$$
D'autre part,
$${g(x)\over f(x)}=-{(1-x)\ln(1-x)\over x}\tendvers_{x\build\to_< 1}0^+
\quad\hbox{ et }\quad
{v_n\over u_n}={1\over n}\tendvers_{n\to+\infty}0^+;$$
$${h(x)\over g(x)}=-{1\over x}+2-{1\over\ln(1-x)}\tendvers_{x\build\to_< 1}1
\quad\hbox{ et }\quad
{w_n\over v_n}={n+2\over n+1}\tendvers_{n\to+\infty}1.$$
$$\boxit{3pt}{On conjecture le r\'esultat de la partie II.}$$
\vskip 5mm plus 2mm minus 2mm
\centerline {\bf Partie II}
\q{1) a}
Puisque $\sum a_n$ est une s\'erie \`a termes positifs divergente,
la suite de ses sommes partielles tend vers $+\infty$ et en particulier,
$$\boxit{3pt}{$\forall A>0,\ \exists N_1\in\N^*,\ \Sum_{n=1}^{N_1}a_n\geq2A.$}$$
\q b
 $N_1$ \'etant ainsi fix\'e, $x\mapsto\Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n$ est une fonction
polyn\^ome, donc continue sur $\R$ et en particulier,
$\Lim_{x\to1}\Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n=\Sum_{n=1}^{N_1}a_n$,
ce qui implique~: $\exists\alpha>0,\ \forall x\in\R,\ 1-\alpha\leq
x\leq 1 \imp \left\vert\Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n-\Sum_{n=1}^{N_1}a_n
\right\vert\leq A$.\par
Gr\^ace \`a la minoration du {\bf a)}, on obtient dans ces conditions
$\Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n\geq\Sum_{n=1}^{N_1}a_n -A\geq A$.
$$\boxit{3pt}{$\exists\alpha>0,\ 0\leq1-x\leq\alpha \imp \Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n\geq A$.}$$
\q c
Pour tout $x$ de $]0,1[$, $f(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^n=
\Sum_{n=1}^{N_1}a_n x^n+\Sum_{N_1+1}^{+\infty}a_n x^n\geq\Sum_{n=1}^{N_1}a_n
x^n$
donc d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede,\par
$\forall A>0,\ \exists\alpha>0,\ 0\leq1-x\leq\alpha \imp f(x)\geq A$.\par
Par d\'efinition,
$$\boxit{3pt}{$\Lim_{1^-} f=+\infty$.}$$
\q 2 {\bf a)}
Notons $R$ le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum b_n x^n$.\par
\underbar {Cas $\lambda\not=0$} :\par
soit $x\in]-1,1[$. Alors la
s\'erie \`a termes positifs $\sum a_n \vert x\vert^n$ est convergente;
comme $b_n \vert x\vert^n\eq_{n\to+\infty}\vert\lambda\vert a_n\vert x\vert^n$,
la s\'erie enti\`ere $\sum b_n x^n$ est absolument convergente pour
tout $x$ de $]-1,1[$, donc $R\geq 1$;
\par
soit $x>1$. Alors la s\'erie $\sum a_n x^n$ diverge parce que son
terme g\'en\'eral ne tend pas vers 0; $b_n x^n$ ne tend pas vers 0
non plus, en vertu de l'\'equivalence pr\'ec\'edente; donc la s\'erie $\sum b_n x^n$ diverge
et, $x$ \'etant aussi proche de 1 que l'on veut, $R\leq 1$.
En conclusion,
$$\boxit{3pt}{si $\lambda\not=0$, $\sum b_n x^n$ a pour rayon de convergence 1.}$$
\underbar {Cas $\lambda=0$} :\par
La premi\`ere conclusion du cas pr\'ec\'edent subsiste
(remplacer l'\'equivalence par une majoration \`a partir d'un
certain rang); cependant l'in\'egalit\'e peut \^etre stricte,
comme le montre l'exemple de $\sum x^n$ et de la s\'erie nulle.
$$\boxit{3pt}{si $\lambda=0$, le rayon de convergence de $\sum b_n x^n$ est $\geq 1$.}$$
\q b
Pour tout $x$ de $]0,1[$, $f(x)>0$ donc en particulier $f(x)\not=0$
et on peut \'ecrire~:\par
$\eqalign{
\dsp{g(x)\over f(x)}-\lambda &=
{1\over f(x)}\left(\Sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^n-\lambda\Sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n\right)=
{1\over f(x)}\left(\Sum_{n=1}^{+\infty} \lambda_n a_n x^n-\lambda\Sum_{n=1}^{+\infty} a_n
x^n\right)\cr
&={1\over f(x)}\Sum_{n=1}^{+\infty} (\lambda_n-\lambda) a_n x^n.}$
\par
La suite $(\lambda_n-\lambda)_n$ converge vers 0, donc est
born\'ee~:
$$\boxit{3pt}{$\exists M>0,\ \forall n\in\N^*,\  \vert \lambda_n-\lambda\vert\leq M$.}$$
\q c
Par d\'efinition de la convergence d'une suite,
$$\boxit{3pt}{$\forall\varepsilon>0,\ \exists N_2\in\N^*,\ \forall n\in\N^*,\ n\geq N_2\imp
 \vert \lambda_n-\lambda\vert\leq \varepsilon$.}$$
Pour tout $x$ de $]0,1[$, $\Sum_{N_2+1}^{+\infty}\vert \lambda_n-\lambda\vert a_n x^n
\leq \varepsilon\Sum_{N_2+1}^{+\infty} a_n x^n
\leq \varepsilon\left(\Sum_{N_2+1}^{+\infty} a_n x^n+\Sum_{1}^{N_2}a_n x^n\right)
=\varepsilon f(x).$
$$\boxit{3pt}{$\forall x\in]0,1[,\
\Sum_{N_2+1}^{+\infty}\vert \lambda_n-\lambda\vert a_n x^n \leq \varepsilon f(x).$}$$
\q d
En exploitant les r\'esultats pr\'ec\'edents, on peut \'ecrire~:
$\forall\varepsilon>0,\ \exists N_2\in\N^*,\ \forall x\in]0,1[,$\par
$\dsp\left\vert{g(x)\over f(x)}-\lambda\right\vert=
{1\over f(x)}\left\vert\Sum_{n=1}^{+\infty} (\lambda_n-\lambda) a_n x^n\right\vert
\leq{1\over f(x)}\Sum_{n=1}^{+\infty} \left\vert\lambda_n-\lambda\right\vert a_n x^n
\leq\varepsilon+{M\over f(x)}\Sum_{n=1}^{N_2}a_n x^n$.\par
$N_2$ \'etant ainsi fix\'e (il ne d\'epend pas de $x$),
comme $\Lim_{1^-}\Sum_{n=1}^{N_2}a_n x^n=\Sum_{n=1}^{N_2}a_n$ et
$\Lim_{1^-} f=+\infty$, on en d\'eduit
$\Lim_{1^-}\dsp{M\over f(x)}\Sum_{n=1}^{N_2}a_n x^n =0$, ce qui
peut se traduire par~:
$\exists \beta>0, \forall x\in]0,1[,\ 1-\beta\leq x \imp
\left\vert\dsp{M\over f(x)}\Sum_{n=1}^{N_2}a_n x^n\right\vert\leq
\varepsilon$\par
et en r\'esum\'e,
$\forall\varepsilon>0,\ \exists \beta>0,\ \forall x\in]0,1[,\ x\geq 1-\beta \imp
\dsp\left\vert{g(x)\over f(x)}-\lambda\right\vert\leq
2\varepsilon$, ce qui signifie
$\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}{g(x)\over
f(x)}=\lambda$.
$$\boxit{3pt}{Moyennant les hypoth\`eses $(H)$, si $\dsp\Lim_{n\to\infty}{b_n\over a_n}=\lambda$, alors
$\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}{g(x)\over f(x)}=\lambda$. }$$
\vskip 5mm plus 2mm minus 2mm
\centerline {\bf Partie III}
\q1
Pour $x\in\R$ fix\'e, la fonction $\theta\mapsto1-x\cos^2\theta$ est
continue et monotone sur $[0,{\pi\over2}]$, donc l'ensemble de ses valeurs
est le segment d'extr\'emit\'es $1-x$ et $1$. Il en r\'esulte que
si $x<1$ la fonction $\theta\mapsto\dsp{1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}$ est continue
sur $[0,{\pi\over2}]$, donc~:
$$\boxit{3pt}
{$F(x)=\dint_0^{\pi/2}\!\!\!{d\theta\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}$ est d\'efinie pour $x<1$.}$$
Pour $x=1$, on obtient l'int\'egrale $\int_0^{\pi/2}\!\!\!{d\theta\over\sin\theta}$
qui est divergente en vertu de l'\'equivalence $\sin\theta\eq_0\theta$.
$$\boxit{3pt}{$F$ n'est pas d\'efinie pour $x=1$.}$$
Pour $\theta$ de $[0,{\pi\over2}]$ fix\'e, la fonction $x\mapsto{1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}$
est une fonction croissante sur $]-\infty,1[$, donc\par $\forall (x,y)\in]-\infty,1[^2,\ x\leq
y\imp{1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}\leq{1\over\sqrt{1-y\cos^2\theta}}$
et en prenant les int\'egrales sur $[0,\pi/2]$, $F(x)\leq
F(y)$.
$$\boxit{3pt}{$F$ est croissante sur $]-\infty,1[$.}$$
Il r\'esulte des th\'eor\`emes relatifs aux op\'erations \'el\'ementaires sur les fonctions
continues que la fonction $(x,\theta)\mapsto\dsp{1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}$ est continue
sur $]-\infty,1[\times[0,{\pi\over2}]$. Le th\'eor\`eme relatif
\`a la continuit\'e des int\'egrales propres d\'ependant d'un
param\`etre permet alors de conclure que
$$\boxit{3pt}{$F$ est continue sur $]-\infty,1[$.}$$

\q2
On utilise le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $t\mapsto (1+t)^\gamma$
de rayon de convergence 1 pour $\gamma=-1/2$ et on remplace $t$
par $-t$~:\par
$\forall t\in]-1,1[,\ {1\over\sqrt{1-t}}=1+{1\over2}t+\sum_{n=2}^{+\infty}
{(-{1\over2})(-{3\over2})\ldots(-{1\over2}-n+1)\over n!}(-t)^n
=1+{1\over2}t+\sum_{n=2}^{+\infty}{1.3\ldots(2n-1)\over 2^n n!}t^n$
soit encore
$$\boxit{3pt}{$\dsp\forall t\in]-1,1[,\ {1\over\sqrt{1-t}}=1+{1\over2}t+\sum_{n=2}^{+\infty}
{1.3\ldots(2n-1)\over 2.4\ldots (2n)}t^n$\quad et \quad
$\dsp\alpha_n={2\over\pi}I_n$.}$$

\q{3) a}
Pour $(x,\theta)\in]-1,1[\times[0,{\pi\over2}]$, on peut utiliser
le d\'eveloppement pr\'ec\'edent avec $t=x\cos^2\theta$ et scinder
en somme partielle de rang $N$ et reste, ce qui donne~:
${1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}=\sum_{n=0}^N\alpha_n\cos^{2n}\theta\,
x^n+\rho_N(\theta)$\par o\`u
$\vert\rho_N(\theta)\vert=\vert\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\cos^{2n}\theta \,x^n\vert
\leq\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert x\vert^n$.
$$\boxit{3pt}{$\forall (x,\theta)\in]-1,1[\times[0,{\pi\over2}],\quad
\dsp{1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}=\sum_{n=0}^N\alpha_n\cos^{2n}\theta\,
x^n+\rho_N(\theta)$\quad avec \quad$\dsp\vert\rho_N(\theta)\vert\leq\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert x\vert^n$.}$$

\q b
Gr\^ace \`a la lin\'earit\'e de l'int\'egrale, on en
d\'eduit~:\par
$F(x)=\int_0^{\pi/2}\!\!\!{d\theta\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}=\sum_{n=0}^N\alpha_n\,x^n
\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}\theta\,d\theta +\int_0^{\pi/2}\rho_N(\theta)\,d\theta
={\pi\over2}+\sum_{n=1}^N\alpha_n\,x^nI_n+R_N$ \par o\`u
$\vert R_N\vert=\vert\int_0^{\pi/2}\rho_N(\theta)\,d\theta\vert\leq
\int_0^{\pi/2}\vert\rho_N(\theta)\vert\,d\theta\leq{\pi\over2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert
x\vert^n$.
$$\boxit{3pt}{$\forall x\in]-1,1[,\quad
\dsp F(x)={\pi\over2}+\sum_{n=1}^N\alpha_n\,I_n\,x^n+R_N$\quad avec \quad
$\dsp\vert R_N\vert\leq{\pi\over2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert x\vert^n$.}$$
Pour $x\in]-1,1[$ fix\'e, $\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert x\vert^n$
est le reste d'ordre $N$ d'une s\'erie convergente, (de somme ${1\over\sqrt{1-\vert x\vert}}$
si on indexe \`a partir de 0), donc cette expression tend vers 0
si $N$ tend vers $+\infty$. A fortiori, $\Lim_{N\to\infty}R_N=0$.
Par passage \`a la limite dans l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente, on
obtient le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere cherch\'e~:
$$\boxit{3pt}{$\forall x\in]-1,1[,\quad
\dsp F(x)={\pi\over2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n\,I_n\,x^n$.}$$
\q 4
En utilisant le r\'esultat admis $I_n\sim\dsp{1\over2}\sqrt{\pi\over
n}$, on obtient $\dsp\alpha_n\,I_n={2\over\pi}I_n^2\sim{1\over
2n}={1\over2}u_n$ (notation de la partie~I).\par
La suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifiant les conditions $(H)$, on
peut appliquer le II et conclure que
$$\boxit{3pt}{$\dsp F(x)\eq_{1^-}-{1\over2}\ln(1-x)$.}$$
\vskip 5mm plus 2mm minus 2mm
\centerline {\bf Partie IV}
\q{1) a}
Pour tout $n\geq 1$, $A_n=\sum_{k=1}^n a_k\geq a_1>0$ donc la
suite $(A_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifie $(H_1)$.
\par
La minoration pr\'ec\'edente montre que $A_n$ ne tend pas vers 0, d'o\`u la divergence de
la s\'erie $\sum A_n$.
$$\boxit{3pt}{La suite $(A_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifie les conditions $(H_1)$ et $(H_3)$ de la partie II.}$$
En faisant $x=1$ dans la s\'erie enti\`ere $\sum A_nx^n$, on
obtient la s\'erie divergente $\sum A_n$; donc~:
$$\boxit{3pt}{Le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum A_nx^n$ est
au plus \'egal \`a 1.}$$
\q b
Pour $r\in]0,1[$, en remarquant qu'alors pour tout $k$ compris
entre 1 et $n$, on a $r^n\leq r^k$, on a~:\par
$A_n r^n=\left(\Sum_{k=1}^n a_k\right)r^n\leq \Sum_{k=1}^n a_k
r^k$. Cette derni\`ere expression est la somme partielle d'une
s\'erie \`a termes positifs convergente; donc elle est major\'ee~:
$\exists M>0,\ \forall n\in\N^*,\quad \Sum_{k=1}^n a_k r^k\leq M$
et a fortiori, $\forall n\in\N^*,\quad A_n r^n\leq M$.
$$\boxit{3pt}{La suite $(A_n r^n)_{n\in\N^*}$ est major\'ee.}$$
Soit $x$ dans $]-1,1[$. Alors, en prenant $r$ dans $]\vert
x\vert,1[$, la suite $(A_n r^n)_{n\in\N^*}$ est major\'ee, et par
le lemme d'Abel, la s\'erie $\sum A_n x^n$ est absolument
convergente.
On en d\'eduit que le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum A_nx^n$ est
au moins \'egal \`a 1. Finalement (cf {\bf a)}), ce rayon vaut 1.
$$\boxit{3pt}{La suite $(A_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifie aussi la condition $(H_2)$ de la partie II.}$$
\q c
Pour tout $x$ de $]-1,1[$,\par
$\eqalign{
(1-x)\Sum_{k=1}^nA_k x^k &= \Sum_{k=1}^nA_k x^k-\Sum_{k=1}^nA_k
x^{k+1}=\Sum_{k=1}^nA_k x^k-\Sum_{k=2}^{n+1}A_{k-1} x^k\cr
&=A_1 x+\Sum_{k=2}^n(A_k-A_{k-1}) x^k-A_n x^{n+1}=A_1 x+\Sum_{k=2}^n a_k x^k-A_n
x^{n+1}\cr
&=\Sum_{k=1}^n a_k x^k-A_n x^{n+1}\qquad(A_1=a_1)}$\par
Pour $x$ dans $]-1,1[$, la s\'erie $\sum A_n x^n$ converge, donc
son terme g\'en\'eral tend vers 0 et il en va de m\^eme de $A_n
x^{n+1}$.
Par passage \`a la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ dans
l'\'egalit\'e ci-dessus, on obtient~:
$$\boxit{3pt}{$\forall x \in ]-1,1[,\quad
\dsp(1-x)\sum_{n=1}^{+\infty}A_n x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^n$.}$$

\q {2) a}
On a $C_n\vert x\vert^n\eq_{n\to\infty}\lambda A_n\vert x\vert^n$
si $\lambda\not=0$, et $C_n\vert x\vert^n=\circ(A_n\vert x\vert^n)$
sinon. Dans les deux cas, on peut conclure \`a l'absolue
convergence de $\sum C_n x^n$ pour tout $x$ de $]-1,1[$. En
particulier,
$$\boxit{3pt}{Pour $x\in]-1,1[$, la s\'erie $\sum C_n x^n$ est convergente.}$$
\q b
En effectuant une transformation analogue \`a celle du {\bf 1)c)},
on peut \'ecrire~:\par
$\Sum_{k=1}^nc_k x^k = (1-x)\Sum_{k=1}^nC_k x^k+C_nx^{n+1}$.
Si $x$ est dans $]-1,1[$, la suite des sommes partielles
$\left(\Sum_{k=1}^nC_k x^k\right)_{n\in\N^*}$ est convergente, et
le terme $C_nx^{n+1}$ tend vers 0, donc la s\'erie $\sum c_n x^n$
est convergente.\par
On trouve la relation entre $\sum c_n x^n$ et $\sum C_n x^n$
par le m\^eme proc\'ed\'e qu'au {\bf 1)c)}.
$$\boxit{3pt}{Pour $x\in]-1,1[$, la s\'erie $\sum c_n x^n$ est convergente, et
$\dsp(1-x)\sum_{n=1}^{+\infty}C_n x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n x^n$.}$$
\q c
On peut appliquer le r\'esultat de la partie II aux suites $(A_n)_{n\in\N^*}$
et $(C_n)_{n\in\N^*}$. On a donc~:\par
$\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}
{\sum_{n=1}^{+\infty}C_n x^n\over \sum_{n=1}^{+\infty}A_n
x^n}=\lambda$, et compte-tenu des relations entre les sommes, on a
aussi~:
$$\boxit{3pt}{$\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}
{\Sum_{n=1}^{+\infty}c_n x^n\over \Sum_{n=1}^{+\infty}a_n
x^n}=\lambda$.}$$
\q {3) a}
Soit $k\in\N^*$. Par application de l'in\'egalit\'e des
accroissements finis \`a la fonction logarithme n\'ep\'erien sur $[k,k+1]$, on
obtient~:
$${1\over k+1}\leq\ln(k+1)-\ln k\leq{1\over k}.$$
Par addition des in\'egalit\'es de ce type pour
$k\in\{1,2,\ldots,n\}$, on a~: $A_{n+1}-1\leq\ln(n+1)\leq A_n$\par
d'o\`u par une relecture, $\ln(n+1)\leq A_n\leq 1+\ln n$.\par
Il en r\'esulte
$$\boxit{3pt}{$A_n\sim\ln n$.}$$
\q b
Encadrons $n\geq1$ par deux puissances successives
de 2 : $\forall n\in\N^*,\ \exists p\in\N,\ n\in[2^p,2^{p+1}[$.
Si $n$ est dans cet intervalle, alors $C_n=p+1$; or $2^p\leq n< 2^{p+1} \ssi
p\ln 2\leq\ln n<(p+1)\ln 2\ssi p\leq {\ln n\over \ln 2}< p+1$
ce qui signifie que $p$ est la partie enti\`ere de ${\ln n\over \ln
2}$. On a donc~:
$$\boxit{3pt}{$\dsp{\ln n\over \ln 2}< C_n\leq{\ln n\over \ln 2}+1$.}$$
\q c
La suite $(a_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifie les conditions $(H')$. \par
L'encadrement pr\'ec\'edent permet de  conclure que $\Lim_{n\to\infty}{C_n\over A_n}={1\over \ln
2}$; on peut donc appliquer le r\'esultat du {\bf 2)~c)} qui
donne~:
$\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}
{\Sum_{n=1}^{+\infty}c_n x^n\over \Sum_{n=1}^{+\infty}{x^n\over n}}={1\over \ln 2}$.
Finalement~:
$$\boxit{3pt}{$\dsp \sum_{k=0}^{+\infty}x^{2^k}\eq_{1^-}-{\ln(1-x)\over\ln 2}$.}$$
\bye
