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%******** ENONCE DE L'EPREUVE MATH I-B BANQUE FILIERE PT 99 ********
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% tapé par Yves Saladin
%          PT
%          LPO Charles Coëffin Trioncelle 97122 Baie-Mahault
% veuillez signaler toute erreur à yves.saladin@wanadoo.fr
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%Fontes AMS
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\def\N{{\Bbb N}}
\else
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\fi

%Abréviations
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%Superposition de symboles
\def\build#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}

%Opérateurs
\def\Sum{\sum\limits}
\def\Lim{\lim\limits}
\def\dint{\dsp\int}

%Mise en page
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%************************Enoncé****************************
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{\forteenrm $\ast$\quad{Banque fili\`ere PT}\quad$\ast$}

\vskip 1.5truecm
\font\forteenbf=cmbx10 at 14pt
\centerline{\forteenbf Epreuve de Math\'ematiques I-B}
\vskip 2truecm
\font\twelverm=cmr10 at 12pt
\centerline{\twelverm Dur\'ee 4 h}
\vskip 1.8truecm
\hrule height 1pt
\vskip 2truecm
Le but de ce probl\`eme est l'\'etude de s\'eries enti\`eres \`a
termes positifs sur le bord de l'intervalle de convergence. Toutes
les s\'eries enti\`eres consid\'er\'ees ici s'annulent en 0 (et
sont donc index\'ees par $\N^*$). Une s\'erie de terme g\'en\'eral
$a_n$ sera not\'ee $\sum a_n$ tandis que sa somme (lorsque la
s\'erie converge) sera not\'ee $\Sum_{n=1}^{+\infty} a_n$.\par
Le probl\`eme est constitu\'e de 4 parties. La premi\`ere partie
est un exemple introductif illustrant les r\'esultats g\'en\'eraux
des parties suivantes; elle est ind\'ependante du reste du
probl\`eme. Les parties II, III et IV ne sont pas ind\'ependantes
entre elles et on pourra admettre un r\'esultat non d\'emontr\'e
d'une question pr\'ec\'edente pour r\'epondre \`a une autre
question.
\vskip 1truecm plus 2mm minus 2mm
\centerline{\twelverm Partie I}
\vskip 0.5truecm plus 2mm minus 2mm
Soient $(u_n)_{n\in\N^*}$, $(v_n)_{n\in\N^*}$, $(w_n)_{n\in\N^*}$
les suites de r\'eels d\'efinies pour tout $n\in\N^*$ par~:
$$u_n=1\quad v_n={1\over n}\quad w_n={n+2\over n(n+1)}$$
{\parindent=25pt
\item {1)}Montrer que les trois s\'eries enti\`eres $\sum u_n x^n$, $\sum
v_n x^n$ et $\sum w_n x^n$ ont un rayon de convergence \'egal \`a
1.


\'Etudier la convergence des s\'eries $\sum u_n$, $\sum v_n$
et $\sum w_n$.

\item {2)} D\'eterminer la somme $f(x)$ (respectivement
$g(x)$, $h(x)$) de la s\'erie $\sum u_n x^n$ (respectivement $\sum
v_n x^n$, $\sum w_n x^n$).
\vfill\eject
\item {3)} Calculer $\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}f(x)$,
$\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}g(x)$,
$\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}h(x)$.


Comparer $\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}\dsp{g(x)\over f(x)}$
 et $\Lim_{n\to+\infty}\dsp{v_n\over u_n}$.


Comparer $\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}\dsp{h(x)\over g(x)}$
 et $\Lim_{n\to+\infty}\dsp{w_n\over v_n}$.\par}
\vskip 1truecm plus 2mm minus 2mm
\centerline{\twelverm Partie II}
\vskip 0.5truecm plus 2mm minus 2mm
{\parindent=25pt
\item{1)} Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ une suite de r\'eels v\'erifiant les
conditions
$$(H)\left\{
\matrix{
(H_1)\  a_n>0 \hbox{ pour tout} n\in\N^*\hfill\cr
(H_2)\  \hbox{la s\'erie enti\`ere }\sum a_n x^n \hbox{ a pour rayon
de convergence 1}\cr
(H_3)\  \hbox{la s\'erie }\sum a_n \hbox{ est divergente}\hfill
}\right.$$
On d\'esigne par $f$ la somme de la s\'erie enti\`ere $f(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n$
pour $x\in]-1,1[$.\par
{\itemitem {a)} Soit $A>0$. Montrer qu'il existe $N_1\in\N^*$ tel que $\Sum_{n=1}^{N_1} a_n \geq
2A$.\par
{\itemitem {b)} Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que $0\leq1-x\leq\alpha$
entra\^\i ne $\Sum_{n=1}^{N_1} a_n x^n \geq A$.\par
{\itemitem {c)} En d\'eduire que $\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x<
1}}}f(x)=+\infty$.


{\item {2)} Soit $(b_n)_{n\in\N^*}$ une suite de r\'eels telle que $\dsp\lim_{n\to+\infty}{b_n\over
a_n}=\lambda\in\R$.\par
{\itemitem {a)} On suppose $\lambda\not=0$. Quel est le rayon de convergence de
la s\'erie enti\`ere $\sum b_n x^n$~?
Que peut-on dire de ce rayon de convergence lorsque $\lambda=0$~?
\par
{\itemitem {b)} Soit $g$ la somme de la s\'erie enti\`ere $g(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^n$
pour $x\in]-1,1[$. On pose $\dsp\lambda_n={b_n\over a_n}$. Montrer
que, pour tout $x\in]0,1[$, on a~:
$${g(x)\over f(x)}-\lambda = {1\over f(x)}\Sum_{n=1}^{+\infty} (\lambda_n-\lambda) a_n x^n.$$
Montrer qu'il existe $M>0$ tel que $\vert\lambda_n-\lambda\vert\leq M$
pour tout $n\in\N^*$.\par
{\itemitem {c)} Soit $\varepsilon >0$. Montrer qu'il existe $N_2\in\N^*$ tel
que pour $n\geq N_2,\
\vert\lambda_n-\lambda\vert\leq\varepsilon$.
En d\'eduire que pour $x\in]0,1[$,\ \
$\Sum_{n=N_2+1}^{+\infty}\vert \lambda_n-\lambda\vert a_n x^n \leq \varepsilon f(x)$
\par
{\itemitem {d)} Montrer que, pour $x\in]0,1[$,
$$\left\vert{g(x)\over f(x)}-\lambda\right\vert\leq
\varepsilon+{M\over f(x)}\Sum_{n=1}^{N_2}a_n x^n.$$
\nobreak
En d\'eduire que $\dsp\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}{g(x)\over
f(x)}=\lambda$.
\par}}
\goodbreak
\vfill\eject
\vskip 0.5truecm plus 2mm minus 2mm
\centerline{\twelverm Partie III}
\vskip 0.5truecm plus 2mm minus 2mm
{\parindent=10pt
On donne les r\'esultats suivants qu'on ne demande pas de
justifier~: si $I_n=\dint_0^{\pi\over2}\cos^{2n}\theta\,d\theta$,
alors $I_0=\dsp{\pi\over2}$ et pour $n\geq1$,
$$I_n={1.3\ldots(2n-1)\over2.4\ldots(2n)}{\pi\over2}.$$
Quand $n$ tend vers $+\infty$, on a $I_n\sim\dsp{1\over2}\sqrt{\pi\over
n}$.
\par
Soit l'int\'egrale
$F(x)=\dint_0^{\pi\over2}\!\!\!{d\theta\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}$.\par}
{\parindent=25pt
\item{1)} Montrer que $F(x)$ est d\'efinie pour $x<1$.\par
Que se passe-t-il pour $x=1$~?\par
\'Etudier sans calcul le sens de variation de $F$.\par
Montrer que $F$ est continue sur $]-\infty,1[$.\par
\item{2)} On d\'efinit la suite $(\alpha_n)_{n\in\N}$ par la relation~:
$${1\over\sqrt{1-t}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n t^n \hbox{ pour } t\in]-1,1[.$$
Expliciter $\alpha_0$, $\alpha_1$ et, pour $n\geq 2$,
$\alpha_n$.\par Comparer $\alpha_n$ et $I_n$.\par

{\itemitem{3)\hskip 15pt a)} $x$ \'etant fix\'e dans $]-1,1[$, on pose, pour $N\geq
1$,
$${1\over\sqrt{1-x\cos^2\theta}}=\sum_{n=0}^N\alpha_n\cos^{2n}\theta\,
x^n+\rho_N(\theta).$$
Montrer que $\dsp\vert\rho_N(\theta)\vert\leq\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert
x\vert^n$.
\par
{\itemitem {b)} En d\'eduire que
$F(x)={\pi\over2}+\Sum_{n=1}^N\alpha_n\,I_n\,x^n+R_N$
\itemitem{}avec
$\dsp\vert R_N\vert\leq{\pi\over2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\alpha_n\vert
x\vert^n$.
\itemitem{}En d\'eduire le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $F(x)$
pour $x\in]-1,1[$.\par
\item{4)} En utilisant les r\'esultats de la partie II, d\'eterminer un
\'equivalent de $F(x)$ quand $x$ tend vers 1 par valeurs
inf\'erieures.\par}
\vskip 1truecm plus 2mm minus 2mm
\centerline{\twelverm Partie IV}
\vskip 0.5truecm plus 2mm minus 2mm
\nobreak
{\parindent=25pt
\item {1)} Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ une suite de r\'eels v\'erifiant les
conditions~:
$$(H')\left\{
\matrix{
(H'_1)\  a_1>0 \hbox{ et } a_n\geq0 \hbox{ pour tout} n\in\N^*\hfill\cr
(H'_2)\  \hbox{la s\'erie enti\`ere }\sum a_n x^n \hbox{ a pour rayon
de convergence 1}\cr
(H'_3)\  \hbox{la s\'erie }\sum a_n \hbox{ est divergente}\hfill
}\right.$$
\goodbreak
\vfill\eject
On pose pour tout $n\in\N^*$, $A_n=\Sum_{k=1}^n a_k$.\par
{\itemitem {a)} Montrer que la suite $(A_n)_{n\in\N^*}$ v\'erifie les
conditions $(H_1)$ et $(H_3)$ de la partie II.
\itemitem{}Montrer que le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum A_nx^n$ est
au plus \'egal \`a 1.\par
{\itemitem {b)} Soit $r\in\R$, $0<r<1$. En remarquant que $r^k\geq r^n$ pour $1\leq k\leq%k=0 ne sert à rien!
n$, montrer que la suite $(A_n r^n)_{n\in\N^*}$ est major\'ee.
\itemitem{}En d\'eduire que $(A_n)$ v\'erifie toutes les conditions $(H)$ de la partie II.
\par
{\itemitem {c)} Montrer que, pour tout $x\in]-1,1[$,
$$(1-x)\Sum_{k=1}^nA_k x^k =\Sum_{k=1}^n a_k x^k-A_n x^{n+1}.$$
En d\'eduire une relation entre $\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^n$ et $\Sum_{n=1}^{+\infty}A_n
x^n$.\par
\item{2)} Soit $(c_n)_{n\in\N^*}$ une suite de r\'eels. Posons $C_n=\Sum_{k=1}^n c_k$.
On suppose que \par
$\Lim_{n\to+\infty}\dsp{C_n\over A_n}=\lambda\in\R$.\par
{\itemitem {a)} Montrer que pour $x\in]-1,1[$, la s\'erie $\sum C_n x^n$ est
convergente.\par
{\itemitem {b)} En d\'eduire que la s\'erie  $\sum c_n x^n$ est convergente
pour $x\in]-1,1[$ et \'etablir une relation entre
$\Sum_{n=1}^{+\infty}c_n x^n$ et $\Sum_{n=1}^{+\infty}C_n x^n$.\par
{\itemitem {c)} Montrer alors que $\Lim_{\build {x\to1}_{\scriptstyle{x< 1}}}\dsp
{\Sum_{n=1}^{+\infty}c_n x^n\over \Sum_{n=1}^{+\infty}a_n
x^n}=\lambda$.\par
\item{3)} On d\'efinit les deux suites de r\'eels $(a_n)_{n\in\N^*}$ et $(c_n)_{n\in\N^*}$
par~:
$$\matrix{
a_n&=\dsp{1\over n}\hbox{ pour tout } n\in\N^*\hfill
\cr
{}&{}\cr
c_n&=\left\{
\matrix{
1&\hbox{si }n\hbox{ est de la forme }2^k,\ k\in\N\cr
0&\hbox{sinon}\hfill\cr
}\right.
\hfil\cr
}
$$
{\itemitem {a)} Si $A_n=\Sum_{k=1}^n a_k$, montrer que $A_n\sim\ln n$.\par
{\itemitem {b)} Montrer que si $C_n=\Sum_{k=1}^n c_k$,\quad
$\dsp{\ln n\over \ln 2}\leq C_n\leq{\ln n\over \ln 2}+1$%énoncé rectifié
% l'inégalité
% ${\ln n\over \ln 2}-1\leq C_n\leq{\ln n\over \ln 2}$
% est fausse.
\par
{\itemitem {c)}D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede un \'equivalent quand $x$ tend
vers 1 de la somme $\Sum_{k=0}^{+\infty}x^{2^k}$.
%bien que sans importance, j'ai commencé l'indexation à k=0 et non k=1 comme dans l'énoncé.
\bye
