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\begin{document}
\parindent=0pt
\thispagestyle{myheadings}
\markboth{\large ENSAE 1999\quad MP\quad Math 3\qquad (2 heures)\qquad{\normalsize\emph{corrig{\'e} sommaire}}}
{\large ENSAE 1999\quad MP\quad Math 3\qquad (2 heures)\qquad{\normalsize\emph{corrig{\'e} sommaire}}}

\date{}
%\maketitle
\textbf{\large Questions pr{\'e}liminaires}

\textbf{0.1\quad}
Changer l'ordre des vecteurs de base pour amener en fin de liste
les vecteurs de base du sous-espace stable.

\medskip
\textbf{0.2\quad}
Supposons $A$ r{\'e}ductible et faisons le changement de base de la
question 1; toutes les puissances de $\tilde A$ ont la m{\^e}me
structure, en particulier le bloc de z{\'e}ros (calcul d'un produit de
matrices par blocs). Or dans un changement de base dont la matrice
de passage est une matrice de permutation, les coefficients sont
seulement d{\'e}plac{\'e}s, sans que leurs valeurs soient modifi{\'e}es; $A^p$
a donc des coefficients nuls.

\medskip
\textbf{0.3\quad}
Supposons $A$ {\`a} coefficients positifs, et soit $x$ un vecteur {\`a}
coefficients positifs ayant $p<n$ coordonn{\'e}es non nulles
(exactement), tel que $(I+A)x$ n'ait que $p$ coordonn{\'e}es non
nulles. Les $p$ coordonn{\'e}es non nulles de $x$ restent non nulles
dans $(I+A)x$ ({\`a} cause du terme $Ix$ et de la positivit{\'e}), par
cons{\'e}quent toutes les coordonn{\'e}es nulles de $x$ restent nulles
dans $Ax$, donc le sous espace engendr{\'e} par les vecteurs de base
associ{\'e}s aux coordonn{\'e}es non nulles de $x$ est stable.

En appliquant $n-1$ fois ce r{\'e}sultat {\`a} chacun des vecteurs de
base, on constate que toutes les colonnes de $(I+A)^{n-1}$ ont $n$
coefficients non nuls.

\bigskip

\textbf{\large Probl{\`e}me}

\textbf{1.1\quad}
Sur $\Delta$ il y a au moins une coordonn{\'e}e non nulle, le minimum
est donc cherch{\'e} sur un ensemble fini non vide: il existe. La
positivit{\'e} des coordonn{\'e}es de $Ax-r(x)x$ est cons{\'e}quence triviale
de la d{\'e}finition de $r(x)$. On pourrait d{\'e}finir $r(x)$ comme le
plus grand r{\'e}el positif $\mu$ tel que $Ax-\mu x$ ait toutes ses
coordonn{\'e}es positives.

\medskip
\textbf{1.2\quad}
Si $A-r(x)x=0$, x est vecteur propre (pour $r(x)$), donc
$y$ est proportionnel {\`a} $x$ et $r(x)=r(y)$.

Sinon, $Ax-r(x)x$ appartient {\`a} $\Delta$, donc
$(I+A)^{n-1}(Ax-r(x)x)$ a toutes ses coordonn{\'e}es strictement
positives. Comme $(I+A)^{n-1}((A-r(x)I)x)=(A-r(x)I)((I+A)^{n-1}x)
=Ay-r(x)y$, on constate, d'apr{\`e}s la remarque faite {\`a} la question
pr{\'e}c{\'e}dente, que $r(x)<r(y)$.

\medskip
\textbf{1.3\quad}
$M$ est ferm{\'e} born{\'e} dans $R^n$, donc compact; son image par
l'application lin{\'e}aire d{\'e}finie par $(I+A)^{n-1}$ (continue car en
dimension finie toutes les applications lin{\'e}aires le sont) est
donc compacte.

Les coordonn{\'e}es $x_i$ ne s'annulent pas sur $N$ qui est compact,
elles sont continues, donc sont minor{\'e}es par un r{\'e}el $m>0$; les
applications $x\mapsto (Ax)_i$ sont aussi continues, donc
aussi les $x\mapsto\displaystyle\frac{(Ax)_i}{x_i}$ donc aussi
$r$.

\textit{\small Attention, si $f$ et $g$ , {\`a} valeurs r{\'e}elles, sont
continues, $\min\{f,g\}$ l'est aussi car
$\min\{f,g\}=f-\frac{1}{2}\big((f-g)+|f-g|\big)$; cela se
g{\'e}n{\'e}ralise trivialement {\`a} un nombre fini de fonctions, mais pas {\`a}
<<l'enveloppe inf{\'e}rieure>> d'une famille infinie de fonctions.}

\medskip
\textbf{1.4}
Propri{\'e}t{\'e} classique d'une fonction r{\'e}elle continue sur un compact.

\textit{\small Dans l'{\'e}nonc{\'e}, le quantificateur est plac{\'e}
\emph{incorrectement} apr{\`e}s la proposition qu'il quantifie.}

\medskip
\textbf{1.5\quad}
Cons{\'e}quence triviale de 1.2

\medskip
\textbf{1.6\quad}
Cela a {\'e}t{\'e} d{\'e}montr{\'e} en 1.2 (gr{\^a}ce {\`a} l'in{\'e}galit{\'e} \emph{stricte}
lorsque $x$ n'est pas propre).

\medskip
\textbf{1.7\quad}
Si un vecteur propre {\`a} coordonn{\'e}es positives a une coordonn{\'e}e
nulle, on a une contradiction avec 0.3 (peu importe que la valeur
propre soit $\tilde r$).

\medskip
\textbf{1.8\quad}
$(Ay^+)_i - |\alpha y_i|\geq |(Ay)_i|-|\alpha y_i|=0$; on utilise
alors la remarque faite en 1.1 puis 1.5

\medskip
\textbf{1.9\quad}
1.8  et 1.4 montrent que $r(y^+)=\tilde r$; la d{\'e}monstration de
1.2 montre alors que $y^+$ est vecteur propre pour $\tilde r$; on
applique alors 1.7

\medskip
\textbf{1.10\quad}
Si le sous espace {\'e}tait de dimension plus grande que 1, on
pourrait former par combinaison lin{\'e}aire un vecteur propre ayant
une coordonn{\'e}e nulle, ce qui contredirait 1.9

\bigskip
\textbf{\large Application num{\'e}rique}

$A^2$ n'a aucun coefficient nul; on applique 0.2

Les questions suivantes sont de simples calculs.

Pour 2.4 il suffit de remarquer que $B_{3\ 3}^{(n)}$ est toujours
sup{\'e}rieur {\`a} 1. \textit{\small On cherche vainement le rapport de
cette question avec le reste du probl{\`e}me.}


\end{document}
