\documentstyle[11pt,a4]{article}

\title{MP Maths II - ESIM 1999}

\makeatletter\font\@upstt=cmtt10\def\ps@ups{\let
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\def\para#1{\goodbreak\smallskip\leavevmode\hskip 3em \llap{\textbf{ #1 \
}}}
\def\dfrac#1#2{\displaystyle{{#1\over #2}}}
%
\begin{document}
%
\begin{center}
\begin{enumerate}
\textbf{
\item[]SESSION DE 1999 
\item[]\hrule
\item[] FILI\`ERE MP
\item[]\hrule
\item[] EPREUVE DE MATHEMATIQUES II - ANALYSE}
\item[] Dur\'ee : 3 heures
\item[]\textit{L'utilisation des calculatrices est autoris\'ee}
\end{enumerate}
\end{center}\bigskip

On rappelle que $\displaystyle\int_0^x \dfrac{du}{
\sqrt{1+u^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$.

\smallskip\par
\begin{center}
\textbf{\Large Partie 1}
\end{center}

Soit $(u_n)_{n\geq 0} $ la suite de fonctions d\'efinies sur $]0,+\infty[$
par~: 
$$u_0(x)=x,\ u_{n+1}(x)=\dfrac{2\sqrt{u_n(x)}}{1+u_n(x)}$$

\para{ Question 1} 

\medskip\par   \textbf{ a)} Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge
simplement vers
la fonction constante \'egale \`a 1.

\medskip\par   \textbf{ b)} Soit $U_n=\dfrac{1}{ u_n}$. Montrer que la suite
$(U_n)_{n\geq 0}$
v\'erifie 
la relation de r\'ecurrence suivante : 
$$\forall x>0,\ 
U_{n+1}(x)=\dfrac{1+U_n(x)}{2\sqrt{U_n(x)}}$$ 
En d\'eduire que~:
$\forall x>0,\forall n\geq 1,\ |U_{n+1}(x)-U_n(x)|\leq \dfrac12
|U_n(x)-1|$.

\medskip\par   \textbf{ c)} Prouver que la suite  $(U_n)_{n\geq 0}$ converge
uniform\'ement sur
tout compact de $]0,+\infty[$. Que peut-on en d\'eduire pour la convergence
de la suite  $(u_n)_{n\geq 0}$ ?

\para{ Question 2} 

On d\'efinit la suite de fonctions $(v_n)_{n\geq 0}$ par~: 
$$v_0=1,\ \forall
n\geq 0, v_{n+1}=v_n\dfrac{1+u_n}{2}.$$

\medskip\par   \textbf{ a)} Montrer que pour tout $x>0$, les suites
$(v_n(x))_{n\geq 1}$
et $(v_n(x)u_n(x))_{n\geq 1}$ sont adjacentes.\par 
On note $f(x)$ la limite de la suite $(v_n(x))_{n\geq 1}$.

\medskip\par   \textbf{ b)} Montrer que les suites de fonctions
$(v_n)_{n\geq 1}$
et $(u_n)_{n\geq 0}$ convergent uniform\'ement vers $f$ sur tout compact de
$]0,+\infty[$.

\medskip\par   \textbf{ c)} En d\'eduire que la fonction $f$ est continue
sur $]0,+\infty[$. 

\smallskip\par
\begin{center}
\textbf{\Large Partie 2}
\end{center}
 

Soit $F(x)=\int_0^{+\infty} \dfrac{dt}{\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}$.

\para{ Question 1} Montrer que l'application $x\mapsto F(x)$ est une
application de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.


\para{ Question 2}
 Trouver une relation simple entre $F(x)$ et $F(\dfrac1x)$.

\para{ Question 3}

\medskip\par   \textbf{ a)} D\'eterminer la limite de $F(x)$ lorque $x\to
+\infty$.

\medskip\par   \textbf{ b)} En remarquant que $F(x)>\int_0^{+1} \dfrac{dt}{
\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}$,
d\'eterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x\to 0$.

\para{ Question 4}

\medskip\par   \textbf{ a)} Montrer que
$F(x)=2\displaystyle\int_0^{+\sqrt{x}} \dfrac{dt}{
\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}$,

\medskip\par   \textbf{ b)} Montrer que $F(x)$  est \'equivalent au
voisinage de $0$ \`a 
$2\displaystyle\int_0^{+\sqrt{x}} \dfrac{dt}{\sqrt{x^2+t^2}}$.

\medskip\par   \textbf{ c)} En d\'eduire des \'equivalents simples de $F$ au
voisinage de $0$ et
de $+\infty$.

\bigskip\par
\begin{center}
\textbf{\Large Partie 3}
\end{center}

\para{ Question 1} 

Soit $x$ un r\'eel strictement positif.

\medskip\par   \textbf{ a)}  soit $\varphi$ l'application d\'efinie sur
$]0,+\infty[$ par~:
$\varphi(t)=\dfrac12\big(t-\dfrac{x}{t}\big)$.

Montrer que $\varphi $  est un $C^1$ diff\'eomorphisme de $]0,+\infty[$ sur
I$\!$R,
et que~: $\forall t>0,\ \varphi'(t)=\dfrac1t\sqrt{x+\varphi^2(t)}$.

\medskip\par   \textbf{ b)} \`A l'aide du changement de variable
$u=\varphi(t)$,  montrer que 
$F(x)=\dfrac2{1+x} F\big(\dfrac{2\sqrt{x}}{1+x}\big)$.

\para{ Question 2}
En d\'eduire que $f(x)F(x)$ ne d\'epend pas de $x$. Quelle est cette valeur
?

\bigskip\par
\begin{center}
\textbf{\Large Partie 4}
\end{center}\bigskip

Dans cette partie on suppose que $x$ appartient \`a $]0,1[$. 

\para{ Question 1} 

Montrer que pour tout $x$, $(1+x)f\big(\dfrac{1-x}{
1+x}\big)=f(\sqrt{1-x^2})$.

\para{ Question 2} 

En d\'eduire que si l'on pose $w_n(x)=\sqrt{1-u_n^2(x)}$,
$$(1+u_n(x))f(w_{n+1}(x))=f(w_n(x))$$

\para{ Question 3}

Prouver que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} 2^nf\big(w_n(x)\big)=
\dfrac{f\Bigl(\sqrt{1-x^2}\Bigr)}{ f(x)}$.

\para{ Question 4}

Soit $k_n(x)=-2^{-n} \ln(w_n(x))$. Montrer en utilisant les r\'esultats
obtenus \`a la partie 2, question 4 et partie 3 question 2 que 
$$k_n(x)\sim\dfrac{\pi}{ 2}\dfrac{f(x)}{f(\sqrt{1-x^2})}
\qquad\mbox{lorsque $n\rightarrow +\infty$}$$

\para{ Question 5}

\medskip\par   \textbf{ a)} Montrer que pour tout $n$, et pour tout $x,\
k'_{n+1}(x)=\dfrac{k'_n(x)}{u_n(x)}$.

\medskip\par   \textbf{ b)} En d\'eduire que pour tout $n$, 
$\dfrac{k'_{n+1}(x)}{(u_{n+1}v_{n+1})^2(x)}=\dfrac{k'_{n}(x)}{
(u_{n}v_{n}(x))^2}$.

\medskip\par   \textbf{ c)} D\'eterminer $k'_n(x)$ \`a l'aide de $x,\
u_n(x)$ et de $v_n(x)$.
Quelle est alors la limite de la suite $(k'_n(x))_{n\geq 0}$~?

\para{ Question 6}

Prouver  que~: \hskip 2cm $\dfrac{\pi}{ 2}\dfrac{d}{dx}\big(
\dfrac{f(x)}{ f(\sqrt{1-x^2})}\big)=\dfrac{(f(x))^2}{ x(1-x^2)}$.

\para{ Question 7}

Montrer que $\pi=2\sqrt{2} \dfrac{f^3\bigl(1/\sqrt{2}\bigr)}{
f'\bigl(1/\sqrt{2}\bigr)}$.

Que devient cette \'egalit\'e lorsqu'on remplace $f$ par son expression \`a
l'aide de la fonction $F$~?

\end{document}
