\input upsnum.tex
\parindent=0mm
\newskip\sautunit
\newskip\saut
\sautunit=1mm plus 0.4 mm minus 0.2 mm
\def\sauter#1{\saut=\sautunit \multiply \saut by #1 \vskip \saut}
\def\t#1{{}^t\!#1}
\def\im{{\rm Im}}
\def\comb #1#2{{#1\choose #2}}
\def\E #1{\left[#1\right]}

\sauter 8
\centerline{\bf E.S.I.M. 1999 PC--PSI Math. 2}

\sauter 6
\centerline{\bf Partie 1}
\sauter 4
\item{\bf 1)\kern 4mm}Si $x$ appartient \`a $N_k$ alors $u^k(x)=0_E$ donc
$u^{k+1}(x)=u\bigl(u^k(x)\bigr)=u(0_E)=0_E$
donc $x\in N_{k+1}$ ; ainsi $N_k\subset N_{k+1}$.

Si $x$ appartient \`a $I_{k+1}$ alors il existe $y\in E$ tel que
$u^{k+1}y)=x$ donc
$x=u^{k}\bigl(u(y)\bigr)\in I_{k}$ ; ainsi $I_{k+1}\subset I_k$.

\sauter 4
\item{\bf 2)\kern1mm a)}Si on avait $N_k\ne N_{k+1}$ pour tout $k$ alors,
en raison de l'inclusion, on aurait
$\dim(N_k)<\dim(N_{k+1})$ donc $\dim(N_{k+1})\ge \dim(N_k)+1$
puis, par r\'ecurrence, $\dim(N_k)\ge \dim(N_0)+k=k$.

En particulier $\dim(N_{p+1})\ge p+1>p=\dim(E)$ ce qui contredit
$N_{p+1}\subset E$.

L'hypoth\`ese faite est fausse : il existe $k$ tel que $N_k= N_{k+1}$.

\sauter 2
\item{\bf b)}La d\'emonstration ci--dessus montre que si $N_k\ne N_{k+1}$
pour $k<q$ alors
$\dim(N_q)\ge q$. Comme on a $\dim(N_q)\le \dim(E)=p$ on en d\'eduit $q\le p$.

\vskip 1mm
Par d\'efinition, pour $k<q=\min\{k\,:\,N_k=N_{k+1}\}$, on a~$ N_k\ne N_{k+1}$.

\vskip 1mm
On va prouver par r\'ecurrence sur $l$ que $N_{q+l}=N_{q}$.
Pour $l=0$ c'est un \'evidence.

Supposons la propri\'et\'e vraie pour $l$ : $N_{q+l}=N_{q}$.
On a toujours (cf. {\bf 1)}) $N_{q}\subset N_{q+l+1}$.

Soit $x$ appartenant \`a $N_{q+l+1}$ ; on a
$u^{q+l+1}(x)= u^{q+1}\big(u^l(x)\big)=0_E$ donc $u^l(x)$ appartient \`a
$N_{q+1}=N_{q}$ d'apr\`es l'\'enonc\'e.
Ainsi $u^{q+l}(x)= u^{q}\big(u^l(x)\big)=0_E$ donc $x$ appartient \`a
$N_{q+l}=N_q$ d'apr\`es l'hypoth\`ese de r\'ecurrence
d'o\`u $N_{q+l+1}\subset N_q$ puis $N_{q+l+1}= N_q$.

La propri\'et\'e est donc vraie pour tout $l$ : $N_{q+l}=N_q$ pour tout
$l\ge 0$
c'est--\`a--dire $N_{k}=N_q$ pour tout $k\ge q$.

\sauter 2
\item{\bf c)}On a $I_{k+1}\subset I_k$, $N_k\subset N_{k+1}$ et
$\dim(I_{k})=\dim(E)-\dim(N_k)$ donc

$\bigl[I_{k+1}= I_k\bigr]
\iff\bigl[\dim(I_{k})=\dim(I_{k+1})\bigr]
\iff\bigl[\dim(N_{k})=\dim(N_{k+1})\bigr]\iff \bigl[N_{k+1}= N_k\bigr]$.

Ainsi $I_k=I_q$ pour $k\ge k$ et $I_k\ne I_{k+1}$ pour $k<q$.

\penalty -500
\sauter 4
\item{\bf 3)\kern 4mm}Si $x$ appartient \`a $\dim(I_{k})\cap \dim(N_k)$
alors $u^q(x)=0_E$
et il existe $y\in E$ tel que $x=u^q(y)$ ;
on a donc $u^{2q}(y)=u^q\bigl(u^q(y)\bigr)=u^q(x)=0_E$ d'o\`u $y\in N_{2q}$

Or $N_{2q}=N_q$ car $2q\ge q$ ce qui implique $y\in N_q$ donc $x=u^q(y)=0_E$.
Ainsi $\dim(I_{k})\cap \dim(N_k)=\{0_E\}$ :

la somme est directe or on a
$\dim(I_{k})+\dim(N_k)=\dim(E)$ donc $E=N_k\oplus I_k$.

\sauter 1

La restriction de $u^k$ \`a $F$ est une application lin\'eaire vers
$\im(u^k)=I_k$ pour tout sous--espace $F$ donc, pour
$F=I_k$, la restriction de $u^k$ \`a $I_k$ est un endomorphisme. De plus le
noyau de la restriction
est $\ker(u^k)\cap F$ donc il est ici r\'eduit \`a $\{0_E\}$ : la
restriction de $u^k$ \`a $I_k$ est un automorphisme.



\sauter 4
\item{\bf 4)\kern1mm a)}Pour $x\in N_q$ on a $u^q(x)=0_E$ donc
$u^q\bigl(u(x)\bigr)=u\bigl(u^q(x)\bigr)=u(0_E)=0_E$ d'o\`u
$u(x)\in N_q$ : $N_q$ est stable par $u$.
Pour $x\in I_q$ il existe $y\in E$ tel que  $u^q(y)=x$ donc
$u(x)=u\bigl(u^q(y)\bigr)=u^q\bigl(u(y)\bigr)\in I_q$ : $I_q$ est stable
par $u$.

Comme tout sous--espace est stable par $Id_E$ on en d\'eduit que $I_q$ et
$N_q$ sont stables par
$u-\lambda Id_E$

\sauter 2\item{\bf b)}On note $v=u-\lambda Id_E$ : $I_q$ et $N_q$ sont
stables par $v$ donc par $v^n$.

On a $v^0=Id_e$ donc $\ker(v^0)=\{0_E\}\subset I_q$. On suppose maintenant
$n\ge 1$.

Si $x$ appartient \`a $\ker(v^n)$ alors, en \'ecrivant $x=x_1+x_2$ avec
$x_1\in I_q$ et $x_2\in N_q$, on a
$0_E=v^n(x)=v^n(x_1)+v^n(x_2)$ avec $v^n(x_1)\in I_q$ et $v^n(x_2)\in N_q$ donc
$v^n(x_1)=v^n(x_2)=0_E$.

Or si $v(x'_2)=0_E$ avec $x'_2\in N_q$ alors
$u(x'_2)=\lambda x'_2$ donc $0_E=v^q(x'_2)=\lambda^q x'_2$ d'o\`u
$x'_2=0_E$. Par r\'ecurrence on en d\'eduit que si
$v^n(x_2)=0_E$ alors $x_2=0_E$.

Ainsi si $x\in\ker(v^n)$ alors $x=x_1+0_E\in I_q$ donc
$\ker\bigl((u-\lambda Id_E)^n\bigr)\subset I_q$.

\sauter 6
\centerline{\bf Partie 2}
\sauter 4
\item{\bf 1)\kern4mm}Si $A$ est 1--sym\'etrique alors $0=C(0)
=\comb 10 \bigl(\t A\bigr)^0A^1-\comb 10 \bigl(\t A\bigr)^1A^0=A-\t A$


donc $\t A=A$ : $A$ est sym\'etrique.

\sauter 4

${}\kern -10mm \eqalign{{\bf 2)\kern1mm a)}\kern3mm\textstyle
\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k\comb nk\comb km\comb{n-k}q
&\textstyle =\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k{n! \over k!(n-k)!}{k! \over
m!(k-m)!}{(n-k)! \over q!(n-k-q)!}\cr
&\textstyle ={n! \over  m!q!}\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k{1 \over (k-m)!(n-k-q)!}\cr
&\textstyle ={n! \over  m!q!(n-m-q)}\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k\comb
{n-m-q}{k-m}\cr
&\textstyle =\comb n{m{+}q}\comb
{m{+}q}q(-1)^m\sum_{i=0}^{n-q-m}(-1)^i\comb {n{-}m{-}q}i\cr
&\textstyle =\comb n{m{+}q}\comb {m{+}q}q(-1)^m\bigl(1-(-1)\bigr)^{n-q-m}=0\cr
}$

pour $n-q-m>0$.
Pour $m+q=n$ on obtient
$\sum_{k=m}^{m}(-1)^k\comb nk\comb km\comb{n-k}{n-m}=\comb nm\comb
mq(-1)^m=\comb mq(-1)^m$.

\penalty -1000
\sauter 2\item{\bf b)}On a $\bigl(\t(A-\mu I)\bigr)^k=(\t A-\mu I)^k$ donc

$\eqalign{C(0)
&\textstyle =\sum_{k=0}^n(-1)^k\comb nk\bigl(\t(A-\mu I)\bigr)^k(A-\mu
I)^{n-k}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^n(-1)^k\comb nk(\t A-\mu I)^k(A-\mu I)^{n-k}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^n\!\sum_{m=0}^k\!\sum_{q=0}^{n-k}(-1)^k\comb
nk\comb km(-\mu)^{k-m}(\t A)^m
\comb{n-k}q(-\mu)^{n-k-q}A^{q}\cr
&\textstyle =\sum_{m=0}^n(\t A)^m\sum_{k=m}^n\!\sum_{q=0}^{n-k}(-1)^k\comb
nk\comb km
\comb{n-k}qA^{q}\cr
&\textstyle =\sum_{m=0}^n(\t
A)^m\sum_{q=0}^{n-m}(-\mu)^{n-m-q}A^{q}\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k\comb nk\comb
km
\comb{n-k}q\cr
}$

o\`u on a interverti successivement les sommations par rapport \`a $k$ et
$m$ puis
par rapport \`a $k$ et $q$. La derni\`ere somme est nulle  pour $m+q< n$
donc il ne reste que les termes pour lesquels
$q=n-m$ :
$C(0) =\sum_{m=0}^n(\t A)^m A^{q}\comb mq(-1)^m$.

Cette derni\`ere somme est nulle si $A$ est $n$--sym\'etrique
ce qui implique que $A-\mu I$ est $n$--sym\'etrique si $A$ l'est.


\sauter 4
\item{\bf 3)\kern1mm a)}Comme $T$ et $N$ commutent alors $\t T$ et $\t N$
commutent et on peut d\'evelopper $(T+N)^k$ et
$\bigl(\t(T+N)\bigr)^k=(T-\t N)^k$ avec la formule du bin\^ome :

$\eqalign{C(0)
&\textstyle =\sum_{k=0}^n(-1)^k\comb nk(T-\t N)^k(T+N)^{n-k}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^n\!\sum_{m=0}^k\!\sum_{q=0}^{n-k}(-1)^k\comb
nk(-1)^m\comb kmT^{k-m}(\t N)^m
(-1)^q\comb kmT^{n-k-q}N^q\cr
&\textstyle =\sum_{m=0}^n\sum_{q=0}^{n-m}(-1)^{m+q}T^{n-m-q}(\t
N)^mN^q\sum_{k=m}^{n-q}(-1)^k\comb nk\comb km
\comb{n-k}q\cr
&\textstyle =\sum_{m=0}^n(-1)^{n}(\t N)^mN^{n-m}\hbox{ comme ci--dessus.}\cr
}$

Si on choisit $n=2r-1$ on a soit $m\ge r$ donc $(\t N)^m=\t(N^m)=0$ soit
$m<r$ donc $n-m>r-1$ d'o\`u
$n-m\ge r$ puis $N^{n-m}=0$.
On arrive donc \`a $C(0)=0$ :  $T+N$ est $2r-1$--sym\'etrique.

\sauter 2\item{\bf b)}Si on a $A$ est $n$--sym\'etrique alors

\overfullrule=0pt
$\eqalign{{}\kern -6mm C(0)
&\textstyle =\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\comb {n+1}k(\t A)^kA^{n+1-k}\cr
&\textstyle =A^{n+1}{+}\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\comb {n+1}k(\t
A)^kA^{n+1-k}{+}(\t A)^{n+1}\cr
&\textstyle =A^{n+1}{+}\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\bigl(\comb {n}k{+}\comb
{n}{k-1}\bigr)(\t A)^kA^{n+1-k}{+}(\t A)^{n+1}\cr
&\textstyle =A^{n+1}\!{+}\!\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\comb {n}k(\t A)^kA^{n+1-k}
{+}\!\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\comb {n}{k-1}(\t A)^kA^{n+1-k}{+}(\t A)^{n+1}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k(\t A)^kA^{n+1-k}
{+}\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k\comb {n}{k-1}(\t A)^kA^{n+1-k}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k(\t A)^kA^{n+1-k}
{+}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}\comb {n}{k}(\t A)^{k+1}A^{n+k}\cr
&\textstyle =A\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k(\t A)^kA^{n-k}
{-}\t A\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k(\t A)^kA^{n-k}=A.0-\t A.0\cr
}$

Ainsi $A$ est $n{+}1$--sym\'etrique si $A$ est $n$--sym\'etrique.


\sauter 6
\penalty -1000
\centerline{\bf Partie 3}
\sauter 4
\item{\bf 1)\kern1mm a)}On a
$A.\overline{Y}=\overline{A.Y}=\overline{\mu.Y}=\overline{\mu}.\overline{Y}$ car les coefficients de $A$ sont r\'eels.\sauter 2\item{\bf b)}On a $A^k
.X=\lambda^k.X$, $\t\,\overline{ Y}.\t A=\t\bigl(A.\overline Y\bigr)
=\t\bigl(\overline \mu.\overline Y\bigr)=\overline \mu.\t\,\overline{ Y}$
et $\t\,\overline{ Y}.(\t A)^k=
(\overline \mu)^k.\t\,\overline{ Y}$.

$0=\t\,\overline{ Y}.C(0).X
=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k\t\,\overline{ Y}.(\t
A)^k.A^{n-k}.X\textstyle =\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb{n}k(\overline \mu)^k\lambda ^{n-k}\t\,\overline{ Y}.X =(\lambda -\overline
\mu)^n.\t\,\overline{ Y}.X$

\sauter 2\item{\bf c)}En particulier si $X\in {\cal M}_{n,1}({\bf C})$ est
vecteur propre (donc non nul) pour la
valeur propre $\lambda\in {\bf C}$ et si
$Y=X$ on obtient $(\lambda -\overline \lambda )^n.\t\,\overline{ X}.X=0$
avec $\t\,\overline{ X}.X=\|X\|^2\ne 0$ donc
$\lambda -\overline \lambda=0$ c'est--\`a--dire $\lambda \in {\bf R}$ : les
valeurs propres sont r\'eelles.

Si $\lambda \ne \mu$ sont deux valeurs propres de vecteurs propres
(r\'eels) associ\'es $X$ et $Y$ on a
$0=(\lambda -\mu)^n.\t{ Y}.X$ donc
$\t{ Y}.X=0$ car $(\lambda -\mu)^n\ne 0$ :
les sous--espaces propres sont orthogonaux.

\item{\bf 2)\kern4mm}Si $A.Y=\mu $ alors ${\t
Y}.C(0).X=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k\t\, Y.(\t A)^k.A^{n-k}.X$ or
$\t\, Y.(\t A)^k=\t(A^k.Y)=\t(\mu^k .Y)=\mu^k.\t\, Y$ donc
${\t Y}.C(0).X=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\comb {n}k\mu^k.\t\, Y.A^{n-k}.X
=\t\, Y.\bigl(A-\mu I\bigr)^n.X$.

On a donc $\bigl(A-\mu I\bigr)^n.X$ orthogonal \`a $Y$ pour tout $X\in
{\cal M}_{n,1}({\bf R})$ et pour tout
$Y\in\ker(A-\mu I)$ d'o\`u $\ker(A-\mu I)$ est orthogonal \`a
$\im\bigl((A-\mu I)^n\bigr)$.

\sauter 4
\item{\bf 3)\kern1mm a)}Si $n\le q$ on a $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)\subset
\im\bigl((A-\mu I)^n\bigr)$,
si $n\ge q$ on a $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)=\im\bigl((A-\mu I)^n\bigr)$.

Dans les deux cas $\ker(A-\mu I)$ est orthogonal \`a $\im\bigl((A-\mu
I)^q\bigr)$.

\sauter 2\item{\bf b)}On suppose que $\ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)$ est
orthogonal \`a $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$.

Pour $X\in \ker\bigl((A-\mu I)^{m+1}\bigr)$ on pose $X'=(A-\mu I).Y$ :
$X'\in \ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)$.

On a donc, pour tout $Y\in \im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$, $\t X'.Y=0$ donc
$\t X.\t(A-\mu I).Y=0$

On a $(A-\mu I)^{n-k}.Y\in \im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ et
$\t X.\bigl(\t(A-\mu I)\bigr)^{k-1}=\t\bigl((A-\mu I)^{k-1}.Y\bigr)\in
\ker\bigl((A-\mu I)^{m+1}\bigr)$
car les sous--espaces $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ et $\ker\bigl((A-\mu
I)^{m+1}\bigr)$ sont stable par $A-\mu I$
donc

$\t X.\bigl(\t(A-\mu I)\bigr)^k.(A-\mu I)^{n-k}.Y=\t X.\bigl(\t(A-\mu
I)\bigr)^{k-1}\t(A-\mu I).(A-\mu I)^{n-k}.Y=0$.

$\eqalign{\hbox{Ainsi }\t X.C(\mu).Y
&\textstyle =\sum_{k=0}^n (-1)^k \comb nk \t X.\bigl(\t(A-\mu
I)\bigr)^k.(A-\mu I)^{n-k}.Y\cr
&\textstyle =(-1)^0 \comb n0 \t X.\bigl(\t(A-\mu I)\bigr)^0.(A-\mu
I)^{n}.Y\hbox{ (seul terme non nul)}\cr
&\textstyle =\t X.(A-\mu I)^{n}.Y\cr
}$

de plus ({\bf 2 2)b)}) $C(\mu)=0$ si $A$ est $n$--sym\'etrique donc $\t
X.(A{-}\mu I)^{n}.Y=0$
pour tout $Y\in \im\bigl((A{-}\mu I)^q\bigr)$. Comme on sait que la
restriction de $A{-}\mu I$ \`a
$\im\bigl((A{-}\mu I)^q\bigr)$ est un automorphisme on en d\'eduit que $\t
X.Y'=0$ pour tout
$Y'\in \im\bigl((A{-}\mu I)^q\bigr)$ donc $\ker\bigl((A{-}\mu
I)^{m+1}\bigr)$ est orthogonal \`a
$\im\bigl((A{-}\mu I)^q\bigr)$.

Ainsi $\ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)$ est orthogonal \`a $\im\bigl((A-\mu
I)^q\bigr)$ pour tout $m$.

\sauter 2
\penalty -1000
\item{\bf c)}D'apr\`es {\bf 1 4) b)} $\ker\bigl((A-\lambda
I)^m\bigr)=\ker\Bigr(\bigl((A-\mu I)-({\lambda
-\mu})\bigr)^m\Bigr)$ est inclus dans $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ pour
tout $m$.


La somme $\ker\bigl((A-\mu I)^q\bigr)+\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ est
directe avec
$\ker\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ orthogonal \`a $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ donc
$\ker\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ est l'orthogonal de $\im\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$.

Ainsi $\ker\bigl((A-\lambda I)^m\bigr)\subset \im\bigl((A-\mu
I)^q\bigr)=\bigl(\ker\bigl((A-\mu I)^q\bigr)\bigr)^\perp
\subset \bigl(\ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)\bigr)^\perp$

car $\ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)\subset \ker\bigl((A-\mu I)^q\bigr)$ pour
tout $m$ donc
$\ker\bigl((A-\lambda I)^m\bigr)$ et $\ker\bigl((A-\mu I)^m\bigr)$ sont
orthogonaux pour tout $m$ et, en particulier,
pour $m=p$.

\sauter 2\item{\bf d)}On pose $u=A-\lambda I$. D'apr\`es le {\bf 1 2)},
$E=N_q\oplus I_q$ avec $q\le p$ donc $I_p=I_q$ et
$N_p=N_q$ et, d'apr\`es la question {\bf b)} ci--dessus, $N_p$ est
l'orthogonal de $I_p$.

Alors
$N_p=\ker(u^p)=\bigl(\im(u^p)\bigr)^\perp=\ker\bigl((u^p)^*\bigr)=\ker\bigl((u^*
)^p\bigr)$ donc
$N_p$ est stable par $u^*$ : $\ker\bigl((A-\lambda I)^p\bigr)$ est stable
par $\t(A-\lambda I)$ donc par
$\t A$.

\sauter 4
\item{\bf 4)\kern1mm a)}On a $A^m=0$ et $A^s\ne 0$ avec $s=\E{n+1 \over 2}$
(donc $s<m$).

On a donc $N_m={\bf R}^p$ et $N_s\ne N_s$ d'o\`u $N_s\subset N_{s+1}$ et
$N_s\ne N_{s+1}$.

Si $X\in N_{s+1}\setminus N_s$  on a $A^s.X\ne 0$ et $A^{s+1}.X=0$ donc
$A^k.X=0$ pour $k>s$.

\sauter 2\item{\bf b)}Si $n=2r$ (d'o\`u $s=r$) alors
$0=\t X.C(0).X=\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk \t X.\t(A^k).A^{n-k}.X$ avec
$A^{n-k}.X=0$ pour $n-k>s$ c'est--\`a--dire
$k<n-s=r$ et $\t X.\t(A^k)=\t\bigl(A^k.X\bigr)=0$ pour $k>s=r$.

Le seul terme non nul est donc obtenu pour $k=r$ :

$0=(-1)^r\comb {2r}r \t X.\t(A^r).A^{2r-r}.X=(-1)^r\comb {2r}r \t (A^r.X).
(A^r.X)=(-1)^r\comb {2r}r \|Y\|^2$

on arrive  \`a une contradiction car $Y$ est choisi non nul.

\sauter 2\item{\bf c)}Si $n=2r+1$ (d'o\`u $s=r+1$) alors
$0=\t(A.X).C(0).X=\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk \t X.\t(A^{k+1}).A^{n-k}.X$
avec $A^{n-k}.X=0$ pour $n-k>s$ c'est--\`a--dire
$k<n-s=r$ et $\t X.\t(A^{k+1})=\t\bigl(A^{k+1}.X\bigr)=0$ pour $k+1>s=r+1$.
Le seul terme non nul est donc obtenu pour $k=r$ :
$0=(-1)^{s}\comb {2r+1}{r} \t X.\t(A^{r+1}).A^{r+1}.X=(-1)^{s}\comb
{2r+1}{r} \t (A^s.X). (A^s.X)$
d'o\`u, encore $\|Y\|^2=0$
on arrive  \`a la m\^eme contradiction.

L'hypoth\`ese faite est donc contredite dans tous les cas : on a $A^{\E{n+1
\over 2}}=0$.

\sauter 6
\centerline{\bf Partie 4}
\sauter 4
\item{\bf 1)}Si $A$ et $A'$ sont orthogonalement semblables,
$A=P.A'.P^{-1}$ avec $P$ orthogonale, alors
$A=P.A'.\t P$ et $\t A=\t(P.A'.\t P)=P.\t A'.\t P$ puis

$\eqalign{C(0)
&\textstyle =\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk (\t A)^kA^{n-k}
\textstyle =\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk (P.\t A'.\t P)^k(P.A'.\t P)^{n-k}\cr
&\textstyle =\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk P.(\t A')^k.\t P.P.(A')^{n-k}.\t P\cr
&\textstyle =P.\bigl(\sum_{k=0}^n (-1)^k\comb nk (\t
A')^k.(A')^{n-k}\bigr).\t P
=P.C'(0).\t P\cr
}$

Ainsi $C(0)=0$ si et seulement si $C'(0)=0$ c'est--\`a--dire $A$ est
$n$--sym\'etrique  si et seulement si
$A'$ est $n$--sym\'etrique.

Or les matrices d'un endomorphisme dans des bases orthonorm\'ees sont
orthogonalement semblables donc elles sont simultan\'ement $n$--sym\'etriques.
On peut d\'efinir la $n$--sym\'etrie d'un endomorphisme.

\sauter 4
\item{\bf 2)}Si on traduit matriciellement les hypoth\`eses on arrive \`a
la situation du {\bf 2~3)}
donc $u$ est $m$--sym\'etrique avec $m=2\E{n+1 \over 2}-1= n$ si $n$ est
impair et
$m=2\E{n+1 \over 2}-1= n-1$ si $n$ est pair. Dans ce dernier cas on a vu
qu'alors $u$ est $n$ sym\'etrique.

\sauter 4
\item{\bf 3)}L'indication sur la d\'ecomposition de $E$ en somme directe
orthogonale des $\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$
peut se d\'emontrer en prouvant que la somme de ces sous--espace est
orthogonale et en \'etudiant l'orthogonal de cette
somme~: $E'$.
La restriction de $u$ \`a $E'$ est encore $n$--sym\'etrique donc ses
valeurs propres sont r\'eelles mais $E'$ a une
intersection nulle avec les sous--espaces propres.

\sauter 1
On en d\'eduit que $E'=\{0_E\}$ d'o\`u le r\'esultat.

On d\'efinit alors $\theta $ et $v$ sur $\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$
par $\theta(x)=\lambda x$ et
$v(x)=u(x)-\theta (x)$.

\item{$\longrightarrow$}$\theta$ est diagonalis\'e dans une base
orthonorm\'ee adapt\'ee \`a la somme directe orthogonale donc
est un endomorphisme sym\'etrique.

\item{$\longrightarrow$}La restriction de $v$ \`a chaque
$\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$ est nilpotente car dans cet espace
$u-\lambda Id=v$ donc $v^p=0$. on en d\'eduit que $v$ est nilpotent.

\item{$\longrightarrow$}Sur $\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$ on a
$v=u-\lambda Id$ et $u$ est $n$--sym\'etrique donc,
d'apr\`es
{\bf 2 2)}, $v$ est $n$--sym\'etrique.

D'apr\`es {\bf 3 4)} la restriction de $v$, nilpotente et
$n$--sym\'etrique, v\'erifie $v^{\E{n+1\over 2}}=0$ sur
$\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$ pour tout $\lambda$ donc
$v^{\E{n+1\over 2}}=0$ sur $E$.

\item{$\longrightarrow$}$v\circ \theta =\theta \circ v$ dans
$\ker\bigl((u-\lambda Id)^p\bigr)$ pour tout $\lambda$ donc
$v\circ \theta =\theta \circ v$ sur $E$.

On approuv\'e la r\'eciproque du {\bf 2 3) a)}.

\sauter 4
\item{\bf 4)}On a vu que si $u$ est $2r{-}1$--sym\'etrique alors $u$ est
$2r$--sym\'etrique ({\bf \bf 2 3) a)}).

Si $u$ est $2r$--sym\'etrique alors $u=\theta +v$ avec $\theta$
sym\'etrique, $v$ nilpotente d'indice
$\E{2r+1 \over 2}=r$ et $v\circ \theta =\theta \circ v$.
D'apr\`es {\bf 2 3) a)} $u$ est alors $2r{-}1$--sym\'etrique.
On a donc prouv\'e l'\'equivalence souhait\'ee.

En particulier $u$ est 2--sym\'etrique si et seulement si $u$ est
1--sym\'etrique :

les endomorphismes 2--sym\'etriques sont les endomorphismes sym\'etriques.

\bye