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\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
{\LARGE ENS\ Ulm , Lyon et Cachan}

\textbf{Math\'{e}matiques Session 1999}

Quelques notes vers une solution 
\end{center}

\section{Q0}

E sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions continues
admettant 2$\pi $ p\'{e}riode est un sous espace des fonctions born\'{e}es
(norme N$_{\infty })$

\begin{lemma}
Soit f dans E avec $N_{1}(f)=0.$ En utilisant une subdivision adapt\'{e}e
\`{a} la fonction , la positivit\'{e} et la continuit\'{e} sur chaque
intervalle $I_{p}$ ouvert associ\'{e} \`{a} cette subdivision f est nulle
sur chaque intervalle ouvert $I_{p},$ par continuit\'{e} \`{a} gauche en
chaque point elle est nulle sur $]-\pi ,\pi ]$ et par 2$\pi $
p\'{e}riodicit\'{e} elle est nulle sur R.\newline
\textbf{Conclusion :}$N_{1}est$ une norme sur E .De meme $N_{2}$ est une
norme sur E.
\end{lemma}

\section{Q1 Sommation de Cesaro}

la convergence d'une suite complexe vers l implique la convergence en
moyenne de C\'{e}saro vers l .

\section{Q2}

\begin{enumerate}
\item  La r\'{e}ciproque est fausse : u$_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n+1%
}$

\item  Si $\left( s_{n}\right) $ est croissante alors elle tend vers une
limite dans R $\cup $\{+$\infty \}$ et ($\sigma _{n})$ \'{e}galement Donc si 
$\left( s_{n}\right) $ est croissante et ($\sigma _{n})$ convergente vers l
, alors (s$_{n})$ est convergente $vers$ l .(on besoin ici d'une extension
du theoreme de Cesaro .en +$\infty ).$
\end{enumerate}

\section{Q3}

\begin{enumerate}
\item  $\sigma _{N,k}-\left( 1+\frac{N}{k}\right) \sigma _{N+k-1}+\frac{N}{k}%
\sigma _{N-1}=0$ ce qui conduit imm\'{e}diatement au r\'{e}sultat
demand\'{e} .

\item  $\sigma _{N,k}-s_{N}-\Sigma _{N<|n|<N+k}\left( 1+\frac{N-|n|}{k}%
\right) c_{n}=0.$ On en d\'{e}duit en majorant les c$_{n}$ par $\frac{M}{N}$
que $\left| \sigma _{N,k}-s_{N}\right| \leq \frac{M}{N}\Sigma %
_{N<|n|<N+k}\left( 1+\frac{N-|n|}{k}\right) $ (les facteurs sont bien
positifs)et par suite $\left| \sigma _{N,k}-s_{N}\right| \leq \frac{M}{N}%
\frac{2}{k}\Sigma _{1\leq j\leq k-1}j\leq \frac{M}{N}k$

\item  On en d\'{e}duit $\left| \sigma _{N}-s_{N}\right| \leq \left| \sigma
_{N}-\sigma _{N,k_{N}}\right| +\left| \sigma _{N,k_{N}}-s_{N}\right| \leq 
\frac{M}{k_{N}}+\left| \sigma _{N,k_{N}}-s_{N}\right| .$\newline
Pour tout $\varepsilon >0,$ soit p avec $\frac{M}{p}<\varepsilon ,et$ la
suite k$_{N}=pN.$ le 1 donne N$_{0}$ tel que N\TEXTsymbol{>}N$_{0}$ $\left|
\sigma _{N,k_{N}}-s_{N}\right| <\varepsilon .$ et par suite $\left| \sigma
_{N}-s_{N}\right| <2\varepsilon .$ \newline
\fbox{Conclusion : $\left| nc_{n}\right| \leq M$ Alors : $si$ $\left( \sigma
_{N}\right) converge$ vers l alors $\left( s_{N}\right) $ converge vers l .}
\end{enumerate}

\section{Q4 Serie de Fourier}

$\sigma _{N}=\Sigma _{|n|\leq N}b_{n}e_{n}$ avec b$_{n}=\frac{1}{N+1}%
a_{n}\left( N-|n|+1\right) $

\section{Q5}

avec n dans F c$_{n}(f)=1=\func{Re}(c_{n}(f))\leq \left| c_{n}(f)\right|
\leq N_{1}(f)\leq 1$ d'ou N$_{1}(f)=1.$

On en d\'{e}duit \'{e}galement que: 
\[
\int_{(-\pi ,\pi )}\left( \left| f(x)\right| -\func{Re}\left( f(x)\exp
(-inx)\right) \right) dx=0 
\]
D'apres le lemme \'{e}tabli en preliminaire., $\left| f\right| -\func{Re}%
\left( fe_{-n}\right) $ \'{e}tant dans E et positive , elle est nulle. On en
d\'{e}duit que Re$\left( fe_{-n}\right) =\left| f\right| \ $et par suite
enfin que $Im(fe_{-n})=0$ donc que $fe_{-n}=\left| f\right| .$ \textbf{Soit
encore }$fe_{-n}$\textbf{est \`{a} valeurs positives }.

Comme $fe_{-p}=fe_{-n}*e_{-(p-n)}$ pour f non nulle $et$ p dans F , e$%
_{-(p-n)}doit$ \^{e}tre \`{a} valeurs positives sur un intervalle non
trivial , ce qui impose n=p . \textbf{Conclusion} cardF=1

Il est difficile de d\'{e}terminer f , puisque (par exemple) toute fonction
du type$\;f=e_{n}+$ $\frac{1}{2}\left( e_{k}+e_{-k}\right) $ avec k$\neq n$
v\'{e}rifie les hypoth\`{e}ses \newline
On peut n\'{e}anmoins dire qu'un \'{e}l\'{e}ment f v\'{e}rifiant les
hypoth\`{e}ses s'\'{e}crit sous la forme $f=e_{-n}g$ avec g dans E positive
et N$_{1}(g)=1.$ (r\'{e}ciproquement on v\'{e}rifie ais\'{e}ment qu'un tel
\'{e}l\'{e}ment est dans E et v\'{e}rifie l'hypoth\`{e}se avec F=\{n\} ).

\section{Q6}

\begin{enumerate}
\item  L'in\'{e}galit\'{e} de Schwarz pour les \'{e}l\'{e}ments de E fournit
: $N_{1}\left( g\right) \leq \frac{1}{2N+1}N_{2}\left( u\right) N_{2}\left(
v\right) =\frac{1}{2N+1}\sqrt{\left( 2N+1\right) \left( 2N+2r+1\right) }$

\item  Soit F une partie finie de Z incluse dans [-r,r].et g d\'{e}finie en
1 avec N \`{a} choisir alors \newline
$g=\frac{1}{2N+1}\left( \Sigma _{|k|\leq r}(2N+1\right) e_{k}+\Sigma
_{r<|k|\leq N+r}(2N+1+r-|k|)e_{k})$\newline
Pour k dans [-r,r] , donc dans F , $c_{k}(g)=1$ et pour k dans Z c$_{k}(g)$
dans [0,1] .\newline
Le choix de N ( assez grand) permet , pour tout $\varepsilon $ d'assurer que 
$N_{1}\left( g\right) \leq \sqrt{\frac{2N+2r+1}{2N+1}}$ $\leq 1+\varepsilon
. $
\end{enumerate}

\section{Q7}

Calcul usuel du noyau de Dirichlet

\section{Q8}

Calcul usuel du noyau de Fejer

\section{Q9}

\begin{enumerate}
\item  le changement de variable x=y+t dans les r\'{e}sultats Q7 et Q8
alli\'{e} \`{a} la p\'{e}riodicit\'{e} de toutes les fonction employ\'{e}es
permet de conclure \`{a} la nullit\'{e} des quantit\'{e}s propos\'{e}es .

\item  En utilisant par exemple le cas particulier de la fonction constante
\'{e}gale \`{a} 1 on obtient que \newline
\[
\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi )}D_{N}=\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi
)}F_{N}=1 
\]

\item  Pour $\eta $ dans $]0,\pi [$ et $\left| y\right| \leq \eta $ $\left|
F_{N}(y)\right| \leq \left( \frac{1}{N+1}\right) \frac{1}{\left( \sin \frac{%
\eta }{2}\right) ^{2}}$\newline
On en d\'{e}duit $\int_{\eta \leq |y|\leq \pi }F_{N}$ $\leq 2*\pi *\left( 
\frac{1}{N+1}\right) \frac{1}{\left( \sin \frac{\eta }{2}\right) ^{2}}%
\rightarrow _{N\rightarrow +\infty }0$ .
\end{enumerate}

\section{Q10}

\begin{enumerate}
\item  T$_{N}(f)(x_{0})-f(x_{0})$ =$\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi )}\left(
f(x_{0}-y\right) -f(x_{0}))F_{N}(y)dy=\frac{1}{2\pi }\left( \int_{|y|\leq
\eta }+\int_{\eta \leq |y|\leq \pi }\right) $\newline
$\left| T_{N}(f)(x_{0})-f(x_{0})\right| \leq \frac{1}{2\pi }\sup_{|y|\leq
\eta }\left| f(x_{0}-y)-f(x_{0})\right| $ +$\frac{1}{2\pi }2*N_{\infty
}(f)*\int_{\eta \leq |y|\leq \pi }F_{N}$\newline
Par continuit\'{e} de f en x$_{0},$ pour tout $\varepsilon $ \TEXTsymbol{>}0
il existe $\eta $ dans $]0$,$\pi [$ tel que $\frac{1}{2\pi }\sup_{|y|\leq
\eta }\left| f(x_{0}-y)-f(x_{0})\right| <\varepsilon $ et avec ce $\eta $
fix\'{e} il existe un $N_{0}$ tel que N\TEXTsymbol{>}N$_{0}$ $\frac{1}{2\pi }%
2*N_{\infty }(f)*\int_{\eta \leq |y|\leq \pi }F_{N}<\varepsilon $ . \newline
D'ou : $\forall \varepsilon >0$ $\exists N_{0}$ $N>N_{0}$ $\left|
T_{N}(f)(x_{0})-f(x_{0})\right| <2\varepsilon .$ . Donc T$_{N}f(x_{0})$ tend
vers f(x$_{0})$ $lorsque$ f continue en x$_{0.}$

\item  f continue et p\'{e}riodique : f est donc uniform\'{e}ment continue
sur$[-4*\pi ,4\pi ]$ par continuit\'{e} sur un segment , puis
uniform\'{e}ment continue sur R par p\'{e}riodicit\'{e} $2\pi $\newline
Par uniforme continuit\'{e} la majoration pr\'{e}c\'{e}dente devient
ind\'{e}pendante du point x$_{0}$ utilis\'{e} ($\eta $ ne d\'{e}pend pas de x%
$_{0})$, on peut donc \'{e}crire que $\forall \varepsilon >0$ $\exists N_{0}$
$N>N_{0}$ sup$_{x_{0}\in R}\left| T_{N}(f)(x_{0})-f(x_{0})\right| \leq
\varepsilon $ .C'est \`{a} dire que T$_{N}f$ converge uniform\'{e}ment vers
f sur R.
\end{enumerate}

\section{Q11}

\underline{Cas f continue:}la convergence uniforme de T$_{N}f$ vers f sur le
segment [-$\pi ,\pi ]$ implique la convergence en moyenne soit: lim$%
_{N\rightarrow \infty }N_{1}\left( f-T_{N}f\right) =0.$

\underline{Cas g\'{e}n\'{e}ral de f dans E }: On justifie en s'aidant d'un
graphique :\newline
soit p le nombre de discontinuit\'{e}s \`{a} droite de f dans [-$\pi ,\pi [$
Pour tout $\alpha $ \TEXTsymbol{>}0 (inf\'{e}rieur au pas d'une subdivision
adapt\'{e}e \`{a} f ) il existe une fonction continue $\widetilde{f}$ sur R
telle que$\;f=\widetilde{f}$, sauf sur des segments de longueur $\alpha $
d'extr\'{e}mit\'{e}s gauche les points de discontinuit\'{e} de f et affine
sur ces segments.(interpolant f aux extremit\'{e}s de ces segments) Alors N$%
_{\infty }\left( f-\widetilde{f}\right) \leq N_{\infty }(f)$\ et $N_{1}(f-%
\widetilde{f})\leq N_{\infty }(f)*p*\alpha =K*\alpha $\ \newline
donc $N_{1}\left( f-\widetilde{f}\right) \leq K\alpha $ avec K fixe et $%
\alpha $ arbitraire (approximation N$_{1}$de fdans E par une fonction
continue)\newline
N$_{1}\left( f-T_{N}f\right) \leq N_{1}\left( f-\widetilde{f}\right)
+N_{1}\left( \widetilde{f}-T_{N}\widetilde{f}\right) +N_{1}\left( T_{N}%
\widetilde{f}-T_{N}f\right) $\newline
N$_{1}\left( f-T_{N}f\right) \leq K\alpha +N_{1}\left( \widetilde{f}-T_{N}%
\widetilde{f}\right) +N_{\infty }\left( T_{N}(f-\widetilde{f})\right) \leq
K\alpha +N_{1}\left( \widetilde{f}-T_{N}\widetilde{f}\right) +K\alpha $%
\newline
en utilisant la positivit\'{e} du noyau de Fejer et la valeur de son
int\'{e}grale sur [-$\pi ,\pi ]$ et les intervalles o\`{u} $(f-\widetilde{f}%
) $ est non nulle avec le r\'{e}sultat Q8\newline
Soit en d\'{e}finitive N$_{1}\left( f-T_{N}f\right) \leq 2*K\alpha
+N_{1}\left( \widetilde{f}-T_{N}\widetilde{f}\right) $\newline
Alors pour tout $\varepsilon $ \TEXTsymbol{>}0 , il existe un $\alpha $ $>0$
tel que $2K\alpha <\varepsilon $ et avec $\widetilde{f}$ continue fix\'{e}e
, associ\'{e}e \`{a} cet $\alpha $ , , d'apres le 1 , il existe N$_{0}\ $tel
que pour N\TEXTsymbol{>}N$_{0}$ $N_{\infty }\left( T_{N}\widetilde{f}-%
\widetilde{f})\right) <\varepsilon $ . Soit N$_{1}\left( f-T_{N}f\right)
<2\varepsilon $ . \fbox{Conclusion lim$_{N\rightarrow +\infty }N_{1}\left(
f-T_{N}f\right) =0$}\newline
remarque : si on admet la validit\'{e} de l'application de la formule de
Fubini indistinctement en x et en y , on peut simplifier un peu la
majoration pr\'{e}c\'{e}dente en v\'{e}rifiant que :\newline
$N_{1}(T_{N}(g))\leq N_{1}(g),$ ce qui \'{e}vite de passer par la majoration
de $N_{1}\left( \widetilde{f}-T_{N}\widetilde{f}\right) $par $N_{\infty
}\left( T_{N}(f-\widetilde{f})\right) $ et la prise en compte des
intervalles o\`{u} $(f-\widetilde{f})$ est non nulle sur(-$\pi ,\pi )$ avec
l'expression de Q8.

\section{Q12}

\begin{enumerate}
\item  la quantit\'{e} propos\'{e}e correspond au calcul de b$_{n}$ du Q4 et
est nulle .

\item  Pour tout n de $Z$ $.$ Soit N avec \TEXTsymbol{\vert}n\TEXTsymbol{%
\vert}\TEXTsymbol{<}N\ alors\newline
\[
\left| a_{n}\left( 1-\frac{|n|}{N+1}\right) \right| \leq \left| \frac{1}{%
2\pi }\int_{(-\pi ,\pi )}\sigma _{N}e_{-n}\right| \leq N_{1}\left( \sigma
_{N}\right) \rightarrow _{N\rightarrow +\infty }0 
\]
D'ou $\lim_{N\rightarrow +\infty }\left| a_{n}\left( 1-\frac{|n|}{N+1}%
\right) \right| =0=|a_{n}|$
\end{enumerate}

\section{Q13 fonctions de type positif}

periode claire . Commutativit\'{e} : changement de variable +
p\'{e}riodicit\'{e} Deplus l'application $\left( f,g\right) \rightarrow f*g$
est bilin\'{e}aire de ExE dans E

\section{Q14}

Par lin\'{e}arit\'{e} de l'application $f$ $\rightarrow I_{f}(g)$ il suffit
de v\'{e}rifier la propri\'{e}t\'{e} sur les elements $\left( e_{k}\right)
_{k\in Z}$avec g continue dans E\newline
I$_{e_{n}}\left( g\right) =\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi )}\exp
(inx)g(x)\int_{(-\pi ,\pi )}\exp (-iny)\overline{g}(y)dy$ dx=c$_{-n}(g)$ $%
\overline{c_{-n}(g)}=\left| c_{-n}(g)\right| ^{2}\geq 0.$(toutes les
fonctions sont ici continues , donc le th\'{e}or\`{e}me de Fubini s'applique
.). \textbf{Conclusion} tout polynome trigonometrique \`{a} coefficients
positifs est dans P.

\section{Q15}

\begin{enumerate}
\item  I$_{f}(u)-I_{f}(v)$=$\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi
)}\int_{(-\pi ,\pi )}f(x-y)\left( u(y)\overline{u(x)}-v(y)\overline{v(x)}%
\right) dxdy$\newline
=$\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi )}\int_{(-\pi ,\pi )}f(x-y)\left(
\left( u(y-v(y)\right) \overline{\;u(x)}+\left( \overline{u(x)}-\overline{%
v(x)}\right) v(y)\right) dxdy$ .D'ou \newline
$\left| I_{f}(u)-I_{f}(v)\right| \leq \frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi
)}\int_{(-\pi ,\pi )}\left| f(x-y)\right| \left( N_{\infty }(u-v\right)
\left( N_{\infty }(u)+N_{\infty }(v)\right) dxdy$\newline
$\left| I_{f}(u)-I_{f}(v)\right| \leq N_{1}(f)\left( N_{\infty }(u-v\right)
\left( N_{\infty }(u)+N_{\infty }(v)\right) $

\item  La partie directe est banale puisqu'un polyn\^{o}me
trigonom\'{e}trique est une fonction continue .\newline
Pour la r\'{e}ciproque : soit u une fonction continue telle que $I_{f}(u)<0$
et v polyn\^{o}me trigonom\'{e}trique v\'{e}rifiant N$_{\infty }\left(
u-v\right) <\varepsilon .$ (donc N$_{\infty }(v)\leq \varepsilon +N_{\infty
}(u).$Alors I$_{f}(v)=\left( I_{f}(v)-I_{f}(u)\right) +I_{f}(u)\leq
N_{1}(f)\left( \varepsilon +2N_{\infty }(u)\right) \varepsilon +I_{f}(u)$ .
Par cons\'{e}quent en choisissant $\varepsilon $ on peut d\'{e}terminer un
polynome trigonom\'{e}trique v v\'{e}rifiant $I_{f}(u)<0$ ce qui est absurde
.\newline
\textbf{Conclusion} :f de E est dans P Ssi $I_{f}(v)$ est positif pour tout
polynome trigonometrique .
\end{enumerate}

\section{Q16}

\begin{enumerate}
\item  Si f est dans P , alors pour tout n de Z 
\begin{eqnarray*}
I_{f}(e_{n}) &=&\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi )}\int_{(-\pi ,\pi
)}f(x-y)\exp \left( i(ny-nx)\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi )}c_{n}(f)dy=c_{n}(f)=\widehat{f}(n)\geq 0
\end{eqnarray*}
\newline
R\'{e}ciproquement avec g polynome trigonom\'{e}trique (de coefficients $%
\left( c_{n}(g)\right) $ ) \newline
$I_{f}(g)=\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi )}g(y)\left( \int_{(-\pi ,\pi
)}f(x-y)\overline{g(x)}dx\right) dy$\newline
$=\frac{1}{4\pi ^{2}}\int_{(-\pi ,\pi )}g(y)\left( \int_{(-\pi ,\pi
)}f(x-y)\Sigma \overline{c_{n}(g)}e_{-n}(x)dx\right) $ $dy$ (somme finie)%
\newline
=$\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi )}g(y)\Sigma \overline{c_{n}(g)}%
e_{-n}(y)c_{n}(f)$ $dy=\Sigma \overline{c_{n}(g)}c_{n}(f)c_{n}(g)=\Sigma
\left| c_{n}(g)\right| ^{2}c_{n}(f)$ $\geq 0.$ Et on conclut avec Q15 .

\item  avec $g(t)=f(-t)$ et en se ramenant par p\'{e}riode \`{a} x dans [-$%
\pi ,\pi [$on obtient $c_{n}(g)=c_{-n}(f)=\overline{c_{-n}(f)}=c_{n}(%
\overline{f})$ . Donc g et $\overline{f}\ $ayant les m\^{e}mes coefficients
de Fourier, , et $g-\overline{f}\ $etant continue par morceaux et 2$\pi $
p\'{e}riodique la formule de Parseval donne N$_{2}(\overline{f}-g)=0$ , ce
qui conduit \`{a} $\overline{f}=g$ en dehors des points de discontinuit\'{e}
de f..Par continuit\'{e} de f en x (\`{a} droite et \`{a} gauche) et
continuit\'{e} \`{a} \textbf{droite} de g en x (par continuit\'{e} \`{a}
gauche de f en tout point ) on d\'{e}duit que $g(x)=f(-x)=\overline{f(x)}.$

\item  si f est dans P alors $S_{N}f\ $et $T_{N}f$sont des polynomes
trigonometriques \`{a} coefficients positifs donc sont dans P .
\end{enumerate}

\section{Q17}

\begin{enumerate}
\item  Si on admet la validit\'{e} d'interversion de l'ordre
d'int\'{e}gration dans le calcul c$_{n}\left( f*g\right) $%
\begin{eqnarray*}
4\pi ^{2}c_{n}\left( f*g\right) &=&\int_{(-\pi ,\pi )}\int_{(-\pi ,\pi
)}f(x-y)g(y)dy\exp \left( -i\left( nx-ny+ny\right) \right) dx \\
&=&\int_{(-\pi ,\pi )}g(y)\exp (-iny)\left( \int_{(-\pi ,\pi )}f(x-y)dy\exp
\left( -i\left( nx-ny\right) \right) dx\right) dy \\
&=&\int_{(-\pi ,\pi )}g(y)\exp (-iny)2\pi c_{n}(f)dy=4\pi
^{2}c_{n}(f)c_{n}(g)
\end{eqnarray*}
Conclusion: $c_{n}\left( f*g\right) =c_{n}(f)*c_{n}(g).$

\begin{remark}
Si on n'autorise pas l'inversion de l'ordre d'int\'{e}gration : en utilisant
la convergence en moyenne quadratique de $S_{N}(g)$ vers g on d\'{e}montre
la convergence uniforme de $f*S_{N}(g)$ vers f*g (donc au passage la
continuit\'{e} de f*g ). Alors par convergence uniforme : $%
c_{n}(f*g)=\lim_{N\rightarrow +\infty }c_{n}\left( f*S_{N}(g)\right)
.=\lim_{N\rightarrow +\infty }c_{n}(f)c_{n}(S_{N}(g)).=c_{n}(f)c_{n}(g)$ .%
\newline
(En utilisant simplement la lin\'{e}arit\'{e} de l'integrale et l'ordre
d'integration impos\'{e} par la formule initiale donnant $c_{n}\left(
f*S_{N}(g)\right) $ ).\newline
Ceci impose l'utilisation de l'approximation en moyenne quadratique et
enl\`{e}ve tout int\'{e}r\^{e}t \`{a} la question Q18(4) qui d\'{e}coule des
r\'{e}sultats de Q17 et Q18(1,2,3) .(le seul recours au theoreme de
Weierstrass me semble difficile (et trop peu naturel ?) )
\end{remark}

\item  Ici se pr\'{e}sente un probleme : avec f dans E , f* n'est pas a
priori dans E (f* est continue \`{a} droite en tout point ) .\newline
Il faut donc \'{e}tendre la d\'{e}finition de f*g aux fonctions continues
par morceaux \newline
Alors on a deja utilis\'{e} en Q16 que c$_{n}(f^{*})=\overline{c_{n}(f)}$
pour tout n de Z .On obtient donc en admettant la validit\'{e} des
r\'{e}sultats acquis dans le cadre des \'{e}l\'{e}ments de E que c$%
_{n}(f*f^{*})=\left| c_{n}(f)\right| ^{2}\geq 0$ pour tout n . En admettant
que $f*f^{*}$ est dans E (voir la remarque de Q17(1)) , tous ses
coefficients de Fourier sont positifs ;\newline
\textbf{Conclusion }: $f*f^{*}$ est dans P .
\end{enumerate}

\section{Q18 f est dans P.c$_{n}(f)$ $\geq 0$}

\begin{enumerate}
\item  La formule Q8 $T_{N}(f)(0)=\frac{1}{2\pi }\int_{(-\pi ,\pi
)}f(y)F_{N}(-y)dy$ donne imm\'{e}diatement $\left| T_{N}f(0)\right| \leq
N_{\infty }(f)$ .

\item  $T_{N}f(0)=\Sigma _{|k|\leq N}\left( 1-\frac{|k|}{N+1}\right)
c_{k}(f).$ (voir Q4)\newline
D'ou $0\leq \frac{1}{2}\Sigma _{|k|\leq N}c_{k}(f)$ $\leq T_{2N}f(0)\leq
N_{\infty }(f).\ $Les s\'{e}ries $\left[ c_{k}(f)\right] _{k\geq 0}$et$%
\left[ c_{k}(f)\right] _{k<0}$ \`{a} termes positifs ont leurs sommes
partielles d'ordre N , N quelconque , major\'{e}es , elles convergent .

\item  On en d\'{e}duit la convergence normale ( donc uniforme ) de la
s\'{e}rie de Fourier de f , puisque : $N_{\infty
}(c_{k}(f)e_{k}+c_{-k}(f)e_{-k})\leq c_{k}(f)+c_{-k}(f)$ terme d'une
s\'{e}rie num\'{e}rique convergente.\ \newline
La limite de $S_{N}f$ est une fonction g continue sur R par convergence
uniforme sur R d'une suite de fonctions continues . Comme S$_{N}f$ converge
en tout point $T_{N}f$ converge en tout point vers la meme limite $\ $%
d'apres . Q1 .Mais d'apres Q10 $\left( T_{N}f(x)\right) _{N}$ tend vers f(x)
pour tout point de continuit\'{e} de f . .On en d\'{e}duit que sur ]-$\pi
,\pi ]$ f et g sont \'{e}gales en dehors des points d'une subdivision
adapt\'{e}e \`{a} f . Par continuit\'{e} de g sur R et de f \`{a} gauche en
tout point $f=g$ sur ]-$\pi ,\pi ]$ et f=g par 2$\pi $ p\'{e}riodicit\'{e} .%
\newline
\textbf{Conclusion} f est continue et f(x)=lim$_{N\rightarrow \infty
}S_{N}f(x)=$lim$_{N\rightarrow \infty }\Sigma _{|k|\leq N}c_{k}(f)e_{k}(x).$
En particulier $f(0)=$lim$_{N\rightarrow \infty }\Sigma _{|k|\leq
N}c_{k}(f)\geq 0$ et $\forall x\in R$ $\;\left| f(x)\right| \leq f(0)$ .

\item  Avec $\Phi $ dans E $N_{2}\left( \Phi \right) =\frac{1}{2\pi }%
\int_{(-\pi ,\pi )}\Phi ^{*}(-y)\Phi (y)dy=\Phi ^{*}*\Phi (0).$En utilisant
alors avec Q17 que $\Phi ^{*}*\Phi $ est dans P et Q18(3): 
\[
N_{2}\left( \Phi \right) =lim_{N\rightarrow \infty }\Sigma _{|k|\leq
N}c_{k}(\Phi ^{*}*\Phi )=lim_{N\rightarrow \infty }\Sigma _{|k|\leq N}\left|
c_{k}(\Phi )\right| ^{2} 
\]
puisque $c_{k}(\Phi ^{*}*\Phi )=c_{k}(\Phi ^{*})c_{k}(\Phi )=\left|
c_{k}(\Phi )\right| ^{2}$
\end{enumerate}

\section{Q19}

Avec f dans P donc continue $T_{N}f$ converge uniform\'{e}ment vers f sur R
.T$_{N}f=\Sigma _{|k|\leq N}b_{k}e_{k}$ et 
\begin{eqnarray*}
\Delta _{N} &=&\Sigma _{j=1}^{p}\Sigma _{i=1}^{p}T_{N}f(x_{j}-x_{k})%
\overline{z_{k}}z_{j}=\Sigma _{|k|\leq N}b_{k}\Sigma _{j=1}^{p}\Sigma
_{i=1}^{p}\overline{z_{k}}z_{j}e^{inx_{j}}\overline{e^{inx_{k}}} \\
&=&\Sigma _{|k|\leq N}b_{k}\left| \Sigma _{j=1}^{p}z_{j}e^{inx_{j}}\right|
^{2}
\end{eqnarray*}
Comme f est dans P ses coefficients de Fourier sont positifs et leurs
moyennes b$_{k}$ sont \'{e}galement positives. et la quantit\'{e} $\Delta
_{N}\ $est positive .. Le passage \`{a} lalimite quand N tend vers +$\infty $
conduit alors \`{a} : pour toute famille $\left( x_{j}\right) de$ reels et
toute famille $\left( z_{j}\right) de$ complexes 
\[
\text{avec\ f\ dans\ P}\;\Sigma _{j=1}^{p}\Sigma _{i=1}^{p}f(x_{j}-x_{k})%
\overline{z_{k}}z_{j}\geq 0 
\]

\section{Q20}

\begin{enumerate}
\item  Avec f dans $P$ , donc continue , g est continue et $c_{n}(g)=\frac{1%
}{a^{2}}\left( 2c_{n}(f)-(e^{-ina}+e^{+ina})c_{n}(f)\right) .\;c_{n}(g)=%
\frac{1}{a^{2}}2c_{n}(f)$ $\left( 1-\cos (na)\right) \geq 0$ $($les c$%
_{n}(f) $ sont positifs avec f dans P ). Donc g est dans P

\item  en notant g$_{m}$ la fonction g associ\'{e}e \`{a} la valeur a$_{m}$
de la suite

\begin{enumerate}
\item  $\Sigma _{Z}c_{n}(g_{m})=g_{m}(0)$ d'apres Q18(3) appliqu\'{e} \`{a} g%
$_{m}$\newline
Donc pour tout N 0$\leq \Sigma _{|k|\leq N}\frac{2}{a_{m}^{2}}%
c_{k}(f)(1-\cos (ka_{m}))=\Sigma _{|k|\leq N}c_{k}(g)\leq g_{m}(0)\leq
\lambda $\newline
En prenant la limite en m en plus l'infini:$\Sigma _{|k|\leq
N}k^{2}c_{k}(f)\leq \lambda $ Tous les termes \'{e}tant positifs , par
majoration des sommes partielles d'ordre N des s\'{e}ries [k$%
^{2}c_{k}(f)]_{k\geq 0}$ et [$k^{2}c_{k}(f)$ ]$_{k<0}$ , on \'{e}tablit leur
convergence et \textbf{Conclusion }$\Sigma _{Z}k^{2}c_{k}(f)-\lambda \leq 0$

\item  D'apres Q18 $f=\Sigma _{n=0}^{\infty }v_{k}$ avec pour k non nul $%
v_{k}(x)=c_{k}(f)e_{k}(x)$ +c$_{-k}(f)e_{-k}(x)$\newline
$\left( v_{k}\right) $ est une suite de fonctions de classe C$^{2}$\newline
N$_{\infty }(v_{k})$ $\leq k^{2}\left( c_{k}(f)+c_{-k}(f)\right) $ , N$%
_{\infty }(v_{k}^{\prime })$ $\leq k^{2}\left( c_{k}(f)+c_{-k}(f)\right) ,$N$%
_{\infty }(v"_{k})$ $\leq k^{2}\left( c_{k}(f)+c_{-k}(f)\right) $ puisque 1$%
\leq |k|\leq k^{2.}$ Les s\'{e}ries $[v_{k}],[v_{k}^{^{\prime }}],[v"_{k}]$
sont normalement convergentes sur R .Le th\'{e}oreme de derivation des
series s'applique donc deux fois et f est de classe C$^{2},$ ses
d\'{e}rivees s'obtenant par derivation terme \`{a} terme . \textbf{Conclusion%
}:f est C$^{2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Q20}

Soit $f=\Sigma _{k=1}^{\infty }\left( \frac{1}{|k|^{3/2}}e_{k}+\frac{1}{%
|k|^{3/2}}e_{-k}\right) .$ f est clairement d\'{e}finie continue sur Rde
p\'{e}riode 2$\pi $ par convergence normale de la s\'{e}rie de fonctions
continues sur R. La convergence etant normale les coefficients de Fourier de
f sont les c$_{k}(f)=\frac{1}{|k|^{3/2}}$ $\geq 0$ . Ceci permet d'affirmer
que f est dans P . Mais f n'est pas une fonction C$^{2}$ puisque c$_{k}(f)$
n'est pas un O($\frac{1}{k^{2}})$ .

\end{document}
