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%TCIDATA{TCIstyle=memo/memo.lat,mem1,tcimemo}

%TCIDATA{Created=Thu Apr 20 18:30:15 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Fri Apr 21 09:51:06 2000}

\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
\ \textbf{ICARE\ I - 1999}

$\Delta \Delta \Delta \Delta \Delta \Delta $
\end{center}

\medskip

I. 1. $f$ est d\'{e}finie en tout $x\in \Bbb{R}$ tel que $\int_{x}^{2x}%
\dfrac{dt}{\ln (1+t^{2})}$ converge.

Ot $t\stackrel{\varphi }{\rightarrow }\dfrac{1}{\ln (1+t^{2})}$ est continue
sur $\Bbb{R}^{*}$ et $\forall x\in \Bbb{R},$ $\varphi $ est continue sur $%
\stackunder{\leftrightarrows }{\left[ x,2x\right] }.$

\underline{Donc l'ensemble de d\'{e}finition $D_{f}$ de $f$ est $\Bbb{R}%
^{*}. $}

$\forall x\in \Bbb{R}^{*},$ $f(-x)=\int_{-x}^{-2x}\dfrac{dt}{\ln (1+t^{2})}%
\stackrel{u=-t}{=}\int_{x}^{2x}\dfrac{-du}{\ln (1+u^{2})}=-f(x)$

\underline{D'o\`{u}, $f$ est impaire.}

\medskip

2. $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $f(x)=g(2x)-g(x).$ On en d\'{e}duit que $f$
est d\'{e}rivable sur $\Bbb{R}^{+*}$ et que $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $%
f^{\prime }(x)=2g^{\prime }(2x)-g^{\prime }(x)$

$\;\;\;\;\;=\dfrac{2}{\ln (1+4x^{2})}-\dfrac{1}{\ln (1+x^{2})}.$

Comme $f$ est impaire, \underline{$f$ est d\'{e}rivable sur $\Bbb{R}^{*}$ et 
$\forall x\in \Bbb{R}^{*},$ $f^{\prime }(x)=\dfrac{2}{\ln (1+4x^{2})}-\dfrac{%
1}{\ln (1+x^{2})}.$}

\medskip

3. \'{E}tudions le signe de la d\'{e}riv\'{e}e sur $\Bbb{R}^{+*}.$

$\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $f^{\prime }(x)\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{%
\ln (1+4x^{2})}\geq \dfrac{1}{\ln (1+x^{2})}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow 2\ln
(1+x^{2})\geq \ln (1+4x^{2})$ (nombres strictement positifs)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
(1+x^{2})^{2}\geq 1+4x^{2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow
x^{4}-2x^{2}\geq 0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow x\geq \sqrt{2}
$

D'o\`{u} le tableau de variations :

\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $0\;\;\;\;$ &  & $\sqrt{2}$ &  & $+\infty $ \\ \hline
$f^{\prime }(x)$ & $\Vert \;\;\;\;\;$ & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
$f(x)$ & $\Vert +\infty $ & $\searrow $ & $f(\sqrt{2})$ & $\nearrow $ & $%
+\infty $ \\ \hline
\end{tabular}
\]

L'on a : $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $\int\nolimits_{x}^{2x}\dfrac{dt}{\ln
(1+4x^{2})}\leq \int\nolimits_{x}^{2x}\dfrac{dt}{\ln (1+t^{2})}\leq
\int\nolimits_{x}^{2x}\dfrac{dt}{\ln (1+x^{2})}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{\ln (1+4x^{2})}\leq \int\nolimits_{x}^{2x}\dfrac{%
dt}{\ln (1+t^{2})}\leq \dfrac{x}{\ln (1+x^{2})}.$ Or $\dfrac{x}{\ln
(1+4x^{2})}\stackunder{x\rightarrow 0^{+}}{\sim }\dfrac{1}{4x}$ et $\dfrac{x%
}{\ln (1+4x^{2})}\stackunder{x\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{x}{2\ln x}$

Ceci montre \frame{$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty $ et $%
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty .$}

\medskip

4. Tableau de quelques valeurs approch\'{e}es :

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $0.5$ & $1.414$ & $4$ \\ \hline
$f(x)$ & $1.2$ & $0.9$ & $1.1$ \\ \hline
\end{tabular}
\]

On a $0\leq \dfrac{f(x)}{x}\leq \dfrac{1}{\ln (1+x^{2})};\;$d$^{\prime }$%
o\`{u} $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=0$ et la branche
infinie est une branche parabolique de direction asymptotique $(Ox).$
D'o\`{u} le graphe de $f$ :

%\FRAME{dtbpF}{372.6875pt}{251.0625pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "T";width
%372.6875pt;height 251.0625pt;depth 0pt;original-width
%600.375pt;original-height 365.625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright
%"1";cropbottom "0";tempfilename
%'D:/SWP25/fichiers/devoirs/FTC08K02.wmf';tempfile-properties "XP";}}
%
\centerline{\psfig{file=m99it1fa.ps,width=0.8\hsize}}
\medskip

II.\ $1.$ $f$, fonction rationnelle, est $C^{\infty }$ sur $\Bbb{R}.$

L'on a $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{(0)}(x)=\dfrac{P_{0}(x)}{(1+x^{2})^{0+1/4}%
}$ avec $P_{0}=1.$ D'o\`{u} $P_{0}\in \Bbb{R}\left[ X\right] ,$ $d{{}^\circ}%
P_{0}=0.$

Supposons qu'au rang $n$, on ait $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{(n)}(x)=\dfrac{%
P_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}}$ avec $P_{n}\in \Bbb{R}\left[ X\right] ,$ $d{%
{}^\circ}P_{n}=n.$

Montrons la propri\'{e}t\'{e} au rang $n+1.$

On a alors $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{(n+1)}(x)=\dfrac{%
(1+x^{2})^{n+1/4}P_{n}^{\prime }(x)-P_{n}(x)\times \left( n+\frac{1}{4}%
\right) \times 2x\times (1+x^{2})^{n-3/4}}{(1+x^{2})^{2n+1/2}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{%
(1+x^{2})P_{n}^{\prime }(x)-P_{n}(x)\times \left( n+\frac{1}{4}\right)
\times 2x}{(1+x^{2})^{(n+1)+1/4}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{%
P_{n+1}(x)}{(1+x^{2})^{(n+1)+1/4}}$

avec $P_{n+1}=(1+X^{2})P_{n}^{\prime }-P_{n}\times \left( n+\frac{1}{4}%
\right) \times 2X.$ Donc $P_{n+1}\in \Bbb{R}_{n+1}\left[ X\right] .$
Appelons $\alpha _{n}$ le coefficient dominant de $P_{n}$ et $\alpha _{n+1}$
le coefficient de $X^{n+1}$ dans $P_{n+1}.$

On a $\alpha _{n+1}=n\alpha _{n}-\left( 2n+\dfrac{1}{2}\right) \alpha _{n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \alpha _{n}\neq 0$
puisque $\alpha _{n}\neq 0$ et $n\in \Bbb{N}.$

D'o\`{u} $d{{}^\circ}P_{n+1}=n+1.$

L'on a montr\'{e} :

\[
\frame{$\forall n\in \Bbb{N},\;\exists P_{n}\in \Bbb{R}\left[ X\right] \;$%
v\'{e}rifiant $d{{}^\circ}P_{n}=n\;$et $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{(n)}(x)=%
\dfrac{P_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}}$} 
\]

\medskip

2.a. $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{\prime }(x)=-\dfrac{1}{4}\times 2x\times
(1+x^{2})^{-5/4}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{x}{2(1+x^{2})}f(x).$
D'o\`{u} $f$ est solution de :

\[
\frame{$(1+x^{2})y^{\prime }+\dfrac{x}{2}y=0$} 
\]

\medskip

b. D\'{e}rivons la formule pr\'{e}c\'{e}dente $n$ fois \`{a} l'aide de la
formule de Leibniz :

$\forall x\in \Bbb{R},$ $\left(
C_{n}^{0}f^{(n+1)}(x)(1+x^{2})+C_{n}^{1}f^{(n)}(x)\times
2x+C_{n}^{2}f^{(n-1)}(x)\times 2\right) +\left( C_{n}^{0}f^{(n)}(x)\dfrac{x}{%
2}+C_{n}^{1}f^{(n-1)}(x)\times \dfrac{1}{2}\right) =0$

$\Leftrightarrow \forall x\in \Bbb{R},$ $\dfrac{P_{n+1}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}%
}+\dfrac{2nxP_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}}+\dfrac{n(n-1)P_{n-1}(x)}{%
(1+x^{2})^{n-1+1/4}}+\dfrac{xP_{n}(x)}{2(1+x^{2})^{n+1/4}}+\dfrac{nP_{n-1}(x)%
}{2(1+x^{2})^{n-1+1/4}}=0$

$\Leftrightarrow \forall x\in \Bbb{R},$ $\dfrac{P_{n+1}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}%
}+\dfrac{\left( 2n+\dfrac{1}{2}\right) xP_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1/4}}+\dfrac{%
n\left( n-\dfrac{1}{2}\right) P_{n-1}(x)}{(1+x^{2})^{n-1+1/4}}=0$

$\Leftrightarrow \forall x\in \Bbb{R},$ $P_{n+1}(x)+\left( 2n+\dfrac{1}{2}%
\right) xP_{n}(x)+n\left( n-\dfrac{1}{2}\right) \left( 1+x^{2}\right)
P_{n-1}(x)=0$

$\Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;$\frame{$P_{n+1}\left( X\right) +\left(
2n+\dfrac{1}{2}\right) XP_{n}(X)+n\left( n-\dfrac{1}{2}\right) \left(
1+X^{2}\right) P_{n-1}(X)=0$}

(car un polyn\^{o}me ayant une infinit\'{e} de racines est nul)

\medskip

c. L'on sait que $\forall n\in \Bbb{N},\;P_{n+1}=(1+X^{2})P_{n}^{\prime
}-P_{n}\times \left( n+\frac{1}{4}\right) \times 2X.$

Par comparaison avec la formule d\'{e}montr\'{e}e en 2.b., on obtient :

$\forall n\in \Bbb{N},\;(1+X^{2})P_{n}^{\prime }(X)=-n\left( n-\dfrac{1}{2}%
\right) \left( 1+X^{2}\right) P_{n-1}(X)\Leftrightarrow $

\[
\frame{$\forall n\in \Bbb{N},\;P_{n}^{\prime }(X)=-n\left( n-\dfrac{1}{2}%
\right) P_{n-1}(X)$} 
\]

\medskip

3. $P_{0}$ poss\`{e}de $0$ racine.

Supposons que au rang $n$, $P_{n}$ poss\`{e}de $n$ racines distinctes $%
a_{1}, $ $a_{2},$ ...., $a_{n}$ v\'{e}rifiant $a_{1}<a_{2}<......<a_{n}.$

On a alors : $\forall x\in \Bbb{R},$ $f^{(n+1)}(x)=\dfrac{P_{n+1}(x)}{\left(
1+x^{2}\right) ^{n+5/4}}.$

En outre, pour tout $k\in \left\{ 1,...,n-1\right\} ,$ $f^{(n)}$ est
continue sur $\left[ a_{k},a_{k+1}\right] $ et d\'{e}rivable sur $\left]
a_{k},a_{k+1}\right[ ;.$de plus $f^{(n)}(a_{k})=f^{(n)}(a_{k+1})=0.$ Donc,
d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de Rolle, $\exists b_{k}\in \left]
a_{k},a_{k+1}\right[ $ tel que $f^{(n+1)}(x)=0\Leftrightarrow
P_{n+1}(b_{k})=0.$

En outre, $f^{(n)}$ est continue sur $\left] -\infty ,a_{1}\right] $ et
d\'{e}rivable sur $\left] -\infty ,a_{1}\right[ ;.$de plus $%
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f^{(n)}(x)=f^{(n)}(a_{1})=0.$ Donc,
d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de Rolle g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}, $\exists
b_{0}\in \left] -\infty ,a_{1}\right[ $ tel que $f^{(n+1)}(b_{0})=0%
\Leftrightarrow P_{n+1}(b_{0})=0.$

De m\^{e}me, en appliquant le th\'{e}or\`{e}me de Rolle
g\'{e}n\'{e}ralis\'{e} sur $\left[ a_{n},+\infty \right[ ,$ on obtient qu'il
existe $b_{n}\in \left] a_{n},+\infty \right[ $ tel que $P_{n+1}(b_{n})=0.$

D'o\`{u} on a montr\'{e} que $P_{n+1}\;$poss\`{e}de $n+1$ racines distinctes
: $b_{0},$ ......., $b_{n}$ et donc que :

\[
\frame{$\forall n\in \Bbb{N},$ $P_{n}$ poss\`{e}de n racines distinctes.} 
\]

\medskip

III1.a. $\forall n\in \Bbb{N}\left\backslash \left\{ 0,1\right\} \right. ,$ $%
S_{n}-S_{n-1}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-2\left( \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=%
\sqrt{n}\left( -2+\dfrac{1}{n}+2\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=%
\sqrt{n}\left( -2+\dfrac{1}{n}+2\left( 1-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{\dfrac{1}{2}%
\left( \dfrac{1}{2}-1\right) }{2n^{2}}+o\left( \dfrac{1}{n^{2}}\right)
\right) \right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=%
\sqrt{n}\left( -\dfrac{1}{4n^{2}}+o\left( \dfrac{1}{n^{2}}\right) \right) $

D'o\`{u}$\;:$%
\[
\frame{$S_{n}-S_{n-1}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }-\dfrac{1}{%
4n^{3/2}}$} 
\]

\medskip

b. La s\'{e}rie $\sum\limits_{n\geq 2}(S_{n}-S_{n-1})$ est convergente
puisque $S_{n}-S_{n-1}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }-\dfrac{1}{%
4n^{3/2}}=\dfrac{k}{n^{\alpha }}$ avec $\alpha >1.$ Cela signifie que la
suite de ses sommes partielles $\left( S_{n}-S_{1}\right) $ est convergente,
donc que :

\[
\frame{$\left( S_{n}\right) $ est convergente} 
\]

\medskip

2. Posons $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }S_{n}=C\in \Bbb{R}.$

On a alors : $\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}\right) -2\sqrt{%
n}=C+o(1)\Rightarrow $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}=2\sqrt{n}%
+C+o(1)\Rightarrow $

\[
\frame{$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}\stackunder{n\rightarrow
+\infty }{\sim }2\sqrt{n}$} 
\]

\medskip

3. Posons $a_{n}=\dfrac{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}%
\right) }{1+2+...+n};$ on a $a_{n}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }%
\dfrac{2\sqrt{n}}{\dfrac{n(n+1)}{2}}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }%
\dfrac{4}{n^{3/2}}.$ Donc \frame{$\sum\limits_{n\geq 1}a_{n}$ converge}.

Posons $b_{n}=\dfrac{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}\right) 
}{n^{\alpha }};$ on a $b_{n}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{2%
\sqrt{n}}{n^{\alpha }}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{2}{%
n^{\alpha -1/2}}.$ Donc \frame{$\sum\limits_{n\geq 1}b_{n}$ converge$%
\;\Leftrightarrow \alpha >\dfrac{3}{2}$}.

\medskip

4. Posons $c_{n}=\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}\right)
^{-3};$ on a $c_{n}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }\left( 2\sqrt{n}%
\right) ^{-3}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{n^{-3/2}}{8}.$
D'o\`{u} $\dfrac{c_{n+1}}{c_{n}}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }1$
et d'apr\`{e}s la r\`{e}gle de d'Alembert, 
\[
\frame{$\sum\limits_{n\geq 1}c_{n}x^{n}$ a pour rayon de convergenece $1$} 
\]

\medskip

5. $\sum\limits_{n\geq 1}c_{n}\left( -1\right) ^{n}$ est une s\'{e}rie
altern\'{e}e.

La suite $\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{i}}\right) _{n\geq 1}$
est croissante; donc la suite $\left( c_{n}\right) _{n\geq 1}$ est
d\'{e}croissante.

Comme $c_{n}\stackunder{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{n^{-3/2}}{8},$ $%
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }c_{n}=0.$

D'apr\`{e}s le crit\`{e}re de convergence des s\'{e}ries altern\'{e}es, 
\frame{$\sum\limits_{n\geq 1}c_{n}\left( -1\right) ^{n}$ est une s\'{e}rie
convergente.}

\begin{center}
$\infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty $
\end{center}

\medskip

\medskip

R\'{e}dig\'{e} par

\medskip

\begin{center}
\emph{Pierre Bron, professeur de Sp\'{e}ciales TSI}

\emph{Lyc\'{e}e Chaptal, 6, all\'{e}e Chaptal, 22000 St Brieuc}

\emph{Tel. 02 96 63 94 14}

\emph{Adresse \'{e}lectronique : BRON.Pierre@wanadoo.fr}

\medskip
\end{center}

\`{a} l'aide de Scientific Workplace

\end{document}
