%M99JM1C.tex 1er aout 99 10h45 version 2 8 99 20h51

% XXXX Pour Quercia : code pour bourse UPS mis ligne 46
 \input liv.mac
\let\cadrejoli=\cadrefin
{\it VIDIANI email~: 101702.425@compuserve.com, Cidex 635 71490
 Saint jean de Tr\'ezy (D'apr\`es Vincenot~: tr\'ezir~: du latin trans-ire
 le bl\'e sort de terre...)

 Signaler toute erreur (lapsus du \`a l'informatique, comme argumente
 l'{\gros A}dministration)
 et toute am\'elioration  (En  particulier pour (III.7))
 (il n'y a que ceux qui ne font rien qui ne font
 pas d'erreurs : les s\^urs d'eux m\^emes et dominateurs, de grands lyc\'ees
 p(h)arisiens, auraient du plus participer \`a la bourse pour que l'on puisse
 admirer leurs solutions g\'eniales ENS, X, EnSAE, Agreg....)
 Il ne faut pas prendre C.A. alias ``ZAT", comme pr\'etexte pour se
d\'emobiliser
 "Quand sur une personne on pr\'etend se r\'egler, c'est pas son beau cot\'e
 qu'il lui faut ressembler..." ; D'autre part c'est en faisant le probl\`eme
 qu'on s'aper\c{c}oit de l'endroit des difficult\'es, ce qui permet de ciseler
 une m\'ethode qui rende la solution ``fluide".}

{\it(Ce probl\`eme n'est pas si \'elementaire que cela : il y a deux langages
les discours officiels et la r\'ealit\'e : la science elle progresse ; il y a
des tas de chausses trappes et des points de rigueur, qui nec\'essitent non
seulement
une bonne maitrise des th\'eor\`emes, mais aussi suffisamment de recul pour
anticiper et trouver les m\'ethodes m\^eme sugg\'er\'ees)}


%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e
\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: M99JM1C.tex \hskip 3mm}
{\bf AIR  1 99 (suite de fonctions)
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT
\hskip 2mm\liond\ \vrule\  \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }
  %Underfull hbox si  ce { mme vide mais avec fonte} pas mis
                  % en fait line demande une ligne compl\`ete : il faut hfill
{\bf AIR 1 MP 1999 :
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %\^U\^U\^U\^U\^U


%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX       Code  SPECIAL BOURSE UPS
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

\input upsnum.tex

% XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX        J'avais pas ``vu"
% XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX    Quercia sera content cette fois !



\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf Partie I : \'Etude de la suite de fonctions $\bf
(f_n)$ }\hfill{}

\num{I.1.a} {\bf z\'eros de $\bf f'_n$ : }
$f_n$ rapport de deux fonctions $C^\infty$, le d\'enominateur n'\'etant
jamais nul, est elle m\^eme $C^\infty$ sur $\R^+$.

$f'_n=\frac {e^t(1+t^n-nt^{n-1}}{(1+t^n)^2}$ ;
On pose $N=1+t^n-nt^{n-1}$, donc $N'=nt^{n-2}(t-(n-1))$.
D'o\`u le tableau :

$\tabvar{ \bf t &0& & \bf \alpha_n &    & 1&      & n-1 &  &\beta_n&  &n& 
&+\infty\cr
         \noalign{\hrule height 1mm }
              N'&-&-&-           & -  & -&  -   & 0   & +& +     & +&+&
+&+\infty\L
              N &1&\d&   \d 0\d  & \d-  & 1-n<0& \d&-   &-\u-& 0  
&+\u+&1&\u &\u +\infty\L
             f_n&1&\u&           &\d  & \frac e2&\d &\frac {e^{n-1}}
{1+(n-1)^n}& \d & +&\u &\frac {e^n}{1+n^n}&\u &+\infty\cr}$

\carre\ $en+\infty\ f_n(t)\sim \frac {e^t}{t^n}\rightarrow+\infty$, puisque
l'exponentielle est pr\'epond\'erante en $+\infty$ par rapport \`a toute
puissance.
Donc branche infinie avec direction asymptotique $Oy$.

Le tableau confirme l'existence des deux z\'eros de $f'_n$  et leur
encadrement
donn\'e par l'\'enonc\'e.
\trait
\num{I.1.b} {\bf limite de $\bf f_n(\beta_n)$ : }
D'apr\`es le tableau $0< f_n(\beta_n)<f_n(n)< e^{n(1-\ln n)}\rightarrow
e^{-\infty}=0$ \cadrefin{$\bf f_n(\beta_n)\rightarrow+0$}
\trait
\num{I.1.c} {\bf $\bf f_n(\alpha_n) $ ? }

On a d'apr\`es le fait que $f'_n(\alpha_n)=0$, $\alpha_n^{n-1}(n-\alpha_n)=1$
donc $\alpha_n^{n-1} =\frac 1{n-\alpha_n}\sim \frac 1n$ car $\alpha_n$ est
born\'e par 1.

Les \'equivalents d'infiniment petits ou grand (\danger\ attention pas de
termes tendant vers 1) se transmettant par prise de logarithme, on a
$\alpha_n\sim \frac {-\ln n} {n-1}\rightarrow 0$. Par cons\'equent
\cadrefin{$\bf \alpha_n\rightarrow 1$} et $f_n(\alpha_n)=\frac
{e^{\alpha_n}}{1+\alpha_n^n}\sim \frac {e^{\alpha_n}}{1+{\alpha_n\over n}}
\rightarrow \frac e{1+0}=e$. \cadrefin{$\bf f_n(\alpha_n)\rightarrow e$}
\trait
\num{I.2.a} {\bf Limite simple :} D'apr\`es els limites de la suite
g\'eom\'etrique$(t^n)$,
on a $\cases{ 0\leq t<1 & $  f_n(t)\rightarrow g(t)= e^t$\cr
               t=1      & $  g_n(1)=\frac e2\rightarrow g(1)=\frac e2$\cr
               t>1      & $ f_n(t)\rightarrow g(t)=0 $\cr}$.
\trait
\num{I.2.b+c} {\bf Positions relatives et figures : }
$f_{n+1}(t)-f_n(t)$ est du signe de $t^n(1-t) $ donc
$f_{n+1}(t)$ est au dessus de $f_n(t)$ pour $0\leq t<1$, et le contraire
pour $t>1$.

\carre\ Puisque $g(t)=0$ pour $t>1$ le graphe de $f_n$ est au dessus de
$g=0$ pour $t>1$.

\carre\ $f_n(t)-e^t=\frac {-t^ne^t}{1+t^n}<0$ : $f_n(t)$ est en dessous
strictement de
$g(t)=e^t$ pour $0< t<1$.   Pour $t=0$ $f_n(0)=e^0=g(0)=1$ et
pour $t=1$ $f_n(1)=g(1)=\frac e2$, il y a croisement.

Les figures sont ci contre :
\trait
\num{I.2.d} {\bf Convergence uniforme ?}
$g$ limite simple de fonctions continues, n'est pas continue, il n'y a donc
pas convergence
uniforme de la suite $f_n$ vers $g$ sur $\R^+$.
\trait
\num{I.3} {\bf Limite de la suite d'int\'egrales : }

Dans tous les cas pour $A$, $f_n(t)\leq e^t$. Dont l'int\'egrale (ordinaire)
a un sens.
D'apr\`es le th\'eor\`eme {\gros de convergence domin\'ee}, on peut permuter
limite et int\'egrale

\cadrefin{\bf Si $\bf A\leq 1\ \int_0^Af_n(t)dt\rightarrow
\int_0^A g(t)dt=e^A-1$\ \vrule\ Si $\bf A>1
\int_0^Af_n(t)dt=\int_0^1+\int_1^A
\rightarrow e-1+0$}
\traitgras

\hfill\cadrejoli{\bf Partie II : La suite $\bf (x_n(\alpha))$  }\hfill{}
\num{II.1.a} {\bf Existence de $\bf x_n(\alpha)$ : }
$F(X)=_int_0^X f_n(t)dt $ est strictement croissante de $F(0)=0$ \`a
$F(+\infty)$. Or $F(X)\geq \int_0^X \frac {e^t}{1+{t^n\over n!}}dt
\int_0^X \frac {1+{t^n\over n!}}{1+{t^n\over n!}}dt =X\rightarrow +\infty$.
D'apr\`es la stricte monotonie de $F$ et le th\'eor\`eme des valeurs
interm\'ediaires,
il existe $x_n(\alpha)$ unique tel que $F(x_n(\alpha))=\alpha$.
\trait
\num{II.1.b} {\bf Variations de $\bf x_n(\alpha)$ : }
D'apr\`es CHASLES si $\alpha'>\alpha$ $F(x_n(\alpha')-F(x_n(\alpha)
=\int_\alpha^{\alpha'}f_n(t)dt=\alpha'-\alpha>0$. La positivit\'e de
l'int\'egrale
de $f_n$ implique $x_n(\alpha')>x_n(\alpha)$.

$x_n(alpha)$ ne peut \^etre born\'e, car s'il l'\'etait $F(x_n(\alpha))
=\int_0^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt=\alpha\rightarrow+\infty$ serait born\'e.
Donc \cadrefin{$\bf x_n(\alpha)\rightarrow+\infty\ en \ +\infty$}
\trait
\num{II.2} {\bf $\bf X_n$ est $\bf C^\infty$ et solution d'une ED : }
D'apr\`es le th\'eor\`eme de la moyenne $\alpha'-\alpha=
F(x_n(\alpha'))-F(x_n(\alpha))=\big[ x_n(\alpha')-x_n(\alpha)\big]
f_n(c)$ o\`u $c$ existe (et peut \^etre rendu fonctionnel par ``CHOIX"),
entre $\alpha'$ et $\alpha$.

Faisant tendre $\alpha'$ vers $\alpha$, par valeurs diff\'erentes on a
$x_n$ est d\'erivable en tout $\alpha\geq 0$ et
$x'_n(\alpha)=\frac 1{f(x_n(\alpha)}$ :  comme $f_n$ et $x_n$ sont
continues
par composition $x'_n$ est continue : $x_n$ est donc $C^1$ sur $\R^+$ et
partransfert imm\'ediat
de la relation ($f_n$  \'etant en outre elle m\^eme $C^\infty$),  
$x'_n(\alpha)=\frac 1{f(x_n(\alpha)}$, $x_n$ est
$C^\infty$, et v\'erifie bien l'\'equation diff\'erentielle propos\'ee.
\trait
\num{II.3} {\bf Points d'inflexion : }
Comme $x"_n(\alpha)=-\frac
{f'_n(x_n(\alpha))x'_n(\alpha)}{f_n(x_n(\alpha))^2}$.
Pour avoir $x"_n(\alpha)=0$, il suffit de choisir $x_n(\alpha)=\alpha_n
$ ou $\beta_n$.

Les abscisses des points d'inflexion sont donc
\cadrefin{\bf $\bf \int_0^{\alpha_n}f_n(t)dt$\ \vrule\ et\
$\int_0^{\beta_n}f_n(t)dt$}
\trait
\num{II.4.a} {\bf Limite de $\bf I_n$ : }  La condition $\alpha>e-1$ est
pour
assurer que $x_n(\alpha)>1$.
Car sinon $\alpha=\int_0^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt\leq \int_0^1 e^t dt=e-1$.

Par Chasles $I_n= \int_0^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt-\int_0^{A}f_n(t)dt
=\alpha-\int_0^A f_n(t)dt\displaystyle\rightarrow_{\hbox{\fiverm d'apr\`es
(I.3)}}
\alpha $.    \cadrefin{$\bf I_n= \int_A^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt
\rightarrow\alpha$}
\trait
\num{II.4.b} {\bf D\'eduction :  } $\forall \varepsilon>0$ (par exemple
on prend $\varepsilon=\frac\alpha 2$, $\forall A>0$,
$\exists n_0(\varepsilon)>0,\ \forall n\geq n_0$ on a
$|I_n-\alpha|<\frac \alpha 2$ donc $\int_A^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt=I_n>\frac
\alpha 2$,
ce qui oblige (question de signe) $x_n(\alpha)>A$ : c'est bien la
phrase de limite $x_n(\alpha)\rightarrow +\infty$.
\trait
\num{II.5.a} {\bf Existence du rang N : }
Si ce n'\'etait pas vrai : $\forall N>0 \exists n>N$  tel que
$x_n(\alpha)\geq 1$.
Et alors {\fiverm(zorro est arriv\'e)} :
$\alpha=\int_0^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt  =
\int_0^1f_n(t)dt +\int_1^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt >\int_0^{1}f_n(t)dt$.

En faisant tendre $n$ vers plus l'infini, par prolongement des in\'egalit\'es
on aurait d'apr\`es (I.3) $\alpha\geq e-1$.

\trait
\num{II.5.b} {\bf Variation de la suite $\bf x_n(\alpha)$ : }
On \'ecrit $\int_0^{x_{n+1}(\alpha)}f_{n+1}(t)dt-
\int_0^{x_{n}(\alpha)}f_{n}(t)dt =\alpha-\alpha=0$ ;

Soit  $0=\int_0^{x_{n+1}(\alpha)}[f_{n+1}(t)-f_n(t)+f_n(t)]dt
-\int_0^{x_{n}(\alpha)}f_{n}(t)dt $ ;

$0=\int_0^{x_{n+1}(\alpha)}[f_{n+1}(t)-f_n(t)]dt
+\int_{x_{n}(\alpha)}^{x_{n+1}(\alpha)}f_{n}(t)dt$ ;

$-\int_0^{x_{n+1}(\alpha)}[\frac {t^n-t^{n+1}}{(1+t^n)(1+t^{n+1})}]dt
=\int_{x_{n}(\alpha)}^{x_{n+1}(\alpha)}f_{n}(t)dt $.

Pour une question de signe $x_{n+1}(\alpha)<x_n(\alpha)$
\cadrefin{\bf La suite $\bf (x_n(\alpha))$ d\'ecro\^{\i}t \`a partir du rang N}.

D\'ecroissante minor\'ee par 0, elle converge vers une limite $\ell\geq 0$.
\trait
\num{II.5.c} {\bf In\'egalit\'e \`a obtenir : }
$|\int_\ell^{x_{n}(\alpha)}f_{n}(t)dt|\leq|x_n(\alpha)-\ell|
\displaystyle\sup_{t\in [0,1]} |f_n(t)| \leq|x_n(\alpha)-\ell| e^1$.

\carre\ Par prolongement des in\'egalit\'es par passage \`a la limite
dans $|\int_\ell^{x_{n}(\alpha)}f_{n}(t)dt|=
=|\int_0^{x_n(\alpha)}f_n(t)dt-\int_0^\ell f_n(t)dt|=
|\alpha-\int_0^\ell f_n(t)dt|
\leq|x_n(\alpha)-\ell|e$. On a  en utilisant (I.3)
$|\alpha-e^\ell+1|=0$.
\cadrefin{$\bf \ell=\ln(\alpha+1)$\ \vrule\ \liond}
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf Partie III : Cas particulier $\bf \alpha=e-1$ 
}\hfill{}
\num{III.1} {\bf Calculer S : }

L'absolue convergence des deux s\'eries (de Riemann avec $\alpha=2>1$,
impliquant la commutative convergence, on a :
\cadrefin{$\bf S+\frac 2{2^2}\zeta(2)=\zeta(2)$ donc $S=\zeta(2)(1-\frac
12)=\frac {\pi^2}{12}$}
\trait
\num{III.2.a} {\bf u(x) comme somme de s\'erie : }

D'apr\`es le d\'eveloppement en s\'erie de $\ln(1+s)$ on a
$u(x)=x\int_0^1\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1}
\frac {t^{kx}}k dt$ ; Pour la s\'erie altern\'ee sous le signe int\'egral,
lereste est inf\'erieur au premier terme n\'eglig\'e $\leq \frac
{t^{kx}}k \leq \frac 1k\rightarrow 0$  et uniform\'ement.

On peut donc permuter somme et int\'egrale, ce qui donne le r\'esultat annonc\'e
car $\int_\alpha^1 t^mdt=\frac 1{m+1}[1-\alpha^{m+1}]$.
\trait
\num{III.2.b} {\bf Limite de u(x) : }
Pour la m\^eme raison de convergence uniforme de la s\'erie de fonction
intervenant, on a le droit de permuter limite et $\sum$ ce qui donne
\cadrefin{$\bf u(x)\rightarrow S$} puisque comme $|\alpha|<1$,
$\alpha^{kx+1}\rightarrow 0$.
\trait
\num{III.3.a} {\bf Limite de l'int\'egrale : }
D'apr\`es le th\'eor\`eme des bornes, $f$ continue est born\'ee (par $M$) sur le
compact $[\alpha,1]$,
$|\int_\alpha^1 t^x f(t)dt|\leq M\int_\alpha^1 t^x dt=\frac m{x+1} M
(1-\alpha^{x+1})
\leq \frac {2M}{x+1}\rightarrow 0$. \cadrefin{$\bf \int_\alpha^1 t^x f(t)dt
\rightarrow 0$}
\trait
\num{III.3.b} {\bf Cas o\`u n=1 :} On int\`egre par parties :

$\IPP{u=f &du=f'(t)dt \cr dv=t^{kx}dt & v=\frac {t^{kx+1}}{kx+1}\cr}$,
Donc $x\int_\alpha^1 t^{kx}f(t)dt=\frac {xf(1)}{kx+1}-x\int_\alpha^1
f'(t)\frac {t^{kx+1}}{kx+1}dt\rightarrow \frac {f(1)}k-0$.

\cadrefin{$\bf x\int_\alpha^1 t^{kx}f(t)dt\rightarrow \frac {f(1)}k$}
\trait
\num{III.3.c} {\bf Limite \`a \'etablir : }

La justification de permutation de somme et d'int\'egrale, et de limite,
\'etant
donn\'ees par le m\^eme
argument de convergence uniforme (Crit\`ere sp\'ecial uniforme de s\'erie
altern\'ee)
que pr\'ec\'edemment on a :

$x\int_a^1\ln (1+t^x)f(t)dt= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}
(-1)^{k+1}\int_a^1\frac {t^{kx}}k xf(t)dt\rightarrow
\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1} \frac {f(1)}{k^2}=\frac {\pi^2}{12}f(1)$.
\trait
\num{III.4.a} {\bf Cas $\bf b<1$ : }
Dans ce cas $M$ \'etant le supr\'emum de $|f|$ sur $[a,b]$, justifi\'e
par le th\'eor\`eme des bornes : $n^p|I_n|\leq M n^pb^n (b-a)\rightarrow 0$
quel que soit $p$, puisque l'exponentielle $b^n$ comme $0\leq b<1$,
est ``absorbante" par rapport \`a toute puissance.
\trait
\num{III.4.b} {\bf Cas b=1 : }

On int\`egre $I_n$ par parties : $I_n=\int_a^1 \frac {t^{n-1}dt}{1+t^n}
tf(t)$.
$\IPP{u=tf(t) &du=(f(t)+tf'(t))dt \cr dv= \frac {t^{n-1}dt}{1+t^n}& v=\frac
1n
\ln (1+t^n)\cr}$ ce qui donne
$I_n= \frac {f(1)\ln 2} n-\frac 1n\ln (1+a^n) af(a)
-\frac 1n\int_a1 (f(t)+tf'(t))\ln(1+t^n)dt$,

Le terme central   $\frac 1n\ln (1+a^n) af(a)\sim Ka^n$ est comme $0\leq
a<1$
n\'egligeable devant toute puissance de n. Pour le dernier on utilise
(III.3.c),
ce qui donne exactement le r\'esultat attendu.
\trait
\num{III.4.c} {\bf Cas $\bf a\geq 1 $ : }

$I_n=\int_a^b \frac {t^n+1-1}{1+t^n}f(t)dt=\int_a^b f(t)dt-\int_a^b
\frac {f(t)}{1+t^n}dt$.

Si $a\geq 1$, le changement de variable  $t=\frac 1u$  dans la seconde
int\'egrale
$\int_a^b   \frac {f(t)}{1+t^n}dt$ donne
$\int_a^b  \frac {f(t)}{1+t^n}dt=\int_{1\over b}^{1\over a}
\frac {u^n}{1+u^n} \frac {f({1\over u})}{u^2}du$.

Comme $\frac 1a\leq 1$
on est ramen\'e aux cas pr\'ec\'edents avec $G(u)=\frac {f({1\over u})}{u^2}$,
jouant le r\^ole de $f$.

\carre \ Si $a>1$ alors $\lambda=\mu=0$, puisque l'int\'egrale est
n\'egligeable devant tout $\frac 1{n^p}$.

\carre\ Si $a=1$ \cadrefin{$\bf \lambda=-G(1)\ln 2=-f(1)\ln 2$}.
Et $\mu=\frac {\pi^2}{12} \big(G(1)+G'(1)\big)$.
Or $G'(u)=-f'({1\over u})\frac 1{u^4}-2f({1\over u})\frac 1{u^3}$ et
$G'(1)=-f'(1)-2f(1)$    et \cadrefin{$\bf \mu=-\frac {\pi^2}{12}
\big(f(1)+f'(1)\big)$}.
\trait
\num{III.4.d} {\bf D\'eduction pour $\bf a<1<b$ : }
On scinde en deux $I_n$ par Chasles, et on applique (4.b) et (4.d).

$I_n=I_n=\int_a^1 \frac {t^{n}}{1+t^n} f(t)dt+
         \int_b^1 \frac {t^{n}}{1+t^n} f(t)dt=
\frac {f(1)\ln 2}n-\frac {f(1)+f'(1)}{n^2}\frac {\pi^2}{12}
+\int_1^b f(t)dt--f(1)\ln 2\frac 1n -\frac 1{n^2}\frac {\pi^2}{12}
\big(f(1)+f'(1)\big)
+o(\frac 1{n^2})$, qui apr\`es r\'eduction donne le r\'esultat attendu.
\trait
\num{III.3} {\bf Trois constantes \`a pr\'eciser : }

Posons $K_n=\int_0^\gamma \frac {e^t}{1+t^n} dt
=_{\hbox{\fiverm ``J'ai rien chang\'e !"}}\
\int_0^\gamma \frac {e^t(1+t^n-t^n)}{1+t^n} dt=e^{\gamma}-1-
\int_0^\gamma \frac {t^n e^t}{1+t^n} dt $ ;
L'int\'egrale $J_n=\int_0^\gamma \frac {t^n e^t}{1+t^n} dt $ est du type
de $I_n$ avec $f(t)=e^t$.

$\cases{
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma<1$ }  \hbox{ c'est le cas (4.a) et }
       J_n=o(\frac 1{n^2})\cr
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma=1$ } \hbox{ c'est le cas (4.b) et }
       J_n= \frac {e\ln 2} n-\frac {2e\pi^2}{12 n^2}+o(\frac 1{n^2})\cr
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma>1$ } \hbox{ c'est le cas (4.c) et }
       J_n=\int_1^\gamma e^tdt-\frac {2e\pi^2}{12 n^2}
        +o(\frac 1{n^2})=e^\gamma-e-\frac {2e\pi^2}{12 n^2}+o(\frac
1{n^2})\cr}$

Par suite :

$K_n=\int_0^\gamma \frac {e^t}{1+t^n} dt=
\cases{
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma<1$ }
       K_n=e^\gamma-1+o(\frac 1{n^2})\cr
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma=1$ }
       K_n= e-1-\frac {e\ln 2} n+\frac {2e\pi^2}{12 n^2}+o(\frac 1{n^2})\cr
\bullet\ \hbox{Si $ \gamma>1$ }
       K_n=e-1+\frac {2e\pi^2}{12 n^2}+o(\frac 1{n^2})\cr}$
\trait
\num{III.6.a} {\bf \'Equivalent de l'int\'egrale $\bf \int_A^{x_n(\alpha)}$ :
}
Par Chasles $\int_A^{x_n(\alpha)} \frac {e^t}{1+t^n}dt=
\int_0^{x_n(\alpha)}-\int_0^A=\alpha-\int_0^A \frac {e^t}{1+t^n}dt$ ;
et il suffit de remplacer $\gamma$ par A pour la deuxi\`eme int\'egrale et les
deux derni\`eres lignes de l'accolade pr\'ec\'edente. Le $e-1$ se r\'eduit
dans les deux cas et {\bf la limite est $\bf 0$.}
\trait
\num{III.6.b} {\bf Limite de la suite $\bf x_n(\alpha)$ : }
On vient de voir que $\int_A^{x_n(\alpha)}\frac {e^t}{1+t^n}dt\sim\frac
K{n^2}>0$,
avec $K>0$ ind\'ependant de $A$, donc $x_n(\alpha)>A$ (``positivit\'e de
l'int\'egrale") :
donc $x_n(\alpha)>A$aussi grand que soit $A$ et \cadrefin{$\bf
x_n(\alpha)\rightarrow+\infty$}
\trait
\num{III.7} {\bf Ordre de $\bf X_n(\alpha)-\ln(\alpha+1)$ :}

On a vu $\int_0^\gamma \frac {e^t}{1+t^n}dt=e^\gamma-1+o(\frac 1{n^2})$
pour $\gamma <1$.

Comme $\ell<1$, on a aussi :

$\int_0^\ell \frac {e^t}{1+t^n}dt=e^\ell-1+o(\frac 1{n^2})$
et enfin $\int_0^{x_n(\alpha)} \frac {e^t}{1+t^n}dt=\alpha=e-1$ ;

Soit en retranchant :

$\int_\ell^{x_n(\alpha)} \frac {e^t}{1+t^n}dt=e^\ell-1-\alpha+o(\frac
1{n^2})
=o(\frac 1{n^2})$ ;

Or le th\'eor\`eme de la moyenne donne :
$(x_n(\alpha)-\ell)\frac {e^c}{1+c^n}=o(\frac 1{n^2})$ ;

Mais comme $x_n(\alpha)$ tend vers $\ell<1$, $c^n$ rendu fonctionnel par
choix, tend vers 0 ; d'o\`u le r\'esultat demand\'e puisque $e^c\geq 1$.


\traitgras
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\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf AIR 1 MP 1999}
\transforme{3 0 0 3}{\bf AIR 1 MP 1999}

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\vfill\eject
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