%
%           MINES PONTS  MP  1999
%
%--------------------------------------------------------------------------
% AVERTISSEMENTS :
% 1 Lire sous PLAIN FRANCAIS ou PLAIN + BABEL sans inputer quoi que ce soit.
% 2 Toute remarque est bienvenue
% Luc Verschueren 8 rue du Prof. Picard 30000 N{\^\i}mes. 
%    ou bien :  Luc.Verschueren@wanadoo.fr
%    Amiti{\'e} {\`a} tous .
%--------------------------------------------------------------------------
\input psfig.sty
%  4  figures sont insérées  à la question    I  2 b )
%                 fichiers : M99MM1F1.eps  M99MM1F2.eps  M99MM1F3.eps  M99MM1F4.eps
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MACROS DE PRESENTATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hsize=160mm           \vsize=255mm   \parindent=0mm 
%
\def\rm{\fam0\tenrm}                                   %fonte usuelle
\font\bla=cmti8                                        % petite italique
\font\Gbf=cmbxsl10  scaled\magstep1                    %fonte du grand titre
\font\gbf=cmbxsl10  scaled\magstephalf                 %fonte des titres

\def\ind{\hskip -7mm\relax}                           %titre en retrait dans la marge
\def\minind{\hskip -4mm\relax}                        %petit retrait dans la marge
\def\decal{\hskip 1cm\relax}                          %retrait
\def\minib{\vskip 0.5 mm}                             %mini blanc vertical
\def\blanc{\vskip 1.5 mm}                             %petit blanc
\def\Blanc{\vskip 4mm plus 1mm minus 1mm}             %moyen blanc                   
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   titres des questions :     %%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\quest#1#2{\ind {\gbf \hbox{Question #1 :\quad #2}}\par\rm\blanc}
\def\ssquest#1{\ind {\bf #1}\quad}

\def\trait{\hrule height 0.5pt depth 0.5pt width 12cm}  %trait horizontal
                                                     
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   encadrements :     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                           % cadre proche  ( 2pt )
    \vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil\ #1\ \hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}
\def\Cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                            % cadre large ( 5pt )
    \vbox spread 5pt {\vfil\hbox spread 5pt{\hfil\ #1\ \hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}
\def\CCadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule                            % cadre très large ( 10pt )
    \vbox spread 10pt {\vfil\hbox spread 10pt{\hfil\ #1\ \hfil}\vfil}  % #1={texte}
    \vrule}\hrule}}

\def\resul #1#2{\raise -#1 mm \cadre {#2}}                   % avec alignement sur le texte  
\def\Resul #1#2{\raise -#1 mm \Cadre {#2}}                   % avec alignement sur le texte  
\def\RResul #1#2{\raise -#1 mm \CCadre {#2}}                 % avec alignement sur le texte  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Alphabet Grec  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\let\lll=\lambda \let\ttt=\theta \let\aaa=\alpha  \let\bbb=\beta
\let\ggg=\gamma \let\ddd=\delta \let\ooo=\omega  \let\mmm=\mu 
\let\fff=\varphi \let\ppp=\psi \let\rrr=\rho \let\eee=\varepsilon 
\let\ffff=\phi   \let\ccc=\chi \let\PPP=\Phi \let\PpP=\Psi 
\let\sss=\sigma
%\def\cccc{\hat \chi} \def\fffff{\hat \varphi}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Spécifiques matheux %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\R{\hbox{ I\hskip -0.17em R} }    \def\Z{\hbox{ Z\hskip -0.32em Z} }  
\def\N{\hbox{ I\hskip -0.15em N} }    \def\K{\hbox{ I\hskip -0.17em K} }  
\def\C{\hbox{ \ 1\hskip -0.60em C} }  \def\U{\hbox{ \ I\hskip -0.15em U} }
\def\Q{\hbox{ \ 1\hskip -0.60em Q} }  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% les mêmes en police d'indice
\def\nmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.17em N}}  \def\zmat{\sevenrm\hbox{ Z\hskip -0.32em Z}  }  \def\rmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.15em R}}  \def\qmat{\sevenrm\hbox{\ 1\hskip -0.60em Q}  }
\def\cmat{\sevenrm\hbox{ \ 1\hskip -0.60em C}  }  \def\kmat{\sevenrm\hbox{ I\hskip -0.17em K}  }  \def\umat{\sevenrm\hbox{\ I\hskip -0.15em U}  }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù

\def\ssl{\underbar}                                            %souligne du texte
\def\sslig#1{\underline{\vrule depth 4pt width 0pt #1}}      %souligne des maths

\def\conj{\overline}                                         %conjugu{\'e}
\def\vect#1{\overrightarrow{#1}}                            %vecteur avec fl{\`e}che

\def \frac#1#2{\mathchoice                                   %  fraction  selon le style math  
  {{\displaystyle#1\over\displaystyle#2}}{{\textstyle#1\over\textstyle#2}}{#1/#2}{#1/#2}} %

\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}                 %  fonctions non définies
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\card{\mathop{\rm card}\nolimits}


\def\M#1#2{{\cal M}_{#1}(#2)}                        %M2(R) matrices
\def\L#1#2{{\cal L}(#1)^{#2}}                        %L(R2) endomorphismes
\def\rpol{\R\lbrack  X \rbrack}                   %R[X]  polynômes
\def\rpoln#1{\R_{#1}\lbrack  X \rbrack}           %Rn[X]  polynômes

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Raccourcis   %%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\dps=\displaystyle           \let\scs=\scriptstyle
\let\txs=\textstyle
\def\ssi{si et seulement si }    \let\SSI=\Longleftrightarrow
\let\dou=\Rightarrow             
\let\vers=\rightarrow            \let\lvers=\longrightarrow
\let\qq=\forall                  \let\ex=\exists
\def\pol{polyn\^ome}             \let\til=\widetilde                           

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MACROS Perso            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\norm#1{\left\Vert #1 \right\Vert}                                    % norme double barre d'un vecteur              
\def\scal#1#2{ \langle #1\mid#2 \rangle}              % produit scalaire
\def \Det#1{\left|\matrix{#1}\right|}                          % determinant
\def \syst#1{ \left\{\, \matrix{#1}\right.}                    % système
%         exemple de syntaxe :  $\syst{{a=0}\cr {b=1}\cr {c=2}\cr}$\par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   superpositions     %%%%%%%%%%%%%%%%
\def\etage#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}      % pour écrire en dessous
\def\Etage#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}      % pour écrire au dessus
\def\eEtage#1#2#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}} % en dessous et au dessus
%       exemple de syntaxe   :   $\etage{inf}{x\in \N}$\par
% $\eEtage{\hbox to 15mm{\rightarrowfill}}{n\vers \infty}{\hbox{\sevenrm cvge unift}}$\par

\def\arc#1{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{\dps\frown}}}      % pour ce pb
%\def\Arc#1{ \buildrel {\frown}\over {#1}}                        % proposé par Vidiani

     
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Mise en page  UPS   %%%%%%%% 

\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CORRIGE DU PROBLEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%                                                         %%%
%%%%%%                    TITRE                                %%%
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\centerline{\Gbf  Mines - Ponts  1999 \quad Premi\`{e}re \'{e}preuve de 
                 Math\'{e}matiques  Fili\`{e}re  M.P. }
\Blanc
\setbox10=\vbox{\hsize=98mm \it \quad Etude des suites \'equi-r\'eparties et 
                             crit\`eres d'\'equi-r\'epartition \par
            \hfill {( Bibliographie : Exbrayat et Alessandri p 139 chez Masson )}}
\setbox11=\vbox{\hsize=60mm{\hfill{\bla  Luc Verschueren}}\par
                {\hfill{\bla  Lyc\'ee Daudet N\^\i mes}}}
\hbox{\box10\hfill\box11}
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{1 ) }{Un crit\`ere d'\'equi-r\'epartition}
\ssquest{a)\ $F_{A}$ est un sous-espace de $E$}\par
\minib
$F_{A}$ contient bien s\^ur la fonction constante nulle, et \ssl{toutes les fonctions constantes} : \par 
\decal pour $f(x)=c$ on a 
$\dps{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}f(a_{n})= {{c\,N} \over {N}}
                     =\dps\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx =c$\par
Si $f$ est une combinaison lin\'eaire de fonctions $(f_{1},f_{2},\dots,f_{k})$ de $F_{A}$ , la suite des moyennes : \par
$M_{N}(f)=\dps{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}f(a_{n})$ est la combinaison lin\'eaire des 
suites des moyennes $\bigl(M_{N}(f_{i})\bigr)_{1\leq i \leq k}$ \par
et ces suites \'etant convergentes , elle converge vers la combinaison lin\'eaire des limites qui est l'int\'egrale de $f$ : 
$F_{A}$ est \ssl{stable par combinaison lin\'eaire}
\qquad \Resul{1.7}{$F_{A}$ est un sous-espace vectoriel de $E$} \par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b) Densit\'e}\par\minib
Puisque : $\qq x \in [0,1] \quad f_{1}(x)\leq g(x) \leq f_{2}(x)$ , cet encadrement passe aux moyennes : \par
\qquad\qquad $\qq N \in \N \quad M_{N}(f_{1}) \leq M_{N}(g) \leq M_{N}(f_{2})$\par
Pour $\eee > 0$ \ssl{donn\'e} , il existe $f_{1}$ et $f_{2}$ v\'erifiant les conditions de l'\'enonc\'e , et $\qq N \in \N$ :\par
\decal $\dps\int_{0}^{1}\,f_{2}(x)\,dx-M_{N}(f_{2})-\eee 
\leq \dps\int_{0}^{1}\,g(x)\,dx-M_{N}(g) 
\leq \dps\int_{0}^{1}\,f_{1}(x)\,dx-M_{N}(f_{1}) +\eee$\par
\minib
Or puisque $f_{1}$ et $f_{2}$ sont dans $F_A$ pour le $\eee$ choisi , il existe un entier $N_1$  \`a partir duquel \par
\decal $M_{N}(f_{1})$ approche  $ \dps\int_{0}^{1}\,f_{1}(x)\,dx$ \`a $\eee$ pr\`es , et de m\^eme il existe $N_{2}$ pour $f_{2}$\par
Soit $N_{0}=\sup(N_{1},N_{2})$ : \par
\decal $\qq N \in \N \quad ,\quad N>N_{0}\quad :\quad -2\,\eee 
        \leq \dps\int_{0}^{1}\,g(x)\,dx-M_{N}(g) \leq 2\,\eee$\par
Ainsi : \Resul{4.7}{\ $\dps \lim_{N\vers \infty}\left[
   {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}g(a_{n}) \right]=\int_{0}^{1}\,g(x)\,dx$ et $g \in F_A$\ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c) Une condition suffisante}\par\minib
Vue la d\'efinition : \Resul{1.7}{$A$ est \'equi-r\'epartie dans $I$ \ssi $F_{A}=E$}\par
Si $F_A$ contient une partie $P$ dense dans $E$ au sens de la norme de la convergence uniforme utilis\'ee dans ce probl\`eme : 
$\dps \norm{f}=\sup_{x \in [0,1]}|f(x)|$
alors : \par
Pour tout $g$ de $E$ et pour tout $\eee>0$ : il existe $f$ dans $P$ ( donc dans $F_A$ ) telle que : \par
\decal $\dps \qq x \in [0,1]\qquad f(x)- {{\eee}\over{2}} \leq g(x) \leq f(x)+{{\eee}\over{2}} $\par
Soit alors $\dps f_{1}=f-{{\eee}\over{2}} $ et $\dps f_{2}=f+{{\eee}\over{2}} $ elles sont dans $F_A$ ( combinaisons lin\'eaires et fonctions constantes )\par
\decal et v\'erifient les deux conditions de la question pr\'ec\'edente.\par
Car pour la deuxi\`eme condition : \par
\decal $\dps\int_{0}^{1}\,f_{2}(x)\,dx-\eee =\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx-{{\eee}\over{2}}
\leq \dps\int_{0}^{1}\,g(x)\,dx \leq \int_{0}^{1}\,f(x)\,dx+{{\eee}\over{2}} 
=\dps\int_{0}^{1}\,f_{1}(x)\,dx +\eee$\par
\minib
Donc $g$ est dans $F_A$ et $E \subset F_A$ entraine $E=F_A$\par
\minib
\qquad \Cadre {On a bien une condition suffisante pour assurer $A$ \'equi-r\'epartie dans $I$} \par
\Blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{2 ) }{Une condition n\'ecessaire et suffisante}
La fonction not\'ee $h_J$ dans l'\'enonc\'e est la fonction caract\'eristique de $J$\par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{a) Fonctions en escalier}\par\minib
Si pour tout $J$ intervalle de $I$ , la fonction $h_J$ est dans $F_A$ , par combinaison lin\'eaire : \par
\hskip 2cm \Cadre{Les fonctions en escalier sont dans $F_A$}\par\minib
Ainsi $F_A$ contient la partie \Resul{1.7}{$P_1$ ensemble des fonctions en escalier dans $I$}\par\minib
\decal qui est un sous-espace vectoriel de $E$ , et cette partie \ssl{est dense} dans $E$.\par\minib
La question pr\'ec\'edente conclut : \Resul{1.7}{$A$ est \'equi-r\'epartie dans $I$ }\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vfill\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b) Fonctions continues sur $I$ prolongeables en des fonctions continues sur $\R$ et $1-$p\'eriodiques}\par\minib
Il suffit de construire des fonctions continues et \ssl{affines par morceaux} dont les graphes bordent des trap\`ezes inclus ( pour $f_{1}$ ) et comprenant ( pour $f_{2}$ ) le rectangle bord\'e par le graphe de $h_J$.\par
Pour ces fonctions : $ f_{1}(0)=f_{1}(1)=f_{2}(0)=f_{2}(1)=0$\par
\minib
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&     LES  FIGURES  
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

\hbox{\cadre{\hbox{\psfig{file=M99MM1F1.eps,height=70mm,width=70mm,angle=270}}}
      \hskip 16mm 
      \cadre{\hbox{\psfig{file=M99MM1F2.eps,height=70mm,width=70mm,angle=270}}}}
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
\minib
Pour des intervalles $J$ tels que $c=0$ ( respectivement $d=1$ ) , il suffit de faire remonter ( respectivement descendre ) notre fonction affine par morceaux jusqu'\`a $1$ ( resp 0 ) sur l'intervalle $[1-\eee,1]$ ( resp $[0,\eee]$  )\par
Pour ces fonctions : $ f_{1}(0)=f_{1}(1)=0$  \quad et : $f_{2}(0)=f_{2}(1)=1$\par
\minib
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&     LES  FIGURES  
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&    

\hbox{\cadre{\hbox{\psfig{file=M99MM1F3.eps,height=70mm,width=70mm,angle=270}}}
      \hskip 16mm 
      \cadre{\hbox{\psfig{file=M99MM1F4.eps,height=70mm,width=70mm,angle=270}}}}
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&       
%%%  &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&     

\blanc
Soit \Resul{1.7}{$P_2$ l'ensemble des fonctions continues sur $I$ et telles que $f(0)=f(1)$} \par\minib
( qui est aussi un sous-espace vectoriel de $E$ ). Si \Resul{1.7}{$F_A$ contient $P_2$ } , avec la question {\bf 1) b)} , il contient\par\minib
 toutes les fonctions $h_J$ , donc avec la question {\bf 2) a)} ,
\Resul{1.7}{$A$ est \'equi-r\'epartie dans $I$ }\par
 \blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c) R\'epartition des $a_n$ dans $[0,1]$}\par\minib
D'une part : $N(J)=\card\{\ a_{n}\ /\ 1 \leq n \leq N\quad $ et $a_n \in J \}=\dps\sum_{n=1}^{N}h_{J}(a_{n})$\quad
donc $\dps {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}h_{J}(a_{n})= {{N_{J}} \over {N}} $\par     % l 215
D'autre part : $\dps\int_{0}^{1}\,h_{J}(x)\,dx=\bigl(d-c\bigr)$\par
Pour les $h_{J}$ : 
$\dps \biggl(\lim_{N\vers \infty}{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}h_{J}(a_{n})
    =\int_{0}^{1}\,h_{J}(x)\,dx\biggr)\SSI
      \biggl(\dps \lim_{N\vers \infty}{{N_{J}} \over {N}}=\bigl(d-c\bigr) \biggr)$\par
Donc : \resul{2.2}{$\Bigl(h_{J}\in F_{A}\Bigr)\SSI \Bigl(\dps \lim_{N\vers \infty}{{N_{J}} \over {N}}=\bigl(d-c\bigr) \Bigr)$} \par\minib
\decal et 
\Resul{3.7}{$\Bigl(A$ est \'equi-r\'epartie dans $I\Bigr)\SSI 
   \Bigl($ Pour tout intervalle $J$ dans $I$ : 
     $\dps \lim_{N\vers \infty}{{N_{J}} \over {N}}=\bigl(d-c\bigr) \Bigr)$}\par
 \Blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quest{3 ) }{Un crit\`ere d'\'equi-r\'epartition  modulo $I$ }
Pour $k \in \!\Z$ consid\'erons la fonction not\'ee $e_{k}$ d\'efinie par :
 $x \in\!\R \vers \exp (2i\pi\,k\,x)$\par
C'est une fonction de $E$ et m\^eme \Resul{1.7}{ $e_{k} \in P_{2}$} car \ssl{continue} sur  $\!\R$ et $\sslig{e_{k}(0)=1=e_{k}(1)}$\par
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{a) Moyenne des images sur le cercle unit\'e :}\par\minib
Si la suite $ R=\bigl(r_{n}\bigr)_{n \in \!\nmat} $ est \'equi-r\'epartie , pour tout $k \in\N$ , la suite des moyennes des valeurs de $e_{k}(r_{n})$ doit tendre vers : 
           $\dps\int_{0}^{1}\,e_{k}(x)\,dx$\qquad
Or pour $k>0$ \quad l'int\'egrale vaut : 
  $\dps\left[{{\exp(2\,i\,\pi\,k\,x)}\over{2\,i\,\pi\,k)}}\right]_{x=0}^{x=1}\ =\ 0$\par
\minib
\decal \cadre{Si : $ R=\bigl(r_{n}\bigr)_{n \in \!\nmat} $ est \'equi-r\'epartie , alors 
      $\qq k > 0 \quad 
   \dps \lim_{N\vers \infty}{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}\exp(2i\pi\,k\,r_{n})=0 $ }\par
\blanc                                                                       %  l 240
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{b) R\'eciproque}\par\minib
Si $\qq k > 0 \quad $:$\quad \dps \lim_{N\vers \infty}C(R,k,N)=0$ , alors 
\resul{1.2}{$\qq k \in \!\Z \quad e_{k}\in F_{R}$} en effet : \par
\decal $\bullet\quad$  pour $k=0$ on a $e_{0}=1$ constante qui est dans $F_{R}$ de toute fa\c con \par
\decal $\bullet\quad$ si la limite de la suite de complexes est nulle, la suite des conjugu\'es a aussi une limite nulle :\par
\decal\decal $\dps \lim_{N\vers \infty}{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}\exp(-2\,i\,\pi\,k\,r_{n})=0 $\qquad donc $e_{-k}$ est dans $F_{R}$\par
Par combinaison lin\'eaire , si \Resul{1.7}{$P_3$ est l'ensemble des polyn\^omes trigonom\'etriques de p\'eriode $1$}\par\minib
\decal on assure que \resul{1.2}{$P_{3}\subset F_{R}$}.\par
Or par le th\'eor\`eme de \ssl{Weierstrass trigonom\'etrique} , $P_{3}$ est \ssl{dense} dans $\til{P}_{2}$ , l'ensemble des fonctions \ssl{continues} sur $\!\R$ et \ssl{1-p\'eriodiques} ,
pour la topologie de la norme de la convergence uniforme employ\'ee ici.
Toute fonction de $P_2$ est la restriction \`a $[0,1]$ d'une fonction de $\til P_{2}$\par\minib
\ssl{Conclusion} : $P_3$ est dense dans $P_2$ , et $P_3\subset F_{R}$ donc avec {\bf 1) b)} : $P_2\subset F_{R}$ et avec {\bf 2) b)} cela assure :\par                   % l 253
\minib\qquad\Cadre{$\Bigl(R$ est \'equi-r\'epartie dans $I\Bigr)\SSI 
   \Bigl(\dps\qq k \in \!\N\quad k>0 \quad \lim_{N\vers \infty}C(R,k,N)=0 \Bigr)$}\par
\blanc 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ssquest{c) Suites arithm\'etiquess \'equi-r\'eparties }\par
\ind $\bullet\quad$ Si \resul{1.2}{$\ttt \in \!\Q$} il existe $(p,q)\in \!\Z\times\!\N^{*}$ tels que : $\dps \ttt={{p} \over {q}}$\par
Alors pour $k=q>0$ la suite des $C(R,q,N)$ est constante \'egale \`a $1$ : 
elle ne tend pas vers $0$ donc par le crit\`ere pr\'ec\'edent 
\Resul{2.7}{La suite $\bigl(n\,\ttt\bigr)_{n \in \!\nmat}$ n'est pas \'equi-r\'epartie}\par
\minib
\ind $\bullet\quad$ Si \resul{1.2}{$\ttt \not\in \!\Q$} alors $\qq k \in \!\N^{*}$ fix\'e :\quad
\Resul{1.7}{$\aaa=\exp(2i\pi\,k\,\ttt)\not = 1$}\par
On a alors dans $C(R,k,N)$ une somme d'une suite g\'eom\'etrique de raison $\aaa$ , et donc :\par
\decal $C(R,k,N)=\dps{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}\aaa^{n}
               ={{\aaa} \over {N}}{{1-\aaa^{n}} \over {1-\aaa}}$ et $\aaa$ est un complexe de module $1$\par
on peut donc majorer : $\dps \bigl|C(R,k,N)\bigr| \leq {{1} \over {N}}{{2} \over {|1-\aaa|}}$  \quad ce qui tend vers $0$ quand $N$ tend vers l'infini.\par
Par le crit\`ere pr\'ec\'edent : \Resul{2.7}{La suite $\bigl(n\,\ttt\bigr)_{n \in \!\nmat}$ est alors \'equi-r\'epartie}\par
\Blanc 
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\quest{4 ) }{Exemples de suites \'equi-r\'eparties  modulo $I$ }
\blanc
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\ssquest{a) Etude des suites :}$\sslig{\bigl(d_{n}\bigr)_{n \in \!\nmat} }$ et 
        $\sslig{\dps\biggl({{1}\over{n\,d_{n}}}\biggr)_{n \in \!\nmat} }$ \par
\ind $\bullet \quad$
On suppose : $\fff'(t)=o(1)$ , donc $\dps \lim_{t\vers \infty}\fff'(t)=0$. Avec $\fff''\leq 0$ 
cela assure que :\par
\qquad\qquad \cadre{$\fff'(t)\etage{\lvers}{t\vers \infty}0$ en d\'ecroissant}\par
De plus : $\dps{{1} \over {t}}=o(\fff'(t))$ donc : $\fff'(t)$ n'est pas identiquement nul \`a partir d'un certain $t_0 \geq 1$ . \par
\qquad\qquad  Donc \Resul{1.7}{$\fff'(t)>0$ sur $[1,\infty[$}\par
Enfin : $\fff$ est \ssl{strictement croissante} sur  $[1,\infty[$ \quad et \quad 
\Resul{1.7}{$\qq n \in \!\N \qquad d_{n}=r_{n+1}-r_{n} > 0$}\par
\ind $\bullet \quad$ Ensuite : $\dps d_{n}=r_{n+1}-r_{n} =\fff(n+1)-\fff(n)
     =\int_{n}^{n+1}\,\fff'(x)\,dx$\par
Puisque $\fff'(t)=o(1)$ : $\qq \eee >0, \quad \ex t_{0}\geq 1, \quad 
               \qq t \geq t_{0}\quad |\fff'(t)|<\eee$ ce qui entraine : 
   $|d_{n}|<\eee$ \par
\decal pour tous les $n\geq t_{0}$ , ainsi 
  \Resul{3.2}{$d_{n}\etage{\lvers}{n\vers \infty}0$ }\par
\ind $\bullet \quad$ De m\^eme : $\dps \qq \eee >0 \quad \ex t_{1}\geq 1 \quad 
    \qq t \geq t_{1}\quad \left|{1 \over {t}}\right|<\eee|\fff'(t)|$ \quad ce qui entraine 
    pour $n\geq t_{1}$ : \par
\decal    $\dps\fff'(t)>{{1} \over {\eee}}.{{1} \over {n+1}}$ sur $[n,n+1]$ 
        par d\'ecroissance de $t\vers {1/t}$\par
 Pour $n\geq t_{1}$ on a : $\dps |d_{n}|>{{1} \over {\eee}}.{{1} \over {n+1}}$ , et ainsi :  
  \Resul{3.2}{$\dps {{1} \over {n\,d_{n}}}\etage{\lvers}{n\vers \infty}0$ }\par
 \blanc
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\ssquest{b) Moyennes des $A_n$}\par
On pose : $\dps\qq n \in \!\N \qquad B_{n}= {{1} \over {2i\pi}} 
        \left[ {{A_{n+1}} \over {d_{n+1}}} -{{A_{n}} \over {d_{n}}} \right]$ 
et on admet : $\dps\left|A_{n}-B_{n}\right|={{1} \over {2\pi}} 
        \left| {{1} \over {d_{n+1}}} -{{1} \over {d_{n}}} \right|+\pi |d_{n}|$ \par\minib
Notons $M_{N}(A)$ la moyenne : $M_{N}(A)=\dps{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}A_{n}$\quad 
Alors : \Resul{1.7}{$M_{N}(A)=M_{N}(A-B)+M_{N}(B)$ }\par
\ind $\bullet\quad$ Par r\'ecurrence claire sur $N$ : $\dps  \sum_{n=1}^{N}B_{n}={{1} \over {2i\pi}}
      \left[ {{A_{N+1}} \over {d_{N+1}}} -{{A_{1}} \over {d_{1}}} \right]$\par
donc :  $\dps\left | {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}B_{n}\right |  
     \leq {{1} \over {2\pi\,N}}
         \left| {{A_{N+1}} \over {d_{N+1}}}\right| + \left |{{A_{1}} \over {d_{1}}} \right|
     \leq {{1} \over {2\pi\,N\,d_{N+1}}}+{{1} \over {2\pi\,N\,d_{1}}}$ puisque $A_{n}$ est un complexe de module $1$\par
Le majorant tend vers $0$. Donc \resul{2.7}{$\dps \lim_{N\vers \infty}M_{N}(B)\ =\ 0$ }\par
\ind $\bullet\quad$ Par l'in\'egalit\'e admise : 
    $\dps|M_{N}(A-B)|\leq {{1} \over {2\,N\,\pi}} 
        \sum_{n=1}^{N}\left| {{1} \over {d_{n+1}}} -{{1} \over {d_{n}}} \right|
       +{{\pi}\over {N}}\sum_{n=1}^{N} |d_{n}|$ \par
Puisque $|d_{n}| \vers 0$ avec le r\'esultat de Cesaro : 
         $\dps {{\pi}\over {N}}\sum_{n=1}^{N} |d_{n}|\etage{\lvers}{n\vers \infty}0$\par
Puisque les $d_{n}$ sont des \ssl{r\'eels strictement positifs} et que $\fff'$ est d\'ecroissante on peut pr\'eciser : \par
\decal $d_{n+1}=\fff(n+2)-\fff(n+1)=\dps\int_{n+1}^{n+2}\,\fff'(x)\,dx
         \leq \dps\int_{n}^{n+1}\,\fff'(x)\,dx=\fff(n+1)-\fff(n)=d_{n}$\par
La suite \resul{4}{$\dps\biggl({{1}\over {d_{n}}}\biggr)_{n \in \!\nmat}$ de r\'eels positifs est croissante } \quad strictement d'ailleurs\par
ainsi : $\dps {{1} \over {2\,N\,\pi}} 
        \sum_{n=1}^{N}\left| {{1} \over {d_{n+1}}} -{{1} \over {d_{n}}} \right|
        ={{1} \over {2\,N\,\pi}} 
        \sum_{n=1}^{N}\left( {{1} \over {d_{n+1}}} -{{1} \over {d_{n}}} \right)      
        ={{1} \over {2\,N\,\pi}}\left( {{1} \over {d_{N+1}}} -{{1} \over {d_{1}}}\right) $\par
\decal ce qui tend vers $0$ avec le r\'esultat de {\bf 4) a)}\par
Avec la somme des deux : \Resul{3.2}{$\dps \lim_{N\vers \infty}M_{N}(A-B)\ =\ 0$ }\par\minib
$\bullet\quad$ conclusion : \Resul{4.2}
       {$\dps \lim_{N\vers \infty} {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}A_{n} \ =\ 0$ }\par
\blanc
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\ssquest{c) Equi-r\'epartition de la suite des $\fff(n)$ }\par
On vient de montrer que : $\dps \lim_{N\vers \infty}C(R,k,N)=0$ \resul{1.2}{pour $k=1$}\par
Pour les autres $k>0$ de $\!\N$ on peut appliquer le r\'esultat ci-dessus 
\resul{1.2}{\`a la fonction $\ppp=k\fff$}  qui v\'erifie clairement les m\^emes hypoth\`eses\par
On a donc les hypoth\`eses du \ssl{crit\`ere {\bf 3) c)}} et 
\resul{1.7}{La suite $R=\bigl(\fff(n)\bigr)_{n \in \!\nmat}$ est \'equi-r\'epartie dans $I$}\par
\blanc
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\quest{5 ) }{Exemples des suites puissances du logarithme}
\blanc
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\ssquest{a) Pour quel $\aaa$ ?}\par
$\ppp_{\aaa}$ d\'efinie par : $x\vers \ln^{\aaa}(x)$ est pour $\aaa \geq 1$ 
d\'efinie sur $[1,\infty[$ , \`a valeurs positives ,\par
\decal de classe $C^{2}$ et : 
\Resul{3.7}{$\dps\ppp_{\aaa}\,'(x)={{\aaa} \over {x}}\ln^{\aaa-1}(x)$ }\par
Ceci assure que $\ppp_{\aaa}\,'(t)\etage{\lvers}{t\vers \infty}0$ et donc que la fonction 
 \Resul{1.7}{$\ppp_{\aaa}\,'$ est un $o(1)$}\par
De plus \Resul{1.7}{pour $\aaa>1$} on a : $t\ppp_{\aaa}\,'(t)\etage{\lvers}{t\vers \infty}\infty$ et son inverse tend vers $0$ ,\par
\decal donc \Resul{3.7}{$\dps{{1} \over {t}}=o(\ppp_{\aaa}\,')$} au voisinage de l'infini .\par
Enfin : $\dps\ppp_{\aaa}\,''(x)=\aaa\left[ {{-1} \over {x^{2}}}\ln^{\aaa-1}(x) 
                + {{\aaa-1} \over {x^{2}}}\ln^{\aaa-2}(x) \right]
             ={{\aaa} \over {x^{2}}}\ln^{\aaa-2}(x)\left[(\aaa-1)-\ln(x)\right]  $\par
\decal donc \Resul{2.4}{$\ppp_{\aaa}\,''$ est \ n\'egative \`a partir de $x_{0}=e^{\aaa-1}$}\par
Or si on modifie les hypoth\`eses concernant $\fff$ en les assurant sur $[n_{0},\infty[$ avec 
$n_{0}=[x_{0}]+1$ , on aura les m\^emes r\'esultats sur les moyennes en commen\c cant les sommes en $n=n_{0}$ plut\^ot qu'en $n=1$.\par 
Mais si $\dps \lim_{N\vers \infty} {{1} \over {N}}\ \sum_{n=n_{0}}^{N}A_{n} \ =\ 0$ \quad cela entraine : $\dps \lim_{N\vers \infty} {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}A_{n} \ =\ 0$.\par
Par l'\'etude de la question {\bf 4)}  
  \resul{2.2}{pour $\aaa>1$ la suite $A_{\aaa}=\bigl(\ln^{\aaa}(n)\bigr)_{n \in \!\nmat}$
              est  \'equi-r\'epartie  modulo $I$} 
\blanc
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\ssquest{b) Une primitive}\par
Soit $f$ la fonction $t\vers \exp(2i\pi\,\ln(t))$. $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur 
    $]0,\infty[$ et \Resul{3.2}{$\dps f'(t)={{2i\pi} \over {t}} f(t)$}\par
Ainsi : $\dps\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt= {{1} \over {2i\pi}} \int_{1}^{x}t\,f'(t)\,dt
          ={{1} \over {2i\pi}}\left[\Bigl[t\,f(t)\Bigr]_{t=1}^{t=x}
               - \int_{1}^{x}\,f(t)\,dt\right]$ \qquad par partie \par
\decal et : $\dps\Biggl[1+{{1} \over {2i\pi}}\Biggr] \int_{1}^{x}\,f(t)\,dt
               ={{1} \over {2i\pi}}\bigl[x\,f(x)-1\bigr]$ \par\minib
enfin :
\resul{3.7}{$\dps\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt={{1} \over {1+2i\pi}}\bigl[x\,f(x)-1\bigr]$ est une primitive de $f$ }\par
\blanc
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\ssquest{c) Cas $\aaa=1$}\par
Pour $N>1$ avec le calcul ci-dessus :\par\minib
$\dps I_{N}={{1} \over {N(1+2i\pi)}}\bigl[N\,\exp(2i\pi \ln(N))-1\bigr]
       ={{1} \over {1+2i\pi}}\left[ \exp(2i\pi \ln(N))- {{1} \over {N}}\right]$\par 
\decal donc : \resul{3.7}
     {$\dps |I_{N}|\etage{\lvers}{N\vers \infty}{{1} \over {\sqrt{1+4\pi^{2}}}}$ }\par
Mais $\dps L_{N}-I_{N}={{1} \over {N}}\left[ \sum_{n=1}^{N}f(n)
                          - \int_{1}^{N}\,f(t)\,dt  \right]$ \par
avec l'int\'egration par partie classique de la comparaison s\'erie-int\'egrale :\par
\decal $\dps f(n)-\int_{n-1}^{n}\,f(t)\,dt=\int_{n-1}^{n}\bigl[t-(n-1)\bigr]\,f'(t)\,dt
                              =\int_{n-1}^{n}[t]\,f'(t)\,dt$\par 
\hfill{avec la partie enti\`ere de $t$ sur $[n-1,n]$}\par
D'o\`u : $\dps L_{N}-I_{N}={{1} \over {N}}\left[ \sum_{n=2}^{N}
                  \int_{n-1}^{n}\bigl[t-(n-1)\bigr]\,f'(t)\,dt +f(1) \right]$\par
Mais : $\dps {{f(1)} \over {N}} \etage{\lvers}{N\vers \infty}0$ \par
\decal et \quad $\dps \left|\int_{n-1}^{n}\bigl[t-(n-1)\bigr]\,f'(t)\,dt \right|
              \leq \int_{n-1}^{n}|f'(t)|\,dt =2\pi\,\int_{n-1}^{n}{{1} \over {t}}\,dt $\par 
\decal car $\dps f'(t)=2i\pi\,{{f(t)} \over {t}}$ et \quad $|f(t)|=1$ \quad sur $[1,\infty[$\par
Puisque $\dps\ln\Bigl({{n} \over {n-1}}\Bigr)\vers 0$ , avec la \ssl{moyenne de Cesaro} , 
on assure \par
\decal que 
   $\dps \left|\int_{n-1}^{n}\bigl[t-(n-1)\bigr]\,f'(t)\,dt \right|
         \etage{\lvers}{N\vers \infty}0$ \quad donc : \Resul{1.7}{$L_{N}-I_{N}\vers 0$ quand $N \vers \infty$}\par\minib
Ces deux r\'esultats contredisent : $L_{N}\vers 0$ quand $N \vers \infty$ \par\minib
donc 
\Resul{2.8}{la suite $A_{1}=\bigl(\ln(n)\bigr)_{n \in \!\nmat}$
             n'est pas \'equi-r\'epartie  modulo $I$} \par 
    \blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Réserve   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  \dps {{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}f(a_{n})   {{1} \over {N}}    
%  \dps\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx
%  \dps \lim_{N\vers \infty}        R=\bigl(r_{n}\bigr)_{n \in \!\nmat} 
%  crit\`ere d'\'equi-r\'epartition  modulo $I$ 
%  C(R,k,N)=\dps{{1} \over {N}}\ \sum_{n=1}^{N}\exp(2\,i\,\pi\,k\,r_{n})
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  F %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   F I N  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  I %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  N %%
