		%%%%%%
		%%% Corrig\'e de Jean Gu\'egand (MP, Fontainebleau) pour l'UPS, en Tex standard.
		%%%%%%				Pas de fichiers inputs, et les macros habituelles figurent ci-dessous :
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   a 4
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\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E#1}\fi}
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   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ACCENTS
   % Lettres accentu\'ees :
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%
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  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% RACCOURCIS % Macros
\def \Frac#1#2{{\displaystyle#1\over\displaystyle#2}}
\def \[[{\hbox{[ \kern -5pt [}}
\def \]]{\hbox{] \kern -5pt ]}}
\let\ds =\displaystyle 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	%%%%%%%%%%%%%%%%%ENSEMBLES
    % Macros d\'efinissant les ensembles R,C,,N. 
\def \N{\hbox{I\kern -1.8pt N}}		
\def \Z{\hbox{Z\kern -3pt Z}}    
\def \Q{\hbox{I\kern -5.5pt Q}}		
\def \R{\hbox{I\kern -1.8pt R}}			
\def \C{\hbox{I\kern -5.5pt C}}	
 
	%%%%%%%%%%%
	%%%%%%%%%%%
				%%%%%%%%
				%%%%%%%%
							%%%%%%%%
							%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
							%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
							%%%%
\headline={\hfil{\it  MINES/MP-2/99}\hfil\folio}
%\footline={}
\centerline{\bf MINES/MP-2/99} 

\smallskip\centerline{\bf PARTIE I} 
 
\smallskip {\bf I-1$^{\circ}$)} 
Comme l'indique le texte, on peut \'ecrire pour tout
$n\in\N^*$
 
\smallskip\centerline{$| b_n | =  \Frac1{n} (n | b_n| )\leq 
\Frac12\big( \Frac1{n^2}+ (n^2| b_n|^2 )\big)$}

\smallskip Le terme de droite \'etant terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente, par
comparaison pour les s\'eries \`a termes positifs, on a bien convergence absolue de $\sum b_n$.
\smallskip En outre, si l'on consid\`ere $f\in {\cal G}$ et $\big(b_n\big)_{n\in\N^*}$ "associ\'ee" au sens que 
$\ds\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 | b_n|^2 \leq \Frac2{\pi}$ et pour tout $x\in I$ que $f(x)
\ds\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin(nx)$, on aura donc :
\smallskip\centerline{$\forall x\in I, \forall n\in\N^*, | b_n \sin(nx)| \leq |b_n|$}
\smallskip Cela prouve la convergence normale, donc uniforme de la s\'erie de fonctions contines sur $I$ de terme
g\'en\'eral
$f_n : x\mapsto 
 b_n \sin(nx)$. Par suite $f$ est continue sur $I$. et dans ${\cal E}$. 
\smallskip D'o\`u l'inclusion :
${\cal G}\subset {\cal E}$

\medskip{\bf I-2$^{\circ}$) a)}
Par un calcul non-moins classique en s\'eparant les termes d'indices pairs et impairs, on obtient :
\quad $S = \ds\sum_{n=1}^{+\infty} \Frac1{n^2}- 
\ds\sum_{n=1}^{+\infty} \Frac1{4n^2} = 
\Frac34\ds\sum_{n=1}^{+\infty} \Frac1{n^2} =
\Frac{\pi^2}8$.

\medskip{\bf I-2$^{\circ}$) b)} (i) On a :
\quad$h(x) = x$ pour $x\in [0,\Frac{\pi}2]$, et $h(x) = \pi
-x $ si $x\in [\Frac{\pi}2,\pi]$
\smallskip Par suite $h$ est clairement continue en $\Frac{\pi}2$ et aussi sur $]0,\pi[$. D'apr\`es l'imparit\'e
de $\tilde h$ et sa $2\pi$-p\'eridicit\'e, elle est donc {\it a priori} continue en tout point de
$\R\setminus\pi\Z$. Pour conclure il reste \`a justifier sa continuit\'e en  $0$ et $\pi$.
\smallskip $h$ \'etant impaire avec $h(0) = 0$, on en  conclut que la restriction de $\tilde h$ \`a $[-\pi,\pi]$
est continue.
\smallskip Enfin $ h(\pi) = 0$,  et les limites \`a droite et \`a gauche de $\tilde h$ en $\pm \pi$ sont nulles.
\smallskip Par suite $\tilde h$ est continue sur $\R$.

\smallskip $\tilde h$ \'etant impaire on a donc $a_n(\tilde h) = 0$ pour tout $n\in\N$.
\smallskip De plus pout tout $n\in\N^*$, $b_n(\tilde h) = \Frac2{\pi}\big(\ds\int_{0}^{\Frac{\pi}2}
x\sin(n x)\, dx +  \int_{\Frac{\pi}2}^{\pi} (\pi - x)
\sin(n x)\, dx\big)$.
\smallskip On int\'egre par parties chacune des int\'egrales et l'on conclut facilement : 

\smallskip\centerline{$\forall n\in\N^*,\quad b_n(\tilde h) = \Frac4{\pi n^2} \sin(\Frac{n\pi}2) $}
\smallskip\centerline{$\forall p\in\N,\quad b_{2p+2}(\tilde h) = 0, \quad b_{2p+1}(\tilde h) =
\Frac{4(-1)^p}{\pi(2p+1)^2}. $}

\smallskip (ii) $h$ \'etant clairement de classe $C^1$ par morceaux sur $[0,\pi]$, $\tilde h$ est donc
continue, $2\pi$-p\'eriodique, et aussi de classe $C^1$ par morceaux sur $\R$. La s\'erie de
Fourier de $\tilde h$ converge donc normalement vers $\tilde h$ sur $\R$ :
\smallskip\centerline{$\forall x\in \R, \quad \tilde h(x) = \Frac{4}{\pi}\ds\sum_{p=0}^{+\infty} 
\Frac{(-1)^k}{(2p+1)^2}\sin((2k+1)x). $}
\smallskip L'\'evaluation en $\Frac{\pi}2$ donne $\Frac{\pi}2 = \Frac{4}{\pi} S$, puis $S =\Frac{\pi^2}8$. 
\smallskip (iii) $k$ est comme $h$ continue sur $[0,\pi]$ et repr\'esentable sous la forme d'une s\'erie
trigonom\'etrique de la forme voulue avec $b_n = \Frac4{(\pi)^{\Frac32} n^2} \sin(\Frac{n\pi}2)$ pour
$n\in\N^*$.  Enfin : 
\smallskip\centerline{$\ds\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 |b_n|^2 = \Frac{16}{(\pi)^3}\ds\sum_{p=0}^{+\infty} (2p+1)^2
\Frac1{(2p+1)^2} = \Frac{16 S}{(\pi)^3} = \Frac2{\pi}.$}
\smallskip En conclusion $k\in {\cal G}$.

\medskip {\bf I-3$^{\circ}$)}  Notons que la propri\'et\'e
admise r\'esulte simplement d'un r\'esultat du cours
concernant l'injectivit\'e de $f \mapsto \hat f$ de ${\cal
C}_{2\pi}$ dans ${\it l}^2(\Z)$  et qui r\'esulte de la
formule de Parseval. 

\smallskip  Consid\'erons donc $f\in {\cal C}_{2\pi}$ et $g= S_f$ la somme de sa s\'erie de Fourier suppos\'ee
convergente uniform\'ement. Tout revient \`a  prouver que $f=g$. Comme $g$ est la somme d'une
s\'eries de fonctions continues convergeant uniform\'ement sur $\R$, $g$ est aussi continue sur
$\R$, et bien \'evidemment $2\pi$-p\'eriodique. Gr\^ace au r\'esulta admis, il suffit donc de
prouver que $c_p(g) = c_p(f)$ pour tout $p\in\Z$.

\smallskip Pour
$x\in\R$, posons $f_n(x) = c_n(f) e^{i n x} + c_{-n}(f)e^{- i n x}$ pour
 $n\in \N^*$, et $f_0(x)  = c_0(f)$.
\smallskip On a donc $c_p(g) = \Frac1{2\pi} \ds\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=0}^{+\infty}( f_n(x) e^{- i p
x})\, dx$.
\smallskip La s\'erie de fonctions continues sur $[0,2\pi]$ d\'efinies par $g_n(x) =  f_n(x) e^{i p
x}$ converge simplement sur $[0,2\pi]$. En outre la convergence est uniforme puisque l'on a :
\smallskip\centerline{$\ds\sup_{x\in[0,2\pi]} |  \sum_{n=N+1}^{+\infty}( f_n(x) e^{- i p
x})| = \ds\sup_{x\in[0,2\pi]} |  \sum_{n=N+1}^{+\infty}( f_n(x) | $} 
\smallskip qui tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$ d'apr\`es l'hypoth\`ese.
\smallskip Il est donc permis d'int\'egrer terme \`a terme cette s\'erie sur le segment $[0,2\pi]$, et :
\smallskip\centerline{$c_p(g) = \Frac1{2\pi}\ds
\sum_{n=0}^{+\infty}\ds\int_{0}^{2\pi} ( f_n(x) e^{i p
x})\, dx = \Frac1{2\pi} \sum_{n\in\Z}^{}  c_n(f)
\ds\int_{0}^{2\pi} ( e^{i (n- p) x})\, dx = c_p(f)$.}

\smallskip D'o\`u $f=g$ et le r\'esultat vis\'e.
\medskip



\smallskip\centerline{\bf PARTIE II} 

\smallskip {\bf II-1$^{\circ}$)} a) Pour des raisons analogues \`a I-2-b), $\tilde f$ est  continue sur
$\R$ (car $f(0) = f(\pi) = 0$).
De plus comme $\tilde f$ est impaire et $2\pi$-p\'eriodique,
 $\tilde f$ est a priori d\'efinie et de classe
$C^1$ sur $\R\setminus\pi\Z$, $\tilde f'$ \'etant paire et $2\pi$-p\'eriodique.
\smallskip $\tilde f$ est d\'erivable \`a droite et \`a gauche en $0$ avec $\tilde f'_{D}(0) = f'(0)=
\ds\lim_{x\to 0, x>0} \tilde f'(x)$,  et 
$\tilde f'_{G}(0) = \ds\lim_{x\to 0, x<0}\Frac{-f(-x)}{x} 
= f'(0)$. 
 On en d\'eduit que $\tilde
f$ est d\'erivable et de d\'eriv\'ee continue en $0$. L'\'etude est analogue en $\pi$.
\smallskip En conclusion, $\tilde f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.

\medskip {\bf II-1$^{\circ}$)} b) $\tilde f$ \'etant
$2\pi$-p\'eriodique et de classe $C^1$  sur $\R$ (en
particulier continue et de classe $C^1$ par morceaux), la
s\'erie de Fourier de $\tilde f$ converge normalement vers
$\tilde f$ sur $\R$. Comme $\tilde f$ est impaire, on a
donc :
\smallskip\centerline{$\forall x\in\R, \tilde f (x) = \ds\sum_{n=1}^{+\infty} b_n(\tilde f) \sin(nx)$}
\smallskip Il suffit de consid\'erer $b_n = b_n(\tilde f)$ pour tout $n\in\N^*$ pour avoit le r\'esultat
souhait\'e. On a de plus convergence normale donc uniforme de cette s\'erie de fonctions sur $I$.

\medskip {\bf II-2$^{\circ}$)} \`A $f\in {\cal F}$, on
associe $\tilde f$ d\'efine ci-dessus en
$1^{\circ}$. $\tilde f'$ est dans ${\cal C}_{2\pi}$ et paire : $( a_n(\tilde f'))_{n\in\N}$
est de carr\'e sommable et on peut  appliquer la formule de Parseval : 
\smallskip\centerline{$\Frac2{\pi}\ds\int_{[0,\pi]}^{} |\tilde f'|^2 = \ds\sum_{n\in\N}^{} |a_n(\tilde f')|^2$}
\smallskip Par une int\'egration par parties, on a de plus $a_n(\tilde f')= n b_n(\tilde f)$ pour tout
$n\in\N$, et ainsi comme $f\in {\cal F}$, on a  :
\quad$ \ds\sum_{n\in\N^*}^{} n^2 |b_n(\tilde
f)|^2 = \Frac2{\pi}\ds\int_{[0,\pi]}^{} |\tilde f'|^2 
\leq \Frac2{\pi}$.

 \smallskip Ainsi $f\in{\cal G}$.
\smallskip L'inclusion ${\cal F}\subset {\cal G}$ est stricte car par exemple la fonction $k$ de
$I-2^{\circ}-b-(iii)$ est dans ${\cal G}$ mais n'est pas dans ${\cal F}$ car non d\'erivable en
$\Frac{\pi}2$.
\medskip


\smallskip\centerline{\bf PARTIE III} 

\smallskip {\bf III-1$^{\circ}$)}  Il est clair que pour
tout $p\in\N^*$, $g_p$ est de classe $C^1$ sur $I$ et
s'annule en $O$ et $\pi$. De plus on peut prolonger $g_p$
de fa\c{c}on \'evidente  en une fonction d\'efinie sur $\R$,
impaire et $2\pi$-p\'eriodique not\'ee encore $g_p$ (par
$x\mapsto \ds\sum_{n=1}^{p} b_n\sin(nx)$) et
dont les coefficients de Fourier sont bien s\^urs donn\'es par $b_n( g_p) = b_n$ si $n\in
\[[1,n\]]$, et avec tous les autres coefficients nuls (v\'erifier si n\'ecessaire ce r\'esultat
bien connu  pour un polyn\^ome trigonom\'etrique).
\smallskip Ainsi, on aplique la formule de Parsval \`a la d\'eriv\'ee de $g_p$ prolong\'ee aussi en une
fonction $2\pi$-p\'eriodique, paire avec : $a_n( g_p') = n b_n$ si $n\in
\[[1,n\]]$, et tous ses autres coefficients nuls.
\smallskip\centerline{$\ds\int_0^{\pi} | g_p'(x) |^2 \, dx = \Frac {\pi}2 (\sum_{n=1}^p n^2 | b_n|^2 \leq 
\Frac {\pi}2\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 | b_n|^2 = 1.$}
\smallskip On en conclut que chaque $g_p$ est bien dans ${\cal F}$.

\smallskip Nous allons montrer pour conclure que la suite $(g_p)$ converge uniform\'ement vers $g$ sur
$I$, ce qui est \'evident puisque :
\quad$|| g -g_p||_{\infty} = \ds\sup_{x\in[0,\pi]} |
\sum_{n=p+1}^{+\infty} b_n \sin(nx) |
\leq 
\sum_{n=p+1}^{+\infty} |b_n |$.
\smallskip ce dernier terme tendant vers $0$ quand $p$ tend vers $+\infty$ en tant que reste d'une
s\'erie convergente (cf. $I-1^{\circ})$). 
\smallskip On en d\'eduit que tout \'el\'ement de ${\cal G}$ est limite uniforme d'une suite d'\'el\'ements de
${\cal F}$ et permet de conclure que ${\cal F}$ est dense dans ${\cal G}$
(au sens de la norme {$|| . ||_{\infty}$).

\medskip {\bf III-2$^{\circ}$) a)} Comme la s\'erie de
fonctions d\'efinissant $f_r$ converge normalement
(toujours  $I-1^{\circ})$) sur $I$, quitte \`a nouveau \`a
prolonger ces fonctions sur
$\R$, en des fonctions impaires et $2\pi$-p\'eriodiques, on peut consid\'erer les coefficients de
Fourier obtenus par int\'egration terme \`a terme (m\^eme justification que dans $I-3^{\circ})$).
\smallskip Compte tenu de $
\Frac2{\pi}\ds\int_0^{\pi}\sin(nx)\sin(m x)\,dx = \delta_{n,m} $ pour $n,m\in\N^*$, il reste
donc :
\smallskip\centerline{$ \forall n\in\N^*, \forall r\in\N, b_{r,n} = \Frac2{\pi} \ds\int_0^{\pi}  f_r(x)
\sin(nx)\,dx$}
\smallskip On fixe donc $n\in\N^*$, et on utilise la convergence uniforme sur $I$. Explicitement si
l'on note en effet $b_n =\Frac2{\pi} \ds\int_0^{\pi}  f(x)
\sin(nx)\,dx$, on aura clairement :
\smallskip\centerline{$|  b_{r,n} - b_n| \leq \Frac2{\pi} \ds\int_0^{\pi}  |f(x)
-f_r(x) |\,dx \leq 2 || f - f_r ||_{\infty}$}
\smallskip On en d\'eduit que la suite $(b_{r,n})_{r\in\N}$ converge vers $b_n$.
 
\medskip {\bf III-2$^{\circ}$) b)} Pour tout $r\in\N$, on
a :
\quad $ \ds\sum_{n=1}^{+\infty} n^2| b_{r,n}|^2\leq  \Frac2{\pi}$.
\smallskip Comme il s'agit d'une s\'erie \`a termes positifs, on a aussi cette majoration pour toute somme
partielle :
\smallskip\centerline{$\forall p\in\N^*,   \ds\sum_{n=1}^{p} n^2| b_{r,n}|^2\leq  \Frac2{\pi}$.}
\smallskip On peut alors passer \`a la limite quuand $r$ tend vers $+\infty$ :
\smallskip\centerline{$\forall p\in\N^*,   \ds\sum_{n=1}^{p} n^2| b_{n}|^2\leq  \Frac2{\pi}$.}
\smallskip On conclut que la s\'erie \`a termes positifs $n^2| b_{n}|^2$, dont la suite croissante des
sommes partielles est major\'ee, est convergente avec encore pour sa somme : $ 
\ds\sum_{n=1}^{+\infty} n^2| b_{n}|^2\leq  \Frac2{\pi}$.

\medskip {\bf III-2$^{\circ}$) c)} Pour conclure que $f$
est dans ${\cal G}$, il reste simplement \`a justifier que
pour tout $x\in I$, on a bien : $f(x) =
\ds\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\sin(nx) $. Pour cela il suffit
tout simplement de  prolonger $f$ sur
$\R$, en une fonction impaire et $2\pi$-p\'eriodique, et de remarquer alors que sa s\'erie de
Fourier qui est justement d\'efinie par $S_f(x) = \ds\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\sin(nx) $, 
converge normalement (toujours  $I-1^{\circ})$) donc uniform\'ement sur $\R$.
On conclut avec   $I-3^{\circ})$.

\medskip{\bf III-3$^{\circ}$) }
La question pr\'ec\'edente prouve que toute suite d'\'el\'ements de ${\cal G}$ suppos\'ee
convergente dans ${\cal E}$ (pour la norme $||.||_{\infty}$), converge en fait dans ${\cal
G}$. C'est la caract\'erisation s\'equentielle du fait que l'adh\'erence de ${\cal G}$ dans  ${\cal
E}$ est  ${\cal G}$, c'est-\`a-dire que  ${\cal G}$ est une partie ferm\'ee de  ${\cal E}$.
\smallskip Comme ${\cal F}\subset {\cal G}$, il est est clair que pour leurs adh\'erences dans ${\cal
E}$, on a :
$\overline{{\cal F}}\subset
\overline{{\cal G}} = {\cal G}$.
\smallskip R\'eciproquement, soit $g\in {\cal G}$. 
 D'apr\`es  $III-3^{\circ})$, il existe  une suite d'\'el\'ements de ${\cal F}$ convergeant vers
$g$ et donc g est adh\'erent \`a ${\cal F}$.
\smallskip Conclusion : $\overline{{\cal F}} = {\cal G}$.

\medskip {\bf III-4$^{\circ}$) a)} On a : $|f(y)-f(x)| =
|\ds\int_x^y f'(t)\, dt |$.
\smallskip On applique l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz :  
 $|f(y)-f(x)| \leq \sqrt{\ds\int_x^y 1 \,dt} \quad\sqrt{\ds\int_x^y |f'(t)|^2\, dt }$.
Comme $|f'|^2\geq 0$, on a aussi $\ds\int_x^y |f'(t)|^2\, dt \leq \ds\int_0^1 |f'(t)|^2\, dt
\leq 1$. D'o\`u le r\'esultat vis\'e.

\medskip {\bf III-4$^{\circ}$) b)} Il s'agit de {\bf la}
qusestion difficile (relativement) de l'\'epreuve, bien
qu'amoindrie par le r\'esultat admis (les connaiseurs du
th\'eor\`eme d'Ascoli et des suites \'equicontinues ne seront
pas \'etonn\'e du r\'esultat propos\'e\dots).
\smallskip Remarquons d\'ej\`a que l'on peut d\'efinir une application $g : I\cap \Q
\to \C$ par :
\smallskip\centerline{$\forall z\in  I\cap \Q, g(z) =\ds\lim_{r\to+\infty} f_{\varphi(r)}(z).$}
\smallskip On souhaite la prolonger en une application continue de $I$ vers $\C$.
\smallskip Si l'on consid\`ere $x,y \in  I\cap \Q$ tels que $x\leq y$, pour tout $r\in
\N$ on aura pour $f_{\varphi(r)} $ dans ${\cal F}$ :
\quad$|f_{\varphi(r)}(y)-f_{\varphi(r)}(x)| \leq
\sqrt{y-x}$. En faisant tendre $r$ vers
$+\infty$, on aura encore la condition "EQU":
\quad$|g(y)-g(x)| \leq \sqrt{y-x}$.

\smallskip Cette condition assure clairement que $g$ transforme une suite de Cauchy de  $I\cap \Q$ en
une suite de Cauchy de $\C$ complet. 
\smallskip Proc\'edons : soit $x\in I$, par densit\'e de $\Q$ dans $\R$, on peut trouver une suite
$(x_n)$ d'\'el\'ements de $ I\cap \Q$ convergeant vers $x$, et qui est donc de Cauchy dans $\R$.
\smallskip Pour tout $\epsilon >0$, il existera $N\in\N$, tel que pour tous $p,q\in \N$, si $p\geq
N$ et $q\geq N$, on aura $| x_p - x_q| < \epsilon^2$ et donc aussi par la condition pr\'ec\'edente
"EQU" (quitte \`a \'echanger $p$ et $q$ pour avoir $x_p \geq x_q$) $|g(x_p) - g(x_q)| \leq
\epsilon$.
\smallskip La suite $\big(g(x_n)\big)$ converge donc vers un certain \'el\'ement $l\in\C$, et qui ne
d\'epend que de
$x$ et non pas de la suite $(x_n)$ choisie, puisque si $(x'_n)$ est une autre suite analogue,
la condition "EQU" assure que les limites des suites $\big(g(x_n)\big)$ et
$\big(g(x'_n)\big)$ seront les m\^emes : on peut donc noter $l = g(x)$.
\smallskip Enfin, \`a nouveau par passage \`a la limite, si l'on consid\`ere deux \'el\'ements $x$ et $y$ de
$I$, avec $x\leq y$, il suffit de consid\'erer deux suites $(x_n)$  et $(y_n)$ d'\'el\'ements de $
I\cap \Q$ convergeant vers $x$ et $y$ respectivement, et (quitte \`a \'echanger $x_n$ et $y_n$
pour avoir $x_n \leq y_n$\dots) on aura par  "EQU" : $|g(y_n) -
g(x_n)| \leq
\sqrt{|y_n - 
x_n|}$.}
\smallskip En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on aura
donc (condition "EQU") :
\smallskip\centerline{$\forall x,y \in  I,\quad |g(y)-g(x)| \leq \sqrt{|y-x|}$.}

\smallskip Cette condition (de H\"older) assure que $g$ est (uniform\'ement) continue sur $I$ puisque
par encadrement, pour tout
$x\in I, \ds\lim_{y\to x,x\in I}g(y) = g(x)$.

\smallskip Il reste \`a justifier la convergence uniforme de $(g_r)$ vers $g$.

\smallskip Consid\'erons $\epsilon > 0$, et $(x_0,\dots, x_n)$ une subdivision de $I$ constitu\'ee de
nombres rationnels, et de pas  $\leq \big( \Frac{\epsilon}3\big)^2$ (il en existe : il
suffit de consid\'erer $n\in\N^*$ tel que $n\geq  
\big(
\Frac3{\epsilon}\big)^2$, et $x_k =
\Frac{k}{n}$ pour $k\in\[[0,n\]]$). \smallskip Soit $x\in I$, il existe un entier $i\in \[[0,n-1\]]$ 
tel que $x\in [x_i,x_{i+1}]$, et
\smallskip\centerline{$|x-x_i|\leq x_{i+1}-x_i \leq   \big( \Frac{\epsilon}2\big)^2$}
\smallskip  et par la condition "EQU"
valable pour $g$ et chaque $g_r$ avec $r\in\N$, on aura : 
$|g(x)-g(x_i)|\leq \Frac{\epsilon}3$  et aussi 
$|g_r(x)-g_r(x_i)|\leq \Frac{\epsilon}3$.

\smallskip D'apr\`es l'hypoth\`ese (curieusement exprim\'ee dans le texte qui parle "d'abscisse"\dots) : 
pour chaque 
$i\in
\[[0,n\]]$, comme
$x_i\in I\cap \Q$, il existe un rang
$N_i\in
\N$ tel que pour tout entier
$r\geq N_i$, on ait : $|g_r(x_i) -g(x_i)| \leq \Frac{\epsilon}3$.
\smallskip On conclut pour tout entier $r\geq p = \max(N_0,\dots, N_n)$  ($p$ ne d\'epend pas de $x$) 
par l'in\'egalit\'e triangulaire :
\smallskip\centerline{$|g(x) - g_r(x)| \leq |g(x) -
g(x_i)|+|g(x_i) - g_r(x_i)|+|g_r(x_i) - g_r(x)|\leq
\epsilon.$}
\smallskip qui est valable pour tout $x\in I$. Concluons pour $|| g - g_r||_{\infty}$ : 
\smallskip\centerline{$\forall \epsilon >0, \quad\exists p\in\N, \quad\forall  r\in\N,\quad  r\geq p \Rightarrow
|| g - g_r||_{\infty} \leq \epsilon$}
\smallskip  D'o\`u la convergence uniforme de $(g_r)$ vers $g$, o\`u $g\in {\cal G}$ d'apr\`es $
III-3^{\circ}) c)$.

\medskip{\bf III-4$^{\circ}$) c)} Soit
$\big(f_r\big)_{r\in\N}$ une suite d'\'el\'ements de ${\cal
G}$. Soit
$\epsilon > 0$. 
\smallskip Par densit\'e de ${\cal
F}$  dans ${\cal
G}$, pour chaque $r\in\N$, il  existe $f'_r\in {\cal
F}$ tel que $|| f_r- f'_r||_{\infty}\leq \Frac{\epsilon}2$.
\smallskip D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, il existe $\varphi : \N\to \N$ srtictement croissante
telle que  $\big(f'_{\varphi(r)}\big)_{r\in\N}$ converge vers un certain $g\in {\cal G}$. Il
existe donc un rang $p\in \N$ (d\'ependant de  $\epsilon$) tel que pour tout entier $r\geq p$   :
\quad $||g- f'_{\varphi(r)}||_{\infty}\leq \Frac{\epsilon}2$.
\smallskip Et par l'in\'egalit\'e triangulaire :
\quad$||g- f_{\varphi(r)}||_{\infty}\leq ||g-
f'_{\varphi(r)}||_{\infty}+ || f'_{\varphi(r)}-
f_{\varphi(r)}||_{\infty} \leq \epsilon$.
\smallskip Soit 
\smallskip\centerline{$\forall \epsilon >0, \quad\exists p\in\N, \quad\forall  r\in\N,\quad  r\geq p \Rightarrow
||g- f_{\varphi(r)}||_{\infty} \leq \epsilon$}
\smallskip Ainsi, de toute suite d'\'el\'ements de ${\cal G}$ on peut extraire une sous-suite convergeant
(pour la norme $||.||_{\infty}$) dans $ {\cal G}$, ce qui exprime que $ {\cal G}$ est compact.
\medskip
\smallskip\centerline{\bf FIN}

\end