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\begin{document}

\lhead{Mines-Ponts 1999 PC, Maths I}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}


%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\Roman{enumi}-\arabic{enumii}�)}
\renewcommand{\labelenumiii}{\alph{enumiii}.}

%Macros
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\card}[1]{\mathop{\rm Card} #1}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ d#4}}



\begin{center}
{\'E}COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS{\'E}ES,\\
{\'E}COLES NATIONALES SUP{\'E}RIEURES DE L'A{\'E}RONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,\\
DE TECHNIQUES AVANC{\'E}ES, DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS,\\
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,\\
DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS DE BRETAGNE\\
{\'E}COLE POLYTECHNIQUE (FILI{\`E}RE TSI)
\end{center}

\vspace{1 cm}

\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION 1999

\bigskip
\underline{MATH{\'E}MATIQUES}

\bigskip
\textbf{PREMI{\`E}RE {\'E}PREUVE}

\textbf{FILI{\`E}RE PC}

\textbf{(Dur{\'e}e de l'{\'e}preuve : 3 heures)}

\bigskip
\textbf{L'emploi de la calculette est interdit.}
\end{center}

\bigskip
\textbf{\textit{Sujet mis {\`a} la disposition du concours E. N. T. P. E.}}

\textit{Les candidats sont pri{\'e}s de mentionner de fa{\c c}on apparente sur la premi{\`e}re page de la copie :}

\textit{MATH{\'E}MATIQUES I - PC.}

\textit{L'{\'e}nonc{\'e} de cette {\'e}preuve, particuli{\`e}re aux candidats de la fili{\`e}re PC, comporte 4 pages.}

\bigskip

Si un candidat rep{\`e}re ce qui lui semble {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amen{\'e} {\`a} prendre.

\bigskip
\begin{center}\underline{Introduction}\end{center}

\bigskip
Une serrure de s{\'e}curit{\'e} poss{\`e}de $n$ boutons num{\'e}rot{\'e}s de $1$ {\`a} $n$ ($n {\geq} 1$).
Une ``combinaison'' consiste {\`a} pousser dans un certain ordre tous les boutons.
Chaque bouton n'est pouss{\'e} qu'une seule fois mais il est possible de pousser simultan{\'e}ment plusieurs
boutons.

La mod{\'e}lisation est effectu{\'e}e de la mani{\`e}re suivante : pour une valeur donn{\'e}e de l'entier $n$, soit $A_{n}$ l'ensemble des entiers de $1$ {\`a} $n$ :
$$A_{n} = \set{1, 2, {\dots}, n}.$$

Par d{\'e}finition une $n$-combinaison est une suite ordonn{\'e}e $(P_{1}, P_{2}, {\dots}, P_{j})$ de $j$ parties $P_{1}$, $P_{2}$, {\dots}, $P_{j}$ de l'ensemble $A_{n}$, ($1 {\leq} j {\leq}n$) ; ces parties $P_{i}$, $1{\leq}i{\leq}n$, de $A_{n}$ sont deux {\`a} deux disjointes et diff{\'e}rentes de la partie vide ; leur r{\'e}union est {\'e}gale {\`a} $A_{n}$.

Soit $a_{n}$ le r{\'e}el {\'e}gal au nombre de $n$-combinaisons.

\bigskip
Exemples :

$n = 1$ : une seule $1$-combinaison : $\left(\set{1}\right)$ ; $a_{1} = 1$.

$n = 2$ : il y a trois $2$-combinaisons :
$$\left(\set{1}, \set{2}\right) ; \left(\set{2}, \set{1}\right) ; \left(\set{1, 2}\right).$$

La premi{\`e}re $2$-combinaison consiste {\`a} appuyer d'abord sur le bouton 1 puis sur le bouton 2, la deuxi{\`e}me {\`a} appuyer d'abord sur le 2 puis sur le 1, la troisi{\`e}me {\`a} appuyer simultan{\'e}ment sur les boutons 1 et 2. $a_{2} = 3$.

\newpage

\begin{center}\textbf{Premi{\`e}re partie.}\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\bigskip
Le but de cette partie est de donner quelques exemples de $n$-combinaisons et d'{\'e}tablir une relation de r{\'e}currence v{\'e}rifi{\'e}e par les r{\'e}els $a_{n}$, $n {\geq} 1$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Premiers exemples :}
\begin{enumerate}
\item Pour une valeur de l'entier $n$ donn{\'e}, quel est le nombre de $n$-combinaisons telles que les boutons soient pouss{\'e}s l'un apr{\`e}s l'autre ? (les parties $P_{i}$, $1{\leq}i{\leq}n$, sont toutes des singletons).
\item D{\'e}terminer, lorsque l'entier $n$ est {\'e}gal {\`a} $3$, en explicitant chacune des suites possibles, le nombre $a_{3}$ des $3$-combinaisons.
Les singletons $\set{1}$, $\set{2}$ et $\set{3}$ peuvent {\^e}tre d{\'e}sign{\'e}s bri{\`e}vement par 1, 2 et 3.
Par exemple : $(1, 3, 2)$ d{\'e}signe la $3$-combinaison dans laquelle les boutons sont pouss{\'e}s successivement dans l'ordre 1, 3, 2 ; $(\set{1, 3}, 2)$ est la suite dans laquelle les deux boutons 1 et 3 sont pouss{\'e}s simultan{\'e}ment avant que le bouton 2 ne soit enfonc{\'e}.
\end{enumerate}

\item \underline{Relations de r{\'e}currence :}

L'entier $n$ est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$. Soit $S$ une $n$-combinaison quelconque ; $S$ est une suite ordonn{\'e}e $(P_{1}, P_{2}, {\dots}, P_{j})$ de $j$ parties $P_{1}$, $P_{2}$, {\dots}, $P_{j}$ de l'ensemble $A_{n}$, deux {\`a} deux disjointes, non vides, dont la r{\'e}union est {\'e}gale {\`a} $A_{n}$ $(1 {\leq} j {\leq}n)$.
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de choix possibles pour la partie $P_{1}$ lorsque le nombre d'{\'e}l{\'e}ments de $P_{1}$ est $k$ ($\card{P_{1}} = k$) ?
\item Soit $k$ un entier strictement inf{\'e}rieur {\`a} $n$ ($k < n$) ; pour une partie $P_{1}$ fix{\'e}e poss{\'e}dant $k$ {\'e}l{\'e}ments ($\card{P_{1}} = k$), combien y a-t-il de $n$-combinaisons S ? Exprimer le r{\'e}sultat {\`a} l'aide du r{\'e}el $a_{p}$, pour une valeur convenable de l'entier $p$.
\item Le but de cette question est d'{\'e}tablir une relation de r{\'e}currence v{\'e}rifi{\'e}e par les termes de la suite $(a_{p})_{p{\geq}1}$.
Exprimer d'abord le r{\'e}el $a_{n}$, en fonction des r{\'e}els $a_{p}$, $1 {\leq} p {\leq} n-1$.
Puis avec la convention $a_{0} = 1$, exprimer le r{\'e}el $a_{n}$ pour $n {\geq} 1$, en fonction des r{\'e}els $a_{p}$, $0 {\leq} p {\leq} n-1$.

Retrouver les valeurs obtenues ci-dessus pour $a_{2}$ et $a_{3}$.

\item Soit $(b_{p})_{p{\geq}0}$ la suite des r{\'e}els d{\'e}finis par la relation : pour tout entier naturel $n$, $b_{n} = \dfrac{a_{n}}{n!}$.
D{\'e}montrer que ces r{\'e}els $b_{p}$, $p {\geq} 0$, v{\'e}rifient la relation de r{\'e}currence :
$$b_{n} = \somme{k=1}{n}{\dfrac{b_{n-k}}{k!}}$$
\end{enumerate}

\item \underline{Majoration des r{\'e}els $b_{n}$, $n {\geq} 0$ :}

D{\'e}montrer, pour tout entier naturel $n$, la relation suivante : $b_{n} {\leq} \dfrac{1}{(\ln{2})^{n}}$.

\item \underline{Minoration des r{\'e}els $b_{n}$, $n {\geq} 1$ :}
\begin{enumerate}
\item {\'E}tablir, en appliquant par exemple {\`a} une fonction convenable la formule de Taylor, la relation ci-dessous, vraie pour tout entier $n$, $n {\geq} 1$ :
$$e^{\ln{2}} {\leq} 1 + \somme{k=1}{n-1}{\dfrac{(\ln{2})^{k}}{k!}} + 2 \dfrac{(\ln{2})^{n}}{n!}.$$

\item En d{\'e}duire pour tout entier $n$, $n {\geq} 1$, la minoration : $b_{n} {\geq} \dfrac{1}{2 (\ln{2})^{n}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Deuxi{\`e}me partie}\end{center}

\medskip
\item L'objet de cette partie est l'{\'e}tude de la s{\'e}rie enti{\`e}re de terme g{\'e}n{\'e}ral $b_{n} x^{n}$, $n {\geq} 0$.
Cette s{\'e}rie est appel{\'e}e s{\'e}rie g{\'e}n{\'e}ratrice de la suite $(a_{n})_{n {\geq} 0}$.
Lorsque le rayon de convergence de la s{\'e}rie enti{\`e}re de terme g{\'e}n{\'e}ral $b_{n} x^{n}$, $n {\geq} 0$, est strictement positif, soit $f$ la somme de la s{\'e}rie ; cette fonction est d{\'e}finie dans l'intervalle de convergence par la relation suivante : \hspace{2 cm} $f(x) = \somme{n=0}{{\infty}}{\dfrac{a_{n} x^{n}}{n!}}$.

\begin{enumerate}
\item \underline{Existence et expression de la fonction $f$ :}
\begin{enumerate}
\item Quel est le rayon de convergence $R$ de la s{\'e}rie enti{\`e}re de terme g{\'e}n{\'e}ral $b_{n} x^{n}$, $n {\geq} 0$ ?
\item Soit $c_{n} x^{n}$, $n {\geq} 0$, le terme g{\'e}n{\'e}ral de la s{\'e}rie produit de Cauchy de la s{\'e}rie exponentielle et de la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $b_{n} x^{n}$, $n {\geq} 0$.
D{\'e}terminer l'expression de $c_{n}$ suivant que l'entier $n$ est nul ou sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.

En d{\'e}duire, pour tout r{\'e}el $x$ de l'intervalle de convergence $\ouvert{-R}{R}$, l'expression de $f(x)$ {\`a} l'aide de fonctions {\'e}l{\'e}mentaires.
\end{enumerate}

\item \underline{Une expression du coefficient $a_{n}$ :}
\begin{enumerate}
\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression du coefficient $a_{n}$, au moyen de la valeur d'une d{\'e}riv{\'e}e de la fonction $f$ en $0$.
\item Soit $(u_{k})_{k=0,1,2,{\dots}}$ la suite de fonctions d{\'e}finies par la relation : $u_{k}(x) = \dfrac{e^{kx}}{2^{k+1}}$.

Pr{\'e}ciser le plus grand ensemble ouvert $J$ dans lequel la s{\'e}rie de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{k}$ est convergente.
Dans quels intervalles ferm{\'e}s la convergence de la s{\'e}rie de fonctions $u_{k}$ ${k=0,1,2,{\dots}}$ est-elle uniforme ?

Pr{\'e}ciser le plus grand intervalle ouvert dans lequel la fonction $f$ et la somme de la s{\'e}rie sont {\'e}gales : $f(x) = \somme{k=0}{{\infty}}{u_{k}(x)}$.

\item D{\'e}duire des deux questions pr{\'e}c{\'e}dentes que le coefficient $a_{n}$ est {\'e}gal {\`a} la somme d'une s{\'e}rie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Troisi{\`e}me partie}\end{center}

\bigskip
Le but de cette partie est de d{\'e}terminer un infiniment grand {\'e}quivalent au r{\'e}el $a_{n}$ lorsque l'entier n cro{\^i}t ind{\'e}finiment.
Soit, pour un entier $n$ naturel donn{\'e}, $g_{n}$ la fonction d{\'e}finie par la relation : \hspace{1 cm} $g_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{2^{x}}$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Int{\'e}grabilit{\'e} de la fonction $g_{n}$ :}

D{\'e}montrer que la fonction $g_{n}$ est int{\'e}grable sur la demi-droite $\R^{+} = \ouvdroite{0}{+{\infty}}$.
Calculer son int{\'e}grale $I_{n}$ : $I_{n} = \integ{\R^{+}}{}{g_{n}(x)}{x}$.

\item \underline{{\'E}quivalent de $a_{n}$ {\`a} l'infini :}

Dans les alin{\'e}as a, b, c et d l'entier $n$ est fix{\'e} et sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.
\begin{enumerate}
\item {\'E}tudier les variations de la fonction $g_{n}$ sur la demi-droite $\R^{+}$ et tracer son graphe.

Soient $x_{n}$ et $M_{n}$ l'abscisse et l'ordonn{\'e}e du maximum de la fonction $g_{n}$ sur $\R^{+}$, $j$ le plus grand entier inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $x_{n}$ et $r$ leur diff{\'e}rence : $j {\leq} x_{n} < j+1$ ; $x_{n} = j + r$.

\item Encadrer, pour tout entier $k$ diff{\'e}rent de $j$, l'int{\'e}grale $\integ{k}{k+1}{g_{n}(x)}{x}$.
En d{\'e}duire des encadrements des deux int{\'e}grales $A_{j}$ et $B_{j}$ d{\'e}finies ci-dessous :
$$A_{j} = \integ{0}{j}{g_{n}(x)}{x}, B_{j} = \integ{j+1}{{\infty}}{g_{n}(x)}{x}.$$

\item D{\'e}montrer l'encadrement : $r g_{n}(j) + (1-r) g_{n}(j+1) {\leq} \integ{j}{j+1}{g_{n}(x)}{x} {\leq} M_{n}$.

\item En d{\'e}duire un encadrement de $a_{n}$ {\`a} l'aide des deux r{\'e}els $I_{n} - M_{n}$ et $I_{n} + M_{n}$.
\item En d{\'e}duire, gr{\^a}ce par exemple {\`a} la formule de Stirling, un infiniment grand {\'e}quivalent {\`a} $a_{n}$ lorsque l'entier $n$ cro{\^i}t vers l'infini.
Rappel : $n! \sim n^{n} e^{-n} \sqrt{2\pi n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}FIN DU PROBL{\`E}ME

FIN DE L'{\'E}PREUVE\end{center}

\end{document}

